专题15 二次函数中线段与线段和的最值问题(教师版含解析)-2021年中考数学复习重难点与压轴题型专项训练
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1、备战备战 2021 年中考复习重难点与压轴题型专项训练年中考复习重难点与压轴题型专项训练 专题 15 二次函数中线段与线段和的最值问题 【专题训练】 一、解答题一、解答题 1(2020 山东九年级二模)如图,二次函数 yax2+bx+c 交 x 轴于点 A(1,0)和点 B(3,0),交 y 轴于点 C,抛物线上一点 D 的 坐标为(4,3) (1)求该二次函数所对应的函数解析式; (2)如图 1,点 P 是直线 BC 下方抛物线上的一个动点,PE/x 轴,PF/y 轴,求线段 EF 的最大值; (3)如图 2,点 M 是线段 CD 上的一个动点,过点 M 作 x 轴的垂线,交抛物线于点 N,
2、当 CBN 是直角三角形时,请直接写出 所有满足条件的点 M 的坐标 【答案】 解:(1)设二次函数的解析式为 ya(xb)(xc), yax2+bx+与 x 轴 r 的两个交点 A、B 的坐标分别为(1,0)和(3,0), 二次函数解析式:ya(x1)(x3) 又点 D(4,3)在二次函数上, (43)(41)a3, 解得:a1 二次函数的解析式:y(x1)(x3),即 yx24x+3 (2)如图 1 所示 因点 P 在二次函数图象上,设 P(p,p24p+3) yx24x+3 与 y 轴相交于点 C, 点 C 的坐标为(0,3) 又点 B 的坐标为 B(3,0), OBOC COB 为等腰
3、直角三角形 又PF/y 轴,PE/x 轴, PEF 为等腰直角三角形 EF 2PF 设一次函数的 lBC的表达式为 ykx+b, 又B(3,0)和 C(0,3)在直线 BC 上, 30 3 kb b ,解得: 1 3 k b , 直线 BC 的解析式为 yx+3 yFp+3 FPp+3(p24p+3)p2+3p EF 2p 2+3 2p 线段 EF 的最大值为,EFmax 09 2 4 2 9 2 4 (3)如图 2 所示: 若CNB90时,点 N 在抛物线上,作 MN/y 轴,l/x 轴交 y 轴于点 E, BFl 交 l 于点 F 设点 N 的坐标为(m,m24m+3),则点 M 的坐标为
4、(m,3), C、D 两点的坐标为(0,3)和(4,3), CDx 轴 又CNENBF,CENNFB90, CNENBF CE NE NF BF , 又CEm2+4m,NEm;NF3m,BFm2+4m3, 2 4mm m 2 3 43 m mm , 化简得:m25m+50 解得:m1 55 2 ,m2 55 2 M 点坐标为( 55 2 ,3)或( 55 2 ,3) 如图 3 所示: 当CBN90时,过 B 作 BGCD, NBFCBG,NFBBGC90, BFNCGB BFN 为等腰直角三角形, BFFN, 0(m24m+3)3m 化简得,m25m+60 解得,m2 或 m3(舍去) M 点
5、坐标为,(2,3) 综上所述,满足题意的 M 点坐标为可以为(2,3),( 55 2 ,3),( 55 2 ,3) 【点睛】 本题考查待定系数法求解函数解析式,二次函数和三角函数求值,三角形相似等相关知识点;同时运用数形结合和分类讨论 的思想探究点在几何图形上的位置关系 2 (2020 重庆永川区 九年级三模)如图, 二次函数的图象交轴于两点, 交轴于点, 点的坐标为,顶点的坐标为 (1)求二次函数的解析式和直线的解析式; (2)点是直线上的一个动点,过点 作轴的垂线,交抛物线于点,当点在第一象限时,求线段长度的 最大值; (3)在抛物线上是否存在异于的点,使中边上的高为,若存在求出点的坐标;
6、若不存在请说 明理由 【答案】 (1)抛物线的顶点 C 的坐标为(1,4),可设抛物线解析式为 y=a(x1)2+4, 点 B(3,0)在该抛物线的图象上,0=a(31)2+4,解得 a=1, 抛物线解析式为 y=(x1)2+4,即 y=x2+2x+3, 点 D 在 y 轴上,令 x=0 可得 y=3,D 点坐标为(0,3),可设直线 BD 解析式为 y=kx+3, 把 B 点坐标代入可得 3k+3=0,解得 k=1,直线 BD 解析式为 y=x+3; (2)设 P 点横坐标为 m(m0),则 P(m,m+3),M(m,m2+2m+3), PM=m2+2m+3(m+3)=m2+3m=(m)2+
