2021年陕西省西安市碑林区中考数学四模试卷（含答案解析）

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1、2021 年陕西省西安市碑林区中考数学四模试卷年陕西省西安市碑林区中考数学四模试卷 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，计分，计 30 分，每小题只有一个选项是符合题意的）分，每小题只有一个选项是符合题意的） 164 的立方根是（ ） A8 B8 C4 D4 2如图的几何体是由一个正方体切去一个小正方体形成的，它的左视图是（ ） A B C D 3如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若16510，则2 的度数为（ ） A6510 B3450 C3410 D2450 4 已知点 A （x1， y1） ， 点 B （x2， y2） 都在正比例函数 yx 的图

2、象上 若 x2x13， 则 y2y1的值为 （ ） A B C3 D6 5下列计算正确的是（ ） A2a2+a33a5 B （b2）5b10 C （2ab）2（ab）2ab D （1ab）212ab+a2b2 6如图，在ABC 中，ABAC，BC8，已如 AD 是ABC 的角平分线，BE 是ABC 的高线，且点 F 是 AB 的中点连接 DF、DE、FE，若DEF 周长为 10，则 cosC 为（ ） A B C D 7 把直线 yx+4 向下移 n 个单位长度后， 与直线 yx+3 的交点在第二象限， 则 n 的取值范围是 （ ） A1n B1n10 Cn10 Dn7 8如图，已知菱形 AB

3、CD 中，过 AD 中点 E 作 EFBD，交对角线 BD 于点 M，交 BC 的延长线于点 F连 接 DF，若 CF2，BD4，则 DF 的长是（ ） A4 B4 C2 D5 9如图，AB 是O 的直径，C、D 是O 上的两点，且点 C 为弧 BAD 的中点，连接 CD、CB、OD，CD 与 AB 交于点 F若AOD100，则ABC 的度数为（ ） A15 B20 C25 D30 10已知二次函数 y（xt）2+5（t 为常数） ，在自变量 x 的值满足 2x4 的情况下，与其对应的函数 值 y 的最大值为4，则 t 的值为（ ） A1 B1 或 1 C1 或 5 D1 或 7 二、填空题（

4、共二、填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 3 分，计分，计 12 分）分） 11分解因式：4xy24x2y+x3 12如果一个正多边形的中心角为 72，则该正多边形的对角线条数为 13如图，在平面直角坐标系中，OA 是第四象限的角平分线，点 C 在反比例函数 y （x0）的图象上， OAC90， AB 平分OAC 且交 y 轴于点 B， CDAB 于点 D 若ACD 的面积比AOB 的面积少 5， 则 k 的值为 14如图，ABC 的面积是 21，点 D、E、F 分别在边 BC、AB、AC 上，且 AE2，EB4若ABD 与 四边形 DFEB 面积相等，则ADC 的面积 三、解答题（共三

5、、解答题（共 11 小题，计小题，计 78 分，解答应写出过程）分，解答应写出过程） 15 （5 分）计算： （）（） 1+|1 |2sin60 16 （5 分）解分式方程：1 17 （5 分）如图，已知ABC 中，B90，sinC，点 D 为 AC 边上一点，请用尺规过点 B 作一条 直线 BD，使 SDCBSABD （保留作图痕迹，不写作法） 18 （5 分）如图，在ABCD 中，点 F 在边 BC 上，点 E 在边 CB 的延长线上，且EABFDC，求证： EFAD 19 （7 分）近期，社区团购 App 开始流行，除了团购的优惠力度非常高之外，购买商品也是非常方便手 机上一键下单，一键

6、提货小明同学对某小区居民了解和使用社区团购 App 的情况进行了问卷调查在 这次问卷调查中发现，在被调查的居民中有 20 人对于社区团购 App 不了解设被调查居民中使用社区 团购 App 的每位居民最近一周下单总金额为 m 元将下单金额分为四个类别：A：0m70；B：70m 140；C：140m210；D：m210根据调查结果得到如下不完整的统计图请根据以上信息解答 下列问题： （1）本次被调查居民共 人，其中使用过程社区团购 App 的有 人 （2）补全条形统计图； （3）如果这个小区大约有 1600 名居民，请估算出使用社区团购 App 最近一周下单总金额不超过 140 元 的有多少人？

