2021年广东省广州市增城区中考数学一模试卷（含答案解析）

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1、2021 年广东省广州市增城区中考数学一模试卷年广东省广州市增城区中考数学一模试卷 一、选择题（本题有一、选择题（本题有 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，满分分，满分 30 分。下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正分。下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正 确的）确的） 1下列四个实数中，是无理数的为（ ） A0 B C1 D 2下列四个图形中，不是轴对称图形的是（ ） A B C D 3下列运算正确的是（ ） Ax2+x3x5 Bx2x3x6 C （x2）3x5 Dx5x3x2 4下列四组数中，能构成直角三角形的是（ ） A8，10，7 B2，3，4 C2，1，5 D，1，

2、 5如图，AB 是半圆 O 的直径，AC、BC 是弦，ODAC 于点 D，若 OD1.5，则 BC（ ） A4.5 B3 C2 D1.5 6在 RtABC 中，C90，AC8，BC6，则它的外接圆的面积为（ ） A5 B10 C25 D100 7在函数 y的图象上有两点（3，y1） ， （1，y2） ，则 y1与 y2之间的大小关系是（ ） Ay2y10 By1y20 Cy2y10 Dy1y20 8如图，在平面直角坐标系中，P 经过三点 A（8，0） ，O（0，0） ，B（0，6） ，点 D 是P 上一动点， 则点 D 到弦 OB 的距离的最大值是（ ） A6 B8 C9 D10 9直线 yx

3、+2m 经过第一，三、四象限，则抛物线 yx2+2x+1m 与 x 轴的交点个数为（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D1 个或 2 个 10如图，矩形 ABCD 中，AB：AD2：1，点 E 为 AB 的中点，点 F 为 EC 上一个动点，点 P 为 DF 的中 点，连接 PB，当 PB 的最小值为 3时，则 AD 的值为（ ） A2 B3 C4 D6 二、填空题（本题有二、填空题（本题有 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11粤港澳大湾区是我们国家建设世界级城市群和参与全球竞争的重要空间载体，是世界四大湾区之一， 整体面积达到 56000 平方千米，实数

4、 56000 用科学记数法表示为 12如图，直线 ab，1130，则2 的度数是 13因式分解：x34x 14如图是一个几何体的三视图，根据图中标注的数据可求得该几何体的侧面积为 15如图在矩形纸片 ABCD 中，AB4，AD6，点 E 是 AB 的中点，点 F 是边 AD 上的一个动点，将 AEF 沿 EF 所在直线翻折，得到AEF，则线段 AC 的最小值是 16抛物线 ymx2+（14m）x+15m 一定经过非坐标轴上的一点 P，则点 P 的坐标为 三、解答题（本题有三、解答题（本题有 9 个小题，共个小题，共 72 分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤分，解答要求写出文字说明、证

5、明过程或计算步骤.） 17 （4 分）解方程组： 18 （4 分） 如图， 点 B、F、C、 E 在同一条直线上， AD，BE， BFCE 求证：ABCDEF 19 （6 分）先化简，再求值：，其中 a 是整数且满足 20 （6 分）2021 年 4 月 23 日是第二十六个“世界读书日” 某校组织读书征文比赛活动，评选出一、二、 三等奖若干名，并绘成如图所示的条形统计图和扇形统计图（不完整） ，根据图中信息解答下列问题： （1）求本次比赛获奖的总人数，并补全条形统计图； （2）学校从甲、乙、丙、丁 4 位一等奖获得者中随机抽取 2 人参加“世界读书日”宣传活动，请用列举 法求恰好抽到甲和乙的

6、概率 21 （8 分）已知反比例函数 y和一次函数 yx+a1（a 为常数） （1）当 a5 时，求反比例函数与一次函数的交点坐标； （2）是否存在实数 a，使反比例函数与一次函数有且只有一个交点，如果存在，求出实数 a，如果不存 在，说明理由 22 （10 分） 某种型号油电混合动力汽车， 从 A 地到 B 地， 只用燃油行驶， 需用燃油 76 元； 从 A 地到 B 地， 只用电行驶，需用电 26 元，已知每行驶 1 千米，只用燃油的费用比只用电的费用多 0.5 元 （1）若只用电行驶，每行驶 1 千米的费用是多少元？ （2）若要使从 A 地到 B 地油电混合行驶所需的油、电费用合计不超过

