2021年高考数学考前30天回归课本知识技法精细过（八）立体几何

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1、高考数学考前高考数学考前 3030 天回归课本知识技法精细过（天回归课本知识技法精细过（八八） 第一节第一节 空间几何体的结构及其三视图和直观图空间几何体的结构及其三视图和直观图 一、必记 4 个知识点 1空间几何体的结构特征 (2)旋转体的结构特征： 几何体 旋转图形 旋转轴 圆柱 矩形 _所在的直线 圆锥 直角三角形 _所在的直线 圆台 直角梯形 _所在的直线 球 半圆 _所在的直线 2.空间几何体的三视图 (1)三视图的形成与名称： ()形成：空间几何体的三视图是用平行投影得到的，在这种投影之下，与投影面平行的平面图形留下 的影子，与平面图形的_和_是完全相同的 ()名称：三视图包括_、

2、_、_. (2)三视图的画法： ()在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成_. ()三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的_方、_方、_方观察几 何体画出的轮廓线 3空间几何体的直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是： (1)画几何体的底面： 在已知图形中取互相垂直的 x 轴，y 轴，两轴相交于点 O，画直观图时，把它们画成对应的 x轴、y 轴，两轴相交于点 O，且使xOy_，已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中长度 21_，平行于 y 轴的线段，长度22_. (2)画几何体的高： 在已知图形中过 O 点作 z 轴垂直于 xOy 平面，在直观图中对应的

3、z轴，也垂直于 xOy平面，已 知图形中平行于 z 轴的线段，在直观图中仍平行于 z轴且长度不变 4正棱柱、正棱锥的结构特征 (1)正棱柱： 侧棱 23_于底面的棱柱叫做直棱柱， 底面是24_的直棱柱叫做正棱柱 反之， 正棱柱的底面是 25_，侧棱26_于底面，侧面是矩形 (2)正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥特别地， 各棱均相等的正三棱锥叫正四面体 二、必明 3 个易误点 1台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且侧棱延长后必交于一点 2空间几何体不同放置时其三视图不一定相同 3对于简单组合体，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分

4、界线，在三视图中，易忽视实 虚线的画法 三、技法 1. 空间几何体结构特征的解题策略 (1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情 况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定 (2)通过举反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可. 2. 3. 根据几何体确认三视图的技巧 由实物图画三视图或判断选择三视图，按照“正侧一样高，正俯一样长，俯侧一样宽”的特点确认 4根据三视图还原几何体的技巧策略 (1)对柱、锥、台、球的三视图要熟悉 (2)明确三视图的形成原理，并能结合空间想象将三视图还原为直观

5、图 (3)遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则 参考答案 平行且相等 全等 多边形 公共点 平行于底面 相似 任一边 任一直角边 垂直于底边的腰 直径 形状 大小 正视图 侧视图 俯视图 虚线 正前 正左 正上 45 (或 135 ) 21不变 22减半 23垂直 24正多边形 25正多边形 26垂直 第二节第二节 空间几何体的表面积和体积空间几何体的表面积和体积 一、必记 4 个知识点 1柱、锥、台和球的侧面积和体积 面积 体积 圆柱 S侧_ V_ 圆锥 S侧_ V_ 1 3r 2 l2r2 圆台 S侧_ V1 3(S 上S下 S上S下)h 1 3(r 2 1r 2 2r1r2)h 直棱柱

6、S侧_ V_ 正棱锥 S侧_ V_ 正棱台 S侧_ V1 3(S 上S下 S上S下)h 球 S球面_ V_ 2.长方体的外接球 (1)球心：体对角线的交点 (2)半径：r a2b2c2 2 (a，b，c 为长方体的长、宽、高) 3正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球 (1)外接球：球心是正方体中心；半径 r 3 2 a(a 为正方体的棱长) (2)内切球：球心是正方体中心；半径 ra 2(a 为正方体的棱长) (3)与各条棱都相切的球：球心是正方体中心；半径 r 2 2 a(a 为正方体的棱长) 4正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分) (1)外接球：球心是正四面体的

7、中心；半径 r 6 4 a(a 为正四面体的棱长) (2)内切球：球心是正四面体的中心；半径 r 6 12a(a 为正四面体的棱长) 二、必明 3 个易误点 1求组合体的表面积时：组合体的衔接部分的面积问题易出错 2由三视图计算几何体的表面积与体积时，由于几何体的还原不准确及几何体的结构特征认识不准易 导致失误 3易混侧面积与表面积的概念 三、技法 1. 几何体表面积的求法 (1)多面体：其表面积是各个面的面积之和 (2)旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和 计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形来解决 (3)简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分