7、 20 （7 分）奇奇，妙妙等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量某景区景观塔的高 EF因景观塔前 有一个山坡，故底部 DE 间的距离不易测得经过研究，他们使用如下测量方法：如图，首先测得坡角 MDE22，DM10 米奇奇在塔顶 F 处用测角仪测得山坡上点 M 的俯角为 45 度，然后，妙妙站 在段 B 处同伴在妙妙和观景塔之间的直线 BE 上放一平面镜在镜面上做了一个标记，这个标记在直 线 BE 上的对应位置为点 C，移动平面镜，此时妙妙在平面镜内可以看到塔顶点 F 在镜面中的像与镜面 上的标记重合这时，测得妙妙眼睛与地面的高度 AB1.6 米BC4.8 米，CD16.4 米已知 AB、

8、 BEEFBE点 B、C、D、E 共线其中，测量时使用的平面镜的厚度忽略不计请你根据题中提供 的相关信息，求出景观塔的高 EF 的长度 （参考数据：sin220.37，cos220.93，tan220.40 ） 21 （7 分）儿童用药的药量常常按照他们的体重来计算已知某种药品，体重 10kg 的儿童，每次正常服用 量为 120mg，体重 15kg 的儿童每次正常服用量为 170mg设儿童体重为 x（kg） 每次正常服用量为 y （mg） 当 0 x50 时，y 是 x 的一次函数现实中，该药品每次实际服用量可以比每次正常服用量略 高一些，但不能超过正常服用量的 1.2 倍，否则会对儿童的身体

9、造成较大损害 （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）若该药品的一种包装规格为 300mg/袋，求体重在什么范围的儿童生病时可以一次服下一袋药？ 22 （7 分）在体育活动课时，甲、乙、丙、丁四位同学用排球玩传球游戏游戏规则是：第一次由甲将排 球随机传给乙、丙、丁三人中的某一人第二次规定，每一次传球都是由接到球的人随机传给其他三人 中的某一人 （1）甲第一次传球时，求恰好传给丙的概率； （2）请用画树状图或列表法求第二次传球后，球恰好回到甲手中的概率是多少？ 23 （8 分）如图，AB 为O 的直径，BC 是O 的一条弦，点 D 在O 上，BD 平分ABC， 过点 D 作 EFBC，分

10、别交 BA、BC 的延长线于点 E、F （1）求证：EF 为O 的切线； （2）若 BD4，tanFDB2，求 AE 的长 24 （10 分）如图在平面直角坐标系中，已知抛物线 L：yax2+bx+c（a0）经过 A（4，0） 、B（2，0） 、 C（0，2）三点 （1）求抛物线 L 的函数表达式； （2）记抛物线 L 的顶点为 E，对称轴与 x 轴的交点为 F，点 Q 是 x 轴上任意一点，若抛物线 L与抛物线 L 关于点 Q 中心对称，且抛物线 L的顶点为 E，其对称轴与 x 轴交于点 F，当以 E、F、E、F为顶点的 四边形面积为 9 时，请求出抛物线 L的表达式 25 （12 分）问题

11、探究： （1）如图，已知在ABC 中，BC4，BAC45，则 AB 的最大值是 （2）如图，已知在 RtABC 中，ABC90，ABBC，D 为ABC 内一点，且 AD2，BD 2，CD6，请求出ADB 的度数 问题解决： （3）如图，某户外拓展基地计划在一处空地上修建一个新的拓展游戏区ABC，且 ABACBAC 120，点 A、B、C 分别是三个任务点，点 P 是ABC 内一个打卡点按照设计要求，CP30 米， 打卡点 P 对任务点 A、B 的张角为 120，即APB120为保证游戏效果，需要 A、P 的距离与 B、 P 的距离和尽可能大，试求出 AP+BP 的最大值 2021 年陕西省西安

12、市碑林区中考数学四模试卷年陕西省西安市碑林区中考数学四模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，计分，计 30 分，每小题只有一个选项是符合题意的）分，每小题只有一个选项是符合题意的） 164 的立方根是（ ） A8 B8 C4 D4 【分析】利用立方根定义求解即可 【解答】解：（4）364， 64 的立方根是4 故选：D 2如图的几何体是由一个正方体切去一个小正方体形成的，它的左视图是（ ） A B C D 【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中 【解答】解：从几何体的左边看可得到一

