专题08 相似三角形综合问题（教师版含解析）-2021年中考数学复习重难点与压轴题型专项训练

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1、备战备战 2021 年中考复习重难点与压轴题型专项训练年中考复习重难点与压轴题型专项训练 专题 08 相似三角形综合问题 【专题训练】 一、解答题一、解答题 1(2020 辽宁营口市 中考真题)如图，在矩形 ABCD 中，ADkAB(k0)，点 E 是线段 CB 延长线上的一个动点，连接 AE，过 点 A 作 AFAE 交射线 DC 于点 F (1)如图 1，若 k1，则 AF 与 AE 之间的数量关系是 ； (2)如图 2，若 k1，试判断 AF 与 AE 之间的数量关系，写出结论并证明；(用含 k 的式子表示) (3)若 AD2AB4，连接 BD 交 AF 于点 G，连接 EG，当 CF1

2、 时，求 EG 的长 【答案】 解：(1)AEAF ADAB，四边形 ABCD 矩形， 四边形 ABCD 是正方形， BAD90， AFAE， EAF90， EABFAD， EABFAD(AAS)， AFAE； 故答案为：AFAE (2)AFkAE 证明：四边形 ABCD 是矩形， BADABCADF90， FAD+FAB90， AFAE， EAF90， EAB+FAB90， EABFAD， ABE+ABC180， ABE180ABC1809090， ABEADF ABEADF， ABAE ADAF ， ADkAB， 1AB ADk ， 1AE AFk ， AFkAE (3)解：如图 1，当点

3、 F 在 DA 上时， 四边形 ABCD 是矩形， ABCD，ABCD， AD2AB4， AB2， CD2， CF1， DFCDCF211 在 Rt ADF 中，ADF90， AF 2222 4117ADDF ， DFAB， GDFGBA，GFDGAB， GDFGBA， 1 2 DFG GABA F AFGF+AG， AG 22 17 33 AF ABEADF， 21 42 AB A A D E AF ， AE 11 17 22 AF 17 2 在 Rt EAG 中，EAG90， EG 2222 172 175 17 ()() 236 AEAG ， 如图 2，当点 F 在 DC 的延长线上时，

4、DFCD+CF2+13， 在 Rt ADF 中，ADF90， AF 2222 435ADDF DFAB， GABGFD，GBAGDF， AGBFGD， 2 3 ABA FGFD G ， GF+AGAF5， AG2， ABEADF， 21 42 AB A A D E AF ， 115 5 222 AEAF， 在 Rt EAG 中，EAG90， EG 2222 541 ( )2 22 AEAG 综上所述，EG 的长为 5 17 6 或 41 2 【点睛】 本题是相似形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理 等知识，熟练掌握相似三角形的判定与

5、性质是解题的关键 2(2020 湖北荆州市 中考真题)如图矩形 ABCD 中，AB=20，点 E 是 BC 上一点，将ABE沿着 AE 折叠，点 B 刚好落在 CD 边上的点 G 处，点 F 在 DG 上，将ADF沿着 AF 折叠，点 D 刚好落在 AG 上点 H 处，此时:2:3 GFHAFH SS (1)求证：EGCGFH (2)求 AD 的长； (3)求tanGFH的值 【答案】 (1)证明：因为四边形 ABCD 是矩形 所以 90BDC 90GHFC ，90 ,AGEB 90EGCHGF 90GFHHGF EGCGFH EGCGFH (2)解：:2:3 GFHAFH SS :2:3GH

6、 AH 20AGGHAHAB 8,12GHAH 12ADAH (3)解：在直角三角形 ADG 中， 2222 201216DGAGAD 由折叠对称性知DFHFx， 16GFx 222 GHHFGF 222 8(16)xx 解得：x=6， 所以：HF=6 在直角三角形 GHF 中， 84 tan 63 GH GFH HF 【点睛】 本题考查了矩形的性质，翻折变换，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参 数构建方程解决问题 3(2020 四川雅安市 中考真题)如图，已知边长为 10 的正方形ABCDE，是BC边上一动点(与BC、不重合)，连结 AEG， 是BC

