2021年高考数学考前30天回归课本知识技法精细过（二）函数

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1、高考数学考前高考数学考前 3030 天回归课本知识技法精细过（二天回归课本知识技法精细过（二） 第一节第一节 函数及其表示函数及其表示 一、必记 3 个知识点 1函数与映射的概念 函数 映射 两集合 A，B A，B 是两个非空数集 A，B 是两个_ 对应关系 f：AB 按照某种确定的对应关系 f， 对于集合 A 中的_ 一个数 x，在集合 B 中有 _的数 f(x)和它对应 按某一个确定的对应关系 f， 对于集合 A 中的_一 个元素 x，在集合 B 中都有 _的元素 y 与之对应 名称 那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数 那么就称对应 f：AB 为从集 合 A 到集合

2、B 的一个映射 记法 yf(x)，xA 对应 f：AB 是一个映射 2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域 在函数 yf(x)，xA 中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的_；与 x 的值相对应的 y 值 叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的_.显然，值域是集合 B 的子集 (2)函数的三要素 _、_和_. (3)相等函数 如果两个函数的_和_完全一致， 那么这两个函数相等， 这是判断两个函数相等的依据 (4)函数的表示法 表示函数的常用方法有：_、_、_. 3分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因_不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称 为分段函

3、数 (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的_，其值域等于各段函数的值域的_，分 段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数 二、必明 3 个易误点 1解决函数的一些问题时，易忽视“定义域优先”的原则 2易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从 A 到 B 的一个映射，A，B 若不是数集，则这个映射便不是函数 3易误把分段函数理解为几种函数组成 三、技法 1.求分段函数的函数值 (1)基本步骤 确定要求值的自变量属于哪一区间 代入该区间对应的解析式求值 (2)两种特殊情况 当出现 f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值 当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨

4、论，分类标准应参照分段函数不同段的端点 2解分段函数与方程或不等式的综合问题的策略 求解与分段函数有关的方程或不等式问题，主要表现为解方程或不等式应根据每一段的解析式分别求 解若自变量取值不确定，则要分类讨论求解；若自变量取值确定，则只需依据自变量的情况直接代入相 应的解析式求解解得值(范围)后一定要检验是否符合相应段的自变量的取值范围. 3函数问题常见方法说明 参考答案参考答案 非空集合 任意 唯一确定 任意 唯一确定 定义域 值域 定义域 值域 对 应关系 定义域 对应关系 解析法 列表法 图象法 对应关系 并集 并集 第二节第二节 函数的单调性与最值函数的单调性与最值 一、必记 2 个知

5、识点 1函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 设函数 f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个 自变量的值 x1，x2 当 x1x2时，都有_，那么就说函 数 f(x)在区间 D 上是增函数； 当 x1x2时， 都有_， 那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数 图象描述 自左向右看图象是_ 自左向右看图象是_ (2)单调性、单调区间的定义 若函数 f(x)在区间 D 上是_或_，则称函数 f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区 间 D 叫做 f(x)的_. (3)若函数 yf(x)在区间 D 内可导，当_时，f(x)在区间 D 上

6、为增函数；当_时，f(x) 在区间 D 上为减函数 (4)复合函数的单调性 若构成复合函数的内、 外层函数单调性相同， 则复合函数为增函数， 否则为减函数 简 称“同增异减” 2函数的最值 (1)函数最值的定义 前提 设函数 f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足 条件 (1)对于任意的 xI，都有_； (2)存在 x0I，使得_. (1)对于任意的 xI，都有_； (2)存在 x0I，使得_. 结论 M 是 yf(x)的最大值 M 是 yf(x)的最小值 (2)两条结论： 闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值当函数在闭区间上单调时，最值一定在端点处取到； 区间上的“单峰”函数一定

7、存在最大(小)值 二、必明 2 个易误点 1函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减单调区间只能用区间表示，不 能用集合或不等式表示； 如有多个单调区间应分别写， 不能用并集符号“”联结， 也不能用“或”联结， 只能用“，”“和” 2两函数 f(x)，g(x)在 x(a，b)上都是增(减)函数，则 f(x)g(x)也为增(减)函数，但 f(x)g(x)的 单调性与其正负有关，切不可盲目类比 三、技法 1.确定函数单调性(区间)的三种常用方法 (1)定义法： 一般步骤： 任取 x1， x2D， 且 x10，则 kf(x)与 f(x)单调性相同；若 k0，则 kf(x)与 f