8、的处理 (4)若以三视图的形式给出，解题的关键是对给出的三视图进行分析，从中发现几何体中各元素间的位 置关系及数量关系，得到几何体的直观图，然后根据条件求解. 2. 空间几何体体积的求法 (1)求简单几何体的体积若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解 (2)求组合体的体积若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用转换法、分割法、 补形法等进行求解 (3)求以三视图为背景的几何体的体积应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解. 3. 空间几何体与球接、切问题的求解方法 (1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截图，把空间问题转化为平面图

9、形 与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解 (2)若球面上四点 P，A，B，C 构成的三条线段 PA，PB，PC 两两互相垂直，且 PAa，PBb，PCc， 一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用 4R2a2b2c2求解. 参考答案 2rh Sh r2h rl 1 3Sh 1 3r 2h (r 1r2)l Ch Sh 1 2Ch 1 3Sh 1 2(CC)h 4R 2 4 3R 3 第三节第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系空间点、直线、平面之间的位置关系 一、必记 6 个知识点 1平面的基本性质 表示 公理 文字语言 图形语言 符号语言 公理 1 如果一

10、条直线上的两点 在一个平面内，那么这 条直线在此平面内 公理 2 _的三点， 有且只有一个平面 A， B， C 三点不共线有 且只有一个平面 ，使 A，B，C 公理 3 如果两个不重合的平面 有一个公共点，那么它 们有且只有_过 该点的公共直线 PP l，且 Pl 2.空间两条直线的位置关系 (1)位置关系分类： 错误错误! !错误错误! ! (2)平行公理(公理 4)和等角定理： 平行公理：平行于同一条直线的两条直线_. 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角_. (3)异面直线所成的角： 定义：已知两条异面直线 a，b，经过空间任一点 O 作直线 aa，bb，把 a与

11、b所成的 _叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角) 范围：_. 3空间直线与平面、平面与平面的位置关系 图形语言 符号语言 公共点 直线与 平面 相交 _ 1 个 平行 _ 0 个 在平面内 _ 无数个 平面与 平面 平行 _ 0 个 相交 _ 无数个 4.唯一性定理 (1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 (2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直 (3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行 (4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直 5异面直线的判定定理 经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线 6确定平面的三个推论 (1)经过一条直线和这

12、条直线外的一点，有且只有一个平面 (2)两条相交直线确定一个平面 (3)两条平行直线确定一个平面 二、必明 2 个易误点 1异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”，实质上两异面直线不能确定 任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交 2直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内” 三、技法 1. 证明空间点共线问题的方法 (1)公理法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理 3 证明这些点都在这两个平面的交 线上 (2)纳入直线法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上 2点、线共面的常用判定方法 (1)纳入平面法：先确定一个平面，再证明

13、有关点、线在此平面内 (2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面 ，再证明其余元素确定平面 ，最后证明平面 ， 重合. 3. 异面直线的判定方法 (1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出 矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面此法在异面直线的判定中经常用到 (2)定理：平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过点 B 的直线是异面直线. 4. 求异面直线所成的角的三步曲 提醒 在求异面直线所成的角时，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角. 参考答案参考答案 过不在一条直线上 一条 相交 平行 任何一个平面 平行 相等或互

14、补 锐角(或直角) 0， 2 aA a a l 第四节第四节 直线、平面平行的判定和性质直线、平面平行的判定和性质 一、必记 3 个知识点 1直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 平面外一条直线与此 平面内的一条直线平 行， 则该直线与此平面 平行(线线平行线面 平行) 因为_， _， _， 所以 l 性质定理 一条直线与一个平面 平行， 则过这条直线的 任一平面与此平面的 交线与该直线平行(简 记为“线面平行线 线平行”) 因为_， _， _， 所以 lb 2.平面与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面内的两条相

15、 交直线与另一个平面 平行，则这两个平面 平行(简记为“线面 平行面面平行”) 因为_， _， _， _， _， 所以 性质定理 如果两个平行平面同 时和第三个平面相 交，那么它们的交线 平行 因为_， _， _， 所以 ab 3.平行关系中的两个重要结论 (1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若 a，a，则 . (2)平行于同一平面的两个平面平行，即若 ，则 . 二、必明 3 个易误点 1直线与平面平行的判定中易忽视“线在面内”这一关键条件 2面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件 3如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行，实质上也可以相交 三、技法

16、1. 判定线面平行的 4 种方法 (1)利用线面平行的定义(无公共点) (2)利用线面平行的判定定理(a，b，aba) (3)利用面面平行的性质定理(，aa) (4)利用面面平行的性质(，a，a，aa) 2解决直线与平面平行的 3 个思维趋向 (1)利用线面平行的判定定理证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线 (2)构造平行的常见形式：三角形的中位线、平行四边形、利用比例关系证明两直线平行等 (3)在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面 平行”，再到“面面平行”，而在应用性质定理时，其顺序恰好相反. 3. 判定平面

