2021届高考数学考前30天冲刺模拟试卷（2）含答案

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1、考前考前 30 天冲刺高考模拟考试卷（天冲刺高考模拟考试卷（2） 一、一、选择题：本题共选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。求的。 1 （5 分）已知集合 2 |logAy yx，4x ， 1 2 |BxR yx，则()( RA B ) A(，2 B2，) C0，2 D(0,2) 2 （5 分）在复平面内，与向量(1,2)OZ 对应的复数为z，则( 1 z i ) A 31 22 i B 31 22 i C 11 22 i D 11 22 i 3 （5

2、分）在边长为 1 的正三角形ABC中，若2DCBD，则AB CD的值是( ) A 1 3 B 1 3 C 2 3 D 2 3 4 （5 分）已知双曲线 22 :4640Cxy的两个焦点分别为 1 F， 2 F，O为坐标原点，若P为C上异于顶点 的任意一点，则 1 POF与 2 POF的周长之差为( ) A8 B16 C8或 8 D16或 16 5 （5 分） “帷幄”是古代打仗必备的帐篷，又称“惺帐” 如图是的一种幄帐示意图，帐顶采用“五脊四坡 式” ，四条斜脊的长度相等，一条正脊平行于底面若各斜坡面与底面所成二面角的正切值均为 1 2 ，底面矩 形的长与宽之比为5:3，则正脊与斜脊长度的比值

3、为( ) A 3 5 B 8 9 C 9 10 D1 6 （5 分）用 1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，若从这些五位数中随机选取 1 个，则该五位数满 足 2，3 相邻且 1 位于万位或千位的概率为( ) A 1 15 B 1 10 C 1 5 D 1 6 7（5 分） 已知( )yf x为奇函数，(1)yf x为偶函数， 若当0 x，1时， 2 ( )log ()f xxa， 则( 2 0 2 1 ) (f ) A1 B0 C1 D2 8 （5 分）在菱形ABCD中，60BAD，将ABD沿BD折起，使A到达 A 的位置，且二面角ABDC 为60，则A D与平面BCD所成角的正切

4、值为( ) A 3 4 B 7 4 C 3 7 7 D 1 2 二、二、选择题：本题共选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。 全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的对分，部分选对的对 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。 9（5 分） 2020 年 4 月， 在疫情防控阻击战之外， 另一条战线也日渐清晰 复工复产、 恢复经济正常运行 某 企业对本企业 1644 名职工关于复工的态度进行调查，调查结果如图所示，则下列说法错误的是( ) A0.384x

5、 B从该企业中任取一名职工，该职工倾向于在家办公的概率为 0.178 C不到 80 名职工倾向于继续申请休假 D倾向于复工后在家办公或在公司办公的职工超过 986 名 10 （5 分）已知函数 2 ( )|()f xxaaR，则( )yf x的大致图象可能为( ) A B C D 11 （5 分）设函数 2 ( )1 x f xmx e，若对任意a，b， 3c ，1，f（a） ，f（b） ，f（c）都可以作为 一个三角形的三边长，则m的取值可能为( ) A 1 2e B 1 3e C 1 e D 1 2e 12 （5 分）已知直线 1: 40lxy与圆心为(0,1)M且半径为 3 的圆相交于A

6、，B两点，直线 2:2 2350lmxym与圆M交于C，D两点，则四边形ACBD的面积的值可以是( ) A9 3 B9 2 C6 2 D9( 21) 三、填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 （5 分）在 5 2 2 ()x x 的展开式中， 2 x的系数是 14 （5 分）某公司有职工 800 人，其中不到 30 岁的有 120 人，30 岁到 40 岁的有 400 人，40 岁以上的有 280 人为了了解该公司职工与身体状况有关的某项指标，要从中抽取 200 名职工作为样本，职工年龄与这 项指标有关，则应该选择的抽样方法是 ，4