13、个正方形，正方形的右上角处有一个小正方形， 故选：D 3如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若16510，则2 的度数为（ ） A6510 B3450 C3410 D2450 【分析】 根据平行线的性质， 两直线平行， 同位角相等 即可得出316510， 由4 等于 90， 所以2+390，即可得出答案 【解答】解：根据平行线性质可得，如图， 316510， 又490， 2+390， 29039065102450 故选：D 4 已知点 A （x1， y1） ， 点 B （x2， y2） 都在正比例函数 yx 的图象上 若 x2x13， 则 y2y1的值为 （ ） A B C3 D6 【分

14、析】点 A（x1，y1） ，点 B（x2，y2）都在正比例函数 yx 的图象上可以用 y 的式子表示出 x，然 后根据 x2x13，即可得到 y2y1的值 【解答】解：点 A（x1，y1） ，点 B（x2，y2）都在正比例函数 yx 的图象上 y1x1，y2x2， x12y1，x22y2， x2x13， 2y22y13， 解得 y2y1， 故选：A 5下列计算正确的是（ ） A2a2+a33a5 B （b2）5b10 C （2ab）2（ab）2ab D （1ab）212ab+a2b2 【分析】利用整式的运算法则，逐个计算得结论 【解答】解：由于 a2与 a3不是同类项，不能加减，故选项 A 计

15、算错误； （b2）5b10，故选项 B 计算正确； （2ab）2（ab）4ab2ab，故选项 C 计算错误； （1ab）21+2ab+a2b212ab+a2b2，故选项 D 计算错误 故选：B 6如图，在ABC 中，ABAC，BC8，已如 AD 是ABC 的角平分线，BE 是ABC 的高线，且点 F 是 AB 的中点连接 DF、DE、FE，若DEF 周长为 10，则 cosC 为（ ） A B C D 【分析】根据等腰三角形的性质得到 ADBC，BDCDBC4，求得ADB90，根据直角三角 形的性质即可得到结论 【解答】解：ABAC，AD 是ABC 的角平分线， ADBC，BDCDBC4， A

16、DB90， BE 是ABC 的高线， BEABEC90， DEBC4， 点 F 是 AB 的中点， DFAB，EFAB， EFDF， DEF 周长为 10， EF+DF6， EFDF3， ABAC2EF6， cosC 故选：C 7 把直线 yx+4 向下移 n 个单位长度后， 与直线 yx+3 的交点在第二象限， 则 n 的取值范围是 （ ） A1n B1n10 Cn10 Dn7 【分析】直线 yx+4 向下移 n 个单位长度后可得：yx+4n，求出直线 yx+4n 与直线 y x+3 的交点，再由此点在第二象限可得出 n 的取值范围 【解答】解：直线 yx+4 向下移 n 个单位长度后可得：

17、yx+4n， 联立两直线解析式得：， 解得：， 即交点坐标为（，） ， 交点在第二象限， ， 解得：1n10 故选：B 8如图，已知菱形 ABCD 中，过 AD 中点 E 作 EFBD，交对角线 BD 于点 M，交 BC 的延长线于点 F连 接 DF，若 CF2，BD4，则 DF 的长是（ ） A4 B4 C2 D5 【分析】先证明BCD 是等边三角形，可求出 BM 的长，MF 的长，由勾股定理可求解 【解答】解：设 CD 与 EF 的交点为 H， 四边形 ABCD 是菱形， ADCDBC，ADBCDB， 点 E 是 AD 中点， AEDEAD， 在DEM 和DHM 中， ， DEMDHM（A

18、SA） ， DEDH， DHCH， ADBC， DEHCFH， 1， DECF2， AD4CDBC， BF6， BD4， BCCDBD， BCD 是等边三角形， DBC60， BFM30， BMBF3，MFBM3， DM1， DF2， 故选：C 9如图，AB 是O 的直径，C、D 是O 上的两点，且点 C 为弧 BAD 的中点，连接 CD、CB、OD，CD 与 AB 交于点 F若AOD100，则ABC 的度数为（ ） A15 B20 C25 D30 【分析】 连接 BD， 由圆周角定理求出ABD 和DCB 的度数， 由等腰三角形的性质求出DBC 的度数， 则可求出答案 【解答】解：连接 BD，