7、延长线上的点，过点E作AE的垂线交DCG的角平分线于点F，若FGBG (1)求证：ABEEGF； (2)若2EC ，求CEF的面积； (3)请直接写出EC为何值时，CEF的面积最大 【答案】 解：(1)四边形 ABCD 是正方形， DCG=90， CF 平分DCG， FCG= 1 2 DCG=45， G=90， GCF=CFG=45， FG=CG， 四边形 ABCD 是正方形，EFAE， B=G=AEF=90， BAE+AEB=90，AEB+FEG=90， BAE=FEG， B=G=90， BAEGEF； (2)AB=BC=10，CE=2， BE=8， FG=CG， EG=CE+CG=2+FG

8、， 由(1)知， BAEGEF， ABBE EGFG ， 108 2FGFG ， FG=8， S ECF= 1 2 CEFG= 1 2 28=8； (3)设 CE=x，则 BE=10-x， EG=CE+CG=x+FG， 由(1)知， BAEGEF， ABBE EGFG ， 1010 x xFGFG ， FG=10-x， S ECF= 1 2 CEFG= 1 2 x(10-x)= 2125 5 22 x， 当 x=5 时，S ECF最大= 25 2 ， 当 EC=5 时，CEF的面积最大. 【点睛】 此题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，角平分线，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，

9、判断出 BAEGEF 是解本题的关键 4(2020 江苏扬州市 中考真题)如图 1，已知点 O 在四边形 ABCD 的边 AB 上，且2OAOBOCOD，OC 平分 BOD ，与 BD 交于点 G，AC 分别与 BD、OD 交于点 E、F (1)求证：/OCAD； (2)如图 2，若DE DF ，求 AE AF 的值； (3)当四边形 ABCD 的周长取最大值时，求 DE DF 的值 【答案】 (1)由三角形外角可得BOD=DAO+ODA， OA=OD， DAO=ODA， OC 平分BOD， COD=COB， COD=ODA， OCAD； (2)OC 平分BOD， COD=COB， 在 BOG

10、 与 DOG 中 OBOD BOGDOG OGOG ， BOGDOG， BGO=DGO=90， ADOC， ADB=OGB=90，DAC=OCA， OA=OC， OAC=OCA， DAC=OAC， DE=DF， DFE=DEF， DFE=AFO， AFO=DEF， AFOAED， AOD=ADB=90， ADAE AOAF ， OA=OD=2， 根据勾股定理可得 AD=2 2， 2 2 = 2 ADAE AOAF = 2； (3)OA=OB，OCAD， 根据三角形中位线可设 AD=2x，OG=x，则 CG=2-x，BG= 22 -OGOB = 2 4-x ， BC= 22 +CGBG = 84

11、x =CD， 四边形 ABCD 的周长=AB+AD+DC+BC =4+2x+2 84x =4+2x+4 2x 令 2x =t0，即 x=2-t2， 四边形 ABCD 的周长=4+2x+4 2x =4+2(2-t2)+4t =-2t2+4t+8 =-2(t-1)2+10， 当 t=1 时，四边形 ABCD 的周长取得最大值，最大值为 10， 此时 x=2-t2=1， AD=2， OCAD， ADF=COF，DAF=OCF， AD=OC=2， ADFCOF DF=OF= 1 2 OD=1， AD=OC=OA=OD， ADO 是等边三角形， 由(2)可知DAF=OAF，ADE=90， 在 Rt AD

12、E 中，DAE=30， 3 tan30 3 DE DA ， DE= 2 3 3 ， DE DF = 2 3 3 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质， 相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质， 二次函数的性质，涉及的知识点比较复杂，综合性较强，灵活运用这些知识点是解题关键 5 (2020 四川眉山市 中考真题)如图，ABC和CDE都是等边三角形， 点B、C、E三点在同一直线上， 连接BD， AD，BD交AC于点F (1)若 2 ADDF DB ，求证：ADBF； (2)若90BAD，6BE 求tanDBE的值； 求DF的长 【答案】 (1)证明： 2

