2021届东北三省四城市联考高考数学质量监测试卷（沈阳二模）含答案解析

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1、2021 年东北三省四城市联考高考数学质量监测试卷（二）（沈阳二模）年东北三省四城市联考高考数学质量监测试卷（二）（沈阳二模） 一、单项选择题（共一、单项选择题（共 8 小题）小题）. 1已知复数 z（12i）i（i 为虚数单位），则|z|（ ） A B2 C D1 2已知集合 A0，1，2，4，Bx|x2n，nA，则 AB（ ） A1，2 B1，4 C2，4 D1，2，4 3已知数列an为等差数列，且 a11，a59，则数列an的前 5 项和是（ ） A15 B20 C25 D35 4历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯（公元前 375 年325 年），大约 100 年后，阿波罗尼奥更 详

2、尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质，比如：从抛物线的焦 点发出的光线或声波在经过抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称 轴的光线，经抛物线反射后，反射光线经过抛物线的焦点设抛物线 C：y2x，一束平行于抛物线对称 轴的光线经过 A（5，2），被抛物线反射后，又射到抛物线 C 上的 Q 点，则 Q 点的坐标为（ ） A（，） B（，） C（，） D（，） 5若 tan，则（ ） A B3 C D3 6某交通岗共有 3 人，从周一到周日的 7 天中，每天安排 1 人值班，每人至少值 2 天，其不同的排法共有 （ ） A5040 种 B1

3、260 种 C210 种 D630 种 7已知向量 ， 满足| |1，| |2，（），则|2|（ ） A B C2 D2 8已知点 F1、F2分别是双曲线 C：x21（b0）的左，右焦点，O 为坐标原点，点 P 在双曲线 C 的 右支上，且满足|F1F2|2|OP|，tanPF2F15，则双曲线 C 的离心率的取值范围为（ ） A（1， B（1， C（1， D（1， 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全全 部选对的得部选对的得 5 分，有选错

4、的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分分 9以下关于概率与统计的说法中，正确的为（ ） A某高中为了解在校学生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校三个年级的 学生中抽取一个容量为 60 的样本，已知该校高一、高二、高三年级学生之比为 6：5：4，则应从高二年级 中抽取 20 名学生 B10 件产品中有 7 件正品，3 件次品，若从这 10 件产品中任取 2 件，则恰好取到 1 件次品的概率为 C若随机变量 服从正态分布 N（1，2），P（4）0.79，则 P（2）0.42 D设某学校女生体重 y（单位：kg）与身高 x（单位：cm）具有线性相关关系

5、，根据一组样本数据（xi， yi）（i1，2，n）用最小二乘法建立的回归方程为 0.85x85.71，若该学校某姓身高为 170cm，则 可断定其体重必为 58.79kg 10以下有关三角函数 f（x）sinxcos2x 的说法正确的为（ ） AxR，f（x）f（x）0 BT0，使得 f（x+T）f（x） Cf（x）在定义域内有偶数个零点 DxR，f（x）f（x）0 11如图，直三棱柱 ABCA1B1C1中，所在棱长均为 1，点 E 为棱 B1C1上任意一点，则下列结论正确的是 （ ） A直线 AA1与直线 BE 所成角的范围是0， B在棱 B1C1上存在一点 E，使 AB1平面 A1BE C

6、若 E 为棱 B1C1的中点，则平面 ABE 截三棱柱 ABCA1B1C1所得截面面积为 D若 F 为棱 A1B1上的动点，则三棱锥 FABE 体积的最大值为 12若实数 t2，则下列不等式中一定成立的是（ ） A（t+3）ln（t+2）（t+2）ln（t+3） B（t+1）t+2（t+2）t+1 C1+logt（t+1） Dlg（t+1）（t+2）log（t+2）（t+3） 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13（x+1）n的展开式中，x2的系数为 15，则 n 14若“x，2，使得 2x2x+10 成立”是假命题，则实数 的