19、 AOD100， OBDAOD50，BOD180AOD18010080， DCBBOD40， 点 C 为弧 BAD 的中点， DCCB， CDBCBD， CBACBDOBD705020， 故选：B 10已知二次函数 y（xt）2+5（t 为常数） ，在自变量 x 的值满足 2x4 的情况下，与其对应的函数 值 y 的最大值为4，则 t 的值为（ ） A1 B1 或 1 C1 或 5 D1 或 7 【分析】根据题意和二次函数的性质，利用分类讨论的方法可以求得 t 的值，从而可以解答本题 【解答】解：二次函数 y（xt）2+5， 该函数的对称轴是直线 xt，函数图象开口向下，该函数有最大值 5，

20、2x4，与其对应的函数值 y 的最大值为4， 当 t2 时，x2 时，y（2t）2+54，解得 t11，t25（舍去） ； 当 2t4 时，该函数的最大值是 5，与题意不符； 当 t4 时，x4 时，y（4t）2+54，解得 t31（舍去） ，t47； 由上可得，t 的值是1 或 7， 故选：D 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 3 分，计分，计 12 分）分） 11分解因式：4xy24x2y+x3 x（2yx）2 【分析】直接提取公因式 x，再利用完全平方公式分解因式即可 【解答】解：原式x（4y24xy+x2） x（2yx）2 故答案为：x（2yx）2 12如果一

21、个正多边形的中心角为 72，则该正多边形的对角线条数为 5 【分析】一个正多边形的中心角都相等，且所有中心角的和是 360 度，用 360 度除以中心角的度数，就 得到中心角的个数，即多边形的边数，再根据一个多边形有条对角线，即可算出有多少条对角 线 【解答】解：由题意可得： 边数为 360725， 所以这个多边形的对角线条数是（条） ， 故答案为：5 13如图，在平面直角坐标系中，OA 是第四象限的角平分线，点 C 在反比例函数 y （x0）的图象上， OAC90， AB 平分OAC 且交 y 轴于点 B， CDAB 于点 D 若ACD 的面积比AOB 的面积少 5， 则 k 的值为 10

22、【分析】由题意，ABO 和ACD 为等腰直角三角形，面积可以表示；设出点 C 的坐标，用 C 的坐标 表示线段 BD，CF，利用待定系数法可求 【解答】解：延长 CD，交 x 轴于点 F， BOF90，ABOB，CDAB， 四边形 DBOF 为矩形 OBDF，BDOF 设点 C 的坐标为（x，y） ，则 x0，y0 OFx，CFy OA 是第四象限的角平分线，ABOB， AOB 为等腰直角三角形 BAO45，ABOB， OAC90， BAC45 CDAB， ACD 为等腰直角三角形， ADCD， ACD 的面积比AOB 的面积少 5， AB2AD210 （AB+AD） （ABAD）10 即（C

23、D+OB） BD10 CFOF10 （y） x10 xy10 kxy10 故答案为：10 14如图，ABC 的面积是 21，点 D、E、F 分别在边 BC、AB、AC 上，且 AE2，EB4若ABD 与 四边形 DFEB 面积相等，则ADC 的面积 7 【分析】由ABD 与四边形 DFEB 面积相等，可得 SAEGSDFG，从而得到 SAEFSADF，再根据三 角形面积公式得出 SAECSADC，最后由ABC 的面积及 AE，BE 的长利用等高的三角形面积比等于底 边的比来求解 【解答】解：如图，连接 CE，AD 交 EF 于点 G SABDS四边形DFEB， SAEGSDFG， SAEG+S

24、AFGSDFG+SAFG， SAEFSADF， 设ACE 的边 AC 上的高为 h1， SAEFAFh1，SAECACh1， 设ACD 的边 AC 上的高为 h2， SADFAFh2，SADCACh2， SAEFSADF， h1h2， SAECSADC， AE2，EB4， SAECSBECSABC， SABC21， SAEC7， SADC7 故答案为：7 三、解答题（共三、解答题（共 11 小题，计小题，计 78 分，解答应写出过程）分，解答应写出过程） 15 （5 分）计算： （）（） 1+|1 |2sin60 【分析】直接利用二次根式的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简