13、ADDF DB ， ADDB DFAD 又ADFBDA ，ADFBDA，ABDFAD ABC和CDE均为等边三角形， ABAC ，60BACACBDCE， 60ACD，60ACDBAF， ACDBAF ，ADBF (2)90BADQ，60BAC，30CAD， 60ACD，90ADC， 1 2 DCAC， 1 2 CEBC 6BE ，2CE ，4BC ， 过点D作DGBE于点G， CDE 为等边三角形， 1CGEG，5BG 在 Rt CDG 中， 3DG ， 3 tan 5 DG DBE BG 在 RtBDG中， 2222 5( 3)2 7BDBGDG ， 60ABCDCE，/CDAB ，CDF

14、ABF， 1 2 DFCD BFAB ， 1 3 DF BD ， 2 7 3 DF 【点睛】 本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，直角三角形的性质，以及锐角三角函数，熟练掌握相关的知识是 解题的关键 6 (2020 湖北襄阳市 中考真题)在ABC中，90BAC，ABAC 点 D 在边BC上，DEDA且DEDA， AE交边BC于点 F，连接CE (1)特例发现：如图 1，当ADAF时，求证：BDCF；推断：ACE_ ； (2)探究证明：如图 2，当ADAF时，请探究ACE的度数是否为定值，并说明理由； (3)拓展运用： 如图 3， 在(2)的条件下， 当 1 3 EF AF 时，

15、 过点 D 作AE的垂线， 交AE于点 P， 交AC于点 K， 若 16 3 CK ， 求DF的长 【答案】 证明：(1),ADAF ,ADFAFD ,ADBAFC ,ABAC ,BC ,ABDACF .BDCF 推断：90 .ACE 理由如下： ,ADDE DADE 45 ,AEDDAE ,90 ,ABACBAC 45 ,ACB ,ACFDEF ,DFEAFC ,DFEAFC , DFFE AFFC ,AFDCFE ,AFDCFE 45 ,DAFECF 90 .ACEACFECF (2)90ACE为定值， 理由如下： 由(1)得：45 ,ACFDEF ,DFEAFC ,DFEAFC , DF

16、FE AFFC ,AFDCFE ,AFDCFE 45 ,DAFECF 90 .ACEACFECF (3) 1 3 EF AF ， 设,EFa 则3 ,AFa 4 ,AEAFEFa ,DPAE DADE DADE 2 ,DPAPEPa PFa 22 5 ,2 2 ,DFDPFPa DEDAa ,DFEAFC , DFFEDE AFFCAC 52 2 , 3 aaa aFCAC 3 56 10 , 55 a FCa AC 90 ,APKACEPAKCAE ,APKACE , APAK ACAE AP AEAKAC 16 , 3 CK 6 1016 6 10 24 535 aaaa ， 解得：10,

17、a 55105 2.DFa 【点睛】 本题考查的是三角形的全等的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定与性质，更重要的是考查学生的学习 探究的能力，掌握以上知识是解题的关键 7 (2020 安徽中考真题)如图 1 已知四边形ABCD是矩形 点E在BA的延长线上. AEAD EC与BD相交于点G， 与AD相交于点,.F AFAB 1求证：BDEC； 2若1AB ，求AE的长； 3如图 2，连接AG，求证： 2EGDGAG 【答案】 (1)四边形 ABCD 是矩形， BAD=EAD=90 ，AO=BC，ADBC， 在 EAF 和 DAB， AEAD EAFDAB AFAB ， EAFD

