2021届高考数学考前30天冲刺模拟试卷（7）含答案

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1、考前考前 30 天冲刺高考模拟考试卷（天冲刺高考模拟考试卷（7） 一、一、选择题：本题共选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。求的。 1 （5 分）已知集合 2 |4Px x， | 13Qxx ，则(PQ ) A |23xx B | 23xx C | 12xx D | 13xx 2 （5 分）已知i为虚数单位，且复数 2 1 (1)aai 是纯虚数，则实数a的值为( ) A1 或1 B1 C1 D0 3 （5 分）过点(1,0)且倾斜角为30的直线被圆 2

2、2 (2)1xy所截得的弦长为( ) A 3 2 B1 C3 D2 3 4 （5 分） 史记卷六十五孙子吴起列传第五中有这样一道题：齐王与田忌赛马，田忌的上等马劣于 齐王的上等马，优于齐王的中等马，田忌的中等马劣于齐王的中等马，优于齐王的下等马，田忌的下等马 劣于齐王的下等马，现两人进行赛马比赛，比赛规则为：每匹马只能用一次，每场比赛双方各出一匹马， 共比赛三场每场比赛中胜者得 1 分，否则得 0 分若每场比赛之前彼此都不知道对方所用之马，则比赛 结束时，田忌得 2 分的概率( ) A 1 3 B 2 3 C 1 6 D 1 2 5 （5 分）若将函数( )sin()(0) 4 f xx 的图

3、象向左平移(0) 2 个单位得到函数( )g x的图象，则 “ 1 2 ”是“( )g x为偶函数”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6 （5 分）已知20202021 a ，20212020 b ，2cln，则( ) Aloglog ab cc Bloglog cc ab C cc ab D ab cc 7 （5 分）过双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左焦点F作x轴的垂线交双曲线于点A，双曲线C上存在 点B（异于点)A，使得 2 ABF 若 4 BAF ，则双曲线的离心率为( ) A12 B13 C22 D23 8 （

4、5 分）关于x的方程1 x lnxk e x 在(0,)上只有一个实根，则实数(k ) A1e B1 C0 De 二、二、选择题：本题共选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。 全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的对分，部分选对的对 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。 9 （5 分）2020 年是全面实现小康社会目标的一年，也是全面打赢脱贫攻坚战的一年，某研究性学习小组 调查了某脱贫县的甲、乙两个家庭，对他们过去 6 年(2014年到 2019

5、年）的家庭收入情况分别进行统计， 得到这两个家庭的年人均纯收入（单位：百元/人）茎叶图对甲、乙两个家庭的年人均纯收入（以下分别 简称“甲” “乙” )情况的判断，正确的是( ) A过去的 6 年， “甲”的极差小于“乙”的极差 B过去的 6 年， “甲”的平均值小于“乙”的平均值 C过去的 6 年， “甲”的中位数小于“乙”的中位数 D过去的 6 年， “甲”的平均增长率小于“乙”的平均增长率 10 （5 分） 已知三棱锥PABC的每个顶点都在球O的球面上，2ABBC，5PAPC，ABBC， 过B作平面ABC的垂线BQ，且BQAB，3PQ ，P与Q都在平面ABC的同侧，则( ) A三棱锥PAB

6、C的体积为 2 3 BPAAB C/ /PCBQ D球O的表面积为9 11 （5 分）在ABC中，角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c下列命题中正确的是( ) A若tantantan0ABC，则ABC一定是锐角三角形 B若coscosaBbAc，则ABC一定是直角三角形 C若sinsinsin(coscos )ABCAB，则ABC一定是钝角三角形 D若 2 cos 22 Bac c ，则ABC一定是锐角三角形 12 （5 分）已知实数x，y，z满足1xyz，且 222 1xyz，则下列结论正确的是( ) A0 xyyzxz Bz的最大值为 1 2 Cz的最小值为 1 3 Dxyz的最小值为

7、 4 27 三、填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 （5 分） 6 2 ()x x 的展开式中常数项是 14 （5 分）函数 2 ( )cossin cosf xxxx，则( )f x的最小正周期为 ，对称轴方程为 15 （5 分）某次灯谜大会共设置 6 个不同的谜题，分别藏在如图所示的 6 只灯笼里，每只灯笼里仅放一个 谜题并规定一名参与者每次只能取其中一串最下面的一只灯笼并解答里面的谜题，直到答完全部 6 个谜 题，则一名参与者一共有 种不同的答题顺序 16 （5 分） 已知圆内接四边形ABCD的边长22BCAB，7CDDA，