7、取值范围为 15过圆 O：x2+y2r2（r0）外一点（2，0）引直线 l 与圆 O 相交于 A，B 两点，当AOB 的面积取最大 值时，直线 l 的斜率等于，则 r 的值为 16已知函数 f（x）ex+2ex，g（x）xa，若关于 x 的不等式 f（x）1|g（x）+1|在 R 上恒成立， 求实数 a 的取值范围是 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17已知在锐角ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，ABC 的面积为 S若 4Sb2+c2a2，b （1）求 A；

8、 （2）若_，求ABC 的面积 S 的大小 （在2cos2B+cos2B0，bcosA+acosB +1这两个条件中任选一个，补充在横线上） 18已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 2anSn+n（nN*） （1）求证：数列an+1是等比数列； （2）记 cn ，求证：数列cn的前 n 项和 Tn 19如图，三棱锥 PABC 的底面 ABC 和侧面 PAB 都是边长为 4 的等边三角形，且平面 PAB平面 ABC， 点 E 为线段 PA 中点，点 F 为 AB 上的动点 （1）若平面 CEF平面 ABC，求线段 AF 的长； （2）求直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值 20在迎

9、来中国共产党成立 100 周年的重要时刻，我国脱贫攻坚战取得全面胜利，创造了又一个彪炳史册 的人间奇迹习近平总书记指出：“脱贫摘帽不是终点，而是新生活、新奋斗的起点”某农户计划于 2021 年初开始种植新型农作物已知该农作物每年每亩的种植成本为 2000 元，根据前期各方面调在发 现，该农作物的市场价格和亩产量均具有随机性，且两者互不影响，其具体情况如表： 该农作物亩产量（kg） 900 1200 概率 0.5 0.5 该农作物市场价格（元/kg） 30 40 概率 0.4 0.6 （1）设 2021 年该农户种植该农作物一亩的纯收入为 X 元，求 X 的分布列； （2）若该农户从 2021

10、年开始，连续三年种植该农作物，假设三年内各方面条件基本不变，求这三年中 该农户种植该农作物一亩至少有两年的纯收入不少于 30000 元的概率 21已知点 F（，0）为椭圆 C：（ab0）的右焦点，A，B 分别为椭圆的左、右顶点，椭 圆上异于 A、B 的任意一点 P 与 A、B 两点连线的斜率之积为 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）过点（1，0）的两条弦 PQ，MN 相互垂直，若，求证：直线 ST 过定点 22已知函数 f（x）xlnx+a，a0 （1）证明：f（x）有且仅有一个零点； （2）当 a（2e2，0）时，试判断函数 g（x）x2lnx+ax 是否有最小值？若有，设最小值为 h

11、（a），求 h（a）的值域；若没有，请说明理由 参考答案参考答案 一、单项选择题（共一、单项选择题（共 8 小题）小题）. 1已知复数 z（12i）i（i 为虚数单位），则|z|（ ） A B2 C D1 【解答】解法 1：. ； 解法 2： 故选：A 2已知集合 A0，1，2，4，Bx|x2n，nA，则 AB（ ） A1，2 B1，4 C2，4 D1，2，4 解：A0，1，2，4，B1，2，4，16， AB1，2，4 故选：D 3已知数列an为等差数列，且 a11，a59，则数列an的前 5 项和是（ ） A15 B20 C25 D35 解：数列an为等差数列，且 a11，a59， 数列an

12、的前 5 项和是： 25 故选：C 4历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯（公元前 375 年325 年），大约 100 年后，阿波罗尼奥更 详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质，比如：从抛物线的焦 点发出的光线或声波在经过抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称 轴的光线，经抛物线反射后，反射光线经过抛物线的焦点设抛物线 C：y2x，一束平行于抛物线对称 轴的光线经过 A（5，2），被抛物线反射后，又射到抛物线 C 上的 Q 点，则 Q 点的坐标为（ ） A（，） B（，） C（，） D（，） 解：设光线被抛物线反射的反射点为 B

13、，则 ABx 轴， 把 y2 代入 y2x，得 x4，B（4，2）， 设抛物线 y2x 的焦点为 F，则 F（ ，0）， 直线 BF 的方程为 y（x），即 y（x）， 又 y2x， 解得 x4，y2 或 x，y， Q （，） 故选：D 5若 tan，则（ ） A B3 C D3 解：tan， 故选：A 6某交通岗共有 3 人，从周一到周日的 7 天中，每天安排 1 人值班，每人至少值 2 天，其不同的排法共有 （ ） A5040 种 B1260 种 C210 种 D630 种 解：7 天分成 2 天，2 天，3 天 3 组，3 人各选 1 组值班，共有630 种 故选：D 7已知向量 ， 满

