2021届高考数学考前30天冲刺模拟试卷（3）含答案

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1、考前考前 30 天冲刺高考模拟考试卷（天冲刺高考模拟考试卷（3） 一、一、选择题：本题共选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。求的。 1 （5 分）已知集合0A，1，2，3，4，集合 |31Bxx ，则(AB ) A2 B3 C2，3 D2，3，4 2 （5 分）等差数列32n与等差数列52 n的公差之和为( ) A1 B2 C3 D8 3 （5 分）若，表示两个不同的平面，m为平面内一条直线，则( ) A “/ /m”是“/ /”的充分不必要条件 B “

2、/ /m”是“/ /”的必要不充分条件 C “m”是“”的必要不充分条件 D “m”是“”的充要条件 4 （5 分）2020 年 12 月 18 日，国家统计局发布了 2019 年中国儿童发展纲要(20112020年） 统计监测 报告，报告指出学前教育得到进一步重视和加强如图为 2010 年2019年全国幼儿园数及学前教育毛入园 率的统计图： 则以下说法正确的是( ) A2015 年我国约有 75 万所幼儿园 B这十年间我国学前教育毛入园率逐年增长且增长率相同 C2019 年我国幼儿园数比上年增长了约5.2% D2019 年我国学前教育毛入园率比上年提高了1.7% 5 （5 分）函数 2 (

3、)sin cos3cosf xxxx的图象的一条对称轴为( ) A 12 x B 6 x C 3 x D 2 x 6 （5 分） “华东五市游”作为中国一条精品旅游路线一直受到广大旅游爱好者的推崇现有 4 名高三学生 准备 2021 年高考后到“华东五市”中的上海市、南京市、苏州市、杭州市四个地方旅游，假设每名同学均 从这四个地方中任意选取一个去旅游，则恰有一个地方未被选中的概率为( ) A 7 16 B 9 16 C 27 64 D 81 256 7 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右焦点为(4,0)F，直线 3 7 7 yx与双曲线C相交于A， B两

4、点，O为坐标原点，线段AF、BF的中点分别为P、Q，且OPOQ，则双曲线C的离心率为( ) A3 B5 C4 D2 8 （5 分）对于函数( )fx，若存在 0 x，使 00 ()()f xfx ，则点 0 (x， 0 ()f x与点 0 ( x， 0 ()f x均称为 函数( )f x的“先享点” 已知函数 3 16,0 ( ) 6,0 ax x f x xx x ，且函数( )f x存在 5 个“先享点” ，则实数a的取值 范围为( ) A(0,6) B(,6) C(3,) D(6,) 二、二、选择题：本题共选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题

5、给出的四个选项中。有多项符合题目要求。分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。 全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的对分，部分选对的对 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。 9 （5 分）已知函数 43,1 ( ) ,1 x x f x lnx x ，则下列结论正确的是( ) A函数( )f x的定义域为R B函数( )f x在R上为增函数 C函数( )f x的值域为( 3,) D函数( )f x只有一个零点 10已知0a ，0b ，且4abab，则( ) A16ab B264 2ab C0ab D 22 1161 2ab 11 （5 分）若实数ab，则下列不等关系

6、正确的是( ) A 223 ( )( )( ) 555 baa B若1a ，则log2 aab C若0a ，则 22 11 ba ab D若 5 3 m ，a，(1,3)b，则 3322 1 ()()0 3 abm abab 12 （5 分） 已知三棱锥PABC的每个顶点都在球O的球面上，2ABBC，5PAPC，ABBC， 过B作平面ABC的垂线BQ，且BQAB，3PQ ，P与Q都在平面ABC的同侧，则( ) A三棱锥PABC的体积为 2 3 BPAAB C/ /PCBQ D球O的表面积为9 三、填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13

7、 （5 分）已知随机变量 2 (2,)XN，(0)0.9P X ，则(24)PX 14 （5 分）函数( )f xxlnx在点(1,0)处的切线方程为 15 （5 分）某驾驶员培训学校为对比了解“科目二”的培训过程采用大密度集中培训与周末分散培训两种 方式的效果，调查了 105 名学员，统计结果为：接受大密度集中培训的 55 个学员中有 45 名学员一次考试 通过，接受周末分散培训的学员一次考试通过的有 30 个根据统计结果，认为“能否一次考试通过与是否 集中培训有关”犯错误的概率不超过 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd 2 ()P Kk 0.05