7、0 岁以上的职工应抽取 名 15 （5 分）已知等比数列 n a的前 3 项和为 3，且 3 4a ，则 n a的前n项和 n S 16 （5 分）定义：点P为曲线L外的一点，A，B为L上的两个动点，则APB取最大值时，APB叫点P 对曲线L的张角 已知点P为抛物线 2 :4C yx上的动点， 设P对圆 22 :(3)1Mxy的张角为， 则c o s 的最小值为 四、四、解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （12 分）ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知 3 15

8、 sinsin 8 AB，2ba （1）求cos A （2）若D是AB边上一点，且ACD的面积为 2 15 28 b，证明：ADCD 18 （12 分）已知数列 n a的前n项和为 n S， 1 4 nn Sa ，*nN，且 1 4a （1）证明： 1 2 nn aa 是等比数列，并求 n a的通项公式； （2）在 1nnn baa ； 2 log n n a b n ； 2 1 n n nn a b aa 这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并加以解 答 已知数列 n b满足_，求 n b的前n项和 n T 19 （12 分）如图所示的几何体中，BEBC，EAAC，2BC ，2 2AC ，

9、45ACB，/ /ADBC， 2BCAD （1）求证：AE 平面ABCD； （2）若60ABE，点F在EC上，且满足2EFFC，求二面角FADC的余弦值 20 （12 分）某商场每年都会定期答谢会员，允许年度积分超过指定积分的会员参加特价购物赠券活动，今 年活动的主题为 “购物三选一， 真情暖心里” ， 符合条件的会员可以特价购买礼包A（十斤肉类） 、 礼包B（十 斤蔬菜）和礼包C（十斤鸡蛋）三类特价商品中的任意一类，并且根据购买的礼包不同可以获赠价值不等 的代金券，根据以往经验得知，会员购买礼包A和礼包B的概率均为 2 5 （1）预计今年有 400 名符合条件的会员参加活动，求商场为此活动需

10、要准备多少斤鸡蛋合理； （2）在促销活动中，若有甲、乙、丙三位会员同时参与答谢活动，各人购买礼包相互独立，已知购买礼包 A或礼包B均可以获得 50 元商场代金券，购买礼包C可以获得 25 元商场代金券，设Y是三人获得代金券 金额之和求Y的分布列和数学期望 21 （12 分）已知椭圆 22 1 22 :1(0) xy Cab ab ，其右焦点为(1,0)F，圆 2222 2: Cxyab，过F垂直于x 轴的直线被圆和椭圆截得的弦长比值为 2 （1）求曲线 1 C， 2 C的方程： （2）直线l过右焦点F，与椭圆交于A，B两点，与圆交于C，D两点，O为坐标原点，若ABO的面积 为 10 6 ，求C

11、D的长 22 （12 分）已知函数( )(0) x f xae lnx a （1）讨论( )f x的单调性； （2）若(0,1)x ， 2 ( )f xxxlna，求a的取值范围 考前考前 30 天冲刺高考模拟考试卷（天冲刺高考模拟考试卷（2）答案）答案 1解： |2Ay y， |0Bx x， |2 RA y y，()0 RA B ，2 故选：C 2解：因为向量(1,2)OZ 对应的复数为z， 所以12zi ， 则 12(12 )(1)331 11(1)(1)222 ziiii i iiii 故选：A 3解：在边长为 1 的正三角形ABC中，2DCBD， 221 |cos60 333 AB C

12、DABCBAB CB 故选：A 4解：双曲线 22 :4640Cxy的方程为： 22 1 6416 yx ，所以8a P为C上 异 于 顶 点 的 任 意 一 点 ， 则 1 P O F与 2 POF的 周 长 之 差 为21 6a或16， 故选：D 5解：设正脊长为a，斜脊长为b，底面矩形的长与宽分别为5t和3t， 如图过S作SO 上底平面于O，过O作OEAE于E，作OFAF于F， 连接SE、SF，由题意知 1 tantan 2 SEOSFO， 222 5 () 2 ta SEb ， 222 3 () 2 t SFb，所以 53 22 tat ，于是2at， 222 3339 ()()()

