2021年高考数学考前30天回归课本知识技法精细过（九）解析几何（直线与圆）

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1、高考数学考前高考数学考前 3030 天回归课本知识技法精细过（天回归课本知识技法精细过（九九） 第一节第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程直线的倾斜角与斜率、直线的方程 一、必记 2 个知识点 1直线的倾斜角和斜率 (1)直线的倾斜角的定义 当直线 l 与 x 轴相交时，我们取 x 轴作为基准，x 轴_与直线 l_之间所成的 _ 叫做直线的倾斜角当直线和 x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为 0 ，因此，直线倾 斜角 的取值范围是_. (2)斜率的定义 倾斜角不是 90 的直线，它的倾斜角的_叫做这条直线的斜率，常用 k 表示，即_. 倾斜角是 90 的直线，斜率 k 不存在 (3)斜率

2、公式 当直线 l 经过两点 P1(x1，y1)、P2(x2，y2)时，l 的斜率 k_. (4)直线的方向向量 经过两点 P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线的方向向量的坐标可记为_，当直线的斜率 k 存在 时，方向向量的坐标可记为_. 2直线方程的几种基本形式 名称 方程 适用范围 斜截式 _ 不能表示垂直于 x 轴的直线 点斜式 _ 不能表示垂直于 x 轴的直线 两点式 _ 不能表示垂直于坐标轴的直线 截距式 _ 不能表示垂直于坐标轴及过原点的直线 一般式 _ 能表示平面上任何直线 二、必明 4 个易误点 1利用两点式计算斜率时易忽视 x1x2时斜率 k 不存在的情况 2用直线的点

3、斜式求方程时，在斜率 k 不明确的情况下，注意分 k 存在与不存在讨论，否则会造成失 误 3直线的截距式中易忽视截距均不为 0 这一条件，当截距为 0 时可用点斜式 4由一般式 AxByC0 确定斜率 k 时易忽视判断 B 是否为 0，当 B0 时，k 不存在；当 B0 时， kA B. 三、技法 1. 斜率的求法 (1)定义法：若已知直线的倾斜角 或 的某种三角函数值，一般根据 ktan 求斜率(90 ) (2)公式法：若已知直线上两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式 ky2y1 x2x1(x1x2)求斜率 2斜率取值范围的三种求法 (1)数形结合法：作出直线在平面直角

4、坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定 (2)构建不等式法：利用不等式所表示的平面区域的性质，转化为线线、线面的位置关系，构造不等式求 范围 (3)利用斜率关于倾斜角的函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可. 3. 求直线方程的关注点 在求直线方程时， 应选择适当的直线方程的形式， 并注意各种形式的适用条件 用斜截式及点斜式时， 直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点 的直线故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜 率不存在的情况. 4. 直线方程的综合应用 (1)含有参数的直

5、线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过两条定直线交点的直线系，即能够看出 “动中有定” (2)求解与直线方程有关的最值问题，先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值. 参考答案参考答案 正向 向上方向 最小正角 0 180 正切值 ktan y2y1 x2x1(其中 x1x2) (x2x1，y2y1) (1，k) ykxb yy0k(xx0) yy1 y2y1 xx1 x2x1 x a y b1 AxByC0(A 2B20) 第二节第二节 两条直线的位置关系与距离公式两条直线的位置关系与距离公式 一、必记 3 个知识点 1平行与垂直 若直线 l1和 l2有斜截式方程 l1：y

6、k1xb1，l2：yk2xb2，则： (1)直线 l1l2的充要条件是_. (2)直线 l1l2的充要条件是_. 若 l1和 l2都没有斜率，则 l1与 l2平行或重合 若 l1和 l2中有一条没有斜率而另一条斜率为 0，则 l1l2. 2两直线相交 (1)交点： 直线l1： A1xB1yC10和l2： A2xB2yC20的公共点的坐标与方程组 A1xB1yC10， A2xB2yC20 的解一一对应 (2)相交方程组有_，交点坐标就是方程组的解 (3)平行方程组_. (4)重合方程组有_. 3三种距离 (1)两点间的距离 平面上的两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P

7、2| _. 特别地，原点(0,0)与任意一点 P(x，y)的距离|OP|_. (2)点到直线的距离 点 P0(x0，y0)到直线 l：AxByC0 的距离 d_. (3)两条平行线的距离 两条平行线 AxByC10 与 AxByC20 间的距离 d_. 二、必明 2 个易误点 1在判断两条直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可据条件进行判断，若无 斜率，要单独考虑 2 运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的 x， y 的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致 出错 三、技法 1. 由一般式确定两直线位置关系的方法 直线方程 l1：A1xB1yC10(A21B210) l2

8、：A2xB2yC20(A22B220) l1与 l2垂直 的充要条件 A1A2B1B20 l1与 l2平行 的充分条件 A1 A2 B1 B2 C1 C2(A2B2C20) l1与 l2相交 的充分条件 A1 A2 B1 B2(A2B20) l1与 l2重合 的充分条件 A1 A2 B1 B2 C1 C2(A2B2C20) 2. 处理距离问题的 3 种方法 (1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求，注意直线方程为一般式 (2)动点到两定点的距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段 的垂直平分线上，从而计算简便 (3)两平行直线间的距离 利用“化

9、归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离； 利用两平行线间的距离公式 提醒：在应用两条平行线间的距离公式时，应把直线方程化为一般形式，且使 x，y 的系数分别相等. 3. 中心对称问题的 2 个类型及求解方法 (1)点关于点对称： 若点 M(x1，y1)及 N(x，y)关于 P(a，b)对称，则由中点坐标公式得 x2ax1，y2by1， 进而求解 (2)直线关于点的对称，主要求解方法是： 在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线 方程； 求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程 4轴对称问题的 2