8、 0.025 0.010 0.001 k 3.841 5.024 6.635 10.828 16 （5 分）设椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的焦点为 1 F， 2 F，P是椭圆上一点，且 12 3 FPF ，若 12 FPF的 外接圆和内切圆的半径分别为R，r，当4Rr时，椭圆的离心率为 四、四、解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （10 分）从“ 1 () 2 n a Sn n； 23 Sa， 412 aa a； 1 2a ， 4 a是 2 a， 8 a的等比

9、中项 ”三个条件 任选一个，补充到下面横线处，并解答 已知等差数列 n a的前n项和为 n S，公差d不等于零，_， * nN （1）求数列 n a的通项公式； （2）若 1 22 nn n bSS ，数列 n b的前n项和为 n W，求 n W 18 （12 分） 已知ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 且6a ，2b ，2 coscbbA （1）求sin B的值； （2）若AD平分BAC交BC于D，求三角形ADC的面积S的值 19 （12 分）如图，在四棱锥EABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BCE为等边三角形，点O为BE 的中点，且22ACBCOA （1）证明：平面

10、ABE 平面BCE （2）若ABAE，求二面角BCED的正弦值 20 （12 分）某商城玩具柜台元旦期间促销，购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的产品就可以赠送元旦 礼品而每个甲系列盲盒可以开出玩偶 1 A， 2 A， 3 A中的一个，每个乙系列盲盒可以开出玩偶 1 B， 2 B中的 一个 （1）记事件 n E：一次性购买n个甲系列盲盒后集齐 1 A， 2 A， 3 A玩偶；事件 n F：一次性购买n个乙系列盲 盒后集齐 1 B， 2 B玩偶；求概率 6 ()P E及 5 ()P F； （2）礼品店限量出售甲、乙两个系列的盲盒，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时，只能选择其 中一个系列的

11、一个盲盒通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为 1 5 ，购买乙系列的 概率为 4 5 ；而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为 1 4 ，购买乙系列的概率为 3 4 ；前一次 购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为 1 2 ，购买乙系列的概率为 1 2 ；如此往复，记某人第n次购 买甲系列的概率为 n Q n Q； 若每天购买盲盒的人数约为 100，且这 100 人都已购买过很多次这两个系列的盲盒，试估计该礼品店每天 应准备甲、乙两个系列的盲盒各多少个 21 （12 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1 F，

12、2 F，点(3,1)P在C上，且 12 | | 10PFPF （1）求C的方程； （2）斜率为3的直线l与C交于A，B两点，点B关于原点的对称点为D若直线PA，PD的斜率存在 且分别为 1 k， 2 k，证明： 12 kk为定值 22 （12 分）已知函数 2 ( )()f xlnxa xx， 3 ( )5g xxx （1）讨论函数( )f x的单调性； （2）当2a 时，证明： 3 ( )( ) 2 f xg x 考前考前 30 天冲刺高考模拟考试卷（天冲刺高考模拟考试卷（3）答案）答案 1解：0A，1，2，3，4， |23Bxx剟， 2AB，3 故选：C 2解：等差数列32n的公差为 3，

13、 等差数列52 n的公差为2， 等差数列32n与等差数列52 n的公差之和为321 故选：A 3解：因为m为平面内一条直线，/ /m，所以/ /或与相交， 故“/ /m”不能推出“/ /” ， 而/ /，则两平面没有公共点，而m为平面内一条直线，所以/ /m， 所以“/ /”可以推出“/ /m” ， 所以“/ /m”是“/ /”的必要不充分条件，故A不正确，B正确； 根据面面垂直的判定可知，m为平面内一条直线， “m”可以推出“” ， 但“”不能推出“m” ，所以“m”是“”的充分不必要条件，故C、D不正确 故选：B 4解：对于A，由统计图可知，2015 年我国约有 22.4 万所幼儿园，故选

14、项A错误； 对于B，这十年间我国学前教育毛入园率逐年增长，但是增长率不相同，故选项B错误； 对于C，2019 年我国约有 28.1 万所幼儿园，2018 年我国约有 26.7 万所幼儿园， 所以增长了 28.126.7 5.2% 26.7 ，故选项C正确； 对于D，2019 年入园率为83.4%，2018 年入园率为81.7%， 所以增长了 83.481.7 2% 81.7 ，故选项D错误 故选：C 5解： 2 11cos21333 ( )sin cos3cossin23sin2cos2sin(2) 2222232 x f xxxxxxxx ， 令2 32 xk 得 122 k x ，kZ，