13、2244 tttt b ，所以 28 9 9 4 at t b ， 故选：B 6解：用 1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数， 从这些五位数中随机选取 1 个， 基本事件总数 5 5 120nA， 该五位数满足 2，3 相邻且 1 位于万位或千位包含的基本事件个数： 23212 23222 20mA AA C A， 该五位数满足 2，3 相邻且 1 位于万位或千位的概率为 201 1206 m P n 故选：D 7解：根据题意，( )yf x为奇函数，则()( )fxf x (1)yf x为偶函数，则(1)(1)fxfx，变形可得()(2)fxfx， 则有(2)( )f xf x ，

14、则有(4)(2)( )f xf xf x ，即函数是周期为 4 的周期函数， 则(2021)(1505 4)fff（1） ， ( )yf x为奇函数，当0 x，1时， 2 ( )log ()f xxa，则 2 (0)log0fa，必有1a ， 则当0 x，1时， 2 ( )log (1)f xx，f（1） 2 log (1 1)1， 故(2021)ff（1）1， 故选：C 8解：设AC于BD交于点O，设菱形的边长为 2， 在ABD中，因为60A，2AB ，所以3AO ， 过点 A 作A E平面BCD，垂足为E，连结EO， 因为O为BD的中点，且ADAB，所以A OBD，故EOBD， 所以A O

15、E即为二面角ABDC的平面角， 故60A OE， 连结ED，则A DE即为A D与平面BCD所成的角， 在RtA OE中， 33 sin603 22 A EA O ， 在RtAED中，2AD， 3 2 A E，所以 22 7 2 DEA DA E， 故 3 3 7 2 tan 77 2 A E A DE DE 故选：C 9解：对于选项:10042.3 17.85.134.8A x ，所以选项A错误， 对于选项B：由扇形图可知该职工倾向于在家办公的职工占17.8%，所以从该企业中任取一名职工，该职 工倾向于在家办公的概率为 0.178，所以选项B正确， 对于选项C：由扇形图可知倾向于继续申请休假

16、的职工占5.1%，而5.1% 164484（人)，所以选项C错 误， 对于选项D：由扇形图可知倾向于复工后在家办公或在公司办公的职工占42.3%17.8%60.1%，而 60.1%1644988（人)，所以选项D正确， 故选：AC 10解：当0a 时，( ) |f xx，则A符合，C不符合； 当0a 时， 222 ( ) |fxxay， 若 2 xa，即xa或xa时，则 22 yxa，即 22 xya，则其图象为双曲线在x轴上方的部分， 若 2 xa，即axa时，则 22 yxa，即 22 xya，则其图象为圆在x轴上方的部分，故B符 合； 当0a 时， 222 ( )fxxay，即 22 y

17、xa，其图象表示为双曲线的上支，故D符合 故选：ABD 11解：设函数 2 ( ) x g xx e， 3x ，1，则( )(2) x g xx xe，可得函数( )g x在 3，2)，(0，1上单 调递增，在( 2,0)上单调递减 又 3 9 ( 3)g e ， 2 4 ( 2)g e ，(0)0g，g（1）e，可得函数( )g x的值域为0， e 根据f（a） ，f（b） ，f（c）都可以作为一个三角形的三边长， 当0m时，2 (0)ff（1） ，即2 11me ，解得 1 0 m e ； 当0m 时，2 f（1）(0)f，即2(1)1me，解得 1 0 2 m e 综上可得： 11 2

18、m ee 故选：BD 12 解： 根据题意， 圆M的圆心为(0,1)M且半径为 3， 则圆M的方程为 22 (1)9xy， 即 22 280 xyy ， 直线 1: 40lxy与圆M相交于A，B两点， 则有 22 280 40 xyy xy ，解可得： 3 1 x y 或 0 4 x y ，即A、B的坐标为(3,1)，(0,4)， 则|993 2AB ，且AB的中点为 3 ( 2 ， 5) 2 ， 直线 2:2 2350lmxym，变形可得(23)250mxy，直线 2 l恒过定点 3 ( 2 ， 5) 2 ， 设 3 ( 2 N， 5) 2 ， 当CD与AB垂直时，四边形ACBD的面积最大，

