专题03 利用分类讨论思想解决多解题 (教师版含解析) -2021年中考数学复习重难点与压轴题型专项训练
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1、备战备战 2021 年中考复习重难点与压轴题型专项训练年中考复习重难点与压轴题型专项训练 专题 03 利用分类讨论思想解决多解题 【典型例题】 1(2020 江西九年级三模)在ABC 中, A=30 ,B=90 ,AC=8,点 D 在边 AB, 且 BD= 3,点 P 是 ABC 边上的一个动点,若 AP=2PD 时,则 PD 的长是_ 【答案】3 或 3或15 【分析】 根据直角三角形的性质求出 BC,勾股定理求出 AB,根据直角三角形的性质列式计算即可 【详解】 解:如图 B=90 ,A=30 , BC= 1 2 AC= 1 2 8=4, 由勾股定理得,AB= 2222 844 3ACBC
2、 4 333 3AD 当点 P 在 AC 上时,A=30 ,AP=2PD, ADP=90 , 则 AD2+PD2=AP2,即(3 3) 2=(2PD)2-PD2, 解得,PD=3, 当点 P 在 AB 上时,AP=2PD,AD=3 3, PD= 3, 当点 P 在 BC 上时,AP=2PD, 设 PD=x,则 AP=2x, 由勾股定理得,BP2=PD2-BD2=x2-3, 2 2 2 24 33xx 解得,x= 15 故答案为:3 或 3或15. 【点睛】 本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质,如果直角三角形的两条直角边长分别是 a,b,斜边长为 c, 那么 a2+b2=c2 【专题训练】
3、一、一、填空题填空题 1(2020 江西九年级其他模拟)在 RtABC 中,AC=3,BC=4,点 P 是斜边 AB 上一点,若PAC 是等腰三角 形,则线段 AP 的长可能为_ 【答案】3,2.5 或 18 5 【分析】 分三种情况讨论,再利用等腰三角形的性质进行计算即可 【详解】 若PAC 是等腰三角形,则分以下三种情况: PA=AC=3; AP=PC 时,则A=ACP, A+B=90 ,ACP+BCP=90 , B=BCP, PC=PB, AP=PB=PC, P 为 AB 的中点, 在 RtABC 中, 22 345AB , AP=2.5; PC=AC 时,过 C 作 CDAB 于 D,
4、则 AP=2AD, 在 RtACD 中,AD=ACcosA, AP=2ACcosA, 又在 RtABC 中, 3 cos 5 AC A AB , 318 2 3 55 AP , 综上所述,AP 的长为 3,2.5 或 18 5 故答案为:3,2.5 或 18 5 【点睛】 本题考查等腰三角形,熟练应用等腰三角形的性质及锐角三角函数是解题关键 2 (2020 江西九年级其他模拟)在矩形ABCD中, 边12ABADE,是边AD的中点, 点P在射线BD 上运动,若BEP为等腰三角形,则线段DP的长度等于_ 【答案】 52 或 2 5 3 或 5 5 【分析】 先根据矩形的性质及中点的定义得出BAD=
5、90 ,AE=DE=1,那么ABE 是等腰直角三角形,BE= 2AB= 2再分三种情况讨论:BP=BE;PB=PE;EB=EP 【详解】 矩形 ABCD 中,AB=1,AD=2,E 是 AD 中点, BAD=90 ,AE=DE=1,BD= 2222 125ABAD , ABE 是等腰直角三角形, BE= 2AB=2, 若BEP为等腰三角形,则分:三种情况: 当BPBE时,显然 BP= 2, DP= 52 ; 当 PB=PE 时,如图,连结 AP, PB=PE,AB=AE, AP 垂直平分 BE, ABE 是等腰直角三角形, BAP=EAP=45 , 作 PMAB 于 M,PNAD 于 N, P
6、M= PN, 设 PM=x, ABDABPAPD SSS , 111 1 212 222 xx , 解得: 2 3 x , PM=PN= 2 3 , PNAD, BND=90 , BAD=90 , PNAB, NPD=ABD=90 , DP= 2 2 5 3 1 cosNPDcosABD3 5 PNPN ; 当EBEP时, 如图,过点A作AFBD于点F,过点E作EGBD于点G, 在Rt ABF中, 22 5 sin1= 55 AFABABF , AE=ED,EGAF, 15 25 EGAF, 在Rt BEG中, 5 2 5 BEEG, 2222 53 5 ( 2)() 55 BGBEEG ,