7、 39 元，则至少需用电行驶多少千 米？ 23 （10 分）如图，已知ABC （1）尺规作图：先作ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D，再作线段 BD 的垂直平分线，分别交 BC、AB 于点 E、F （不写作法，保留作图痕迹） （2）连接 DE、DF，若 AB3，BC2，求四边形 BEDF 的边长 24 （12 分）如图，已知 RtABC，ABC90，AB 为O 的直径，斜边 AC 交O 于点 E，AC 平分 DAB，EDAD 于点 D，DE 的延长线与 BC 交于点 F （1）求证：DE 是O 切线； （2）求证：CFBF； （3）若 AD：AB3：4，DE，求 EF 的长 25 （1

8、2 分）已知抛物线 yx2+bx+c 经过点 A（4，3） ，顶点为 B，对称轴是直线 x2 （1）求抛物线的函数表达式和顶点 B 的坐标； （2）如图 1，抛物线与 y 轴交于点 C，连接 AC，过 A 作 ADx 轴于点 D，E 是线段 AC 上的动点（点 E 不与 A，C 两点重合） ； （i）若直线 BE 将四边形 ACOD 分成面积比为 1：3 的两部分，求点 E 的坐标； （ii）如图 2，连接 DE，作矩形 DEFG，在点 E 的运动过程中，是否存在点 G 落在 y 轴上的同时点 F 恰 好落在抛物线上？若存在，求出此时 AE 的长；若不存在，请说明理由 2021 年广东省广州市

9、增城区中考数学一模试卷年广东省广州市增城区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题有一、选择题（本题有 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，满分分，满分 30 分。下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正分。下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正 确的）确的） 1下列四个实数中，是无理数的为（ ） A0 B C1 D 【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案 【解答】解：A、0 是有理数，故 A 错误； B、是无理数，故 B 正确； C、1 是有理数，故 C 错误； D、是有理数，故 D 错误； 故选：B 2下列四个图形中，不是轴对称图形的是（ ）

10、 A B C D 【分析】轴对称图形的定义，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形 叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴 【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项不合题意； B、是轴对称图形，故本选项不合题意； C、不是轴对称图形，故本选项符合题意； D、是轴对称图形，故本选项不合题意； 故选：C 3下列运算正确的是（ ） Ax2+x3x5 Bx2x3x6 C （x2）3x5 Dx5x3x2 【分析】分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则 逐一判断即可 【解答】解：A、x2与 x3不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意； B

11、、x2x3x5，故本选项不合题意； C、 （x2）3x6，故本选项不合题意； D、x5x3x2，故本选项符合题意； 故选：D 4下列四组数中，能构成直角三角形的是（ ） A8，10，7 B2，3，4 C2，1，5 D，1， 【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直 角三角形判定则可 【解答】解：A、72+82102，故不能构成直角三角形，故 A 不符合题意； B、22+324，故不能构成直角三角形，故 B 不符合题意； C、1+25，不能构成三角形，故 C 不符合题意； D、 （）2+12（）2，故能构成直角三角形，故 D 符合题意； 故选：D

12、 5如图，AB 是半圆 O 的直径，AC、BC 是弦，ODAC 于点 D，若 OD1.5，则 BC（ ） A4.5 B3 C2 D1.5 【分析】先根据垂径定理得到 ADCD，则 OD 为ABC 的中位线，然后根据三角形中位线性质得到 BC 的长 【解答】解：ODAC， ADCD， OAOB， OD 为ABC 的中位线， BC2OD21.53 故选：B 6在 RtABC 中，C90，AC8，BC6，则它的外接圆的面积为（ ） A5 B10 C25 D100 【分析】根据勾股定理和圆的面积公式即可得到结论 【解答】解：在 RtABC 中，C90，AC8，BC6， AB10， RtABC 的外接圆