18、AB(SAS)， E=BDA， BDA+ABD=90 ， E+ABD=90 ， EGB=90 ， BGEC； (2)设 AE=x，则 EB=1+x，BC=AD=AE=x， AFBC，E=E， EAFEBC， EAAF EBBC ，又 AF=AB=1， 1 1 x xx 即 2 10 xx ， 解得： 15 2 x ， 15 2 x (舍去) 即 AE=1 5 2 ； (3)在 EG 上截取 EH=DG，连接 AH， 在 EAH 和 DAG， AEAD HEAGDA EHDG ， EAHDAG(SAS)， EAH=DAG，AH=AG， EAH+DAH=90 ， DAG+DAH=90 ， HAG=

19、90 ， GAH 是等腰直角三角形， 2 22 AHAGGH 即 2 2 2AGGH ， GH= 2AG， GH=EG-EH=EG-DG， 2EGDGAG 【点睛】 本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角定义、相似三角形的判定与性质、 解一元二次方程等知识，涉及知识面广，解答的关键是认真审题，提取相关信息，利用截长补短等解题方法确定解题思路， 进而推理、探究、发现和计算 8 (2020 江苏宿迁市 中考真题)(感知)(1)如图， 在四边形 ABCD 中， C=D=90， 点 E 在边 CD 上， AEB=90， 求证：AE EB = DE CB (探究)

20、(2)如图，在四边形 ABCD 中，C=ADC=90，点 E 在边 CD 上，点 F 在边 AD 的延长线上，FEG=AEB=90， 且 EF EG = AE EB ，连接 BG 交 CD 于点 H求证：BH=GH (拓展)(3)如图， 点 E 在四边形 ABCD 内， AEB+DEC=180， 且 AE EB = DE EC ， 过 E 作 EF 交 AD 于点 F， 若EFA=AEB， 延长 FE 交 BC 于点 G求证：BG=CG 【答案】 (1)C=D=AEB=90， BEC+AED=AED+EAD=90， BEC=EAD， Rt AEDRt EBC， AEDE EBCB ； (2)如

21、图 1，过点 G 作 GMCD 于点 M， 同(1)的理由可知： EFDE EGGM ， EFAE EGEB ， AEDE EBCB ， DEDE GMCB ， CB=GM， 在 BCH 和 GMH 中， 90 CHBMHG CGMH CBGM ， BCHGMH(AAS)， BH=GH； (3)证明：如图 2，在 EG 上取点 M，使BME=AFE， 过点 C 作 CNBM，交 EG 的延长线于点 N，则N=BMG， EAF+AFE+AEF=AEF+AEB+BEM=180，EFA=AEB， EAF=BEM， AEFEBM， AEEF BEBM ， AEB+DEC=180，EFA+DFE=180

22、， 而EFA=AEB， CED=EFD， BMG+BME=180， N=EFD， EFD+EDF+FED=FED+DEC+CEN=180， EDF=CEN， DEFECN， DEEF ECCN ， 又 AEDE EBEC ， EFEF BMCN ， BM=CN， 在 BGM 和 CGN 中， BGMCGN BMGN BMCN ， BGMCGN(AAS)， BG=CG 【点睛】 本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，熟练掌握相似 三角形的判定与性质是解题的关键 9 (2020 内蒙古赤峰市 中考真题)如图， 矩形ABCD中， 点P为对角线

23、AC所在直线上的一个动点， 连接 PD， 过点P作PEPD， 交直线 AB 于点 E，过点 P 作 MNAB，交直线 CD 于点 M，交直线 AB 于点 N. 4 3AB ，AD =4. (1)如图 1，当点 P 在线段 AC 上时，PDM 和EPN 的数关系为:PDM_ EPN； DP PE 的值是 ； (2)如图 2，当点 P 在 CA 延长线上时，(1)中的结论是否成立?若成立，请证明；若不成立，说明理由； (3)如图 3，以线段 PD ，PE 为邻边作矩形 PEFD.设 PM 的长为 x，矩形 PEFD 的面积为 y.请直接写出 y 与 x 之间的函数关系 式及 y 的最小值. 【答案