14、足| |1，| |2，（），则|2|（ ） A B C2 D2 解：由已知得：； ； ； 故选：C 8已知点 F1、F2分别是双曲线 C：x21（b0）的左，右焦点，O 为坐标原点，点 P 在双曲线 C 的 右支上，且满足|F1F2|2|OP|，tanPF2F15，则双曲线 C 的离心率的取值范围为（ ） A（1， B（1， C（1， D（1， 解：如图： 由|F1F2|2|OP|，可知 PF1PF2， 设 PF2m，则 PF1m+2， 在PF1F2中，tanPF2F 5， ， 4c2m2+（m+2）2， c ， ， ， 故选：B 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题

15、小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全全 部选对的得部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分分 9以下关于概率与统计的说法中，正确的为（ ） A某高中为了解在校学生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校三个年级的 学生中抽取一个容量为 60 的样本，已知该校高一、高二、高三年级学生之比为 6：5：4，则应从高二年级 中抽取 20 名学生 B10 件产品中有 7 件正品，3 件次品，若从这 10 件产品中任取 2 件，则恰好取到 1 件次品

16、的概率为 C若随机变量 服从正态分布 N（1，2），P（4）0.79，则 P（2）0.42 D设某学校女生体重 y（单位：kg）与身高 x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi， yi）（i1，2，n）用最小二乘法建立的回归方程为 0.85x85.71，若该学校某姓身高为 170cm，则 可断定其体重必为 58.79kg 解：对于 A：已知该校高一、高二、高三年级学生之比为 6：5：4，则设高一，高二，高三的人数为 6x， 5x，4x， 所以 6x+5x+4x60，解得 x4， 高二中抽取的人数为 20，故 A 正确； 对于 B：10 件产品中有 7 件正品，3 件次品，若从这

17、 10 件产品中任取 2 件，则恰好取到 1 件次品的概率 为 P，故 B 正确； 对于 C：随机变量 服从正态分布 N（1，2），P（4）1P（4）0.21，故 P（2） 0.21故 C 错误； 对于 D： 回归方程为 0.85x85.71， 若该学校某姓身高为 170cm， 则， 故 D 错误 故选：AB 10以下有关三角函数 f（x）sinxcos2x 的说法正确的为（ ） AxR，f（x）f（x）0 BT0，使得 f（x+T）f（x） Cf（x）在定义域内有偶数个零点 DxR，f（x）f（x）0 解：函数 f（x）sinxcos2x，满足 f（x）sin（x）cos（2x）sinxco

18、s2xf（x）， 所以函数为奇函数，故 f（x）+f（x）0，故 A 错误； 对于 B：由于函数 f（x）sinxcos2x，函数 ysinx 的最小正周期为 2， 函数 ycos2x 的最小正周期为 ，所以函数 f（x）的最小正周期为 2， 故T0，使得 f（x+2）f（x），故 B 正确； 对于 C：由于函数为奇函数，在原点处有定义， 故函数零点的个数为奇数个，故 C 错误； 对于 D：函数 f（x）sinxcos2x，故 f（x）f（x）0，故 D 正确 故选：BD 11如图，直三棱柱 ABCA1B1C1中，所在棱长均为 1，点 E 为棱 B1C1上任意一点，则下列结论正确的是 （ ）

19、A直线 AA1与直线 BE 所成角的范围是0， B在棱 B1C1上存在一点 E，使 AB1平面 A1BE C若 E 为棱 B1C1的中点，则平面 ABE 截三棱柱 ABCA1B1C1所得截面面积为 D若 F 为棱 A1B1上的动点，则三棱锥 FABE 体积的最大值为 解：AA1BB1，直线 AA1与直线 BE 所成角的范围可转化为直线 AA1与直线 BB1所成角的范围，又 点E为棱B1C1上任意一点且BB1C1是等腰直角三角形， 直线AA1与直线BE所成角的范围是0， ， A 对； 作 EOCC1交 BC 于点 O，连接 AO可知四边形 A1AOE 是平行四边形，A1EAO假设 AB1平面 A