13、的面积（）225， 故选：C 7在函数 y的图象上有两点（3，y1） ， （1，y2） ，则 y1与 y2之间的大小关系是（ ） Ay2y10 By1y20 Cy2y10 Dy1y20 【分析】根据反比例函数的性质判断即可 【解答】解：反比例函数 y中的 a2+10， 该函数图象经过第一、三象限，且在每一象限内 y 随 x 的增大而减小 函数 y的图象上有两点（3，y1） ， （1，y2） ， 两点（3，y1） ， （1，y2）在第三象限，且31， y2y10， 故选：A 8如图，在平面直角坐标系中，P 经过三点 A（8，0） ，O（0，0） ，B（0，6） ，点 D 是P 上一动点， 则点

14、D 到弦 OB 的距离的最大值是（ ） A6 B8 C9 D10 【分析】先求出圆的直径，当点 D 在所在直线垂直 OB 时，此时点 D 到弦 OB 的距离的最大，求出此时 的值即可 【解答】解：如图，连接 AB，AOB90 AB 为直径，此时 AB10， 当直线 CD 垂直 AB 时，此时点 D 到弦 OB 的距离的最大，最大距离为 CD BCPAOB90， PCOA 又P 是 AB 的中点， PC 是AOB 的中位线 ，此时 CDPC+PD4+59， 故选：C 9直线 yx+2m 经过第一，三、四象限，则抛物线 yx2+2x+1m 与 x 轴的交点个数为（ ） A0 个 B1 个 C2 个

15、 D1 个或 2 个 【分析】由直线 yx+2m 经过第一，三、四象限可得，2m0，再由224（1m）4m0，可判 断抛物线与 x 轴无交点 【解答】解：直线 yx+2m 经过第一，三、四象限， 2m0， 又由抛物线 yx2+2x+1m 的解析式可知，224（1m）4m0， 抛物线与 x 轴无交点 故选：A 10如图，矩形 ABCD 中，AB：AD2：1，点 E 为 AB 的中点，点 F 为 EC 上一个动点，点 P 为 DF 的中 点，连接 PB，当 PB 的最小值为 3时，则 AD 的值为（ ） A2 B3 C4 D6 【分析】根据中位线定理可得出点 P 的运动轨迹是线段 P1P2，再根据

16、垂线段最短可得当 BPP1P2时， PB 取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知 BP1P1P2，故 BP 的最小值为 BP 的长，由勾股 定理求解即可 【解答】解：如图， 当点 F 与点 C 重合时，点 P 在 P1处，CP1DP1， 当点 F 与点 E 重合时，点 P 在 P2处，EP2DP2， P1P2CE 且 P1P2CE 且当点 F 在 EC 上除点 C、E 的位置处时，有 DPFP 由中位线定理可知：P1PCE 且 P1PCF， 点 P 的运动轨迹是线段 P1P2， .当 BPP1P2时，PB 取得最小值 矩形 ABCD 中，AB：AD2：1，设 AB2t，则 ADt， E

17、为 AB 的中点， CBE、ADE、BCP1为等腰直角三角形，CP1t， ADECDECP1B45，DEC90 DP2P190 DP1P245 P2P1B90，即 BP1P1P2， BP 的最小值为 BP1的长 在等腰直角BCP1中，CP1BCt， BP1t3， t3 故选：B 二、填空题（本题有二、填空题（本题有 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11粤港澳大湾区是我们国家建设世界级城市群和参与全球竞争的重要空间载体，是世界四大湾区之一， 整体面积达到 56000 平方千米，实数 56000 用科学记数法表示为 5.6104 【分析】科学记数法的表示形式为

18、a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：将 56000 用科学记数法表示为：5.6104 故答案为：5.6104 12如图，直线 ab，1130，则2 的度数是 50 【分析】 由直线 a， b 被第三条直线所截， ab， 1130， 两直线平行， 同旁内角互补即可求得答案 【解答】解：ab， 1+2180 1130， 2180118013050 故答案为：50 13因式分解：x34x x（x+2） （x2） 【

19、分析】首先提取公因式 x，进而利用平方差公式分解因式得出即可 【解答】解：x34x x（x24） x（x+2） （x2） 故答案为：x（x+2） （x2） 14如图是一个几何体的三视图，根据图中标注的数据可求得该几何体的侧面积为 2 【分析】易得此几何体为圆柱，圆柱的侧面积底面周长高 【解答】解：由主视图和左视图为长方形可得此几何体为柱体，由俯视图为圆形可得此几何体为圆柱； 易得圆柱的底面直径为 2，高为 1， 侧面积212， 故答案为：2 15如图在矩形纸片 ABCD 中，AB4，AD6，点 E 是 AB 的中点，点 F 是边 AD 上的一个动点，将 AEF 沿 EF 所在直线翻折，得到AE