8、则AC ， 四边形ABCD的 面积为 四、四、解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （10 分）已知角，(0,) 的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，点 1 ( 2 A， 3) 2 ， ( 26B，26)分别在角，的终边上 （）设函数( )2sin(2)f xx， 3 ( 8 x ，) 2 ，求( )f x的最大值； （）若点C在角的终边上，且线段AC的长度为 6 3 ，求AOC的面积 18 （12 分）已知数列 n a满足 1 123 23(1)22 n n aaan

9、an （1）求数列 n a的通项公式； （2）设数列 222 1 nn log a log a 的前n项和为 n T，证明： 3 4 n T 19 （12 分）已知四棱锥PABCD中，/ /ABCD，2ABCD，1ACPC，2PA，AB 平面PAC （1）求证：平面PCD 平面ABCD； （2）若直线AC与侧面PAD所成角的正弦值为 3 3 ，求AB的值 20 （12 分）2020 年新型冠状病毒肺炎席卷全球，为减小病毒感染风险，人类积极采取措施，其中“勤洗 手”是有效措施之一，而正确的洗手方式对洗手步骤和时长有具体要求某市为了了解在校高中生每次洗 手的平均时长（单位：) s，教育主管部门对全

10、市返校高中生进行随机问卷调查，并把得到的数据绘制成下 面的频数分布表 洗手时长分组/s 0，10) 10，20) 20，30) 30，40) 40，50) 频数 3 197 600 196 4 （1）根据样本数据，可近似地认为高中生的洗手时长服从正态分布(25N， 2 5 )若该市高中生总共约有 50000 人，试估计有多少高中生每次洗手的平均时长在35s以上 附：若X服从正态分布 2 ( ,)N ，()0.6862PX，(22 )0.9544PX， (33 )0.9973PX （2）若认为洗手时长至少20s才能“达标” 现从该市高中生中随机抽取 3 人，将上述调查所得的频率视为 概率，且高中

11、生之间的洗手时长相互独立，记“达标”的高中生人数为随机变量X，求X的分布列与数学 期望()E X 21 （12 分）已知椭圆 2 2 1: 1 2 x Cy和抛物线 2 2: 2(0)Cxpy p，点Q为第一象限中抛物线 2 C上的动点， 过Q作抛物线 2 C的切线l分别交y轴、x轴于点A、B，F为抛物线 2 C的焦点 （）求证：FB平分AFQ； （）若直线l与椭圆 1 C相切于点P，求APF面积的最小值及此时p的值 22 （12 分）已知函数( )1 x f xeax， 2 ( )g xkx （1）当0a 时，求( )f x的值域； （2）令1a ，当(0,)x时， ( ) ( ) (1)

12、g x f xx ln x 恒成立，求k的取值范围 考前考前 30 天冲刺高考模拟考试卷（天冲刺高考模拟考试卷（7）答案）答案 1解： | 22Pxx ， | 13Qxx ， | 12PQxx 故选：C 2解：复数 2 (1)(1) ()aai aR是纯虚数， 2 10 10 a a ，解得1a 故选：C 3解：根据题意，设过点(1,0)且倾斜角为30的直线为l， 其方程为tan30 (1)yx，即 3 (1) 3 yx，变形可得310 xy ； 圆 22 (2)1xy的圆心为(2,0)，半径1r ， 设直线l与圆交于点AB， 圆心到直线的距离 |21|1 213 d ， 则 1 213 4

13、AB ， 故选：C 4解：每匹马只能用一次，每场比赛双方各出一匹马，共比赛三场每场比赛中胜者得 1 分，否则得 0 分 设田忌的上等马、中等马、下等马分别为A，B，C， 齐王的上等马、中等马、下等马分别为a，b，c， 所有的基本事件有 6 种，分别为： (Aa，Bb，)Cc，(Aa，Bc，)Cb，(Ab，Ba，)Cb，(Ab，Bc，)Cb，(Ac，Bb，)ca，(Ac，Ba， )Cb， 比赛结束时，田忌得 2 分的基本事件为：(Ab，Bc，)Ca，只有 1 种， 比赛结束时，田忌得 2 分的概率 1 6 P 故选：C 5解：由题意可得，( )sin ()sin() 44 g xxx ， 因为(

