2021年高考数学考前30天回归课本知识技法精细过（四）三角函数

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1、高考数学考前高考数学考前 3030 天回归课本知识技法精细过（四）天回归课本知识技法精细过（四） 第一节第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数任意角和弧度制及任意角的三角函数 一、必记 4 个知识点 1角的分类 (1)任意角可按旋转方向分为_、_、_. (2)按终边位置可分为_和终边在坐标轴上的角 (3)与角 终边相同的角连同角 在内可以用一个式子来表示，即 _. 2象限角 第一象限角的集合 _ 第二象限角的集合 _ 第三象限角的集合 _ 第四象限角的集合 _ 3.角的度量 (1)弧度制：把等于_长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角 (2)角的度量制有：_制，_制 (3)换算关系：1 _r

2、ad,1 rad_. (4)弧长及扇形面积公式：弧长公式为_，扇形面积公式为_. 4任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y)，那么 _叫做 的 正弦，记作 sin _叫做 的 余弦，记作 cos _叫做 的 正切，记作 tan 各象 限符 号 _ 21_ 22_ 23_ 24_ 25_ 26_ 27_ 28_ 29_ 30_ 31_ 口诀 一全正，二正弦，三正切，四余弦 三角函 数线 有向线段 32_ 为正弦线 有向线段 33_ 为余弦线 有向线段 34_ 为正切线 二、必明 3 个易误点 1易混概念：第一象限角、锐角、小于 9

3、0 的角是概念不同的三类角第一类是象限角，第二、第三 类是区间角 2利用 180 rad 进行互化时，易出现度量单位的混用 3三角函数的定义中，当 P(x，y)是单位圆上的点时有 sin y，cos x，tan y x，但若不是单位圆 时，如圆的半径为 r，则 sin y r，cos x r，tan y x. 三、技法 1.终边在某直线上角的求法 4 步骤 (1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线； (2)按逆时针方向写出0,2)内的角； (3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合； (4)求并集化简集合 2确定 k， k(kN *)的终边位置 3 步骤 (1)用终边相同角的形式表

4、示出角 的范围； (2)再写出 k 或 k的范围； (3)然后根据 k 的可能取值讨论确定 k 或 k的终边所在位置. 3. 应用弧度制解决问题的方法 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度 (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题 (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形. 4. 三角函数定义应用策略 (1)已知角 的终边与单位圆的交点坐标，可直接根据三角函数的定义求解 (2)已知角 终边上一点 P 的坐标，则可先求出点 P 到原点的距离 r，然后用三角函数的定义求解 (3)已知角 的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一

5、点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角 函数的定义的推广形式求解 (4)已知角 的某三角函数值(含参数)或角 终边上一点 P 的坐标(含参数)， 可根据三角函数的定义列方程求 参数值 (5)已知角 的终边所在的直线方程或角 的大小，根据三角函数的定义可求角 终边上某特定点的坐标 5三角函数值符号的记忆口诀 一全正、二正弦、三正切、四余弦 6三角函数线的两个主要应用 (1)三角式比较大小 (2)解三角不等式(方程). 参考答案参考答案 正角 负角 零角 象限角 k 360 (kZ) |2k2k 2，kZ |2k 2 2k，kZ |2k2k3 2 ，kZ |2k3 2 2k2，kZ 半径 角度

6、 弧度 180 180 l|r S1 2lr 1 2|r 2 y x y x 正 21正 22正 23正 24负 25负 26负 27负 28正 29负 30正 31负 32MP 33OM 34AT 第二节第二节 同角三角函数的基本关系及诱导公式同角三角函数的基本关系及诱导公式 一、必记 3 个知识点 1同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：_. (2)商数关系：_. 2三角函数的诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 2k (kZ) 2 2 正弦 sin _ _ _ _ _ 余弦 cos _ _ _ _ _ 正切 tan _ _ _ 3.特殊角的三角函数值 角 0 30 45 60 9

7、0 120 150 180 角 的 弧度数 0 6 4 3 2 2 3 5 6 sin _ _ 2 2 _ 1 _ _ 0 cos 21_ 22_ 2 2 23_ 0 24_ 25_ 1 tan 26_ 27_ 1 28_ 29_ 30_ 0 二、必明 2 个易误点 1在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号 2注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化 三、技法 1.利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤 2利用诱导公式化简三角函数的要求 (1)化简过程是恒等变形； (2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的求出值. 3. 同角