17、与平面平行的 5 种方法 (1)面面平行的定义，即证两个平面没有公共点(不常用) (2)面面平行的判定定理(主要方法) (3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(客观题可用) (4)利用平面平行的传递性，两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行(客观题可用) (5)利用向量法，通过证明两个平面的法向量平行证得两平面平行. 4. 平行关系中的探索性问题， 主要是对点的存在性问题的探索， 一般用转化方法求解， 即先确定点的位置， 把问题转化为证明问题，而证明线面平行时又有两种转化方法，一是转化为线线平行，二是转化为面面平 行 5这类问题也可以按类似于分析法的格式书写步骤：从结论出发“要使成

18、立”，“只需使成立”. 参考答案 la a l l l b a b abP a b a b 第五节第五节 直线、平面垂直的判定和性质直线、平面垂直的判定和性质 一、必记 6 个知识点 1直线与平面垂直 (1)定义：直线 l 与平面 内的_一条直线都垂直，就说直线 l 与平面 互相垂直 (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面 内的两条相交直线都 垂直，则该直线与此 平面垂直 l 性质定理 垂直于同一个平面的 两条直线平行 ab 2.直线和平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的_叫做这条直线和这个平面所成的角， 一条直线垂直于

19、平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是 0 的 角 (2)范围： 0， 2 . 3平面与平面垂直 (1)二面角：从一条直线出发的_所组成的图形叫做二面角 (2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作_的 两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角 4平面和平面垂直的定义 两个平面相交，如果所成的二面角是_，就说这两个平面互相垂直 5平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平 面的垂线，则这两个 平面垂直 性质定理 两个平面垂直，则一 个平面内垂直于交线 的直线与另一

20、个平面 垂直 l 6.垂直关系中的两个重要结论 (1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面 (2)若一条直线垂直于一个平面， 则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法) 二、必明 3 个易误点 1证明线面垂直时，易忽视面内两条线为相交线这一条件 2面面垂直的判定定理中，直线在面内且垂直于另一平面易忽视 3面面垂直的性质定理在使用时易忘面内一线垂直于交线而盲目套用造成失误 三、技法 1. 判定线面垂直的四种方法 (1)利用线面垂直的判定定理 (2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直” (3)利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个

21、，则与另一个也垂直” (4)利用面面垂直的性质定理. 2. 面面垂直的证明方法 (1)定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化 为证明平面角为直角的问题 (2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化 成证明线线垂直加以解决 提醒 两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面这是把面面垂直转化为线 面垂直的依据运用时要注意“平面内的直线”. 3. 对于翻折问题，应明确：在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质可能会发生 变化解决这类问题就是要据此研究翻折以后的空间图形中的线面

22、关系和几何量的度量值，这是解决翻折 问题的主要方法. 参考答案 任意 abO a b 锐角 两个半平面 垂直于棱 直二面角 l l a 第六节第六节 空间向量及其运算空间向量及其运算 一、必记 3 个知识点 1空间向量及其有关概念 语言描述 共线向量 (平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相_ 共面向量 平行于_的向量 共线向 量定理 对空间任意两个向量 a，b(b0)，ab存在 R，使 _ 共面向 量定理 若两个向量 a，b 不共线，则向量 p 与向量 a，b 共面 存在唯一的有序实数对(x，y)，使 p_ 空间向量 基本定理 定理：如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任一

23、 向量 p，存在有序实数组x，y，z使得 p_ 推论：设 O、A、B、C 是不共面的四点，则对平面 ABC 内任一点 P 都存在唯一的三个有序实数 x， y， z， 使OP xOA yOB zOC 且 xyz1 2.数量积及坐标运算 (1)两个向量的数量积： ()a b|a|b|cosa，b ()ab_(a，b 为非零向量) ()|a|2a2，|a|x2y2z2. (2)向量的坐标运算： a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3) 向量和 ab_ 向量差 ab_ 数量积 a b_ 共线 ab_(R，b0) 垂直 ab_ 夹角公式 cosa，b_ 3.直线的方向向量与平面的法向量 (1)直线

24、的方向向量：如果表示非零向量 a 的有向线段所在直线与直线 l_或_，则称 此向量 a 为直线 l 的方向向量 (2)平面的法向量：直线 l，取直线 l 的_向量 a，则向量 a 叫做平面 的法向量 二、必明 4 个易误点 1共线向量定理中 ab存在 R，使 ab 易忽视 b0. 2共面向量定理中，注意有序实数对(x，y)是唯一存在的 3一个平面的法向量有无数个，但要注意它们是共线向量，不要误为是共面向量 4利用空间向量证明空间平行与垂直关系时，书写步骤时一定明确判定定理的条件，否则，会犯步骤 不规范的错误 三、技法 1. 用已知向量表示某一向量的方法 (1)用已知向量来表示未知向量，一定要结