20、1BE 成立，则 AB1AOAOB1中 B1O 对的角是直角最大，B1OAB 这与 B1OCB1AB1矛盾， 假设不成立，B 错； 作 EGAB 交 A1C1于点 G，连接 GA，得截面四边形 ABEG 是等腰梯形，直三棱柱 ABCA1B1C1中， 所在棱长均为 1 且若 E 为棱 B1C1的中点，得 AGBE，GE，AB1，梯形高 h ， 梯形面积即截面积为：（1+），C 对； 三棱锥 FABE 体积可转化为求三棱锥 EABF 的体积， 由图可知点 E 到棱 A1B1的距离即为点 E 到底面 ABF 的距离 点 E 为棱 B1C1上任意一点， 点 E 到棱 A1B1的距离的最大值是点 C1到

21、 A1B1的距离， 底面ABF 的面积是定值11， 三棱锥 FABE 体积的最大值为， D 错 故选：AC 12若实数 t2，则下列不等式中一定成立的是（ ） A（t+3）ln（t+2）（t+2）ln（t+3） B（t+1）t+2（t+2）t+1 C1+logt（t+1） Dlg（t+1）（t+2）log（t+2）（t+3） 解：令 f（x），则， 易得，当 xe 时，f（x）0，函数单调递减，当 0 xe 时，f（x）0，函数单调递增， 因为 t2，t+3t+3e， 所以， 所以（t+2）ln（t+3）（t+3）ln（t+2） 同理， 所以（t+2）ln（t+1）（t+1）ln（t+2），

22、所以（t+1）t+2（t+2）t+1，B 正确； 所以（t+2）ln（t+1）（t+1）ln（t+2），A 正确； 令 g（x），x2， 则 g（x）0， 故 g（x）在2，+）上单调递减，g（t+1）g（t+2）， 所以， 故 logt+1（t+2）logt+2（t+3），D 正确； 对于 C，1+logt（t+1） ，结合选项 A 的讨论，t 与 e 的大小 不确定，故 D 错误 故选：ABD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13（x+1）n的展开式中，x2的系数为 15，则 n 6 解：（x+1）n的展开式中，x2的系数

23、为15，n6， 故答案为：6 14若“x，2，使得 2x2x+10 成立”是假命题，则实数 的取值范围为 （，2 解：若“x，2，使得 2x2x+10 成立”是假命题， 即“x，2，使得 2x+ 成立”是假命题， 由 x，2，当 x 时，函数 y2x+22， 取最小值 2； 所以实数 的取值范围为（，2 故答案为：（，2 15过圆 O：x2+y2r2（r0）外一点（2，0）引直线 l 与圆 O 相交于 A，B 两点，当AOB 的面积取最大 值时，直线 l 的斜率等于，则 r 的值为 解：， 当AOB90时，AOB 面积最大，此时圆心 O 到直线 AB 的距离 d， 设直线 AB 的方程为 yk

24、（x2）， 则 d，将代入，解得 r 故答案为： 16已知函数 f（x）ex+2ex，g（x）xa，若关于 x 的不等式 f（x）1|g（x）+1|在 R 上恒成立， 求实数 a 的取值范围是 ln21，3 解：令 h（x）f（x）1，则 h（x）ex2ex， 令 h（x）0，解得：xln， 当 x（，ln）时，h（x）0，h（x）递减， 当 x（ln，+）时，h（x）0，h（x）递增， 当直线 yxa+1 与 yh（x）相切时，设切点为（x1，x1a+1）， 则 h（x1）21，解得：x1ln2， 又 h（x1）+2 1x1a+1，故 eln2+2eln21ln2a+1， 化简得：aln21