8、三角函数关系式的应用方法 (1)利用 sin2cos21 可实现 的正弦、余弦的互化，利用sin cos tan 可以实现角 的弦切互化 (2)由一个角的任意一个三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系”公式，需 求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论. 4.4. 已知角 的正切值，求由 sin 和 cos 构成的代数式的值，构成的代数式通常是分式齐次式或整式 齐次式 (1)形如asin bcos csin dcos 的分式，可将分子、分母同时除以 cos ；形如 asin2bsin cos ccos2 dsin2esin

9、 cos fcos2的分式，可 将分子、分母同时除以 cos2，将正、余弦转化为正切，从而求值 (2)形如 asin2bsin cos ccos2 的式子，可将其看成分母为 1 的分式，再将 1 变形为 sin2cos2，转化 为形如asin 2bsin cos ccos2 sin2cos2 的分式求解. 5.5. 在同角三角函数的基本关系中，sin2cos21 可变换成(sin cos )22sin cos 1，其中 sin cos 与 sin cos 很容易与一元二次方程的根与系数的关系产生联系若以 sin ，cos 为两根构造一元 二次方程，则可利用上述关系解决相关问题如本题中，易知 s

10、in ，cos 是关于 x 的方程 x21 5x 12 250 的两个实数根，解方程可求出 sin 和 cos . 6. 同角三角函数式化简过程中常用的方法： (1)对于含有根号的，常把被开方数(式)去根号达到化简的目的； (2)化切为弦，从而减少函数名称，达到化简的目的； (3)对于含高次的三角函数式，往往借助于因式分解或构造 sin2cos21，以降低次数，达到化简的目的. 参考答案 sin2cos21 tan sin cos sin sin sin cos cos cos cos cos sin sin tan tan tan 0 1 2 3 2 3 2 1 2 211 22 3 2 2

11、3 1 2 241 2 25 3 2 260 27 3 3 283 29 3 30 3 3 第三节第三节 三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质 一、必记 2 个知识点 1周期函数 (1)周期函数的定义 对于函数f(x)， 如果存在一个非零常数T， 使得当x取定义域内的每一个值时， 都有_， 那么函数 f(x)就叫做周期函数_叫做这个函数的周期 (2)最小正周期，如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个_，那么这个 _就叫做 f(x)的最小正周期 2正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 函数 ysin x ycos x ytan x 图 象 定义 域 xR xR x|xR 且 x 2

12、k，kZ 值域 _ _ _ 单调 性 _上递增， kZ； _上递减， kZ _上 递增，kZ； _上 递减，kZ _上递 增，kZ 最 值 x _时，ymax 1(kZ)； x_时， ymin 1(kZ) x_时， ymax1(kZ)； x_时， ymin1(kZ) 无最值 奇偶性 _ _ _ 对称 性 对称中心： _ 对称中心： 21_ 对称中心： 22_ 对称轴 l： 23_ 对称轴 l： 24_ 无 周期性 25_ 26_ 27_ 二、必明 2 个易误点 1三角函数存在多个单调区间时易错用“”联结 2研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易受基本函数影响，遗漏问题的多解，同时也

13、可能忽视“kZ”这一条件 三、技法 1. 求与三角函数有关的函数定义域的基本方法是“数形结合”，也就是在求这类函数定义域时，往往 需要解有关的三角不等式，而解三角不等式的方法是：要么利用正、余弦曲线，正切曲线，要么利用单位 圆等图形的直观形象来解决问题. 2. 三角函数最值或值域的三种求法 (1)直接法：利用 sin x，cos x 的值域 (2)化一法：化为 yAsin(x)k 的形式，确定 x 的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域 (3)换元法：把 sin x 或 cos x 看作一个整体，转化为二次函数，求给定区间上的值域(最值)问题. 3.奇偶性与周期性的判断方法 (1)奇偶性：由

14、正、余弦函数的奇偶性可判断 yAsin x 和 yAcos x 分别为奇函数和偶函数 (2)周期性：利用函数 yAsin(x)，yAcos(x)(0)的周期为2 ，函数 yAtan(x)(0)的周 期为 求解 4求三角函数单调区间的两种方法 (1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角 u(或 t)，利用基本三角函数的单 调性列不等式求解 (2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求它的单调区间. 参考答案 f(x T) f(x) T 最 小 正 数 最 小 正 数 y| 1y1 y| 1y1 R 22k， 22k 22k， 3 2 2k (2k1)，2k 2k，(2k