14、 )sin() 4 g xx 为偶函数， 所以 44 k ， 因为0 2 ，所以0 42 k ， 所以 1 20 2 k，kZ， 所以当( )g x为偶函数时，不能得到 1 2 ， 当 1 2 时， 11 ( )sin() 224 g xx ， 因为0 2 ，所以 1 4242 ， 所以 11 ( )sin() 224 g xx 不可能为偶函数， 所以“ 1 2 ”是“( )g x为偶函数”的既不充分也不必要条件 故选：D 6 （解： 20202020 log2021log20201a , 2021 log2020b ,01b, 2cln,01c, log0 ac ,log0 bc ,logl

15、og ab cc,即A错误； ab,01c,loglog cc ab, cc ab, ab cc, 即BC都错误, D正确 故选：D 7解：设双曲线的左焦点(,0)Fc， 将xc 代入双曲线方程可得 2 b y a ，不妨设 2 (,) b Ac a ， 根据, 24 ABFBAF ，可知三角形ABF为等腰直角三角形， 所以点B的坐标为 22 (,) 22 bb c aa ，代入双曲线方程可得： 22 22 22 ()() 22 1 bb c aa ab ， 化简可得： 222 22 2 44 bb cb ca aa ，即 2 2 1 1 44 bc aa ， 可得 2 2 1 42 cc a

16、a ，所以 2 11 0 42 ee，解得22e 或22（舍去） ， 故选：C 8解：关于x的方程1 x lnxk e x 在(0,)上只有一个实根， 即(1) x x elnxk有且仅有一个正根， 令( )(1) x f xx elnx，0 x 则 11 ( )(1)1(1)() xx fxxexe xx ， 令 1 ( ) x g xe x ，0 x ， 则 2 1 ( )0 x g xe x ， 记 0 0 1 0 x e x ，即 0 ()0g x， 0 (0,)x上( )0g x ， 0 (x，)上( )0g x ， 又因为0 x ， 故 0 (0,)x上( )0fx， 0 (x，)

17、上( )0fx， 当x时，( )f x ，0 x 时，( )f x ， 故当 0 xx时， 0 ()f xk且 0 0 1 x e x ， 0 0000 (1)11 x kx elnxxlnx ， 故选：B 9解：对于A，甲的极差为42366，乙的极差为41347， 所以“甲”的极差小于“乙”的极差，A正确； 对于B，甲的平均数是 1230 (363737384042) 66 ， 乙的平均数为 1228 (343638394041) 66 ， 所以“甲”的平均值大于“乙”的平均值，B错误； 对于C，甲的中位数是 1 (3738)37.5 2 ， 乙的中位数是 1 (3839)38.5 2 ，

18、所以， “甲”的中位数小于“乙”的中位数，C正确； 对于D，过去 6 年甲的平均增长率为：6 42 1 36 ； 乙的平均增长率为：6 41 1 34 ，且 4241 3634 ， 所以“甲”的平均增长率小于“乙”的平均增长率，D正确 故选：ACD 10解：如图， 长方体的高为 1，底面是边长为 2 的正方形，满足2ABBC，5PAPC，ABBC， 三棱锥PABC的体积为 112 22 1 323 ，故A正确； 22222222 2213PBPDBDPDABAD， 满足 222 PAABPB，可得PAAB，故B正确； BQ 平面ABC，PD 平面ABC，则/ /BQPD， 假设/ /PCBQ，

19、则/ /PCPD，与PD与PC相交于P矛盾，故C错误； 三棱锥PABC的外接球即长方体DG的外接球，设其半径为R， 则 222 22213R，即 3 2 R ，可得球O的表面积为 2 3 4( )9 2 ，故D正确 故选：ABD 11解：因为tantantantantantan0ABCABC， 又ABC中不可 能有两个钝角， 故tan0A ，tan0B ，tan0C ， 所以A，B，C都为锐角，A正确； 因为coscosaBbAc， 由正弦定理得sincossincossinABBAC， 即sin()sinABC， 所以ABC，即ABC， 因为2ABCA， 所以 2 A ， 所以ABC一定是直