7、, 当 m=时,PM 有最大值; (3)如图,过 Q 作 QGy 轴交 BD 于点 G,交 x 轴于点 E,作 QHBD 于 H, 设 Q(x,x2+2x+3),则 G(x,x+3), QG=|x2+2x+3(x+3)|=|x2+3x|, BOD 是等腰直角三角形,DBO=45,HGQ=BGE=45, 当 BDQ 中 BD 边上的高为 2时,即 QH=HG=2, QG=2=4,|x2+3x|=4, 当x2+3x=4 时, =9160,方程无实数根, 当x2+3x=4 时,解得 x=1 或 x=4, Q(1,0)或(4,5), 综上可知存在满足条件的点 Q,其坐标为(1,0)或(4,5) 考点:
8、待定系数法,二次函数的性质,解一元二次方程,一元二次方程根与系数的关系. 3(2020 贵州遵义市 九年级三模)如图,在平面直角坐标系上,一条抛物线 yax2+bx+c(a0)经过 A(1,0)、B(3,0)、C(0,3) 三点,连接 BC 并延长 (1)求抛物线的解析式; (2)点 M 是直线 BC 在第一象限部分上的一个动点,过 M 作 MNy 轴交抛物线于点 N 求线段 MN 的最大值; 当 MN 取最大值时,在线段 MN 右侧的抛物线上有一个动点 P,连接 PM、PN,当 PMN 的外接圆圆心 Q 在 PMN 的边 上时,求点 P 的坐标 【答案】 解:(1)把 A、B、C 三点的坐标
9、代入抛物线 yax2+bx+c(a0)中,得 0 930 3 abc abc c ,解得, 1 4 3 a b c , 抛物线的解析式为:yx24x+3; (2)1设直线 BC 的解析式为 ymx+n(m0),则 30 3 mn n , 解得, 1 3 m n , 直线 BC 的解析式为:yx+3, 设 M(t,t+3)(0t3),则 N(t,t24t+3), MNt2+3t 2 39 () 24 t , 当 t 3 2 时,MN 的值最大,其最大值为 9 4 ; 2PMN 的外接圆圆心 Q 在 PMN 的边上, PMN 为直角三角形, 由 1知,当 MN 取最大值时,M( 3 2 , 3 2
10、 ),N( 3 2 , 3 4 ), 当PMN90时,PMx 轴,则 P 点与 M 点的纵坐标相等, P 点的纵坐标为 3 2 , 当 y 3 2 时,yx24x+3 3 2 , 解得,x 410 2 ,或 x 4103 22 (舍去), P( 410 3 22 ,); 当PNM90时,PNx 轴,则 P 点与 N 点的纵坐标相等, P 点的纵坐标为 3 4 , 当 y 3 4 时,yx24x+3 3 4 , 解得,x 834 4 ,或 x 8343 42 (舍去), P( 8343 44 , ); 当MPN90时,则 MN 为 PMN 的外接圆的直径, PMN 的外接圆的圆心 Q 为 MN
11、的中点, Q( 3 3 , 2 8 ),半径为 19 28 MN , 过 Q 作 QKx 轴,与在 MN 右边的抛物线图象交于点 K,如图, 令 y 3 8 ,得 yx24x+3 3 8 , 解得,x 822 4 3 2 (舍),或 x 822 4 , K( 822 4 , 3 8 ), QK 222 4 9 8 , Q 与 MN 右边的抛物线没有交点, 在线段 MN 右侧的抛物线上不存在点 P,使 PMN 的外接圆圆心 Q 在 MN 边上; 综上,点 P 的坐标为( 410 3 22 ,)或( 834 4 , 3 4 ) 【点睛】 本题是二次函数的综合题,主要考查了待定系数法,二次函数的最值
12、的应用,直角三角形的存在性质的探究,圆的性质,第 (2)题的题关键是把 MN 表示成 t 二次函数, 用二次函数求最值的方法解决问题; 第(2)小题关键是分情况讨论 难度较大 4(2020 湖南邵阳市 九年级二模)如图,二次函数 2 yxbxc的图象与x轴交于点1,0A 和点3,0B,与y轴 交于点N,以AB为边在x轴上方作正方形ABCD,点P是x轴上一动点,连接CP,过点P作CP的垂线与y轴交 于点E (1)求该抛物线的函数关系表达式; (2)当点P在线段OB(点P不与O B、重合)上运动至何处时,线段OE的长有最大值?并求出这个最大值; (3)在第四象限的抛物线上任取一点M,连接MNMB、