10、 个类型及求解方法 (1)点关于直线的对称： 若两点 P1(x1，y1)与 P2(x2，y2)关于直线 l：AxByC0 对称，由方程组 可得到点 P1关于 l 对称的点 P2的坐标(x2，y2)(其中 B0，x1x2) (2)直线关于直线的对称： 一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对 称轴平行. 参考答案 k1k2且 b1b2 k1 k21 唯一解 无解 无数个解 x1x22y1y22 x2y2 |Ax0By0C| A2B2 |C1C2| A2B2 第三节第三节 圆的方程圆的方程 一、必记 3 个知识点 1圆的标准方程 (xa)2(yb)2

11、r2，方程表示圆心为_，半径为_的圆 2圆的一般方程 对于方程 x2y2DxEyF0 (1)当 D2E24F0 时，表示圆心为_，半径为_的圆； (2)当 D2E24F0 时，表示一个点_； (3)当 D2E24F0 时，它不表示任何图形 3点与圆的位置关系 圆的标准方程(xa)2(yb)2r2，圆心 A(a，b)，半径 r，若点 M(x0，y0)在圆上，则(x0a)2(y0b)2 _； 若点 M(x0，y0)在圆外，则(x0a)2(y0b)2_； 若点 M(x0，y0)在圆内，则(x0a)2(y0b)2_. 二、必明 1 个易误点 对于方程 x2y2DxEyF0 表示圆时易忽视 D2E24F

12、0 这一成立条件 三、技法 1.求圆的方程的两种方法 (1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程 (2)待定系数法： 若已知条件与圆心(a，b)和半径 r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于 a，b，r 的方程 组，从而求出 a，b，r 的值； 若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于 D，E，F 的方 程组，进而求出 D，E，F 的值 2确定圆心位置的方法 (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上 (2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上 (3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线 提醒：解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的

13、几何性质. 3. 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略 (1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形 结合求解 (2)与圆上点(x，y)有关的代数式的最值的常见类型及解法 形如 uyb xa型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题； 形如 taxby 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；形如(xa)2(yb)2型的最值问 题，可转化为动点到定点(a，b)的距离的平方的最值问题. 参考答案 (a，b) r D 2， E 2 1 2 D2E24F D 2， E 2 r2 r2 r2 第四节第四节 直线与圆、

14、圆与圆的位置关系直线与圆、圆与圆的位置关系 一、必记 4 个知识点 1直线与圆的位置关系 判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法： (1)代数法：利用判别式 判别式 b24ac 0 0 0 (2)几何法：利用圆心到直线的距离 d 和圆半径 r 的大小关系 dr_；dr_；dr _. 2圆的切线方程 若圆的方程为 x2y2r2，点 P(x0，y0)在圆上，则过 P 点且与圆 x2y2r2相切的切线方程为 _. 3直线与圆相交 直线与圆相交时，若 l 为弦长，d 为弦心距，r 为半径，则有 r2_，即 l2 r2d2，求 弦长或已知弦长求解问题，一般用此公式 4两圆位置关系的判断 两圆(xa1)2

15、(yb1)2r21(r0)，(xa2)2(yb2)2r22(r20)的圆心距为 d，则 (1)dr1r2两圆_； (2)dr1r2两圆_； (3)|r1r2|dr1r2(r1r2)两圆_； (4)d|r1r2|(r1r2)两圆_； (5)0d|r1r2|(r1r2)两圆_. 二、必明 2 个易误点 1对于圆的切线问题，尤其是圆外一点引圆的切线，易忽视切线斜率 k 不存在情形 2两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形 三、技法 1. 判断直线与圆的位置关系常见的方法 (1)几何法：利用 d 与 r 的关系 (2)代数法：联立方程之后利用 判断 (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在

16、圆内，可判断直线与圆相交 注：上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题. 2. 求过圆上一点(x0，y0)的切线方程的方法 先求切点与圆心连线的斜率 k，若 k 不存在，则结合图形可直接写出切线方程为 yy0；若 k0，则结 合图形可直接写出切线方程为 xx0；若 k 存在且 k0，则由垂直关系知切线的斜率为1 k，由点斜式可写 出切线方程 3求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的两种方法 几 何 法 当斜率存在时，设为 k，则切线方程为 yy0k(xx0)，即 kxyy0kx0 0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出 k 的值，进而写出切线方程 代 数 法 当斜率

17、存在时，设为 k，则切线方程为 yy0k(xx0)，即 ykxkx0y0， 代入圆的方程，得到一个关于 x 的一元二次方程，由 0，求得 k，切线方 程即可求出 4. 求直线与圆相交时弦长的两种方法 (1)几何法：直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，设弦心距为 d，圆 C 的半径为 r， 则|AB|2 r2d2. (2)代数法：将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的交点分别是 A(x1，y1)，B(x2，y2) 则|AB|x1x22y1y22 1k2|x1x2|1 1 k2|y1y2|(直线 l 的斜率 k 存在). 5. 判断两圆位置关系的方程 常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系，一般不用代数法 6两圆公共弦长的求法 两圆公共弦长，先求出公共弦所在直线的方程，在其中一圆中，由弦心距 d，半弦长l 2，半径 r 所在线 段构成直角三角形，利用勾股定理求解. 参考答案 相交 相切 相离 相交 相切 相离 0 x x 0 y yr2 d2 l 2 2 外离 外切 相交 内切 内含