2021届高考数学考前30天冲刺模拟试卷（8）含答案

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1、考前考前 30 天冲刺高考模拟考试卷（天冲刺高考模拟考试卷（8） 一、一、选择题：本题共选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。求的。 1 （5 分）已知集合 2 |16Ax yx， |(2) 1Bx lg x，则(AB ) A(2，3 B 4，4 C2，4) D(2，4 2 （5 分）复数 3 12 1 i z i 的共轭复数的虚部为( ) A 1 2 i B 1 2 i C 1 2 D 1 2 3 （5 分）采购经理指数()PMI，是通过对企业采购经理的

2、月度调查结果统计汇总、编制而成的指数，它涵 盖了企业采购、生产、流通等各个环节包括制造业和非制造业领域，是国际上通用的监测宏观经济走势的 先行性指数之一， 具有较强的预测、 预警作用 如图为国家统计局所做的我国 2019 年 12 月及 2020 年112 月份的采购经理指数()PMI的折线图，若PMI指数为50%，则说明与上月比较无变化，根据此图，下列结 论正确的( ) A2020 年 1 至 12 月的PMI指数的最大值出现在 2020 年 3 月份 B2020 年 1 至 12 月的PMI指数的中位数为51.0% C2020 年 1 至 3 月的PMI指数的平均数为49.9% D2020

3、 年 1 月至 3 月的月PMI指数相对 10 月至 12 月，波动性更大 4 （5 分）函数 11 ( )()cos 11 f xx xx 的图象可能是( ) A B C D 5 （5 分）已知cos22sin()cos() 4 ，sin0，则tan() 3 的值为( ) A23 B23 C23或3 D23或3 6 （5 分）已知实数a，b，c成等差数列，则点(2, 1)P到直线0axbyc的最大距离是( ) A 2 2 B1 C2 D2 7 （5 分）如图，已知 1 F， 2 F分别为双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点，过 1 F的直线与双曲线 C的左支交

4、于A、B两点，连接 2 AF， 2 BF，在 2 ABF中， 2 ABBF， 2 31 cos 32 ABF，则双曲线的离心 率为( ) A2 B2 C3 D 3 2 2 8 （5 分）已知函数( )21 kx lnx f xe kx ，(0)k ，函数( )g xxlnx，若( ) 2 ( )kf xg x，对(0,)x 恒成 立，则实数k的取值范围为( ) A1，) Be，) C 1 ,) e D 2 ,) e 二、二、选择题：本题共选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。分。在每小题给出的四个选项中。有多项符

5、合题目要求。 全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的对分，部分选对的对 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。 9 （5 分）已知 2 ( ,)XN ， 2 2 () 2 1 ( ) 2 x f xe ，xR，则( ) A曲线( )yf x与x轴围成的几何图形的面积小于 1 B函数( )f x图象关于直线x对称 C()2 ()()P XPXP X D函数( )()F xP Xx在R上单调递增 10 （5 分）已知236 ab ，则下列选项一定正确的是( ) A4ab B 22 (1)(1)2ab C 22 loglog2ab D4ab 11 （5 分）正方体 1111 ABCDA

6、BC D的棱长为 2，E，F，G分别为BC， 1 CC， 1 BB的中点则( ) A直线 1 D D与直线AF垂直 B直线 1 AG与平面AEF平行 C平面AEF截正方体所得的截面面积为 9 2 D点 1 A和点D到平面AEF的距离相等 12 （5 分）在ABC中，若 3 B ，角B的平分线BD交AC于D，且2BD ，则下列说法正确的是( ) A若BDBC，则ABC的面积是 33 2 B若BDBC，ABC的外接圆半径是2 2 C若BDBC，则 31 2 AD DC DABBC的最小值是 8 3 3 三、填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。

7、 13 （5 分）二项展开式 52345 012345 (2) xaa xa xa xa xa x，则 0 a ； 135 aaa 14（5 分）某农业局为支持该县扶贫工作，决定派出 5 男 3 女共 8 名农技人员分成两组分配到 2 个贫困村 进行扶贫，若每组至少 3 人，且每组都有男农技人员，则不同分配方案 有 种（用数字作答） 15 （5 分）已知抛物线 2 :4C yx的焦点为F，准线为l，点P在抛物线C上，PQ垂直l于点Q，QF与y 轴交于点T，O为坐标原点，且| 2OT ，则|PF 16 （5 分）已知 12 ,e e为不共线的单位向量，设 3 | 4 a ， 12( )beke