8、(x)单调性相反； (3)复合函数单调性的确定方法：若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两 个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数，简称“同增异减”. 3求函数的最值(值域)的常用方法 (1)单调性法：若所给函数为单调函数，可根据函数的单调性求最值 (2)换元法：求形如 y axb(cxd)(ac0)的函数的值域或最值，常用代数换元法、三角换元法结合 题目条件将原函数转化为熟悉的函数，再利用函数的相关性质求解 (3)数形结合法：若函数解析式的几何意义较明显(如距离、斜率等)或函数图象易作出，可用数形结合法求 函数的值域或最值 (4)有界性法：利用代数式

9、的有界性(如 x 20， x0，1sin x1 等)确定函数的值域 (5)分离常数法：形如求 ycxd axb(ac0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解 另外，基本不等式法、导数法求函数值域或最值也是常用方法. 4函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 (1)比较大小 (2)解不等式利用函数的单调性将“f”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域 (3)利用单调性求参数 依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较； 需注意：若函数在区间a，b上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的； 分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值

10、. 参考答案参考答案 f(x1)f(x2) 上升的 下降的 增函数 减函数 单调区间 f(x)0 f(x)0 时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，)上单调递增； ()当 0) f(x)ax2bxc(a0，若在(0，)上单调递减，则 1 且 nN* 当 n 为奇数时，正数的 n 次方根是一 个_，负数的 n 次方根是一 个_. n a 零的 n 次 方根是零 当 n 为偶数时，正数的 n 次方根有 _ ， 它 们 互 为 _. na 负数没有 偶次方根 (2)一个重要公式 (na)n_(注意 a 必须使na有意义) 2分数指数幂 (1)正数的正分数指数幂是： m n a _(

11、a0，m，nN*，n1) (2)正数的负分数指数幂是： m n a _(a0，m，nN*，n1) (3)0 的正分数指数幂是_，0 的负分数指数幂无意义 3有理指数幂的运算性质 (1)a ras_(a0，r，sQ) (2)(a r)s_(a0，r，sQ) (3)(ab) r_(a0，b0，rQ) 4指数函数的图象与性质 a1 0a0，a1)的图象和性质跟 a 的取值有关，要特别注意区分 a1 还是 0a0 且a1) _ 常用对数 底数为_ _ 自然对数 底数为_ _ 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ()alogaN_(a0 且a1)； ()logaa N_(a0 且 a1) (2)

12、对数的重要公式 ()换底公式：_(a，b均大于零且不等于 1)； ()logab 1 logba，推广 log ablogbclogcd_. (3)对数的运算法则 如果a0 且a1，M0，N0，那么 ()loga(MN)_； ()logaM N_； ()logaM n_(nR R)； ()logamM nn mlog aM(m，nR R) 3对数函数的图象与性质 a1 0a1 时， 22_ 当 0x1 时， 24_ 当 0x0. 2在解决与对数函数有关的问题时易漏两点： (1)函数的定义域； (2)对数底数的取值范围 三、技法 1.对数运算的一般思路 (1)先利用幂的运算把底数或真数进行变形，

13、化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数的运 算性质化简合并 (2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底数对数的真数 的积、商、幂的运算 (3)利用式子 lg2lg51 进行化简. 2.对数型函数图象的考查类型及解题思路 (1)对有关对数型函数图象的识别问题，主要依据底数确定图象的变化趋势、图象的位置、图象所过的定点 及图象与坐标轴的交点等求解 (2)对有关对数型函数的作图问题，一般是从基本初等函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到所 要求的函数图象特别地，当底数与 1 的大小关系不确定时应注意分类讨论 (3)与对数型函数有关的方程或不

14、等式问题常常结合对数函数的图象来解决，即数形结合法. 3.比较对数值大小的方法 若底数相同，真数不同 若底数为同一常数，可由对数函数的单调性直接进行判断；若底 数为同一字母，则需对底数进行分类讨论 若底数不同，真数相同 可以先用换底公式化为同底后，再进行比较 若底数与真数都不同 常借助 1,0 等中间量进行比较 4.求解对数不等式的两种类型及方法 类型 方法 形如 logaxlogab 借助 ylogax 的单调性求解，如果 a 的取值不确定，需分 a1 与 0ab 需先将 b 化为以 a 为底的对数式的形式，再借助 ylogax 的单调 性求解 5.解与对数函数有关的函数性质问题的三个关注点

