2021年中考数学分类专题突破20 正方形的判定与性质(含答案解析)
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1、专题专题 20 20 正方形的判定与性质正方形的判定与性质 一选择题 1下列说法不正确的是( ) A对角线互相垂直的矩形是正方形 B对角线相等的菱形是正方形 C有一个角是直角的平行四边形是正方形 D邻边相等的矩形是正方形 解:A、正确对角线互相垂直的矩形是正方形; B、正确对角线相等的菱形是正方形; C、错误应该是有一个角是直角的平行四边形是矩形; D、正确邻边相等的矩形是正方形; 故选:C 2如图,正方形 ABCD 的边长为 8,在各边上顺次截取 AEBFCGDH5,则四边形 EFGH 的面积是 ( ) A30 B34 C36 D40 解:四边形 ABCD 是正方形, ABCD90 ,ABB
2、CCDDA, AEBFCGDH, AHBECFDG 在 AEH、 BFE、 CGF 和 DHG 中, , AEHBFECGFDHG(SAS), EHFEGFGH,AEHBFE, 四边形 EFGH 是菱形, BEF+BFE90 , BEF+AEH90 , HEF90 , 四边形 EFGH 是正方形, ABBCCDDA8,AEBFCGDH5, EHFEGFGH, 四边形 EFGH 的面积是:34, 故选:B 3在 ABC 中,ACAB,D,E,F 分别是 AC,BC,AB 的中点,则下列结论中一定正确的是( ) A四边形 DEBF 是矩形 B四边形 DCEF 是正方形 C四边形 ADEF 是菱形
3、D DEF 是等边三角形 解:结论:四边形 ADEF 是菱形 理由如下:CDAD,CEEB, DEAB, BEEC,BFFA, EFAC, 四边形 ADEF 是菱形, ACAB, ADAF, 四边形 ADEF 是菱形 故选:C 4如图,八边形 ABCDEFGH 中,ABCDEFGH1,BCDEFGHA,ABCD EFH135 ,则这个八边形的面积等于( ) A7 B8 C9 D14 解:如图, 延长 AB、DC 交于 M 点,延长 CD、FE 交于 N 点,延长 EF、HG 交于 P 点,延长 GH、BA 交于 Q 点, 则 MNPQ 是矩形, ABCDEFGH135 , BCM、 DEN、
4、FGP、 AHQ 均为等腰直角三角形 这个八边形的面积等于矩形面积4 个小三角形的面积3 34 1 1 27 故选:A 5直角梯形 ABCD 中,AD90 ,DCAB,ABAD12,E 是边 AD 上的一点,恰好使 CE10, 并且CBE45 ,则 AE 的长是( ) A2 或 8 B4 或 6 C5 D3 或 7 解:如图,过点 B 作 BFCD 交 DC 的延长线于 F, AD90 ,ABAD, 四边形 ABFD 是正方形, 把 ABE 绕点 B 顺时针旋转 90 得到 BFG, 则 AEFG,BEBG,ABEFBG, CBE45 , CBGCBF+FBGCBF+ABE90 CBE90 4
5、5 45 , CBECBG, 在 CBE 和 CBG 中, , CBECBG(SAS), CECG, AE+CFFG+CFCGCE, 设 AEx,则 DE12x,CF10 x, CD12(10 x)x+2, 在 Rt CDE 中,CD2+DE2CE2, 即(x+2)2+(12x)2102, 整理得,x210 x+240, 解得 x14,x26, 所以 AE 的长是 4 或 6 故选:B 6如图,小明在学习了正方形之后,给同桌小文出了道题,从下列四个条件:ABBC,ABC90 , ACBD,ACBD 中任选两个作为补充条件,使 ABCD 为正方形现有下列四种选法,你认为其 中错误的是( ) A
6、B C D 解:A、四边形 ABCD 是平行四边形, 当ABC90 时,平行四边形 ABCD 是矩形, 当 ACBD 时,这是矩形的性质,无法得出四边形 ABCD 是正方形,故此选项错误,符合题意; B、四边形 ABCD 是平行四边形, 当ABBC 时,平行四边形 ABCD 是菱形, 当ACBD 时,菱形 ABCD 是正方形,故此选项正确,不合题意; C、四边形 ABCD 是平行四边形, 当ABBC 时,平行四边形 ABCD 是菱形, 当ABC90 时,菱形 ABCD 是正方形,故此选项正确,不合题意; D、四边形 ABCD 是平行四边形, 当ACBD 时,平行四边形 ABCD 是矩形, 当A
7、CBD 时,矩形 ABCD 是正方形,故此选项正确,不合题意 故选:A 7已知,如图一张三角形纸片 ABC,边 AB 长为 10cm,AB 边上的高为 15cm,在三角形内从左到右叠放边 长为 2 的正方形小纸片,第一次小纸片的一条边都在 AB 上,依次这样往上叠放上去,则最多能叠放的 正方形的个数是( ) A12 B13 C14 D15 解:作 CFAB 于点 F, 设最下边的一排小正方形的上边的边所在的直线与 ABC 的边交于 D、E, DEAB, ,即, 解得:DE,而整数部分是 4, 最下边一排是 4 个正方形 第二排正方形的上边的边所在的直线与 ABC 的边交于 G、H 则,解得 G