8、kR，若对任意向量a，b均有 3 | 4 ab成立，向量 12 ,e e夹角的最大值是 四、四、解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （10 分）已知数列 n a的前n项和为 n S，点(n， * )() n SnN在函数 2 ( )32f xxx的图象上， （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 1 3 n nn b aa ，求数列 n b的前n项和 n T 18 （12 分） 在ABC中， 角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 已知3b ，coscos2 cosaCcA

9、bB （）求角B的大小； （）求sinaC的最大值 19 （12 分）在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为平行四边形，APB为等腰直角三角形，PAPB， 2AD ，2AB ，PDAB，5PC （1）求证：BDAD； （2）求直线BD与面PAD所成角的正弦值 20（12 分） 乒乓球是中国国球， 它是一种世界流行的球类体育项目 某中学为了鼓励学生多参加体育锻炼， 定期举办乒乓球竞赛，该竞赛全程采取“一局定输赢”的比赛规则，首先每个班级需要对本班报名学生进 行选拔，选取 3 名学生参加校内终极赛与其他班级学生进行同台竞技 （）若高三（1）班共有 6 名男生和 4 名女生报名，且报名参赛的选手实力

10、相当，求高三（1）班选拔的 校内终极赛参赛选手均为男生的概率 （）若高三（1）班选拔的选手甲、乙、丙分别与高三（2）班选拔的选手A，B，C对抗，甲、乙、丙 获胜的概率分别为 2 3 ，p，1p，且甲、乙丙三人之间获胜与否互不影响，记为在这次对抗中高三（1） 班 3 名选手获胜的人数， 1 (0) 12 P （）求p； （）求随机变量的分布列与数学期望( )E 21（12分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的焦距为2 2， 点( 0 , 2 ) P关于直线yx的对称点在椭圆E上 （1）求椭圆E的方程； （2）如图，椭圆E的上、下顶点分别为A，B，过点P的直线l与椭圆E相交

11、于两个不同的点C，D 求COD面积的最大值； 当AD与BC相交于点Q时，试问：点Q的纵坐标是否是定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由 22 （12 分）已知函数( )24f xxalnxa，()aR （1）讨论函数( )f x的单调性； （2）令( )( )sing xf xx，若存在 1 x， 2 (0,)x ，且 12 xx时， 12 ()()g xg x，证明： 2 1 2 x xa 考前考前 30 天冲刺高考模拟天冲刺高考模拟考试卷（考试卷（8）答案）答案 1解： 2 |160 | 44Axxxx厔?， |02 10 |212Bxxxx剟， (2AB，4 故选：D 2解： 3 12

12、12(12 )(1)31 11(1)(1)22 iiii zi iiii ， 31 22 zi， 复数 3 12 1 i z i 的共轭复数的虚部为 1 2 ， 故选：D 3解：根据折线图可得，2020 年112月的PMI指数的最大值出现在 2020 年 11 月，故A错误； 根据中位数的定义，将 2020 年112月的PMI指数按从小到大的顺序排列后，可知排在第五和第六位的两 个数据的平均数即为中位数，即可得中位数为 50.951.0 50.95% 2 ，故B错误； 根据平均数的定义，可求得 2020 年1 3月的PMI指数的平均数为 50.035.752.0 45.9% 3 ，故C错误；

13、根据图中折线可得，2020 年 1 月至 3 月的PMI指数相对 10 月至 12 月，波动性更大，故D正确 故选：D 4解：函数 11 ( )()cos 11 f xx xx ， 1111 ()() cos()() cos( ) 1111 fxxxf x xxxx ， 函数 11 ( )()cos 11 f xx xx 为奇函数，关于原点对称，排除B， 当 1 2 x 时， 11114 ( )() coscos 11 223 11 22 f 1 0 2 ，排除A，D， 故选：C 5解： 2 22 cos22sin()cos()2(sincos )( cos )cossincos 422 ，