15、 (1)定义域，所有问题都必须在定义域内讨论 (2)底数与 1 的大小关系(分类讨论) (3)复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的. 参考答案参考答案 axN(a0 且 a1) xlogaN a N logaN 10 lgN e lnN N N logbN logaN logab logad logaMlogaN logaMlogaN nlogaM (0，) R (1,0) 1 210 22y0 23y0 24y0 26增函数 27减函数 28ylogax 29yx 第七节第七节 函数的图象函数的图象 一、必记 2 个知识点 1列表描点法作图 其基本步骤是列表、描点、连线，首先：

16、确定函数的定义域；化简函数解析式；讨论函数的性质(奇偶性、 单调性、周期性、对称性)；其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值、最小值、与坐标轴的交点)，描 点，连线 2图象变换法作图 (1)平移变换 (2)对称变换 ()yf(x) 关于x轴对称y_； ()yf(x) 关于y轴对称y_； ()yf(x) 关于原点对称y_； ()yax(a0 且 a1) 关于yx对称y_. (3)翻折变换 ()yf(x) 保留x轴上方图象 将x轴下方图象翻折上去y_. ()yf(x) 保留y轴右边图象，并作其 关于y轴对称的图象 y_. (4)伸缩变换 y_. ()yf(x) a1，纵坐标伸长为原来的a倍，横坐

17、标不变 0a1，纵坐标缩短为原来的a倍，横坐标不变 y_. 二、必明 2 个易误点 1图象变换的根本是点的变换，如函数 yf(2x)的图象到函数 yf(2x2)的平移变换，是点(x，y)到对 应点(x1，y)，而不是到点(x2，y)或其他 2明确一个函数的图象本身关于 y 轴对称与两个函数的图象关于 y 轴对称的不同，前者是自身对称，后者 是两个不同的函数的对称关系 三、技法 1.图象变换法作函数的图象 (1)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如 yx 1 x的函数 (2)若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象

18、变换作出，但要注 意变换顺序. 2.识图 3 种常用的方法 3.函数图象应用的常见题型与求解策略 (1)研究函数性质： 根据已知或作出的函数图象，从最高点、最低点，分析函数的最值、极值 从图象的对称性，分析函数的奇偶性 从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性 从图象与 x 轴的交点情况，分析函数的零点等 (2)研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值(范围)：构造函数，转化为两函数图象的交点个数问 题，在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解 (3)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转 化为两函数图象的上、下关系问题，从而利

19、用数形结合求解. 参考答案参考答案 f(x) f(x) f(x) loga x |f(x)| f(|x|) f(ax) af(x) 第八节第八节 函数与方程函数与方程 一、必记 4 个知识点 1函数的零点的概念 对于函数 yf(x)，xD，我们把使_的实数 x 叫做函数 yf(x)，xD 的零点 2方程的根与函数的零点的关系 由函数的零点的概念可知，函数 yf(x)的零点就是方程 f(x)0 的实数根，也就是函数 yf(x)的图象与 _的交点的横坐标所以方程 f(x)0 有实数根_函数 yf(x) 有零点 3函数零点的存在性定理 如果函数 yf(x)在区间a，b上的图象是_的一条曲线，并且_，

20、那么函数 yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在 c(a，b)，使得_，这个 c 也就是方程 f(x)0 的根 4二分法的定义 对于在区间a，b上连续不断且 f(a)f(b)0 的函数 yf(x)，通过不断把函数 f(x)的零点所在的区间 _，使区间的两个端点逐渐逼近零点，进而得到_的方法叫做二分法 二、必明 2 个易误点 1函数 yf(x)的零点即方程 f(x)0 的实根，是函数图象与 x 轴交点的横坐标，是一个实数，易误认为 是一个点而写成坐标形式 2. 由函数 yf(x)在闭区间a，b上有零点不一定能推出 f(a)f(b)0，如图所示所以 f(a)f(b)0 是 y f(x)在闭区间