24、】 (1)PEPD， DPE=90， DPM+EPN=90， MNAB， PMD=PNE=90， PDM+DPM=90， PDM=EPN； 故答案为：=； CD= 4 3AB ，AD =4，ADC=90， tanACD= 43 34 3 AD CD , ACD=30， 设 MP=x，则 NP=4-x， MC= 3MP=3x，DM=4 3-3x=3(4-x)， PDM=EPN，PMD=PNE=90， PDMEPN， DP PE = 3(4) 4 DMx PNx = 3， 故答案为： 3； (2)成立， 设 NP=a，则 MP=4+a， ACD=30， MC= 3(4+a)， MD= 3(4+a)

25、-43=3a， 由(1)同理得PDM=EPN，PMD=PNE=90， PDMEPN， DP PE = 3 3 MDa NPa ， (3)PM=x， PN=4-x，EN= 3 3 x， 222222 34 (4)()816 33 PEPNENxxxx ， 2 4 816 3 PExx ， 2 4 3816 3 PDxx ， 矩形 PEFD 的面积为 y= 22 44 3 3(816)(3)4 3 33 PE PDxxx ， 4 3 3 0， 当 x=3 时，y 有最小值为4 3. 【点睛】 此题考查矩形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定及性质，勾股定理，利用面积公式得到函数关系式及最小值，解

26、答 此题中运用类比思想. 10(2020 内蒙古中考真题)如图，在Rt ABC中，90ACB，4,2ACBC，Rt ABC绕点 C 按顺时针方 向旋转得到RtABC ，AC与AB交于点 D (1)如图，当/ABAC 时，过点 B 作BEAC，垂足为 E，连接AE 求证：ADBD； 求 ACE ABE S S 的值； (2)如图，当ACAB时，过点 D 作/ /DMAB ，交BC 于点 N，交AC的延长线于点 M，求 DN NM 的值 【答案】 (1)Rt ABC绕点 C 按顺时针方向旋转得到RtABC ， A=A ， /ABAC ACA =A ， ACA =A， AD=CD， ACD+BCD=

27、90，A+ABC=90 BCD=ABC BD=CD AD=BD， BCD=ABC=CEM，ACB=BEC=EMC=90 ACBBECCME，BC=2，AC=4 21 42 BCECEM ACBCCM 设 CE=x，在 Rt CEB 中，BE=2x，BC=2， 则 2 22 22xx 解得 2 5 5 x 即 2 5 5 EC ，BE= 4 5 5 同理可得：EM= 2 5 S BEC= 112 54 54 22555 EC BE S ACE= 1124 4 2255 AC EM S ABC= 11 4 24 22 AC BC S ABE= S ABC-S ACE-S BEC= 4412 4 5

28、55 ACE ABE S S = 4 1 5 12 3 5 (2)在 Rt ABC 中，BC=2，AC=4， 则 AB= 22 2 +4 =2 5 11 2 4=2 5 22 CD 解得：CD= 4 5 5 A=BCD，ADC=BDC ADCBDC CD2=BD AD 即 2 4 5= 2 5- 5 ADAD 解得：AD= 8 5 5 DMA B A =CDM，A CB =DAN CDNCA B CNCD B CA C ，即 4 5 2 5 25 45 CD CNB C A C ADC=A CB =90 CNAB 2 5 1 5 = 8 4 5 8 MNCN DMAD 4 DM NM 3 DN

29、 NM 【点睛】 本题考查是三角形旋转综合题，涉及到旋转的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理、三角 形的面积、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握并灵活运用这些知识是解题的关键 11 (2020 江西中考真题)某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后， 针对图 1 中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形， 它们的面积 1 S， 2 S， 3 S之间的关系问题”进行了以下探究： 类比探究 (1)如图 2， 在Rt ABC中，BC为斜边， 分别以,AB AC BC为斜边向外侧作RtABD，RtACE，Rt BCF， 若123 ，则面积 1 S， 2 S， 3 S之间的关系式