14、22 2cos1cossincos ，可得： 2 sinsincos， sin0， tan1， tantan 31 3 tan()23 313 1tantan 3 故选：A 6解：由a，b，c成等差数列，得2acb，所以2cba； 则点(2, 1)P到直线0axbyc的距离是 222222 |2|22|abcabbaab d ababab ， 由 222 ()2()abab，即 222 1 () 2 abab， 所以 22 1 | 2 abab当且仅当ab时取等号， 所以 | 2 1 | 2 ab d ab ， 即点(2, 1)P到直线0axbyc的最大距离是2 故选：C 7解：设 2 |AF

15、m，由双曲线的定义可得 1 |2AFma， 由 2 | |ABBF，可得 21 2| 2maBFBFa，即有4ma， 因为 2 ABF为等腰三角形， 所以 2 2121212 31 coscos(2)cos212cos 32 ABFF AFF AFF AF ， 解得 12 1 cos 8 F AF， 在 12 F AF中， 222222 1212 12 12 |(2 )(4 )(2 )1 cos 2| |2 248 AFAFFFaac F AF AFAFaa ， 化为 3 2 2 ca，即有 3 2 2 c e a 故选：D 8解：( ) 2 ( )kf xg x，对(0,)x 恒成立， 即

16、2 2 kx lnx kekxlnx x ，化为： 222kx kxekx x lnxlnx， 令( )h ttlntlnt，(0,)t， 1 ( )1( )h tlntu t t ， 22 111 ( ) t u t ttt ，可得1t 时，函数( )u t取得极小值即最小值，u（1）20， ( )0h t 恒成立， 函数( )h t在(0,)t上单调递增， 而 2 ()() kx h eh x， 2kx ex， 2kxlnx，即 2lnx k x ， 令 2 ( ) lnx v x x ，(0,)x， 2 2(1) ( ) lnx v x x ，可得xe时，函数( )v x取得极大值即最大

17、值 2 k e 故选：D 9解：A曲线( )yf x与x轴围成的几何图形的面积等于 1，因此A不正确； B函数( )f x图象关于直线x对称，可得B正确； C()()PXPX，()2 ()()P XPXP X，因此C正 确； D函数( )()F xP Xx在R上单调递减，可得D不正确 故选：BC 10解：由236 ab ，得 2 log 6a ， 3 log 6b ， 6 1 log 2 a ， 6 1 log 3 b ， 11 1 ab ， 111 : 12A abab ，4ab，ab，4ab，A正确， 2222 : logloglog ()log 42Cabab，C正确， 11 :()()

18、2 2 124 ab Dabab abba ，ab， 4ab，D正确， 11 :1B ab ， 1 1 11 a b aa ， 1 1 1 b a ， 222 2 1 (1)(1)(1)2 12 (1) aba a ， 当且仅当 2 2 1 (1) (1) a a ，即2a 时取等号， 又 2 log 6a ， 22 (1)(1)2ab，B错误， 故选：ACD 11解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴， 1 DD为z轴，建立空间直角坐标系 则(2A，0，0)，(1E，2，0)，(0F，2，1)，(0D，0，0)， 1(0 D，0，2)， 1(2 A，0，2)，(2G，2，1)， 对于A， 1

19、 (0D D ，0，2)，( 2AF ，2，1)， 1 20DDAF ，直线 1 D D与直线AF不垂直，故A错误； 对于B， 1 (0AG ，2，1)，( 1AE ，2，0)，( 2AF ，2，1)， 设平面AEF的法向量(nx，y，) z， 则 20 220 n AExy n AFxyz ，取1y ，得(2n ，1，2)， 1 0AG n， 1 AG 平面AEF， 直线 1 AG与平面AEF平行，故B正确； 对于C，连接 1 AD， 1 FD，E，F分别是BC， 1 CC的中点， 面AEF截正方体所得的截面为梯形 1 AEFD， 面AEF截正方体所得的截面面积为： 21 1 4444 29

20、 2 (41)() 2222 ADEF SAB ，故C正确； 对于D，由B知平面AEF的法向量(2n ，1，2)， 点 1 A到平面AEF的距离 1 |44 |39 AA n h n ， 点D到平面AEF的距离 |44 |39 DA n d n ， 点 1 A和点D到平面AEF的距离相等，故D正确 故选：BCD 12解：因为BD为B的平分线， 3 B ， 所以 6 ABDCBD ， 2BDBC，则 5 12 CBDC ， 由正弦定理得2 2 sinsin BCAB AC ， 所以 526 2 2sin2 231 124 AB ， 11333 sin(13)2 2222 ABC SAB BCAB