25、， 当直线 yx+a1 与 yh（x）相切时，设切点为（x2，x2+a1）， 则 h（x2）21，解得：x20， 又 h（x2）+2 1x2+a1， 故 e0+2e010+a1，解得：a3， 若 f（x）1|g（x）+1|在 R 上恒成立， 则 ln21a3，故 a 的取值范围是ln21，3， 故答案为：ln21，3 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17已知在锐角ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，ABC 的面积为 S若 4Sb2+c2a2，b （1）求 A；

26、 （2）若_，求ABC 的面积 S 的大小 （在2cos2B+cos2B0，bcosA+acosB +1这两个条件中任选一个，补充在横线上） 解：（1）4Sb2+c2a2，b， 4csinA2ccosA， sinAcosA，可得 tanA1， 由 A 为锐角，可得 A （2）若选：2cos2B+cos2B2cos2B+2cos2B10，可得 4cos2B1， 因为 B 为锐角，可得 cosB，可得 B， 由正弦定理，可得，解得 a2， 由余弦定理 b2a2+c22accosB，可得 64+c22c，解方程可得 c1+ ，（负值舍去）， 所以 SABCacsinB 若选，bcosA+acosB+

27、1， 又 b，A，可得+acosB+1，解得 acosB1， 又由正弦定理，可得 asinB， 由可得 tanB，结合 B 为锐角，可得 B， 由正弦定理，可得，解得 a2， 由余弦定理 b2a2+c22accosB，可得 64+c22c，解方程可得 c1+ ，（负值舍去）， 所以 SABCacsinB 18已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 2anSn+n（nN*） （1）求证：数列an+1是等比数列； （2）记 cn ，求证：数列cn的前 n 项和 Tn 【解答】证明：（1）当 n1 时，2a1S1+1a1+1，解得 a11， 当 n2 时，2an1Sn1+n1，又 2anSn+n

28、， 两式相减可得 2an2an1SnSn1+nn+1an+1， 即有 an2an1+1， 可得 an+12（an1+1）， 所以数列an+1是首项和公比均为 2 的等比数列； （2）由（1）可得 an+12n，an+2+12n+2， 则 cn （）， Tn（1+） （1+）（+） 19如图，三棱锥 PABC 的底面 ABC 和侧面 PAB 都是边长为 4 的等边三角形，且平面 PAB平面 ABC， 点 E 为线段 PA 中点，点 F 为 AB 上的动点 （1）若平面 CEF平面 ABC，求线段 AF 的长； （2）求直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值 解：（1）取 AB 的中点 O，连

29、接 OP，OC， ABC 和PAB 都是等边三角形，OCAB，OPAB， 平面 PAB平面 ABC，平面 PAB平面 ABCAB，OP平面 PAB， OP平面 ABC， 故以 O 为原点，OA，OC，OP 所在直线分别为 x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设 AFt，则 F（2t，0，0），C（0，2，0），E（1，0，），B（2，0，0），P（0，0，2）， （2t，2，0），（1，2，）， 设平面 CEF 的法向量为 （x，y，z），则，即， 令 x，则 y，z1t， （，1t）， OP平面 ABC，平面 ABC 的一个法向量为 （0，0，1）， 平面 CEF平面 ABC， 0

30、，即 1t0， t1， 故线段 AF 的长为 1 （2）由（1）知，（1，2，），（2，0，2），（2，2，0）， 设平面 PBC 的法向量为 （a，b，c），则，即， 令 a，则 b1，c1， （，1，1）， 设直线 CE 与平面 PBC 所成角为 ， 则 sin|cos， |， 故直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值为 20在迎来中国共产党成立 100 周年的重要时刻，我国脱贫攻坚战取得全面胜利，创造了又一个彪炳史册 的人间奇迹习近平总书记指出：“脱贫摘帽不是终点，而是新生活、新奋斗的起点”某农户计划于 2021 年初开始种植新型农作物已知该农作物每年每亩的种植成本为 2000 元，

31、根据前期各方面调在发 现，该农作物的市场价格和亩产量均具有随机性，且两者互不影响，其具体情况如表： 该农作物亩产量（kg） 900 1200 概率 0.5 0.5 该农作物市场价格（元/kg） 30 40 概率 0.4 0.6 （1）设 2021 年该农户种植该农作物一亩的纯收入为 X 元，求 X 的分布列； （2）若该农户从 2021 年开始，连续三年种植该农作物，假设三年内各方面条件基本不变，求这三年中 该农户种植该农作物一亩至少有两年的纯收入不少于 30000 元的概率 解：（1）由题意知： 90030200025000，120030200034000， 90040200034000，1