15、1) 2k， 2k 22k 22k 2k 2k 奇函数 偶函数 奇函数 (k，0)，kZ 21 k 2，0 ，kZ 22 k 2 ，0 ，kZ 23xk 2，kZ 24xk，kZ 252 262 27 第四节第四节 函数函数 yAsin(x)的图象及简单三角函数模型的应用的图象及简单三角函数模型的应用 一、必记 3 个知识点 1函数 ysin x 的图象变换得到 yAsin(x)(A0，0)的图象的步骤 2用五点法画 yAsin(x)一个周期内的简图 用五点法画 yAsin(x)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示 x 2 3 2 2 x _ _ _ 10_ _ yAsin(x) 0

16、A 0 A 0 3.简谐振动 yAsin(x)中的有关物理量 yAsin(x) (A0，0)， x0，)表 示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相 A T _ f _ _ x 二、必明 3 个易误点 1函数图象变换要明确，要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象 2要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数 3由 yAsin x 的图象得到 yAsin(x)的图象时，需平移的单位数应为 ，而不是|. 三、技法 1. 函数 yAsin(x)(A0，0)的图象的两种作法 五点法 设 zx，由 z 取 0， 2， 3 2 ，2 来求出相应的 x，通过列

17、表，计算 得出五点坐标，描点后得出图象 图象变 换法 由函数 ysin x 的图象通过变换得到 yAsin(x)的图象，有两种主要 途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移” 提醒 平移变换和伸缩变换都是针对 x 而言，即 x 本身加减多少值，而不是依赖于 x 加减多少值. 2. 确定 yAsin(x)B(A0，0)的解析式的步骤 (1)求 A，B，确定函数的最大值 M 和最小值 m，则 AMm 2 ，BMm 2 . (2)求 ，确定函数的周期 T，则 2 T . (3)求 ，常用方法有 代入法： 把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点 或最低点代入

18、 五点法：确定 值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口. 3. 函数 yAsin(x)(A0，0)的性质 (1)奇偶性：k 时，函数 yAsin(x)为奇函数；k 2(kZ)时，函数 yAsin(x)为偶函数 (2)周期性：yAsin(x)具有周期性，其最小正周期为 T2 . (3)单调性：根据 ysin t 和 tx(0)的单调性来研究，由 22kx 22k(kZ)得单调增 区间；由 22kx 3 2 2k(kZ)得单调减区间 (4)对称性： 利用 ysin x 的对称中心为(k，0)(kZ)求解，令 xk(kZ)，求得对称中心坐标 利用 ysin x 的对称轴为 xk 2(kZ)求

19、解，令 xk 2(kZ)得其对称轴方程. 参考答案 | 1 1 | A A 0 2 3 2 2 2 1 T 2 第五节第五节 三角恒等变换三角恒等变换 一、必记 3 个知识点 1两角和与差的正弦、余弦、正切公式 名称 公式 简记符号 使用条件 两角和 的余弦 cos() _ C() ，R 两角差 的余弦 cos() cos cos sin sin C() 两角和 的正弦 sin() _ S() ，R 两角差 的正弦 sin() sin cos cos sin S() 两角和 的正切 tan() _ T() ， 2 k(kZ) 两角差 的正切 tan() _ T() ， 2 k(kZ) 2.二倍

20、角的正弦、余弦、正切公式 记法 公式 S2 sin 2_ C2 cos 2_ T2 tan 2_ 3.与二倍角有关的公式变形 (1)2sin cos sin 2，sin cos 1 2sin 2，cos sin 2 2sin ，cos 2sin2cos 2， 2tan 1tan2tan 2. (2)1 sin 2sin2cos2 2sin cos (sin cos )2. (3)降幂公式： cos2_. sin2_. 二、必明 2 个易误点 1实施简单的三角恒等变换首先要准确记忆相关的三角公式由于本章三角公式多，记错、记混三角 公式是屡见不鲜的 2凡是涉及“开平方”的问题，必须注意符号的选取，

21、而符号的选取最终取决于角的范围如果不能 确定，则要进行分类讨论，防止丢解 三、技法 1. 三角函数公式的应用策略 (1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律例如两角差的余弦公式可简 记为：“同名相乘，符号反” (2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用. 2. 三角函数公式活用技巧 (1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式 (2)tan tan ，tan tan (或 tan tan )，tan()(或 tan()三者中可以知二求一，注意公式的正用、 逆用和变形使用 3. 利用角的变换求三角函数值的策略 (1)当“已知

22、角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式 (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把 “所求角”变成“已知角” (3)常见的角变换技巧： 2 2；()；()； 1 2()()； 1 2()()； 4 2 4 . (4)特殊角的拆分：7 12 3 4， 5 12 4 6， 12 3 4. 4. (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则 (2)三角函数式化简的方法 弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂 在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要 升次如“考点一”第