21、C ，A正确； 若2BDBC， 4 A ，由正弦定理得 2 22 2 sin2 2 a R A ， 所以ABC的外接圆半径2，B错误； 若2BDBC，由正弦定理得 sin sin 6 ADAB ADB ， sin sin 6 CDBC CBD ， 因为ADB与BDC互补， 所以sinsinADBBDC， 13 2 ADAB DCBC ，C正确； 设A，则 2 3 C ， 6 BDC ， 因为 sinsin BDAB AADB ， sinsin BDBC CADB ， 所以 2sin()2sin() 3sincos3sincos 66 2 sinsin13 sin() sincos 3 22 A

22、BBC ， 令 1 tan t ，则 3 (,0)(0 3 t ，)， 所以 4 3 2( 3)34 334 34 38 3 3 3( 31)2 3333331313 t ABBCtt tt ， 当且仅当 4 3 3 3 (13 ) 313 t t ，即 3 3 t 或3时取等号， 所以 3 或 5 6 （舍)， 故ABBC有最小值时，为 8 3 3 ，D正确 故选：ACD 13解：对于二项展开式 52345 012345 (2) xaa xa xa xa xa x，令0 x ，可得 0 32a 令1x ，可得 012345 1aaaaaa， 再令1x ，可得 012345 243aaaaaa

23、， 两式相减除以 2，可得 135 1243 121 2 aaa ， 故答案为：32；121 解：根据题意，分 2 种情况讨论： 一组 3 人，另一组 5 人，有 32 82 (1)110CA种； 两组均为 4 人，有 44 284 2 2 2 70 CC A A 种， 所以共有11070180N 种不同的分配方案， 故答案为：180 15解：由抛物线方程可得：(1,0)F，准线方程为:1x , 由抛物线定义可得| |PQPF， 如图所示，| 2OT ，设PQ与y轴交于点M， 因为OFQM，OTFQTM,且90TOFTMQ， 所以TMQTOF,所以2OTMT,则| 4OM , 所以4 P y

24、,代入抛物线方程可得4 p x , 所以|1415 P PFx , 故答案为：5 16解：设向量 1 e、 2 e的夹角为，a、b的夹角为， 由 22 222 121122 ()2bekeeke ek e 2 12coskk ， 且 3 | 4 ab得， 222 333 22| cos| 16416 aa bbbb， 所以 2 3 |cos0 2 bb， 即 2 3 |cos 2 bb， 所以 3 | 2 b ， 所以 2 3 4 b ， 即 2 3 12 cos 4 kk 恒成立； 所以 2 1 2 cos0 4 kk对任意kR恒成立， 则 2 4cos1 0 ， 解得 11 cos 22

25、剟； 又0， 所以 3 ， 2 3 ， 即 1 e， 2 e夹角的最大值是 2 3 故答案为： 2 3 17解： （1）由题意可知： 2 32 n Snn 当2n， 22 1 323(1)2(1)65 nnn aSSnnnnn （4 分） 又因为 11 1.aS（5 分） 所以65 n an （6 分） （2） 1 33111 () (65)(61)2 6561 n nn b a annnn （8 分） 所以 111111113 (1)(1) 27713656126161 n n T nnnn （12 分） 18解： （）coscos2 cosaCcAbB， 由正弦定理，化简可得：sincos

26、sincos2sincosACCABB， sin2sincosBBB， 0B，sin0B ， 可得 1 cos 2 B ， 3 B （）由3b ， 1 cos 2 B ，由正弦定理 3 2 sinsinsin3 2 abc ABC ， 所以2sinaA， 1 sin 2 Cc， 所以 2313111 sin2sinsin2sinsin()2sin(cossin)sin2cos2sin(2) 32222262 aCACAAAAAAAA ， 因为 2 0 3 A ，所以 7 2 666 A ，可得 13 sin(2) 622 A ， 因此，sinaC的最大值为 3 2 ，当且仅当2 62 A ，即