13、请问:MBN的面积是否存在最大值?若存在,求出此时点M 的坐标;若不存在,请说明理由 【答案】 解:(1)抛物线 2 yxbxc经过1,0A ,3,0B, 把A B、两点坐标代入上式, 10 930 bc bc ,解得: 2 3 b c , 故抛物线函数关系表达式为 2 23yxx; (2)1,0A ,点3,0B, 1 34ABOA OB , 正方形ABCD中,90 ,ABCPCBE, 90OPECPB, 90CPBPCB, OPEPCB, 又 90EOPPBC, POECBP, BCOP PBOE , 设OPx,则3PBx , 4 3 x xOE , 2 2 1139 3 44216 OEx
14、xx , 03x, 3 2 x 时,线段OE长有最大值,最大值为 9 16 即 3 2 OP 时,线段OE有最大值最大值是 9 16 (3)存在 如图,过点M作MHy轴交BN于点H, 抛物线的解析式为 2 23yxx, 0,3xy , N点坐标为0, 3, 设直线BN的解析式为ykxb, 30 3 kb b , 1 3 k b , 直线BN的解析式为3yx, 设 2 ,23M a aa,则,3H a a, 22 3233MHaaaaa , 2 2 111327 33 22228 MNBBMHMNH SSSMH OBaaa , 1 0 2 , 3 2 a 时,MBN的面积有最大值,最大值是 27
15、 8 ,此时M点的坐标为 315 , 24 【点睛】 本题考查了二次函数的综合题:熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和相似三角形的判定与性质;会利 用待定系数法求函数解析式;理解坐标与图形性质,会利用相似比表示线段之间的关系利用数形结合的思想把代数和几何 图形结合起来,利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键 5(2020 福建福州市 福州十八中九年级月考)如图,抛物线 yax2+2ax3a(a0)与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C,且 OA=OC,直线 yx 与该抛物线交于 E,F 两点 (1)求抛物线的解析式 (2)P 是直线 EF 下方抛物线上的一个动
16、点,作 PHEF 于点 H,求 PH 的最大值 (3)以点 C 为圆心,1 为半径作圆,C 上是否存在点 D,使得 BCD 是以 CD 为直角边的直角三角形?若存在,直接 写出 D 点坐标;若不存在,请说明理由 【答案】 (1)令 x0,则 y3a,可知点 C(0,3a), OAOC 点 A(3a,0), 令 2 230axaxa-= ,即13 =0a xx+ 解得:x13,x21 点 A(3,0),B(1,0) 3a3 a1 抛物线的解析式 yx2+2x3 (2)过点 P 作 PNy 轴交直线 EF 于点 N, 直线 EF 的解析式为 yx, NOA45, PNH45 设点 P 2 ,23x
17、 xx,点 N, xx, PH 2 2 PN 2 2 23 2 xxx 2 2321 2 228 x , 当 x 3 2 时,PH 的值最大为 21 2 8 , (3)当BCD90时,如图 2 左侧图所示, 当点 D 在 BC 的右侧时, 过点 D 作 DMy 轴于点 M,则 CDOB1,OC3, tanBCO 1 3 tanCDMtan, 则 1 10 sin , 3 10 cos, xDCDcos 3 10 10 ,同理 yD 10 3 10 , 故点 D( 3 10 10 , 10 3 10 ); 同理当点 D 在 BC 的左侧时,点 D 的坐标( 3 10 10 , 10 3 10 )