30、为 ； 推广验证 (2)如图 3，在Rt ABC中，BC为斜边，分别以,AB AC BC为边向外侧作任意ABD，ACE，BCF ，满 足123 ，DEF ，则(1)中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说 明理由； 拓展应用 (3)如图 4， 在五边形ABCDE中， 105AEC ， 90ABC ， 2 3AB ，2DE ， 点P在AE上， 30ABP ， 2PE ，求五边形ABCDE的面积 【答案】 (1)ABC 是直角三角形， 222 ABACBC ， ABD、 ACE、 BCF 均为直角三角形，且123 ， RtABDRtACERt BCF， 2 1 2 3 SA

31、B SBC ， 2 2 2 3 SAC SBC ， 22222 1212 2222 333 1 SSSSACABACABBC SSSBCBCBCBC 312 SSS得证 (2)成立，理由如下： ABC 是直角三角形， 222 ABACBC ， 在 ABD、 ACE、 BCF 中，123 ，DEF ， ABDACEBCF， 2 1 2 3 SAB SBC ， 2 2 2 3 SAC SBC ， 22222 1212 2222 333 1 SSSSACABACABBC SSSBCBCBCBC 312 SSS得证 (3)过点 A 作 AHBP 于点 H，连接 PD，BD， 30ABH ， 2 3AB

32、 ， 3AH ，3BH ， 60BAH 105BAP ， 45HAP ， PH=AH= 3， 6AP ， 33BPBHPH ， (33)33 33 222 ABP BP AH S ， 2PE ，ED=2， 23 36 PE AP ， 23 32 3 ED AB ， PEED APAB ， 105EBAP ， ABPEDP， 45EPDAPB ， 3 3 PDPE BPAP ， 90BPD ， 13PD ， 2 33 33 131 () 3232 PEDABP SS ， (33) (13) 32 3 22 BPD BP PD S ， 3 tan 3 PD PBD BP ， 30PBD 90ABC

33、 ，30ABP 30DBC 105C ABPEDPCBD 33 313 22 3 22 BCDABPEPD SSS 33 313 (22 3)(32 3)6 37 22 BCDABPEPDBPDABCD SSSSS 四边形 故最后 答案为6 3 7 【点睛】 (1)(2)主要考查了相似三角形的性质，若两三角形相似，则有面积的比值为边长的平方，根据此性质找到面积与边长的关系即 可；(3)主要考查了不规则四边形面积的计算以及(2)的结论，其中合理正确利用前面得出的结论是解题的关键 12(2020 湖南湘潭市 中考真题)阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心 (1)特例感知：

34、如图(一)，已知边长为 2 的等边ABC的重心为点O，求OBC与ABC的面积 (2)性质探究： 如图(二)， 已知ABC的重心为点O， 请判断 OD OA 、 OBC ABC S S 是否都为定值？如果是， 分别求出这两个定值： 如果不是，请说明理由 (3)性质应用：如图(三)，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，连接BE交对角线AC于点M 若正方形ABCD的边长为 4，求EM的长度； 若1 CME S，求正方形ABCD的面积 【答案】 (1)连接 DE，如图， 点 O 是ABC的重心， AD ，BE是BC，AC 边上的中线， DE ， 为BC，AC边上的中点， DE 为ABC的中位线， /

35、DEAB ， 1 2 DEAB， ODEOAB ， 1 2 ODDE OAAB ， 2AB ，1BD 3AD ， 3 3 OD ， 1133 2 2233 OBC SBCOD 11 233 22 ABC SBC AD ； (2)由(1)可知， 1 2 OD OA 是定值； 1 1 2 1 3 2 OBC OABC BC OD SOD SAD BC AD 是定值； (3)四边形 ABCD 是正方形， / /CDAB， 4ABBCCD ， CMEAMB EMCE BMAB E为 CD 的中点， 1 2 2 CECD 22 2 5BEBCCE 1 2 EM BM 1 3 EM BE ，即 2 5 3

