2021年中考数学分类专题突破26 四边形中的线段长度问题(含答案解析)
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1、专题专题 26 26 四边形中的线段长度问题四边形中的线段长度问题 1、如图,平行四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O,BAC90 ,AC6,BD8,则 CD 的长 为( ) A B5 C D10 解: ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O, BODO,AOCO,ABCD, BAC90 ,AC6,BD8, BO4,OA3, , 故选:A 2、如图,E、F 分别是正方形 ABCD 边 AD、BC 上的两定点,M 是线段 EF 上的一点,过 M 的直线与正方 形 ABCD 的边交于点 P 和点 H,且 PHEF,则满足条件的直线 PH 最多有( )条 A1 B2 C
2、3 D4 证明:如图 1,过 B 作 BGEF,过 C 作 CQPH, 四边形 ABCD 是正方形, ADBC,ABCD,ACBQ90 , 四边形 BFEG 和四边形 CQPH 是平行四边形, EFBG,PHCQ, PHEF, BGCQ, ABBC, Rt ABGRt BCQ(HL), ABGBCQ, ABG+CBGCBG+BCQ90 , CQBG, PHEF, 所以图 1 中过 M 与 EF 垂直满足条件有一条, 如图 2,还有两条:P1H1,P2H2, 故选:C 3、如图,在矩形 ABCD 中对角线 AC 与 BD 相交于点 O,CEBD,垂足为点 E,CE5,且 EO2DE,则 AD 的
3、长为 解:四边形 ABCD 是矩形, ADC90 ,BDAC,ODBD,OCAC, OCOD, EO2DE, 设 DEx,OE2x, ODOC3x,AC6x, CEBD, DECOEC90 , 在 Rt OCE 中, OE2+CE2OC2, (2x)2+52(3x)2 , x0, DE,AC6 , CD , AD 5, 故答案为:5 4、如图,菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O,过点 D 作 DEAC,且 DE:AC1:2,连接 CE、 OE,连接 AE 交 OD 于点 F (1)求证:OECD; (2)若菱形 ABCD 的边长为 2,ABC60 ,求 AE 的长 (1)证明:
4、在菱形 ABCD 中,OCAC DE:AC1:2, DEOC, DEAC, 四边形 OCED 是平行四边形 ACBD, 平行四边形 OCED 是矩形 OECD (2)解:在菱形 ABCD 中,ABC60 , ACAB2 在矩形 OCED 中, CEOD 在 Rt ACE 中, AE 5、四边形 ABCD 是平行四边形,AB (1)求证: ABCD 是矩形; (2)若 BCAB,求ACB 的度数; (3)在(2)的条件下,点 E,F 分别在 AB,AD 上,且 CECF,ECF30 ,AC4,求 2AEFD 的值 (1)证明:如图 1 中, 四边形 ABCD 是平行四边形, ADBC, A+B1
5、80 , AB, AB90 , 四边形 ABCD 是矩形; (2)解:如图 2 中, 在 Rt ACB 中,tanACB, ACB30 ; (3)解:如图 3 中,作 FHAC 于 H ACBECF30 , BCEFCH, CECF,BFHC90 , BCEHCF, BEFH, 在 Rt AFH 中,FAH30 , FHAF, AE+AFAE+FHAE+BEAB, 在 Rt ACB 中,ACB30 , ABAC2, AE+AF2, 2AE+AF4, AF42AE, DFADAF2(42AE), 2AEFD42 6、如图所示,四边形 ABCD 为平行四边形,AD13,AB25,DAB,且 cos
6、,点 E 为直线 CD 上一动点,将线段 EA 绕点 E 逆时针旋转 得到线段 EF,连接 CF (1)求平行四边形 ABCD 的面积; (2)当点 C、B、F 三点共线时,设 EF 与 AB 相交于点 G,求线段 BG 的长; (3)求线段 CF 的长度的最小值 解(1)如图 1,作 DKAB 于点 K, 将线段 EA 绕点 E 逆时针旋转 得到线段 EF, AEF,AEEF, 在 Rt DAK 中, cosDAKcos,且 AD13, AK5, DK 12, S平行四边形ABCDAB DK25 12300; (2)如图 2,延长 CD 至 H,作AHD, AHDADH, AHAD13, 过
7、点 A 作 AMDH 于点 M, 由(1)知 AM12, DM5, DH10, FEHDEA+F+, DEAF, 在 AEH 和 EFC 中, , AEHEFC(AAS), EHCF,CEAH13, DECDCE12,BFCFBC22139, BGCE, FBGFCE, , 即, BG ; (3)如图 3,延长 CD 至 P,使PADP,过点 F 作 FMBC,交 CD 于点 M,过点 FNCD, 交 CD 于点 N, 由(2)可知AEPEFM, 在 EAP 和 FEM 中 , EAPFEM(AAS), EMAP13,FMEP, 设 DEx,则 FMEP10+x,CM25(13+x)12x,
8、FNFMsin(10+x),MNFMcos(10+x), CNCM+MN12x+(10+x), 在 Rt CFN 中,CF2CN2+NF2(208x2416x+56836), 对称轴 x1, 当 x1 时,CF 的值最小,CF 的最小值为 7、如图,已知 ABCD,E 是 CA 延长线上一点,且EAB90 ,ABAE,点 F 是 BC 下方一点,且 FE FD,EFD90 , (1)求证:FEAFDC; (2)若 AF3,求 AC 的长 (1)证明:设 AC 与 DF 交于点 O,如图 1 所示: EAB90 , BAC90 , 四边形 ABCD 是平行四边形, ABCD,ABCD, ACDB
9、AC90 , FDC+COD90 , EFD90 , FEA+FOE90 , 又FOECOD, FEAFDC; (2)解:连接 CF,如图 2 所示: ABAE,ABCD, AECD, 在 AEF 和 CDF 中, AEFCDF(SAS), AFCF,AFECFD, AFCEFD90 , ACF 是等腰直角三角形, ACAF3 8、已知在四边形 ABCD 中,ADBC,ABBC,AD2,AB4,BC6 (1)如图 1,P 为 AB 边上一点,以 PD,PC 为边作平行四边形 PCQD,过点 Q 作 QHBC,交 BC 的 延长线于 H求证: ADPHCQ; (2)若 P 为 AB 边上任意一点
10、,延长 PD 到 E,使 DEPD,再以 PE,PC 为边作平行四边形 PCQE请 问对角线 PQ 的长是否存在最小值?如果存在,请求出最小值;如果不存在,请说明理由 (3)如图 2,若 P 为 DC 边上任意一点,延长 PA 到 E,使 AEnPA(n 为常数),以 PE,PB 为边作 平行四边形 PBQE请探究对角线 PQ 的长是否也存在最小值?如果存在,请求出最小值;如果不存在, 请说明理由 解:(1)ADBC, ADCDCH, ADP+PDCDCQ+QCH, 四边形 PCQD 是平行四边形, PDCQ,PDCQ, PDCDCQ, ADPQCH, 在 ADP 和 HCQ 中, , ADP
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