21、a，b上有零点的充分不必要条件 三、技法 1.确定函数 f(x)的零点所在区间的常用方法 (1)定义法：使用零点存在性定理，函数 yf(x)必须在区间a，b上是连续的，当 f(a)f(b)0 时，函数 在区间(a，b)内至少有一个零点 (2)图象法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如 f(x)g(x) h(x)，作出 yg(x)和 yh(x)的图象，其交点的横坐标即为函数 f(x)的零点. 2.判断函数零点个数的 3 种方法 (1)方程法：令 f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点 (2)定理法：利用定理不仅要求函数在区间a，b上是连续不断的

22、曲线，且 f(a)f(b)0，还必须结合函数 的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点 (3)图形法：转化为两个函数的图象的交点个数问题先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点 的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点. 3.已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用 3 种方法 直接法 直接根据题设条件构建关于参数的不等式， 再通过解不等式确定参数范围 分离参 数法 先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决 数形结 合法 先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形 结合求解 参考答案参考答案 f(x)0 x 轴 函数 yf(x

23、)的图象与 x 轴有交点 连续不断 f(a)f(b)0 f(c)0 一分为二 零点近似值 第九节第九节 函数模型及其应用函数模型及其应用 一、必记 2 个知识点 1三种函数模型的性质 函数 性质 yax(a1) ylogax(a1) yxn(n0) 在(0，)上 的增减性 _ _ _ 增长速度 _ _ 相对平稳 图象的变化 随 x 增大逐渐 表现为与 _平行 随 x 增大逐渐 表现为与 _平行 随 n 值变化 而不同 2.函数 ya x(a1)，ylog ax(a1)和 yx n(n0)的增长速度比较 (1)指数函数 yax 和幂函数 yx n(n0)在区间(0，)上，无论 n 比 a 大多少

24、，尽管在 x 的一定范围内 a x 会小于 x n，但由于 yax 的增长速度_yx n 的增长速度，因此总存在一个 x0，当 xx0时有 _. (2)对于对数函数 ylogax(a1)和幂函数 yx n(n0)在区间(0，)，尽管在 x 的一定范围内可能会有 logaxxn，但由于 ylogax 的增长速度慢于 yx n的增长速度，因此在(0，)上总存在一个实数 x 0，使 xx0时，_. (3)ya x(a1)，ylog ax(a1)与 yx n(n0)尽管都是增函数，但由于它们_不同，而且不在 同一个“档次上”， 因此在(0， )上随 x 的增大， 总会存在一个 x0， 当 xx0时，

25、有_. 二、必明 2 个易误点 1易忽视实际问题对自变量的影响，单纯考虑解析式下的函数定义域 2在解决函数模型后，要注意回归实际，验证这个数学结果对实际问题的合理性 三、技法 1.一次函数、二次函数模型问题的常见类型及解题策略 (1)直接考查一次函数、二次函数模型 解决此类问题应注意三点： 二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决， 但一定要密切注意函数的定义域， 否则极易出错； 确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法； 解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题 (2)以分段函数的形式考查 解决此类问题应注意以下三点： 实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出

26、，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价 与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解； 构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏； 分段函数的最值是各段的最大(或最小)者的最大者(最小者) 提醒 (1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域 (2)对构造的较复杂的函数模型，要适时地用换元法转化为熟悉的函数问题求解. 2.应用函数 yxa x模型的关键点 (1)明确对勾函数是正比例函数 f(x)ax 与反比例函数 f(x)b x叠加而成的 (2)解决实际问题时一般可以直接建立 f(x)axb x的模型，有时可以将所列函数关系式转化为 f(x)ax b x的形式 (3)利用模型 f(x)axb x求解最值时，要注意自变量的取值范围，及取得最值时等号成立的条件. 3.应用指数函数模型应注意的问题 (1)指数函数模型的应用类型常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分 裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决 (2)应用指数函数模型时的关键关键是对模型的判断，先设定模型，再将已知有关数据代入验证，确定参 数，从而确定函数模型 (3)ya(1x)n 通常利用指数运算与对数函数的性质求解. 参考答案参考答案 增函数 增函数 增函数 越来越快 越来越慢 y 轴 x 轴 快于 a xxn log ax x n 增长速度 axxnlog ax