7、EB=EP,EGBP, 6 5 2 5 BPBG, 6 55 5 55 DPBPBD 综上所述,线段 DP 的长度等于 52 或 2 5 3 或 5 5 故答案为: 52 或 2 5 3 或 5 5 【点睛】 本题考查了勾股定理的应用,矩形的性质,等腰直角三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,解直角三 角形的应用等知识,综合性较强,有一定难度进行分类讨论与数形结合是解题的关键 3(2020 江西九年级二模)已知矩形 AOBC 的边 AO、OB 分别在 y 轴、x 轴正半轴上,点 C 的坐标为(8,6), 点 E 是 x 轴上任意一点,连接 EC,交 AB 所在直线于点 F,当ACF 为等腰三角
8、形时,EF 的长为_ 【答案】5 或 2 10 5 或 7 4 【分析】 ACF 是等腰三角形,需要分三种情况进行讨论求解. 【详解】 解:ACF 为等腰三角形有三种情况: 如图,当 AFCF 时,点 E 与点 O 重合, 由题意得 OB8,BC6, 由勾股定理得 OC10, 四边形 AOBC 为矩形, EF5; 如图,当 AFAC8 时, 由可知 OC10, 四边形 AOBC 为矩形, ABOC10,ACOB, AFCBFE, AF BF AC BE CF EF , BEBF1082, 在 RtBCE 中,由勾股定理得:CE 22 2 +6 2 10, AF BF CF EF 4, EF 1
9、 5 CE 2 10 5 ; 如图,当 CFAC8 时,过点 C 作 CDAF 于点 D, ADDF, AC8,BC6,AB10, CD 86 10 24 5 , 在 RtACD 中,由勾股定理得:AD 22 24 8 -() 5 32 5 , BDABAD10 32 5 18 5 ,DFAD 32 5 ,AF 64 5 ,BFDFBD 14 5 , ACOE, AFCBFE, BF AF BE AC , 14 5 64 5 BE 8 , BE 7 4 , CFAC, EFBE, EF 7 4 综上所述,EF 的长为 5 或 2 10 5 或 7 4 故答案为:5 或 2 10 5 或 7 4
10、 4(2020 江西九年级一模)已知O的半径为2,AB是O的弦,点P在O上,2 3AB 若点P到 直线AB的距离为1,则PAB的度数为_ 【答案】15,30或105 【分析】 分三种情况:当 PCAB 交 AB 延长线上时,当 AB 垂直平分 OP 时,当点 C 在 BA 延长线上时,利用三角 函数,平行四边形的性质分别求出PAB的度数. 【详解】 如图 1, 当 PCAB 交 AB 延长线上时,过点 O 作 OEAB 于 E, 2 3AB , AE= 3, OA=2, cosOAE= 3 2 AE OA , OAE=30 , OE=1, PC=1,OEAB,PCAB, PC=OE,PCOE,
11、 四边形 PCEO 是平行四边形, OPAC, OPA=PAB, OA=OP, OAP=OPA=PAB, PAB=15 ; 如图 2,当 AB 垂直平分 OP 时, OP=2,PC=1, OA=2,OC=1, BAO=30 , AOC=60 , OA=OP, OAP=OPA=60 , ACOP, PAB=30 ; 如图 3,当点 C 在 BA 延长线上时,可知四边形 POEC 是平行四边形, OPAB, AOP=OAB=30 , OA=OP, PAO=75 , PAB=PAO+OAB=105 , 故答案为:15,30或105. 【点睛】 此题考查圆的垂径定理,平行四边形的判定及性质,等边三角形
12、的判定及性质,等腰三角形的性质,锐角 三角函数. 5 (2019 江西中考模拟)RtABC 中, ABC=90 , AB=3, BC=4, 过点 B 的直线把ABC 分割成两个三角形, 使其中只有一个是等腰三角形,则这个等腰三角形的面积是_ 【答案】3.6 或 4.32 或 4.8 【解析】 【分析】在 RtABC 中,通过解直角三角形可得出 AC=5、SABC=6,找出所有可能的分割方法,并求出剪出 的等腰三角形的面积即可 【详解】在 RtABC 中,ACB=90 ,AB=3,BC=4, AB= 22 ABBC =5,SABC= 1 2 ABBC=6 沿过点 B 的直线把ABC 分割成两个三