23、 2 题. 5. 三角函数求值的 3 类求法 (1)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”， 使其角相同或具有某种关系 (2)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角 总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而 得解 (3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角. 6. 求函数周期、最值、单调区间的方法步骤 (1)利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成 yAsin(x)t或 yAcos(x)

24、t的形式 (2)利用公式 T2 (0)求周期 (3)根据自变量的范围确定 x 的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时， 根据所给关系式的特点，也可换元转化为二次函数的最值 (4)根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数 yAsin(x)t 或 yAcos(x)t 的单调区间. 特别注意：常见方法与技巧： 1巧用公式变形： 和差角公式变形： tan x tan ytan(x y) (1tan x tan y)； 倍角公式变形： 降幂公式 cos21cos 2 2 ， sin2 1cos 2 2 ， 配方变形：1 sin sin 2 cos 2 2， 1cos 2cos2

25、2，1cos 2sin 2 2. 2重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成 同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降 低次数等在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中 的差异，再选择适当的三角公式恒等变形 失误与防范： 1运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活 运用，要注意“1”的各种变通 2在三角函数求值时，一定不要忽视题中给出的或隐含的角的范围 参考答案 cos cos sin sin sin co

26、s cos sin tan tan 1tan tan tan tan 1tan tan 2sin cos cos2sin2 2tan 1tan2 1cos 2 2 1cos 2 2 第六节第六节 正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理 一、必记 3 个知识点 1正弦定理 _，其中 R 是三角形外接圆的半径由正弦定理可以变形为：(1)abc _；(2)a2Rsin A，b2Rsin B，_；(3)sin A a 2R，sin B b 2R，sin C _等形式，以解决不同的三角形问题 2余弦定理 a2_，b2_，c2_.余弦定理 可以变形为：cos A_，cos B_，cos C_. 3三角形面积

27、公式 SABC1 2absin C 1 2bcsin A 1 2acsin B abc 4R 1 2(abc) r(r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算 R、 r. 二、必明 2 个易误点 1由正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角时易忽视解的判断 2在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解 三、技法 1.解三角形 (1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正 弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到 (2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该

28、三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的 对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断. 2.应用正、余弦定理转化边角关系的技巧 技巧 解读 边化角 将表达式中的边利用公式 a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C 化为角的关系 角化边 将表达式中的角利用公式转化为边，出现角的正弦值用正弦定理转化 和积互化 a2b2c22bccos A(bc)22bc(1cos A)可联系已知条件，利用方程思 想进行求解三角形的边 3.利用正、余弦定理判断三角形形状的基本方法 (1)“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配

29、方等得出边的相 应关系，从而判断三角形的形状 (2)“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角函数 恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用 ABC 这个结论. 4. 三角形面积公式的应用原则 (1)对于面积公式 S1 2absin C 1 2acsin B 1 2bcsin A，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式 (2)已知三角形的面积解三角形与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互 化. 参考答案 a sin A b sin B c sin C2R sin A sin Bsin C c2Rsin C c

30、 2R b2c22bccos A a2c22accos B a2b22abcos C b 2c2a2 2bc a 2c2b2 2ac a 2b2c2 2ab 第七节第七节 解三角形应用举例解三角形应用举例 一、必记 5 个知识点 1仰角和俯角 与目标视线同在一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线_时叫仰 角，目标视线在水平视线_时叫俯角(如图所示) 2方位角 一般指正北方向线顺时针到目标方向线的水平角，如方位角 45 ，是指_，即东北 方向 3方向角 相对于某一正方向的角(如图) (1)北偏东 ：指从正北方向顺时针旋转 到达目标方向 (2)东北方向：指北偏东 45 或东偏北

31、 45 . (3)其他方向角类似 4坡角 坡面与_的夹角(如图所示) 5坡比 坡面的铅直高度与水平宽度之比，即 ih ltan (i 为坡比， 为坡角) 二、必明 1 个易误点 易混淆方位角与方向角概念：方位角是指北方向与目标方向线按顺时针之间的夹角，而方向角是正 北或正南方向线与目标方向线所成的锐角 三、技法 1. 测量问题中距离问题的解法 (1)选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题 (2)根据已知条件，选择正弦定理或者余弦定理求解. 2. 求解高度问题应注意的 3 个问题 (1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(

32、它是在水平面上所成 的角)是关键 (2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一 个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错 (3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题. 3. 求解角度问题应注意 (1)明确方位角的含义； (2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步； (3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用. 4. 平面几何中解三角形问题的求解思路 (1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解 (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果. 参考答案 上方 下方 北偏东 45 水平面