15、当0k 时， 12 x ，A符合题意，B，C，D不符合题意 故选：A 6解：现有 4 名高三学生准备 2021 年高考后到“华东五市”中的上海市、南京市、苏州市、杭州市四个 地方旅游， 假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游， 基本事件总数 4 4256n ， 恰有一个地方未被选中包含的基本事件个数 23 44 144mC A， 则恰有一个地方未被选中的概率为 1449 25616 m P n 故选：B 7解：设点A在第一象限，设坐标为(m， 3 7 )(0) 7 m m ， 因为点P，Q，O分别为三角形ABF的三边的中点，且OPOQ， 所以四边形OPFQ为矩形，所以AFBF，而4OF

16、 ， 则4OAOB，所以 222 3 716 ()4 77 mmm，解得7m （负值舍去） ， 所以点A的坐标为( 7，3)，代入双曲线方程可得： 22 79 1 ab ， 又 22 16ab，解得2a ，2 3b ， 所以双曲线的离心率为 4 2 2 c e a ， 故选：D 8解：由题意，( )f x存在 5 个“先享点” ，原点是一个，其余还有两对， 即函数 3 6(0)yxx x关于原点对称的图象恰好与函数16(0)yax x有两个交点， 而函数 3 6(0)yxx x关于原点对称的函数为 3 6(0)yxx x， 即 3 166axxx有两个正根， 2 16 6(0)axx x ，令

17、 2 16 ( )6(0)h xxx x ， 则 3 22 162(8) ( )2 x h xx xx ， 所以当02x时，( )0h x，当2x 时，( )0h x， 所以( )h x在(0,2)上单调递减，在(2,)上单调递增， 则当2x 时，( )4866 min h x， 且当0 x 和x时，( )f x ， 所以实数a的取值范围为(6,)， 故选：D 9解：选项A：由已知可得函数定义域为R，故A正确； 选项B：当1x 时，函数( )f x为增函数，当1x时，函数为增函数，且 1 43110ln ， 所以函数在R上不单调，故B错误； 选项C：当1x 时，3( )1f x ，当1x时，(

18、 ) 0f x ，所以函数的值域为( 3,) ，故C正确； 选项D：当1x 时，令430 x ，解得 4 log 3x ，当1x时，令0lnx ，解得1x ， 故函数有两个零点，故D错误， 故选：AC 10解：0a ，0b ，42 4ababab ，当且仅当ab时取等号， 解得16ab，即ab的最小值为 16，A正确； 由已知得 41 1 ba ， 所以 4188 2(2)()66264 2 aba b abab bababa ， 当且仅当 8ab ba 时取等号，B正确； 由已知无法判断a，b的大小，故0ab无法判断，C错误； 因为 41 1 ba ， 所以 14 1 ab ， 所以 222

19、 116832 1 abbb ， 结合二次函数的性质可知 11 8b ，即8b 时取等号，此时取得最小值 1 2 ， 故以 22 1161 2ab ，D正确 故选：ABD 11解：对于A：幂函数 a yx，当1a 时，函数单调递减，所以 11 23 ( )( ) 55 ，故A错误； 对于B：当logloglog1 12 aaa abab ，故B正确； 对于 2222 ()() : 11(1)(1) baba baabab C abab ， 由于0ba，故 22 11 ba ab 成立，故C正确； 对于D：原不等式变形为 3232 11 ()()0 33 amaabmbb， 令 32 1 ( )

20、 3 g xxmxx， 则 2 ( )21g xxmx， 2 440m， ( )0g x， 解得： 2 1 1xmm， 2 2 1xmm 由于 5 3 m ， 所以 1 1x ， 2 3x ， 所以函数( )g x在(1,3)上单调递减， 所以g（a）g（b）0，故D正确 故选：BCD 12解：如图， 长方体的高为 1，底面是边长为 2 的正方形，满足2ABBC，5PAPC，ABBC， 三棱锥PABC的体积为 112 22 1 323 ，故A正确； 22222222 2213PBPDBDPDABAD， 满足 222 PAABPB，可得PAAB，故B正确； BQ 平面ABC，PD 平面ABC，则

21、/ /BQPD， 假设/ /PCBQ，则/ /PCPD，与PD与PC相交于P矛盾，故C错误； 三棱锥PABC的外接球即长方体DG的外接球，设其半径为R， 则 222 22213R，即 3 2 R ，可得球O的表面积为 2 3 4( )9 2 ，故D正确 故选：ABD 13解：因为随机变量X服从正态分布(2N， 2)( 0)，且(0)0.9P X ， 所以该正态分布曲线的对称轴为2x ，故(2)(2)0.5P XP X， 所以(24)(02)(0)(2)0.90.50.4PXPXP XP X剟 故答案为：0.4 14解：由( )f xxlnx，得( )1fxxlnxlnx， f （1）1，即函数