27、 3 A 时取得 19证明： （1）取AB的中点O，连接PO与DO， APB为等腰直角三角形，PAPB，POAB， 又PDAB，POPDP，且PO、PD面POD，AB平面POD， OD 面POD，ABOD， O为AB的中点，2ADBD， 2AB ， 222 ADBDAB，则ADBD； 解： （2）以O为坐标原点，分别以OB，OD所在直线为x，y轴， 以过O且垂直与平面ABCD的直线为z轴建立空间直角坐标系， 则(1B，0，0)，(0D，1，0)，( 1A ，0，0)， 由已知可得1PD ，则POD是边长为 1 的等边三角形，则(0P， 1 2 ， 3) 2 ， (1DB ，1，0)，(0DP

28、， 1 2 ， 3) 2 ，( 1DA ，1，0)， 设平面PAD的一个法向量为( , , )nx y z， 由 13 0 22 0 n DPyz n DAxy ，取1z ，得(3, 3,1)n ， 设直线BD与面PAD所成角为， 则 |2 342 sin|cos,| 7| |72 n DB n DB nDB 直线BD与面PAD所成角的正弦值为 42 7 20解： （）设“高三（1）班选拔的参数选手均为男生”为事件，则； （） （）由题意，解得； （）随机变量的可能取值为 0，1，2，3， 所以， ， ， ， 故的分布列为： 0 1 2 3 所以的数学期望 A 3 6 3 10 1 ( ) 6

29、 C P A C 211 (0)(1) (1) 1(1)(1) 3312 Pppp p 1 2 p 1 (0) 12 P 2111111111 (1) 3223223223 P 2112111115 (2) 32232232212 P 2111 (3) 3226 P P 1 12 1 3 5 12 1 6 11515 ( )0123 1231263 E 21解： （1）因为点关于直线的对称点为， 且在椭圆上，所以， 又， 则， 所以椭圆的方程为 （2）设直线 的方程为， 点到直线 的距离为消去整理得：， 由，可得， 且， ， 设，则， 当且仅当即时等号成立， 的面积的最大值为， 由题意得， 联

30、立方程组，消去得， 又，解得， 故点的纵坐标为定值 1 22解： （1）的定义域为， ，当时， (0,2)Pyx(2,0) (2,0)E2a 22 2c 2c 222 422bac E 22 1 42 xy l2ykx 1 (C x 1) y 2 (D x 2) y Ol 22 2 . 1 42 ykx d xy y 22 (1 2)840kxkx 0 2 1 2 k 12 2 8 12 k xx k 12 2 4 12 x x k 2 2 12 2 2 1124 21 |1| 2212 1 COD k SCD dkxx k k 2 21(0)tkt 2 444 2 2 22 2 COD t

31、S t t t 2t 6 2 k COD2 2 2 2 :2 y AD yx x 1 1 2 :2 y BC yx x x 121221 2112 2 22 2()2() 2()2() kx xxxxx y xxxx 1212 2xxkx x 1y Q ( )f x(0,) 2 ( )2 axa fx xx 0a( )0fx 当时，由得，由得， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在单调递增 （2）证明：， ， ， 令，则， 在上单调递增， 不妨设， ， ， ， 下面证明， 令，只需证，只需证， 设，则， 在递增，（1）， 即成立， 即 ， 当且仅当，即，时等号成立， ， 或， 的取值范

32、围为 0a ( )0fx 2 a x ( )0fx0 2 a x 0a( )f x(0,) 0a ( )f x(0,) 2 a (,) 2 a ( )2sin4g xxalnxxa 12 ()()g xg x 111222 2sin2sinxalnxxxalnxx 121212 ()2()(sinsin)a lnxlnxxxxx ( )sinh xxx( )1cos0h xx ( )h x(0,) 12 0 xx 12 ()()h xh x 11221221 sinsin(sinsin)xxxxxxxx 1212122112 2()(sinsin)2()()xxxxxxxxxx 1212 ()a lnxlnxxx 12 12 xx a lnxlnx 12 12 12 xx x x lnxlnx 1 2 (1) x tt x 1t t lnt 1 0 t lnt t 1 ( )(1) t m tlnt t t 2 (1) ( )0 2 t m t t t ( )m t(1,)( )m tm0 12 12 12 xx x x lnxlnx 12 ax x 2 1 2 x xa 2 4242444 1 215 mnmmmnmnmn mnnmnmnmnm 2mn 2 3 m 4 3 n 5 3|a 5 3 a 5 3 a a 55 (,) 33