32、20040200046000， X 的所有可能取值为：25000，34000，46000， 设 A 表示事件“作物亩产量为 900kg”，则 P（A）0.5， B 表示事件“作物市场价格为 30 元/kg”，则 P（B）0.4， 则 P（X25000）P（AB）0.50.40.2， P（X34000）P（）+P（A ）（10.5）0.4+0.5（10.4）0.5， P（X46000）P（）（10.4）（10.5）0.3， X 的分布列为： X 25000 34000 46000 P 0.2 0.5 0.3 （2）设 C 表示事件“种植该农作物一亩一年的纯收入不少于 3000 元”， 则 P（C

33、）P（X30000）P（X34000）+P（X46000）0.5+0.30.8， 设这三年中有 Y 年有纯收入不少于 30000 元， 则有 YB（3，0.8）， 这三年中该农户种植该农作物一亩至少有两年的纯收入不少于 3000 元的概率为： P（Y2）P（Y2）+P（X3） 0.896 21已知点 F（，0）为椭圆 C：（ab0）的右焦点，A，B 分别为椭圆的左、右顶点，椭 圆上异于 A、B 的任意一点 P 与 A、B 两点连线的斜率之积为 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）过点（1，0）的两条弦 PQ，MN 相互垂直，若，求证：直线 ST 过定点 解：（1）由已知可得 c，A（a，0）

34、，B（a，0）， 设点 P 的坐标为（m，n），则，解得 a24，b22， 所以椭圆的方程为； （2）证明：因为， 所以 S，T 分别是 PQ，MN 的中点，当两条弦所在直线的斜率存在且不为 0 时， 设直线 PQ 的方程为 yk（x1），则直线 MN 的方程为 y（x1）， 设 P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x3，y3），N（x4，y4）， 联立方程，整理可得：（1+2k2）x24k2x+2k240， 所以 x ，则 y ， 所以 PQ 的中点 T 的坐标为（）， 同理可得，MN 的中点 S 的坐标为（）， 当，即 k21 时，所以 k， 所以直线 ST 的方程为 y+， 即 y，

35、所以直线 ST 过定点（）， 当 k21 时，直线 ST 的方程为 x ，也过点（，0）， 当两条弦的斜率分别为 0 和不存在时，直线 ST 的方程为 y0，也过点（，0）， 综上，直线 ST 过定点（，0） 22已知函数 f（x）xlnx+a，a0 （1）证明：f（x）有且仅有一个零点； （2）当 a（2e2，0）时，试判断函数 g（x）x2lnx+ax 是否有最小值？若有，设最小值为 h （a），求 h（a）的值域；若没有，请说明理由 【解答】（1）证明：因为 a0， 所以 x（0，1）时，f（x）xlnx+a0，函数 f（x）无零点； 又因为 f（x）1+lnx， 所以 x1，+）时，f

36、（x）0，f（x）单调递增， 又 f（1）a0，ea1，f（ea）aea+aa（1ea）0， 即 f（1）f（ea）0， 故存在唯一 x0（1，ea），使 f（x）0， 综上可知，函数 f（x）有且仅有一个零点 （2）解：g（x）xlnx+a， x（0，1，g（x）f（x）0，x（1，+），g（x）f（x）单调递增， 又 g（1）a0，g（e2）2e2+a0， 故存在唯一 x1（1，e2），使 g（x1）0，即 x1lnx1+a0， x（0，x1），g（x）0，g（x）单调递减； x（x1，+），g（x）0，g（x）单调递增， 因此 g（x）x2lnx+ax 有最小值， h（a）g（x）ming（x1）x12lnx1x12+（x1lnx1）x1 x12lnx1x12， 令 （x）x2lnxx2，x（1，e2），（x）xlnxx0， 故 （x）单调递减， 进而 （x）（e2），（1）（，）， 即 h（a）的值域为（，）