22、( )f xxlnx在点(1,0)处的切线的斜率为 1 函数( )f xxlnx在点(1,0)处的切线方程为01 (1)yx ， 即10 xy 故答案为：10 xy 15解：22列联表如下： 通过 未通过 总计 集中培训 45 10 55 分散培训 30 20 50 总计 75 30 105 2 2 105 (45 2030 10) 6.1095.024 75 30 50 55 K ， 认为“能否一次考试通过与是否集中培训有关”犯错误的概率不超过 0.025， 故答案为：0.025 16解： 12 FPF的外接圆的半径R，由正弦定理 12 12 |2 2 sin sin 3 FFc R FPF

23、 ， 所以 2 3 3 Rc， 又由于4Rr，所以 3 6 rc， 在 12 FPF中，由余弦定理可得 222 12121212 |2| cosFFPFPFPFPFFPF，而 12 3 FPF ， ， 所以 22 12 443|caPFPF， 所以可得： 22 12 4 |() 3 PFPFac， 由三角形的面积相等可得： 12121212 11 (|)|sin 22 PFPFFFrPFPFFPF， 所以 22 43 (22 )() 32 ac rac， 所以 22 343 2()() 632 accac， 整理可得： 2 320ee ，解得 2 3 e 或1e ， 故答案为： 2 3 17解

24、： （1）选 1 () 2 n a Sn n， 可得 1 11 1 2 a aS ，解得 1 2a ， 即 2 n Snn， 则 12 6aa，即 2 4a ， 21 2daa， 所以22(1)2 n ann； 选 23 Sa， 412 aa a， 可得 11 22adad， 111 3()ada ad， 解得 1 2ad， 所以22(1)2 n ann； 选 1 2a ， 4 a是 2 a， 8 a的等比中项， 可得 2 428 aa a，即 2 (23 )(2)(27 )ddd， 解得2(0dd舍去） ， 所以22(1)2 n ann； （2）由 2 n Snn， 可得 1 1 212 2

25、2 (2)2(2 )23 42 nn nnnnnn n bSS ， 所以 2323 3(4444 )(2222 ) nn n W 4(14 )2(12 ) 3 1412 nn 1111 4422426 nnnn 18解： （1）因为2 coscbbA， 又由余弦定理可得 222 2cosabcbcA， 所以 222 ()abcc cb，可得 22 bbca， 因为6a ，2b ， 可得1c ， 由余弦定理 222 2cosabcbcA，将6a ，2b ，1c ，代入，可得64122 1 cosA ，可得 1 cos 4 A ， 所以 15 sin 4 A，由正弦定理 sinsin ab AB

26、，可得 10 sin 4 B （2）由（1）可知 15 sin 4 A，6a ，1c ， 则由正弦定理可得 sinsin ac AC ，可得 10 sin 8 C ， 在ABD中， sinsin BDAB BADADB ， 在ACD中， sinsin CDAC DACADC ， 又因为AD平分ADC， 所以sinsinADBADC， ，可得2 bACCD cABBD ，可得 2 6 3 CD ， 所以 112 61015 sin2 22386 ADC SDC ACC 19 （1）证明：连接OC，因为BCE为等边三角形，所以OCBE， 因为2AC ，1OA ， 3 23 2 OC ，所以 222

27、 ACAOOC，所以OCOA， 又因为OABEO，所以OC 平面ABE， 又因为OC 平面BCE，所以平面BCE 平面ABE， 故平面ABE 平面BCE （2）解：因为ABAE，所以OABE，所以OE、OC、OA两两垂直， 建立如图所示的空间直角坐标系， (1E，0，0)，( 1B ，0，0)，(0A，0，1)，(0C，3，0)， ( 1EC ，3，0)，(1CDBA，0，1)，设平面ECD的法向量为(mx，y，) z， 30 0 EC mxy CD mxz ，令3x ，( 3m ，1，3)， 平面BEC的法向量为(0n ，0，1)， 设二面角BCED的大小为， 则 |33 |cos| | |