20、F，则线段 AC 的最小值是 22 【分析】以点 E 为圆心，AE 长度为半径作圆，连接 CE，当点 A 在线段 CE 上时，AC 的长取最小值， 根据折叠的性质可知 AE2， 在RtBCE中利用勾股定理可求出 CE的长度， 用CEAE 即可求出结论 【解答】解：如图，以点 E 为圆心，AE 长度为半径作圆，连接 CE，当点 A 在线段 CE 上时，AC 的长 取最小值， 由折叠可知，AEAEBEAB2， 在 RtBCE 中，由勾股定理可得，CE2， AC 的最小值CEAE22， 故答案为：22 16抛物线 ymx2+（14m）x+15m 一定经过非坐标轴上的一点 P，则点 P 的坐标为 （5

21、，6） 【分析】经过定点，即坐标中不含参数 m，对解析式进行变形，可得 y（x24x5）m+x+1，令 m 的 系数为 0，即可求出 【解答】解：ymx2+（14m）x+15m（x24x5）m+x+1， 令 x24x50，解得 x1 或 x5， 当 x1 时，y0； 当 x5 时，y6； 非坐标轴上的点 P 的坐标为（5，6） 故答案为： （5，6） 三、解答题（本题有三、解答题（本题有 9 个小题，共个小题，共 72 分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤.） 17 （4 分）解方程组： 【分析】方程组利用加减消元法求出解即可 【解答】解：，

22、 +得：4x8， 解得：x2， 把 x2 代入得：y1， 则该方程组的解为 18 （4 分） 如图， 点 B、F、C、 E 在同一条直线上， AD，BE， BFCE 求证：ABCDEF 【分析】 首先利用等式的性质求出 BCEF， 进而利用全等三角形的判定定理 AAS 证明两个三角形全等 【解答】证明：BFCE， BF+FCCE+FC 即 BCEF， 在ABC 和DEF 中， ABCDEF（AAS） 19 （6 分）先化简，再求值：，其中 a 是整数且满足 【分析】根据分式的运算法则进行化简，然后将 a 的值求出并代入原式即可求出答案 【解答】解：原式 2（a+3） ， 2a+6， ， 5a6

23、， a5， 原式10+616 20 （6 分）2021 年 4 月 23 日是第二十六个“世界读书日” 某校组织读书征文比赛活动，评选出一、二、 三等奖若干名，并绘成如图所示的条形统计图和扇形统计图（不完整） ，根据图中信息解答下列问题： （1）求本次比赛获奖的总人数，并补全条形统计图； （2）学校从甲、乙、丙、丁 4 位一等奖获得者中随机抽取 2 人参加“世界读书日”宣传活动，请用列举 法求恰好抽到甲和乙的概率 【分析】 （1）由获一等奖的人数除以所占百分比求出获奖总人数，即可解决问题； （2）画树状图，共有 12 个等可能的结果，恰好抽到甲和乙的结果有 2 个，再由概率公式求解即可 【解答

24、】解： （1）本次比赛获奖的总人数为：410%40（人） ， 获二等奖的人数为 4042412（人） ， 补全条形统计图如下： （2）画树状图如图： 共有 12 个等可能的结果，恰好抽到甲和乙的结果有 2 个， 恰好抽到甲和乙的概率为 21 （8 分）已知反比例函数 y和一次函数 yx+a1（a 为常数） （1）当 a5 时，求反比例函数与一次函数的交点坐标； （2）是否存在实数 a，使反比例函数与一次函数有且只有一个交点，如果存在，求出实数 a，如果不存 在，说明理由 【分析】 （1）根据 a 的值，可得一次函数的解析式，联立反比例函数与一次函数的解析式，可得方程组， 解方程组，可得交点坐标