25、得出答案 【解答】解：原式24+12 24+1 25 16 （5 分）解分式方程：1 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的 解 【解答】解：去分母得：x6+x（x+2）x24， 整理得：x6+x2+2xx24， 解得：x2， 检验：把 x2 代入得： （x+2） （x2）0， 则 x2 是增根，分式方程无解 17 （5 分）如图，已知ABC 中，B90，sinC，点 D 为 AC 边上一点，请用尺规过点 B 作一条 直线 BD，使 SDCBSABD （保留作图痕迹，不写作法） 【分析】利用勾股定理可知，BC，推出 BCAB，作ABC 的

26、角平分线交 AC 于点 D，直线 BD 即为所求作 【解答】解：如图，直线 BD 即为所求作 18 （5 分）如图，在ABCD 中，点 F 在边 BC 上，点 E 在边 CB 的延长线上，且EABFDC，求证： EFAD 【分析】根据平行四边形的性质可得 ABCD，ABCD，进而可得ABEDCF，利用 ASA 定理可证 明BAECDF，进而可得结论 【解答】证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，ABCD， ABEDCF， 在ABE 和DCF 中， ， BAECDF（ASA） ， EFAD 19 （7 分）近期，社区团购 App 开始流行，除了团购的优惠力度非常高之外，购买商品也是非

27、常方便手 机上一键下单，一键提货小明同学对某小区居民了解和使用社区团购 App 的情况进行了问卷调查在 这次问卷调查中发现，在被调查的居民中有 20 人对于社区团购 App 不了解设被调查居民中使用社区 团购 App 的每位居民最近一周下单总金额为 m 元将下单金额分为四个类别：A：0m70；B：70m 140；C：140m210；D：m210根据调查结果得到如下不完整的统计图请根据以上信息解答 下列问题： （1）本次被调查居民共 200 人，其中使用过程社区团购 App 的有 90 人 （2）补全条形统计图； （3）如果这个小区大约有 1600 名居民，请估算出使用社区团购 App 最近一周

28、下单总金额不超过 140 元 的有多少人？ 【分析】 （1）由不了解人数的人数及其所占百分比求解即可得出总人数，总人数乘以使用过的人数所占 百分比即可； （2）用使用过的人数减去 A、C、D 人数求出 B 对应的人数，从而补全图形； （3）用总人数乘以样本中使用过 APP 人数所占百分比，再乘以使用过 APP 人数中不超过 140 元的人数 所占比例即可 【解答】解： （1） 本次被调查居民共 2010%200（人） ， 其中使用过社区团购 App 的有 200（145% 10%）90（人） ， 故答案为：200、90； （2）B 金额的人数为 90（35+10+5）40（人） ， 补全图形如

29、下： （3）估算使用社区团购 App 最近一周下单总金额不超过 140 元的人数为 1600（145%10%） 600（人） 20 （7 分）奇奇，妙妙等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量某景区景观塔的高 EF因景观塔前 有一个山坡，故底部 DE 间的距离不易测得经过研究，他们使用如下测量方法：如图，首先测得坡角 MDE22，DM10 米奇奇在塔顶 F 处用测角仪测得山坡上点 M 的俯角为 45 度，然后，妙妙站 在段 B 处同伴在妙妙和观景塔之间的直线 BE 上放一平面镜在镜面上做了一个标记，这个标记在直 线 BE 上的对应位置为点 C，移动平面镜，此时妙妙在平面镜内可以看到塔顶点 F

30、 在镜面中的像与镜面 上的标记重合这时，测得妙妙眼睛与地面的高度 AB1.6 米BC4.8 米，CD16.4 米已知 AB、 BEEFBE点 B、C、D、E 共线其中，测量时使用的平面镜的厚度忽略不计请你根据题中提供 的相关信息，求出景观塔的高 EF 的长度 （参考数据：sin220.37，cos220.93，tan220.40 ） 【分析】通过作垂线构造直角三角形，利用三角形的边角关系求出 PM、PD，再根据方位角可得 MN FN，再根据平面镜的反射规律可得出ABCFEC，利用相似三角形的性质可得答案 【解答】解：过点 M 作 MNEF，垂足为 M，MPDE，垂足为 P， 在 RtDMP 中