28、77 1 m n mn ， 32 7 sin1 77 ， 所以二面角BCED的正弦值为 2 7 7 20解： （1）由题意 222321342 642631362 6 6 320 () 327 C C CC C C AC A P E ， 5 5 1 115 ()1 216 P F ， （2）由题意可知： 1 1 5 Q ， 当2n时， 111 1111 (1) 4224 nnnn QQQQ ， 1 212 () 545 nn QQ ， 1 21 55 Q ， 所以 2 5 n Q 是以 1 5 为首项， 1 4 为公比的等比数列， 1 211 () 554 n n Q ； 因为每天购买盲盒的

29、100 人都已购买过很多次，所以，对于每一个人来说，某天来购买盲盒时，可以看 作n趋向无穷大， 所以购买甲系列的概率近似于 2 5 ，假设用表示一天中购买甲系列盲盒的人数，则 2 (100, ) 5 B， 所以 2 ( )10040 5 E，即购买甲系列的人数的期望为 40， 所以礼品店应准备甲系列盲盒 40 个，乙系列盲盒 60 个 21解： （1）设 1( ,0)Fc， 2( F c，0)(0)c ，其中 22 cab， 因为 12 | | 10PFPF，所以 22 (3)1(3)110cc ，解得4c ， 所以 22 2(34)1(34)14 2a ，解得2 2a ， 所以 222 8b

30、ca， 所以双曲线C的方程为 22 1 88 xy ； （2）证明：设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，则 2 (Dx， 2) y， 设直线l的方程为3yxm ，与双曲线的方程联立，消去y，可得， 22 8680 xmxm， 由 22 ( 6 )32(8)0mm ，可得| 8m ， 12 3 4 m xx， 2 12 8 8 m x x ， 所以 1212 ( 3)( 3)y yxmxm 22 22 1212 83 93 ()939 848 mmm x xm xxmmm ， 所以 2 12 121212 12 2 121212 12 83() 111 8 1 33339

31、83() 8 m xx yyy yyy k k mxxx xxx xx ， 所以 12 kk为定值1 22解： （1）( )f x的定义域为(0,)， 2 121 ( )(21) axax fxax xx ， 令 2 ( )21h xaxax，(0,)x， 当0a 时，( )10h x ，( )0fx， 所以( )f x在(0,)上单调递增， 当0a 时，函数( )h x的对称轴为 1 224 a x a ，且(0)10h ， 所以在(0,)上，( )0h x ，( )0fx，( )f x单调递增， 当0a 时，函数( )h x的对称轴为 1 224 a x a ，且(0)10h ， 所以在(

32、0,)上( )h x单调递减，存在 2 0 8 4 aaa x a 使得 0 ()0h x， 所以在 2 8 (0,) 4 aaa a 上( )0h x ，( )0fx，( )f x单调递增， 在 2 8 ( 4 aaa a ，)上( )0h x ，( )0fx，( )f x单调递减， 综上所述，当0a时，( )f x在(0,)上单调递增， 当0a 时，( )f x在 2 8 (0,) 4 aaa a 上单调递增，在 2 8 ( 4 aaa a ，)上( )f x单调递减 （2）当2a 时， 2 ( )2()f xlnxxx， 要证 3 ( )( ) 2 f xg x， 则需证 23 3 2(

33、)5 2 lnxxxxx， 只需证 32 3 230 2 lnxxxx， 令 32 3 ( )23 2 F xlnxxxx， 32 2 13431 ( )343 xxx F xxx xx ， 令 32 ( )3431h xxxx， 2 ( )983h xxx， 2 84 ( 8) ( 3)320 ， 所以在(0,)上，( )0h x，( )h x单调递减， 又因为(0)1h， 11 ( )0 28 h， 317 ( )0 464 h ， 所以存在一个 1 1 (2x ， 3) 4 使得 1 ()0h x，即 32 111 34310 xxx 所以在 1 (0,)x上( )0h x ，( )0F

34、 x，( )F x单调递增， 在 1 (x，)上( )0h x ，( )0F x，( )F x单调递减， 所以 322 11111111 327 ( )()232 236 max F xF xlnxxxxlnxxx， 1 1 (2x ， 3) 4 令 2 27 ( )2 36 p xlnxxx， 1 (2x， 3) 4 2 14463 ( )2 33 xx p xx xx ， 令 2 ( )463v xxx， 1 (2x， 3) 4 2 ( 6)4 4 3120 ， 所以( )0v x ，( )0p x，( )p x单调递增， 所以 2 33233731 ( )( )( )( )2( )0 443446424 p xplnln， 所以( )0 max F x， 所以( )0F x 恒成立，即可得证