25、； （2） 联立反比例函数与一次函数的解析式， 可得方程组， 根据反比例函数与一次函数有且只有一个交点， 可得方程组只有一组解，根据一元二次方程的判别式，可得答案 【解答】解： （1）当 a5 时，一次函数 yx+a1 的解析式为：yx+4， 联立，解得， 当 a5 时，反比例函数与一次函数的交点坐标为（2+，2） ， （2，2+） （2）存在实数 a，使反比例函数与一次函数有且只有一个交点， 联立，整理得，x2（a1）x+10， 方程组只有一组解，得（a1）240， 解得：a3 或 a1 22 （10 分） 某种型号油电混合动力汽车， 从 A 地到 B 地， 只用燃油行驶， 需用燃油 76

26、元； 从 A 地到 B 地， 只用电行驶，需用电 26 元，已知每行驶 1 千米，只用燃油的费用比只用电的费用多 0.5 元 （1）若只用电行驶，每行驶 1 千米的费用是多少元？ （2）若要使从 A 地到 B 地油电混合行驶所需的油、电费用合计不超过 39 元，则至少需用电行驶多少千 米？ 【分析】（1） 设只用电行驶， 每行驶 1 千米的费用是 x 元， 则只用燃油行驶， 每行驶 1 千米的费用是 （x+0.5） 元，根据 A，B 两地间的路程不变，即可得出关于 x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）利用 A，B 两地间的路程只用电行驶的总费用用电行驶 1 千米所需费用，可求出

27、A，B 两地间 的路程，设用电行驶 m 千米，则用油行驶（100m）千米，根据从 A 地到 B 地油电混合行驶所需的油、 电费用合计不超过 39 元，即可得出关于 m 的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论 【解答】解： （1）设只用电行驶，每行驶 1 千米的费用是 x 元，则只用燃油行驶，每行驶 1 千米的费用 是（x+0.5）元， 依题意得：， 解得：x0.26， 经检验，x0.26 是原方程的解，且符合题意 答：只用电行驶，每行驶 1 千米的费用是 0.26 元 （2）A，B 两地间的路程为 260.26100（千米） 设用电行驶 m 千米，则用油行驶（100m）千米， 依题意

28、得：0.26m+（0.26+0.5） （100m）39， 解得：m74 答：至少需用电行驶 74 千米 23 （10 分）如图，已知ABC （1）尺规作图：先作ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D，再作线段 BD 的垂直平分线，分别交 BC、AB 于点 E、F （不写作法，保留作图痕迹） （2）连接 DE、DF，若 AB3，BC2，求四边形 BEDF 的边长 【分析】 （1）根据要求作出图形即可 （2）证明四边形 BEDF 是菱形，利用平行线分线段成比例定理，求解即可 【解答】解： （1）如图，四边形 BEDF 即为所求作 （2）EF 垂直平分线段 BD， FDFB，EBED， DBFD

29、BE， BDF+BFE90，DBE+BEF90， BFEBEF， BEBF， BEEDDFBF， 四边形 BEDF 是菱形， 菱形的边长为 x， DFBC， ， ， x， 菱形 BEDF 的边长为 24 （12 分）如图，已知 RtABC，ABC90，AB 为O 的直径，斜边 AC 交O 于点 E，AC 平分 DAB，EDAD 于点 D，DE 的延长线与 BC 交于点 F （1）求证：DE 是O 切线； （2）求证：CFBF； （3）若 AD：AB3：4，DE，求 EF 的长 【分析】 （1）利用角平分线与等腰三角形的性质证明 ADOE，从而得到 OEDE，即可证明 DE 是O 切线； （2）

30、连接 BE，证明BEC90，再证明 FEFB，FEFC，即可得到结论； （3）先证明DAEEAB，求出 BE 的长度及EAB 的度数，再求EBC 的度数，利用锐角三角函数 可得答案 【解答】解： （1）DE 与O 相切，理由如下： 连接 OE， AC 平分DAB， DAEOAE， OAOE， OAEOEA， DAEOEA， ADOE， ADED， OEDE， 点 E 在O 上， DE 是O 的切线； （2）连接 BE， AB 为O 的直径， AEB90BEC， ABC90，AB 为O 的直径， FB 为O 的切线， 又DE 是O 的切线， FEFB， FEBFBE， FEB+FEC90FBE+