20、角三角形，B正确； 因为sinsinsin(coscos )ABCAB， 所以sin()sinsin(coscos )BCBCAB， 整理得(sinsin )cos0BAC， 因为sinsin0BC， 所以cos0C ，即 2 C ，ABC一定是直角三角形，C错误； 因为 2 cos 22 Bac c ， 所以 1cos1 2222 Baca cc 即 sin cos sin aA B cC ， 所以sinsincossin()sincossincosACBBCBCCB， 所以sincos0BC ， 因为sin0B ， 故cos0C ，即C为直角，则ABC一定是直角三角形，D错误 故选：AB

21、12解：因为1xyz，且 222 1xyz，所以 2222 1( )()0 2 xyyzxzxyzxyz，故选项 A正确； 因为 22222 (1)()2()2(1)zxyxyz，解得 1 1 3 z 剟，所以z的最小值为 1 3 ，最大值为 1，故选项B 错误，选项C正确； 令xyzc，则x，y，z是方程 32 0ttc的三个根，令 32 ( )f tttc，则 2 () 32f ttt，令()0f t， 解得0t 或 2 3 t ， 要使得( )f t有 3 个零点， 则需 (0) 0 2 ( ) 0 3 f f ， 解得 4 0 27 cxyz剟， 所以xyz的最小值为 4 27 ， 故

22、选项D正确 故选：ACD 13解：展开式的通项为 3 16 ( 2)r rr r TC x 令30r得3r 所以展开式的常数项为 33 6 ( 2)160C 故答案为：160 14解：因为 2 1cos2121 ( )cossin cossin2sin(2) 22242 x f xxxxxx ， 所以函数的最小正周期 2 2 T ， 令2() 42 xkkZ ， 解得： 1 () 28 xkkZ ， 所以函数的对称轴方程为： 1 28 xk ，()kZ 故答案为：， 1 28 xk ，()kZ 15解：由题意可知，只需要同一列顺序为从下到上即可，一共 6 只灯笼， 第一步，从 6 个选 3 个

23、，第二步，从 3 个选 2 个，最后回答剩下的哪一个， 故有 321 631 60C C C 种， 故答案为：60 16解：由于180BD，则coscosBD ， 由题设及余弦定理得， 在ABC中， 222 2cos54cosACABBCAB BCBB， 在ACD中， 222 2cos1414cosACADDCAD DCDB， 由得 1 cos 2 B ，故120B ，60D ， 则7AC 由于180BD， 3 sinsin 2 BD， 由以上的结果及题设，可知四边形ABCD的面积 111393 sinsin(1277) 22224 ABCACD SSSABBCBADCDD ， 故答案为：7，

24、 9 3 4 17解： （）因为过点 1 ( 2 A， 3) 2 ，由任意角的三角函数的定义可知 1 cos 2 ， 3 sin 2 ， 因为0，所以 3 ，则( )2sin(2) 3 f xx ， 因为 3 ( 8 x ，) 2 ，所以 52 2(,) 3123 x ， 所以( )( 3,2f x ，所以( )f x的最大值为 2； （） 因为过点( 26B，26)， 由任意角的三角函数的定义可知 2626 sin,cos 44 ， 所以 2 cos()coscossinsin 2 ，即 2 cos 2 AOC， 由余弦定理可得， 222 2cosACOCOAOC OAAOC， 所以 2 2

25、 12 3 OCOC ，解得 3 26 6 OC ， 所以 13 26233 26212 AOC S ， 所以AOC的面积为 33 12 18（1） 解： 由 1 123 23(1)22 n n aaanan 可得：1 231 23(1)(2)22(2) n n aaanann ， 两式相减得： 1 (1)2(2)22 nnn n nannn ，即2n n a ，2n， 又当1n 时，有 1 2a 也适合上式， 2n n a； （2）证明：由（1）可得： 222 111 11 () (2)22 nn log a log an nnn ， 11111111111111113 (1)(1)(1)