18、; 当CDB90时,如图 2 右侧图所示, 当点 D 在 BC 的右侧时, CDOB1,则点 D(1,3), 当点 D 在 BC 的左侧时,由点的对称性,同理可得:点 D( 4 5 , 12 5 ); 综上所述,点 D 的坐标为( 3 10 10 , 10 3 10 )或( 3 10 10 , 10 3 10 )或(1,3)或( 4 5 , 12 5 ) 【点睛】 本题主要考查二次函数与圆的综合问题,是中考常见的压轴题型,难度较大,熟练掌握待定系数法求解析式,线段最值的解 法,以及分类讨论的思想是解题的关键 6 (2020 山东烟台市 九年级其他模拟)如图, 抛物线 y=ax2+ 4 3 x+
19、c 的图象与 x 轴交于 A(-3, 0), B 两点, 与 y 轴交于点 C(0, -2), 连接 AC点 P 是 x 轴上的动点 (1)求抛物线的表达式; (2)过点 P 作 x 轴的垂线,交线段 AC 于点 D,E 为 y 轴上一点,连接 AE,BE,当 AD=BE 时,求 AD+AE 的最小值; (3)点 Q 为抛物线上一动点,是否存在点 P,使得以 A、C、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点 P 的坐标; 若不存在,说明理由 【答案】 (1)将 A(-3,0),C(0,-2),代入 y=ax2+ 4 3 x+c 得, 4 930 3 2 ac c ,解得 2 3 2
20、a c , 抛物线的表达式为 2 24 2 33 yxx; (2)令 2 24 20 33 yxx,解得 x=-3 或 1, 点 B 的坐标为(1,0), 当 AD=BE 时,AD+AE=BE+AE, 当 A、E、B 三点共线时,BE+AE 最小,最小值为 AB 的长, 当 AD=BE 时,AD+AE 的最小值为 AB=1-(-3)=4; (3)存在设点 P 的坐标为(m,0),点 Q 的坐标为(n, 2 24 2 33 nn), 若 AQ 为平行四边形的对角线,则 PA=QC,QCx 轴,如图, -3-m=0-n, 2 24 22 33 nn , 解得 n=-2 或 0(舍去), m=-5,
21、 点 P 的坐标为(-5,0); 若 AP 为对角线,则 AC=PQ,如图所示, 即 m-n=3, 2 24 22 33 nn, 解得 n=-1+ 7或-1-7, m=2+ 7或 2-7, 点 P 的坐标为(2+ 7,0)或(2-7,0); 当 AC 是平行四边形的对角线时,则 AQ=PC,如图, 即 m-(-3)=0-n, 2 24 22 33 nn , 解得 n=-2 或 0(舍去), m=-1, 点 P 的坐标为(-1,0) 综上所述,点 P 的坐标为(-5,0)或(2+ 7,0)或(2-7,0)或(-1,0) 【点睛】 本题是二次函数的综合应用题,考查了待定系数法求函数解析式,二次函数
22、的图象及性质,平行四边形的性质;熟练掌握二 次函数的图象及性质,灵活应用平行四边形的性质是解题的关键第(3)问需分类讨论,以防遗漏 7(2020 浙江九年级一模)新定义:经研究发现,在平面直角坐标系上到定点0,1F与定直线(0)yb b距离相等的点 刚好组成一条抛物线,我们把满足这样条件的抛物线叫做芳华抛物线 (1)当1b时,请直接写出满足条件的一个点,并求此芳华抛物线的解析式; (2)在(1)的前提下,等边OAB三个顶点都在芳华抛物线上,O 为坐标原点,求等边OAB的边长; (3)在平面上有一定点2,1P, 在芳华抛物线上取点 M 使PMMF最小, 直接写出PMMF的最小值(结果可用含 b
23、的代数式表示) 【答案】 解:(1)设这个定点坐标为, x y,由题意得: 1b,点0,1F, 22 2 11xyy, 整理得: 2 1 4 yx, 满足条件的一个点为 1 1, 4 ; (2)由题意可作如图所示: AOB 是等边三角形, BAO=6O, 由(1)可得抛物线解析式为: 2 1 4 yx, y 轴垂直平分 AB, AOC=30, 设点 A 坐标为 2 1 , 4 aa , AC=a,OC= 2 1 4 a, 2 1 3 4 aa,解得: 4 3a , 8 3OA ; (3)由题意可得如图: 当抛物线与 PF 有交点时,如图: 点0,1F,点2,1P, PFx 轴, PF=2, P
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