36、 EM ； 1 CME S，且 1 2 ME BM 2 BMC S， 1 2 ME BM ， 2 1 4 CME AMB SME SBM ， 4S4 AMBCME S ， 246 ABCBMCABM SSS， 又 ADCABC SS 6 ADC S 正方形 ABCD 的面积为：6+6=12 【点睛】 本题考查的是三角形重心的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质，解答此题的关键是灵活 运用三角形重心的性质 13(2020 浙江衢州市 中考真题)(性质探究) 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，AE 平分BAC，交 BC 于点 E作 DFAE 于

37、点 H，分别交 AB，AC 于点 F，G (1)判断 AFG 的形状并说明理由 (2)求证：BF=2OG (迁移应用) (3)记 DGO 的面积为 S1， DBF 的面积为 S2，当 1 2 1 3 S S 时，求 AD AB 的值 (拓展延伸) (4)若 DF 交射线 AB 于点 F，(性质探究)中的其余条件不变，连结 EF，当 BEF 的面积为矩形 ABCD 面积的 1 10 时，请直接写 出 tanBAE 的值 【答案】 (1)解：如图 1 中， AFG 是等腰三角形 理由：AE 平分BAC， 1=2， DFAE， AHF=AHG=90， AH=AH， AHFAHG(ASA)， AF=A

38、G， AFG 是等腰三角形 (2)证明：如图 2 中，过点 O 作 OLAB 交 DF 于 L，则AFG=OLG AF=AG， AFG=AGF， AGF=OGL， OGL=OLG， OG=OL， OLAB， DLODFB， = OLDO BFBD ， 四边形 ABCD 是矩形， BD=2OD， BF=2OL， BF=2OG (3)解：如图 3 中，过点 D 作 DKAC 于 K，则DKA=CDA=90， DAK=CAD， ADKACD， = DKCD ADAC ， S1= 1 2 OGDK，S2= 1 2 BFAD， 又BF=2OG， 1 2 1 = 3 S S ， 2 = 3 DKCD AD

39、AC ，设 CD=2x，AC=3x，则 AD= 2 5x， 5 = 2 ADAD ABCD (4)解：设 OG=a，AG=k 如图 4 中，连接 EF，当点 F 在线段 AB 上时，点 G 在 OA 上 AF=AG，BF=2OG， AF=AG=k，BF=2a， AB=k+2a，AC=2(k+a)， AD2=AC2CD2=2(k+a)2(k+2a)2=3k2+4ka， ABE=DAF=90，BAE=ADF， ABEDAF， = BEAE ABAD ， = 2 BEk kaAD ， 2 = k ka BE AD ， 由题意： 21 102 2 k ka a AD =AD(k+2a)， AD2=10

40、ka， 即 10ka=3k2+4ka， k=2a， AD= 2 5a， BE= 2k ka AD = 4 5 5 a ，AB=4a， tanBAE= 5 5 BE AB 如图 5 中，当点 F 在 AB 的延长线上时，点 G 在线段 OC 上，连接 EF AF=AG，BF=2OG， AF=AG=k，BF=2a， AB=k2a，AC=2(ka)， AD2=AC2CD2=2(ka)2(k2a)2=3k24ka， ABE=DAF=90，BAE=ADF， ABEDAF， BEAE ABAD ， 2 BEk kaAD ， 2k ka BE AD ， 由题意： 21 102 2 k ka a AD =AD

41、(k2a)， AD2=10ka， 即 10ka=3k24ka， k= 14 3 a， AD= 2 105 3 a， 28 105 45 k ka BEa AD ，AB= 8 3 a， tanBAE= 105 15 BE AB ， 综上所述，tanBAE 的值为 5 5 或 105 15 【点睛】 本题是一道综合题，主要涉及到等腰三角形的判定及其性质、全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理、相似三角形的 判定及其性质、勾股定理的应用等知识点，解题的关键是综合运用所学到的相关知识 14(2020 浙江中考真题)已知在 ABC 中，ACBCm，D 是 AB 边上的一点，将B 沿着过点 D 的直线折