26、2324351122212224 n T nnnnnn 19 （1）证明：因为AB 平面PAC，/ /ABCD，所以CD 平面PAC， 所以CDAC，CDPC， 因为1ACPC，2PA，所以 222 PAACPC， 所以PCAC， 因为CDACC，AC、CD 平面ABCD， 所以PC 平面ABCD， 又因为PC 平面PCD，所以平面PCD 平面ABCD； （2）解：由（1）知CD、CA、CP两两垂直， 建立如图所示的空间直角坐标系， 设2ABt，0t ，则各点坐标如下： (D t，0，0)，(0A，1，0)，(0P，0，1)， (PDt，0，1)，(0PA，1，1)，(0CA，1，0)， 设平

27、面PAD的法向量为(nx，y，) z， 0 0 PD ntxz PA nyz ，令zt，(1n ，t，) t， 直线AC与侧面PAD所成角的正弦值为 2 |3 3| | 12 AC nt ACn t ， 解之得1t ，所以AB的值为 2 20解： （1）由题意可得，25，5，所以35， 于是每次洗手的平均时长在35s以上的概率为 1(22 )10.9544 (2 )0.0228 22 PX P X ， 所以0.0228500001140， 故约有 1140 名高中生每次洗手的平均时长在35s以上； （2）由表格可知“达标”的高中生的频率为 0.8，将频率视为概率， 则任意抽取一名高中生洗手时长

28、“达标”的概率为 4 5 ，且相互独立， 所以随机变量 4 (3, ) 5 XB， 所以 3 3 41 ()( )( ) 55 rrr P XrC ，其中r的可能取值为 0，1，2，3， 故X的分布列为： X 0 1 2 3 P 1 125 12 125 48 125 64 125 所以X的数学期望为 12 () 5 E Xnp 21解： （）证明：设(0,) A Ay,( B B x,0),( p P x,) p y,( Q Q x,) Q y，: l ykxb， l与抛物线 2 C联立得： 2 220 xpkxpb， 由题意知0,即 2 20pkb 而Q的横坐标 Q xpk,B的横坐标 2

29、 B bpk x k ， 所以B为AQ 的中点， 由Q到焦点的距离等于Q到准线的距离可知, | | 22 QA pp FQyyFA， 所以FB平分AFQ （）直线l与椭圆 1 C联立得： 222 (1 2)4220kxkbxb， 由条件知0,即 22 21kb ， 由(1)知 2 20pkb,可得 2 :40pbbp， 又因为0b ,所以 2 24p b p ， P 的横坐标 2 2 24 22 ,2 21 p p kbk xk kbp ， 所以APF 面积 112 | |()()| 222 APFFAp pk Syyxb b 22 2 2 42424 2 () 22 24 ppp p pp

30、p ， 令 2 4 2tp ， 2 2 1 2 12 2(2) 2() APF t S t tt ， （当4t 即2 3p 时取等） ， 所以APF 面积的最小值是 2,此时2 3p 22解： （1）函数( )1 x f xeax，所以( ) x fxea， 令( )0fx，解得xlna， 所以( )f x在(，lna上单调递减，在区间lna，)上单调递增， 所以( )f x的最小值为()11 lna f lnaealnaaalna ， 故函数( )f x的值域为1aalna，)； （2）当1a 时，( )1 x f xex， 不等式 ( ) ( ) (1) g x f xx ln x 可变形

31、为 2 ( ) (1)(0)f xx ln xkx x，即 2 (1) (1) x eln xkx ， 所以 (1)2 11 (1) (1) 1 (1) (1) xx x ln x ee eln x xx k x ex ln x ln x ， 因为 ( ) ( ) (1) g x f xx ln x 对(0,)x恒成立， 所以 (1) 1 1 (1) x ln x e x k e ln x 对(0,)x恒成立， 令 1 ( ) x e m x x ，则 2 (1)1 ( ) x xe m x x ， 令( )(1)1 x n xxe，则( ) x n xxe， 因为0 x ，所以( )0n x，故( )n x在(0,)上单调递增， 所以( )(0)0n xn， 故( )0m x，所以( )m x在(0,)上单调递增， 则( )0(0)m xx， 又由（1）可知，当1a ，且0 x 时，( )1 x f xex的值域为(0,)，即( )10 x f xex ， 所以1 x ex恒成立，即(1)xln x， 所以( )( (1)m xm ln x，即 ( ) 1 ( (1) m x m ln x ， 又 ( ) ( (1) m x k m ln x 对(0,)x恒成立， 所以1k，故实数k的取值范围为(，1