13、角形,使其中只有一个是等腰三角形,有三种情况: 当 AB=AP=3 时,如图 1 所示, S等腰ABP= AP AC SABC= 3 5 6=3.6; 当 AB=BP=3,且 P 在 AC 上时,如图 2 所示, 作ABC 的高 BD,则 BD= 3 4 2.4 5 AB BC AC , AD=DP= 22 32.4 =1.8, AP=2AD=3.6, S等腰ABP= AP AC SABC= 3.6 5 6=4.32; 当 CB=CP=4 时,如图 3 所示, S等腰BCP= CP AC SABC= 4 5 6=4.8; 综上所述:等腰三角形的面积可能为 3.6 或 4.32 或 4.8, 故
14、答案为 3.6 或 4.32 或 4.8 【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形的面积,找出所有可能的分割方法,并求出 剪出的等腰三角形的面积是解题的关键 6(2019 江西)有一张三角形纸片 ABC,A80 ,点 D 是 AC 边上一点,沿 BD 方向剪开三角形纸片后, 发现所得两张纸片均为等腰三角形,则C 的度数可以是_ 【答案】25 或 40 或 10 【解析】 【分析】分 AB=AD 或 AB=BD 或 AD=BD 三种情况根据等腰三角形的性质求出ADB,再求出BDC,然后 根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解 【详解】由题意知ABD 与DBC 均为等腰三角形, 对
15、于ABD 可能有 AB=BD,此时ADB=A=80 , BDC=180 -ADB=180 -80 =100 , C= 1 2 (180 -100 )=40 , AB=AD,此时ADB= 1 2 (180 -A)= 1 2 (180 -80 )=50 , BDC=180 -ADB=180 -50 =130 , C= 1 2 (180 -130 )=25 , AD=BD,此时,ADB=180 -2 80 =20 , BDC=180 -ADB=180 -20 =160 , C= 1 2 (180 -160 )=10 , 综上所述,C 度数可以为 25 或 40 或 10 故答案为 25 或 40 或
16、 10 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,难点在于分情况讨论 7(2020 江西九年级二模)菱形 ABCD 中,ABC=30 ,ACBD,点 E 在对角线 BD 上,AED=45 ,P 是 菱形上一点,若AEP 是以 AE 为直角边为直角三角形,则 tanAPE 的值为_ 【答案】1 或3或 33 2 【分析】 本题以菱形为题目背景,综合考查菱形的性质,并以动点问题丰富题干,考查分类讨论方式,结合题干信 息特殊角度,可通过做辅助线构造特殊直角三角形以满足求解三角函数正切值的前提,继而通过图形性质 求解边长比例 【详解】 菱形 ABCD,ABC=30 ,ACBD BAC=75 连接 CE,并延
17、长 CE 交 AB 于点 P1,如下图所示 当AED=45 时,BAE=30 ,AEC 与AEP1为直角三角形 在AEP1中,tanAP1E=tan60 = 3 在AEC(即AEP2,此时点 P2与点 C 重合)中,tanAP2E=tan45 =1 在AEP3中,EAP3=90 ,此时 CP1AP3 设 OA=a,那么 EC=AE= 2a,EP1= 6 3 a 所以 AP3=CP1= 6 3 a + 2a,tanAP3E= 3 AE AP = 2a ( 6 3 a + 2a)= 333 233 综上,tanAPE 的值为 1 或3或 33 2 【点睛】 本题考点极其丰富, 利用分类讨论分析题干