8、H,而整数部分是 3, 第二排是 3 个正方形; 同理:第三排是:3 个; 第四排是 2 个, 第五排是 1 个, 第六排是 1 个,则正方形的个数是:4+3+3+2+1+114 故选:C 8在一次数学课上,张老师出示了一个题目:“如图, ABCD 的对角线相交于点 O,过点 O 作 EF 垂直于 BD 交 AB,CD 分别于点 F,E,连接 DF,BE请根据上述条件,写出一个正确结论”其中四位同学写 出的结论如下: 小青:OEOF;小何:四边形 DFBE 是正方形; 小夏:S四边形AFEDS四边形FBCE;小雨:ACECAF 这四位同学写出的结论中不正确的是( ) A小青 B小何 C小夏 D
9、小雨 解:四边形 ABCD 是平行四边形, OAOC,CDAB, ECOFAO,(故小雨的结论正确), 在 EOC 和 FOA 中, , EOCFOA, OEOF(故小青的结论正确), S EOCS AOF, S四边形AFEDS ADCS平行四边形ABCD, S四边形AFEDS四边形FBCE故小夏的结论正确, EOCFOA, ECAF,CDAB, DEFB,DEFB, 四边形 DFBE 是平行四边形, ODOB,EODB, EDEB, 四边形 DFBE 是菱形,无法判断是正方形,故小何的结论错误, 故选:B 9如图,四边形 ABCD 中,ADDC,ADCABC90 ,DEAB,若四边形 ABC
10、D 面积为 16,则 DE 的长为( ) A3 B2 C4 D8 解:过点 D 作 BC 的垂线,交 BC 的延长线于 F, ADCABC90 , A+BCD180 , FCD+BCD180 , AFCD, 又AEDF90 ,ADDC, ADECDF, DEDF, S四边形ABCDS正方形DEBF16, DE4 故选:C 10如图,已知一个矩形纸片 OACB,将该纸片放置在平面直角坐标系中,点 A(10,0),点 B(0,6), 点 P 为 BC 边上的动点,将 OBP 沿 OP 折叠得到 OPD,连接 CD、AD则下列结论中:当BOP 45 时,四边形 OBPD 为正方形;当BOP30 时,
11、 OAD 的面积为 15;当 P 在运动过程中, CD 的最小值为 26;当 ODAD 时,BP2其中结论正确的有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 解:四边形 OACB 是矩形, OBC90 , 将 OBP 沿 OP 折叠得到 OPD, OBOD,PDOOBP90 ,BOPDOP, BOP45 , DOPBOP45 , BOD90 , BODOBPODP90 , 四边形 OBPD 是矩形, OBOD, 四边形 OBPD 为正方形;故正确; 过 D 作 DHOA 于 H, 点 A(10,0),点 B(0,6), OA10,OB6, ODOB6,BOPDOP30 , DOA30 ,
12、DH3, OAD 的面积为OADH 3 1015,故正确; 连接 OC, 则 OD+CDOC, 即当 OD+CDOC 时,CD 取最小值, ACOB6,OA10, OC 2, CDOCOD26, 即 CD 的最小值为 26;故正确; ODAD, ADO90 , ODPOBP90 , ADP180 , P,D,A 三点共线, OACB, OPBPOA, OPBOPD, OPAPOA, APOA10, AC6, CP8, BPBCCP1082,故正确; 故选:D 二填空题 11如图,在四边形 ABCD 中,ADBC(BCAD),D90 ,ABE45 ,BCCD,若 AE5,CE 2,则 BC 的长
13、度为 解:过点 B 作 BFAD 于点 F,延长 DF 使 FGEC,连接 BG, ADBC,D90 , CD90 ,BFAD 四边形 CDFB 是矩形 BCCD 四边形 CDFB 是正方形 CDBCDFBF,CBF90 CBFG, BCBF,BFGC90 ,CEFG BCEBFG(SAS) BEBG,CBEFBG ABE45 , CBE+ABF45 , ABF+FBG45 ABG ABGABE,且 ABAB,BEBG ABEABG(SAS) AEAG5, AFAGFG523 在 Rt ADE 中,AE2AD2+DE2, 25(DF3)2+(DF2)2 , DF6 BC6 故答案为:6 12小
14、明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具,他先活动学具成为图 1 所示菱形,并测得B 60 ,接着活动学具成为图 2 所示正方形,并测得正方形的对角线 AC40cm,则图 1 中对角线 AC 的 长为 cm 解:如图 1,2 中,连接 AC 在图 2 中,四边形 ABCD 是正方形, ABBC,B90 , AC40 , ABBC20, 在图 1 中,B60 ,BABC, ABC 是等边三角形, ACBC20, 故答案为:20, 13在四边形 ABCD 中,ADBC(BCAD),B90 ,ABBC10,点 E 在 AB 上,BE6 且DCE 45 ,则 DE 的长为 解:如图,ADBC(B
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