19、 此时CD的方程为 53 22 yx，变形可得1yx，经过点(0,1)M， 则此时| 6CD ， 故 ACBD S四边形的最大值 1 63 29 2 2 ACBADB SS ， 故9 2 ACBD S四边形， 分析选项：BC符合题意， 故选：BC 13解： 5 2 2 ()x x 的展开式的通项公式为 5 15 2 rr r TC x 2 5 2 rrrr xC 5 3r x ， 令532r，得1r ， 2 x的系数是 1 5 210C， 故答案为 10 14解：为了了解该公司职工与身体状况有关的某项指标， 要从中抽取 200 名职工作为样本，职工年龄与这项指标有关， 则应该选择的抽样方法是分

20、层抽样， 40 岁以上的职工应抽取： 280 20070 800 名 故答案为：分层抽样，70 15解：根据题意，设等比数列 n a的公比为q， 若 3 3S 且 3 4a ，则 33 3 2 3 aa a qq ，即 2 440qq， 解可得2q ， 则 3 1 2 1 a a q ， 则 1(1 )1( 2) 13 nn n aq S q ， 故答案为： 1( 2) 3 n 16解：如图， 2 coscoscos212sinAPBAPMAPM ， 要使cos最小，则sinAPM最大，故|PM最小， 设 2 ( 4 a P，)a，则 2 2222 1 |(3)(4)8 416 a PMaa

21、当 2 4a ，即2a 时，|2 2 min PM， 此时(1,2)P或(1, 2)， 22 13 (cos )1212 () 42 2 min sinAPM 故答案为： 3 4 17解： （1）因为2ba，所以sin2sinBA， 又 3 15 sinsin 8 AB，所以 15 sin 8 A， 因为2ba， 所以ab，AB，(0, )A， 所以 2 7 cos1 8 Asin A （2）证明：因为 2 11515 sin 21628 ACD Sb ADAb ADb ， 所以 4 7 b AD ， 由余弦定理可得 222222 4474 2cos()2() 7787 bbb CDACADA

22、C ADAbb， 所以 4 7 b CD ，可得ADCD，得证 18 （1）证明： 1 4 nn Sa ， 1 4(2) nn San ， 两式相减得： 11 44 nnn aaa ，即 11 22(2) nnnn aaaa ，2n， 又当1n 时，有 21 4Sa， 1 4a ， 2 12a， 21 24aa， 数列： 1 2 nn aa 是首项为 4，公比为 2 的等比数列， 11 1 24 22 nn nn aa ，两边除以 1 2n得： 1 1 1 22 nn nn aa ， 又 1 1 2 2 a ， 数列 2 n n a 是首项为 2，公差为 1 的等差数列， 211 2 n n

23、a nn ， (1) 2n n an； （2）解：若选： 1 1 (2) 2(1) 2(3) 2 nnn nnn baannn ， 123 4 25 26 2(3) 2n n Tn ， 又 231 24 25 2(2) 2(3) 2 nn n Tnn ， 两式相减得： 21 2311 2 (12) 8222(3) 28(3) 2 12 n nnn n Tnn ， 整理得： 1 (2) 24 n n Tn 若选： 2222 (1)2 logloglog (1)log n n n an bnnn nn ， 2222222 (1) (log 2log 1)(log 3log 2)log (1)log

24、(12)log (1) 2 n nn Tnnnn 若选： 21 111 4411 4() nnn n nnnnnn aaa b aaaaaa ， 11 1223111 11111111111 4()4()41 4(2)2(2)2 n nn nnn T aaaaaaaann 19 （1）证明： 在ABC中，2,2 2,45BCACACB， 由余弦定理可得 222 2cos454ABBCACBCAC ，所以2AB 所以 222 ACABBC，所以ABC是直角三角形，ABBC 又BEBC，ABBEB，所以BC 平面ABE 因为AE 平面ABE，所以BCAE，因为EAAC，ACBCC， 所以AE 平面