31、C， FECC， FEFC， 又FEFB， FBFC； （3）ADEAEB90，DAEEAB， DAEEAB， ， AD：AB3：4， 设 AD3a，则 AB4a， AE2ABAD12a2， AE， DE， ， BE2， cosEAB， EAB30， EBA60，EBC30， cosEBC， BE2， BC， FEFCFBBC， EF 25 （12 分）已知抛物线 yx2+bx+c 经过点 A（4，3） ，顶点为 B，对称轴是直线 x2 （1）求抛物线的函数表达式和顶点 B 的坐标； （2）如图 1，抛物线与 y 轴交于点 C，连接 AC，过 A 作 ADx 轴于点 D，E 是线段 AC 上的

32、动点（点 E 不与 A，C 两点重合） ； （i）若直线 BE 将四边形 ACOD 分成面积比为 1：3 的两部分，求点 E 的坐标； （ii）如图 2，连接 DE，作矩形 DEFG，在点 E 的运动过程中，是否存在点 G 落在 y 轴上的同时点 F 恰 好落在抛物线上？若存在，求出此时 AE 的长；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）由题意得出，解得，得出抛物线的函数表达式为：yx2+x+3 （x2）2+4，即可得出顶点 B 的坐标为（2，4） ； （2） （i）求出 C（0，3） ，设点 E 的坐标为（m，3） ，求出直线 BE 的函数表达式为：yx+， 则点 M 的坐标为（4m6，0）

33、 ，由题意得出 OC3，AC4，OM4m6，CEm，则 S矩形ACOD12， S梯形ECOM，分两种情况求出 m 的值即可； （ii） 过点 F 作 FNAC 于 N， 则 NFCG， 设点 F 的坐标为：（a， a2+a+3） ， 则 NF3 （a2+a+3） a2a，NCa，证EFNDGO（ASA） ，得出 NEODAC4，则 AENCa，证ENF DAE，得出，求出 a或 0，当 a0 时，点 E 与点 A 重合，舍去，得出 AENCa ，即可得出结论 【解答】解： （1）抛物线 yx2+bx+c 经过点 A（4，3） ，对称轴是直线 x2， ， 解得：， 抛物线的函数表达式为：yx2+

34、x+3， yx2+x+3（x2）2+4， 顶点 B 的坐标为（2，4） ； （2） （i）yx2+x+3， x0 时，y3， 则 C 点的坐标为（0，3） ， A（4，3） ， ACOD， ADx， 四边形 ACOD 是矩形， 设点 E 的坐标为（m，3） ，直线 BE 的函数表达式为：ykx+n，直线 BE 交 x 轴于点 M，如图 1 所示： 则， 解得：， 直线 BE 的函数表达式为：yx+， 令 yx+0，则 x4m6， 点 M 的坐标为（4m6，0） ， 直线 BE 将四边形 ACOD 分成面积比为 1：3 的两部分， 点 M 在线段 OD 上，点 M 不与点 O 重合， C（0，3

35、） ，A（4，3） ，M（4m6，0） ，E（m，3） ， OC3，AC4，OM4m6，CEm， S矩形ACODOCAC3412， S梯形ECOM（OM+EC） OC（4m6+m）3， 分两种情况： ，即， 解得：m， 点 E 的坐标为： （，3） ； ，即， 解得：m， 点 E 的坐标为： （，3） ； 综上所述，点 E 的坐标为： （，3）或（，3） ； （ii）存在点 G 落在 y 轴上的同时点 F 恰好落在抛物线上；理由如下： 由题意得：满足条件的矩形 DEFG 在直线 AC 的下方， 过点 F 作 FNAC 于 N，则 NFCG，如图 2 所示： 设点 F 的坐标为： （a，a2+a

36、+3） ， 则 NF3（a2+a+3）a2a，NCa， 四边形 DEFG 与四边形 ACOD 都是矩形， DAEDEFN90，EFDG，EFDG，ACOD， NEFODG，EMCDGO， NFCG， EMCEFN， EFNDGO， 在EFN 和DGO 中， EFNDGO（ASA） ， NEODAC4， ACCENECE，即 AENCa， DAEDEFN90， NEF+EFN90，NEF+DEA90， EFNDEA， ENFDAE， ，即， 整理得：a2+a0， 解得：a或 0， 当 a0 时，点 E 与点 A 重合， a0 舍去， AENCa， 当点 G 落在 y 轴上的同时点 F 恰好落在抛物线上，此时 AE 的长为