42、叠，使点 B 落在 AC 边的点 P 处(不与点 A，C 重合)，折痕交 BC 边于点 E (1)特例感知 如图 1，若C60，D 是 AB 的中点，求证：AP 1 2 AC； (2)变式求异 如图 2，若C90，m6 2，AD7，过点 D 作 DHAC 于点 H，求 DH 和 AP 的长； (3)化归探究 如图 3，若 m10，AB12，且当 ADa 时，存在两次不同的折叠，使点 B 落在 AC 边上两个不同的位置，请 直接写出 a 的取值范围 【答案】 (1)证明：ACBC，C60， ABC 是等边三角形， ACAB，A60， 由题意，得 DBDP，DADB， DADP， ADP 使得等边

43、三角形， APAD 1 2 AB 1 2 AC (2)解：ACBC6 2，C90， AB 22 ACBC 22 (6 2)(6 2) 12， DHAC， DHBC， ADHABC， DH BC AD AB ， AD7， 6 2 DH 7 12 ， DH 7 2 2 ， 将B 沿过点 D 的直线折叠， 情形一：当点 B 落在线段 CH 上的点 P1处时，如图 21 中， AB12， DP1DBABAD5， HP1 22 1 DPDH 2 2 7 2 5 2 2 2 ， AP1AH+HP14 2， 情形二：当点 B 落在线段 AH 上的点 P2处时，如图 22 中， 同法可证 HP2 2 2 ，

44、AP2AHHP23 2， 综上所述，满足条件的 AP 的值为 4 2或 32 (3)如图 3 中，过点 C 作 CHAB 于 H，过点 D 作 DPAC 于 P CACB，CHAB， AHHB6， CH 22 ACAH 22 106 8， 当 DBDP 时，设 BDPDx，则 AD12x， tanA CH AC PD AD ， 8 10 12 x x ， x16 3 ， ADABBD 20 3 ， 观察图形可知当 6a 20 3 时，存在两次不同的折叠，使点 B 落在 AC 边上两个不同的位置 【点睛】 本题考查等边三角形性质，勾股定理，相似三角形性质以及三角形函数的知识点，知识点的灵活运用，

45、以及通过对图形的理 解分析出结果的所以可能性是解决此类问题的关键所在 15(2020 河北中考真题)如图 1 和图 2，在ABC中，ABAC，8BC ， 3 tan 4 C 点K在AC边上，点M， N分别在AB，BC上， 且2AMCN 点P从点M出发沿折线MBBN匀速移动， 到达点N时停止； 而点Q 在AC边上随P移动，且始终保持APQB (1)当点P在BC上时，求点P与点A的最短距离； (2)若点P在MB上，且PQ将ABC的面积分成上下 4：5 两部分时，求MP的长； (3)设点P移动的路程为x，当03x及39x时，分别求点P到直线AC的距离(用含x的式子表示)； (4)在点P处设计并安装一

46、扫描器，按定角APQ扫描 APQ区域(含边界)，扫描器随点P从M到B再到N共用时 36 秒若 9 4 AK ，请直接 写出点K被扫描到的总时长 【答案】 (1)当点P在BC上时，PABC 时 PA 最小， AB=AC， ABC 为等腰三角形， PAmin=tanC 2 BC = 3 4 4=3； (2)过 A 点向 BC 边作垂线，交 BC 于点 E， S上=S APQ， S下=S四边形BPQC， APQB ， PQBC， APQABC， APAQPQ ABACBC ， 2 APQ ABC S AP SAB ， 当 S S 上 下 = 4 5 时， 2 4 = 9 APQ ABC S AP SAB ， 2 3 AP AB ， AE= 2 BC