25、ABCD （2）解：由（1）知，BC 平面ABE，所以平面BEC 平面AEB，在平面ABE中， 过点B作BzBE，则Bz 平面BEC，如图， 以B为原点，BE，BC所在直线分别为x，y轴建立空间直角坐标系Bxyz， 则(0,0,0),(0,2,0), (4,0,0), (1,0, 3)BCEA，(1,1, 3)D， 因为2EFFC，所以 4 4 ( ,0) 3 3 F，易知 1 4 (0,1,0),( ,3) 3 3 ADAF， 设平面ADF的法向量为(nx，y，) z， 则 0, 0, AD n AF n 即 0, 14 30,3,0,9, 33 y xyzzyx 令则 所以(9,0, 3)

26、n 为平面ADF的一个法向量， 由（1）知EA平面ABCD，所以( 3,0, 3)EA 为平面ABCD的一个法向量 设二面角FADC的平面角为， 由图易知为锐角，则 |242 7 cos 7| |2 32 21 EA n EAn ， 所以二面角FADC的余弦值为 2 7 7 20解： （1）会员购买礼包C的概率为 21 12 55 ， 所以需要准备鸡蛋 1 40010800 5 （斤) （2）Y的所有可能取值为 150，125，100，75， 则 3 464 (150)( ) 5125 P Y ， 12 3 1448 (125)( ) 55125 P YC， 22 3 1412 (100)(

27、) 55125 P YC， 3 11 (75)( ) 5125 P Y ， 所以Y的分布列如下： Y 150 125 100 75 P 64 125 48 125 12 125 1 125 6448121 ( )15012510075135 125125125125 E Y 21解： （1）由已知可得过F且垂直x轴的直线方程为1x ， 联立方程 22 22 1 1 x xy ab ，解得 2 1 1yb a ， 联立方程 2222 1x xyab ，解得 22 1yab ， 所以 22 2 1 2 1 1 ab b a ，又因为 22 1ab ， 联立解得 2 2a ， 2 1b ， 所以曲线

28、 1 C的方程为 2 2 1 2 x y，曲线 2 C的方程为 22 3xy； （2）设直线l的方程为1xmy， 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 联立方程 2 2 1 1 2 xmy x y ，消去x整理可得： 22 (2)210m ymy ， 所以 1212 22 21 , 22 m yyy y mm ， 所以 22 222 1212 2222 442 2(1) |1()41 (2)22 mm ABmyyy ym mmm ， 又原点O到直线l的距离 2 1 1 d m ， 所以三角形ABO的面积 2 2 2 1112 2(1)10 | 2226 1 m SdAB m

29、m ， 整理可得： 42 516160mm，解得 2 4m 或 4 5 （舍去） ， 所以 2 4m ，所以原点O到直线l的距离 15 55 d ， 则 22 12 70 | 22 3 55 CDrd 22解： （1）( )f x的定义域为 1 (0,),( )() x fxae lnx x 设函数 1 ( )g xlnx x ，则 2 1 ( ) x g x x 当01x时，( )0g x； 当1x 时，( )0g x， 故( )g xg（1）1，从而 1 0lnx x 当0a 时，( )0fx，( )f x在(0,)上单调递增； 当0a 时，( )0fx，( )f x在(0,)上单调递减

30、（2）由题意可知0a 由 2x xxlnaae lnx，得 x xlnalnx aex ，即 x x lnelnalnx aex ， 即 () x x lnxln ae xae 对(0,1)x恒成立 令( ) lnx h x x ，则 2 1 ( ) lnx h x x ， 当(0,1)x时，( )0h x，( )h x单调递增， 当(1,)x时，( )0h x ，当(0,1)x时，( )h xh（1）0 由 () x x lnxln ae xae ，得( )() x h xh ae，所以 x xae， 所以 x x a e 对(0,1)x恒成立 设( ),(0,1) x x m xx e ，则 1 ( )0 x x m x e ， 所以( )m x在(0,1)上单调递增， 所以 1 a e ，即a的取值范围为 1 ,) e