31、，MDE22，DM10， PMDMsin22100.373.7（m）EN， PDDMcos22100.939.3（m） ， 在 RtMNF 中，MFN45， MNFNPE， 设 FNx，则 FEFN+NE（x+3.7）米，CECD+DP+PE16.4+9.3+x（25.7+x）米， 由题意可得，ABCFEC， ， 即， 解得，x12.85， FEFN+NE12.85+3.716.55（米） ， 答：景观塔的高 EF 的高度约为 16.55 米 21 （7 分）儿童用药的药量常常按照他们的体重来计算已知某种药品，体重 10kg 的儿童，每次正常服用 量为 120mg，体重 15kg 的儿童每次正

32、常服用量为 170mg设儿童体重为 x（kg） 每次正常服用量为 y （mg） 当 0 x50 时，y 是 x 的一次函数现实中，该药品每次实际服用量可以比每次正常服用量略 高一些，但不能超过正常服用量的 1.2 倍，否则会对儿童的身体造成较大损害 （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）若该药品的一种包装规格为 300mg/袋，求体重在什么范围的儿童生病时可以一次服下一袋药？ 【分析】（1） 根据体重10kg的儿童， 每次正常服用量为120mg； 体重15kg的儿童每次正常服用量为170mg； 体重在 050kg 范围内时，每次正常服用量 y（mg）是儿童体重 x（kg）的一次函数，

33、可以求得 y 与 x 的 函数关系式，并写出 x 的取值范围； （2）根据题意和（1）中的函数关系式，可以求得儿童的最大和最小体重，从而可以得到体重在什么范 围的儿童生病时可以一次服下一袋药 【解答】解： （1）设 y 与 x 之间的函数关系式为 ykx+b（k0）由题意得， ， 解得， y 与 x 之间的函数关系式是 y10 x+20（0 x50） ； （2）由（1） ，当 y300 时， 30010 x+20， 解得 x28， 当 y250 时， 25010 x+20， 解得 x23， 故 23x28， 故体重在 23x28 范围的儿童生病时可以一次服下一袋药 22 （7 分）在体育活动课

34、时，甲、乙、丙、丁四位同学用排球玩传球游戏游戏规则是：第一次由甲将排 球随机传给乙、丙、丁三人中的某一人第二次规定，每一次传球都是由接到球的人随机传给其他三人 中的某一人 （1）甲第一次传球时，求恰好传给丙的概率； （2）请用画树状图或列表法求第二次传球后，球恰好回到甲手中的概率是多少？ 【分析】 （1）直接利用概率公式求解可得； （2）直接利用树状图法得出所有符合题意情况，进而求出概率 【解答】解： （1）甲第一次传球时，恰好传给丙的概率为； （2）如图所示： ， 由树状图可知，共有 9 种等可能的结果，其中符合要求的结果有 3 种， 第二次传球后，球恰好回到甲手中的的概率为 23 （8 分

35、）如图，AB 为O 的直径，BC 是O 的一条弦，点 D 在O 上，BD 平分ABC， 过点 D 作 EFBC，分别交 BA、BC 的延长线于点 E、F （1）求证：EF 为O 的切线； （2）若 BD4，tanFDB2，求 AE 的长 【分析】 （1）连接 OD，证CBDODB，得 ODBC，再证 EFOD，即可得出结论； （2）连接 AD，证BADFDB，则 tanBADtanFDB2，得 ADBD2，BF2DF，再 由勾股定理得 AB10， BDDF4， 则 ODOAOBAB5， DF4， BF8， 然后证ODE BFE，得，即可求解 【解答】 （1）证明：连接 OD，如图 1 所示：