18、要保证不重不漏, 出现特殊角度时需要辅助线构造特殊三角形, 巧妙利用特殊三边比例关系解答本题 8(2020 江西九年级二模)菱形ABCD中,30ABC,点E在对角线BD上,45AED,P 是菱 形上一点,若APEV是以AE为直角边的直角三角形,则tan APE的值为_ 【答案】 3或 1 或 33 2 【分析】 分三种情况:(1)当点 P 在 AB 边上时,如图 1,利用菱形的性质和三角形的外角性质可得APE=60 ,进而 可得结果;(2)当点 P 在 BC 边上时,如图 2,利用菱形的性质和 ASA 可证ABEPBE,进一步即可推出 EAC=APE=45 ,于是可得结果;(3)当点 P 在
19、CD 边上时,设 AP 交 BD 于点 G,连接 CE、CG、AC, 如图 3,利用菱形的性质和轴对称的性质可得四边形 AECG 是正方形,根据菱形的性质易得APD 是底角为 30 的等腰三角形,进而可得APC=60 ,即得GCP=30 ,在 RtGCP 中,设 GP=a,则3 GCa ,则 AE、AP 可用含 a 的代数式表示,于是可得答案 【详解】 解:分三种情况: (1)当点 P 在 AB 边上时,如图 1,四边形 ABCD 是菱形,30ABC, ABD=CBD=15 , 45AED, BAE=30 , AEP=90 , APE=60 , tantan603APE; (2)当点 P 在
20、BC 边上时,如图 2,AEP=90 ,45AED 45PED,AEB=PEB=135 , 又BE=BE,ABD=CBD, ABEPBE(ASA), BA=BP,EA=EP, P、C 两点重合,EAC=APE=45 , tantan451APE; (3)当点 P 在 CD 边上时,设 AP 交 BD 于点 G,连接 CE、CG、AC,如图 3, 四边形 ABCD 是菱形,BD 垂直平分 AC, EA=EC,GA=GC,CED=AED=45 , EAP=90 ,AGE=AED=45 , AE=AG, AE=EC=CG=GA, 四边形 AECG 是正方形, ADBC,30ABC,BAD=150 ,
21、 BAE=30 ,EAP=90 ,DAP=30 , APC=60 ,GCP=30 , 在 RtGCP 中,设 GP=a,则3GCa, 3AEAGa,31APa 333 tan 2 31 AEa APE AP a , 综上,tan 3APE 或 1 或 33 2 故答案为: 3或 1 或 33 2 【点睛】 本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质、正方形的判定和性质以及解直角三角形的有关知识, 综合性强,具有一定的难度,全面分类、正确添加辅助线、熟练掌握菱形的性质和正方形的判定和性质是 解题的关键 9(2020 江西九年级一模)菱形 ABCD 中,B60 ,AB4,点 E 在 BC 上,C
22、E2 3,若点 P 是菱形上 异于点 E 的另一点,CECP,则 EP 的长为_ 【答案】6 或 2 6或 326 【解析】 【分析】 连接 EP 交 AC 于点 H,依据菱形的性质可得到ECH=PCH=60 ,然后依据 SAS 可证明ECHPCH, 则EHC=PHC=90 ,最后依据 PE=EH 求解即可. 【详解】 解:如图所示:连接 EP 交 AC 于点 H 菱形 ABCD 中,B60 , BCD120 ,ECHPCH60 在ECH 和PCH 中 ECPC ECHPCH CHCH , ECHPCH EHCPHC90 ,EHPH OC= 1 2 EC= 1 2 33 2 . EH=3, E
23、P2EH6 如图 2 所示:当 P 在 AD 边上时,ECP 为等腰直角三角形,则2,2 6EPEC 当 P在 AB 边上时,过点 P作 PFBC PC2 3,BC4,B60 , PCAB BCP30 3 2 33,3,2 33 2 FCP FEF 22 (2 33)( 3)3 26EP 故答案为 6 或 2 6或 326 【点睛】 本题主要考查的是菱形的性质,熟练掌握菱形的性质是解题的关键. 10(2018 江西中考真题)在正方形ABCD中,AB=6,连接AC,BD,P是正方形边上或对角线上一点, 若PD=2AP,则AP的长为_ . 【答案】2,2 3 , 142 【分析】 根据题意分情况画
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