25、合图形，以图形为指导是解题的关键 (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的 始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则 (3)在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间中仍然成立. 2. 证明点共线的问题可转化为证明向量共线的问题，如证明 A，B，C 三点共线，即证明 AB ，AC共 线，亦即证明 AB AC(0)；A，B，C 三点共线，对空间内任意一点 O，有 OA(1t)OBtOC . 3. 证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明 P，A，B，C 四点共面，只要能证明 PA xPB

26、 yPC或对空间任一点 O，有 OAOPxPByPC或 OPxOA yOB zOC (xyz1)即可. 4. 空间向量数量积的计算方法 (1)定义法：设向量 a，b 的夹角为 ，则 a b|a|b|cos . (2)坐标法：设 a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，则 a bx1x2y1y2z1z2. 5数量积的应用 (1)求夹角：设向量 a，b 所成的角为 ，则 cos a b |a|b|，进而可求两异面直线所成的角 (2)求长度(距离)：运用公式|a|2a a，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题 (3)解决垂直问题：利用 aba b0(a0，b0)，可将垂直问题转化

27、为向量数量积的计算问题. 6. 用空间向量证平行的方法 (1)线线平行：证明两直线的方向向量共线 (2)线面平行： 证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直； 证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行 (3)面面平行：证明两平面的法向量平行(即为共线向量) 7用空间向量证垂直的方法 (1)线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零 (2)线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示 (3)面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示. 参考答案 平行或重合 同一平面 ab xayb xaybzc a b0

28、 (a1b1，a2b2，a3b3) (a1b1，a2b2，a3b3) a1b1a2b2a3b3 a1b1，a2b2，a3b3 a1b1a2b2a3b30 a1b1a2b2a3b3 a21a22a23b21b22b23 平行 重合 方向 第七节第七节 立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法 一、必记 4 个知识点 1异面直线所成角的求法 设 a，b 分别是两异面直线 l1，l2的方向向量，则 a 与 b 的夹角 l1与 l2所成的角 范围 0， _ 求法 cos a b |a|b| cos |cos |_ 2.直线和平面所成角的求法 如图所示，设直线 l 的方向向量为 e，平面 的法向量为 n

29、，直线 l 与平面 所成的角为 ，两向量 e 与 n 的夹角为 ，则有 sin |cos |_. 3二面角的求法 (1)如图， AB， CD 是二面角 l 两个半平面内与棱 l 垂直的直线， 则二面角的大小 AB ， CD (2)如图，n1，n2分别是二面角 l 的两个半平面 ， 的法向量，则二面角的大小 满足 cos cosn1，n2或cosn1，n2 4空间距离的求法 (1)利用|AB |2AB AB可以求空间中有向线段的长度 (2)点面距离的求法 已知 AB 为平面 的一条斜线段， n 为平面 的法向量， 则 B 到平面 的距离为|BO |AB | |cos AB， n |AB n| |

30、n| . 二、必明 3 个易误点 1求异面直线所成角时，易求出余弦值为负值而盲目得出答案而忽视了夹角为 0， 2 . 2求直线与平面所成角时，注意求出夹角的余弦值的绝对值应为线面角的正弦值 3利用平面的法向量求二面角的大小时，二面角是锐角或钝角由图形决定由图形知二面角是锐角时 cos |n1 n2| |n1|n2|；由图形知二面角是钝角时，cos |n1 n2| |n1|n2|.当图形不能确定时，要根据向量坐标在图形中观 察法向量的方向，从而确定二面角与向量 n1，n2的夹角是相等(一个平面的法向量指向二面角的内部，另一 个平面的法向量指向二面角的外部)，还是互补(两个法向量同时指向二面角的内

31、部或外部)，这是利用向量 求二面角的难点、易错点 三、技法 1. 向量法求线面角的两大途径 (1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角) (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和 平面所成的角 提醒 在求平面的法向量时，若能找出平面的垂线，则垂线上取两个点可构成一个法向量. 2. 利用向量法计算二面角大小的常用方法 (1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角 得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小 (2)找与棱垂直的方向向量法： 分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量， 则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小. 3. 探索性问题的求解策略 空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐 标运算进行判断 4. 对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把 “是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等 5. 对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数. 参考答案参考答案 0， 2 |a b| |a|b| |e n| |e|n|