36、BD 平分ABC， OBDCBD， ODOB， OBDODB， CBDODB， ODBC， EFBC， EFOD， 又OD 是O 的半径， EF 为O 的切线； （2）解：连接 AD，如图 2 所示： AB 为O 的直径， ADB90， BAD+ABD90， EFBC， F90， FDB+CBD90， ABDCBD， BADFDB， tanBADtanFDB2， 2，2， ADBD2，BF2DF， AB10，BDDF4， ODOAOBAB5，DF4，BF8， 由（1）得：ODBC， ODEBFE， ， 即， 解得：AE 24 （10 分）如图在平面直角坐标系中，已知抛物线 L：yax2+bx+

37、c（a0）经过 A（4，0） 、B（2，0） 、 C（0，2）三点 （1）求抛物线 L 的函数表达式； （2）记抛物线 L 的顶点为 E，对称轴与 x 轴的交点为 F，点 Q 是 x 轴上任意一点，若抛物线 L与抛物线 L 关于点 Q 中心对称，且抛物线 L的顶点为 E，其对称轴与 x 轴交于点 F，当以 E、F、E、F为顶点的 四边形面积为 9 时，请求出抛物线 L的表达式 【分析】 （1）根据待定系数法即可求得； （2）根据中心对称的性质求得变形后的顶点坐标，进而即可求得抛物线 L的表达式 【解答】解： （1）抛物线 L：yax2+bx+c（a0）经过 A（4，0） 、B（2，0） 、C（

38、0，2）三点， 设抛物线 L 为 ya（x+4） （x2） ， 把 C（0，2）代入得，28a， 解得 a， y（x+4） （x2） ， 抛物线 L 的函数表达式为 yx2+2； （2）yx2+2（x+1）2， E（1，） ， F（1，0） ， 抛物线 L与抛物线 L 关于点 Q 中心对称， EFEF， 四边形面积为 9， 2FFEF9， FF9， FF4， E（3，）或（5，） ， 抛物线 L的表达式为 y（x3）2+或 y（x5）2+ 25 （12 分）问题探究： （1）如图，已知在ABC 中，BC4，BAC45，则 AB 的最大值是 4 （2）如图，已知在 RtABC 中，ABC90，A

39、BBC，D 为ABC 内一点，且 AD2，BD 2，CD6，请求出ADB 的度数 问题解决： （3）如图，某户外拓展基地计划在一处空地上修建一个新的拓展游戏区ABC，且 ABACBAC 120，点 A、B、C 分别是三个任务点，点 P 是ABC 内一个打卡点按照设计要求，CP30 米， 打卡点 P 对任务点 A、B 的张角为 120，即APB120为保证游戏效果，需要 A、P 的距离与 B、 P 的距离和尽可能大，试求出 AP+BP 的最大值 【分析】 （1）如图中，作ABC 的外接圆O，连接 OA，OB，OC求出 OAOBOC2，可 得结论 （2）如图中，将ABD 绕点 B 顺时针旋转 90

40、，得到CBT，连接 DT利用勾股定理的逆定理证 明CTD90，可得结论 （3）如图中，将ABP 绕点 A 逆时针旋转 120，得到ACK，延长 CK 交 PA 的延长线于 J，作 PJC 的外接圆O，连接 OP，OC，OJ证明 PA+PBJC，求出 CJ 的最大值，可得结论 【解答】解： （1）如图中，作ABC 的外接圆O，连接 OA，OB，OC BOC2BAC90，OBOC， OBC 是等腰直角三角形， BC4， OBOC2， ABOA+OB， AB4， AB 的最大值为 4 故答案为：4 （2）如图中，将ABD 绕点 B 顺时针旋转 90，得到CBT，连接 DT 由题意 DTBD2，CTAD2， CD6， DT2+CT2CD2， CTD90， BDT 是等腰直角三角形， DTB45， CTB45+90135， ADBCTB135 （3）如图中，将ABP 绕点 A 逆时针旋转 120，得到ACK，延长 CK 交 PA 的延长线于 J，作 PJC 的外接圆O，连接 OP，OC，OJ PAK120，AKCAPB120， JAKJKA60， AJK60， JAK 是等边三角形， AKKJ， COP2AJK120， PC30 米 OPOCOJ10（米） ， CJOJ+OC， CJ20， CJ 的最大值为 20米， PA+PBAK+CKKJ+KCJC， PA+PB 的最大值为 20米