2021届高考数学考前30天冲刺模拟试卷（12）含答案

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1、考前考前 30 天冲刺高考模拟考试卷（天冲刺高考模拟考试卷（12） 一、一、选择题：本题共选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。求的。 1已知集合AU，BU，且 U AB ，则下列说法一定正确的是( ) AAB BAB C U BA D UU AB痧 2已知复数z满足()1zi ii ，则| (z ) A10 B5 C3 D2 3 6 2 ()(1)xx x 的展开式中，含 3 x项的系数为( ) A45 B45 C15 D15 42020 年初，从非洲蔓

2、延到东南亚的蝗虫灾害严重威胁了国际农业生产，影响了人民生活世界性与区域 性温度的异常、早涝频繁发生给蝗灾发生创造了机会已知蝗虫的产卵量y与温度x的关系可以用模型 2 1 c x yce拟合，设zlny，其变换后得到一组数据： x 20 23 25 27 30 z 2 2.4 3 3 4.6 由上表可得线性回归方程0.2zxa，则 1 (c ) A2 B 2 e C3 D 3 e 5如图所示，某圆锥的高为3，底面半径为 1，O为底面圆心，OA，OB为底面半径，且 2 3 AOB ， M是母线PA的中点则在此圆锥侧面上，从M到B的路径中，最短路径的长度为( ) A3 B21 C5 D21 6我国中

3、医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没三药”分别为金花清感颗粒、 连花清瘟胶囊、血必清注射液； “三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方若某医生从“三药 三方”中随机选出两种，事件A表示选出的两种中有一药，事件B表示选出的两种中有一方，则(|)(P B A ) A 1 5 B 3 10 C 3 5 D 3 4 7如图，已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab ，过其右焦点F作渐近线的垂线，垂足为H，交另一条渐 近线于点A，已知O为原点，且 4 | 3 AHa，则该双曲线的离心率为( ) A3 B 4 3 3 C2 D5 8已知0a ，0b ，且ab

4、，如果a，b是 1 ( ) 2021 f xlnxx的两个零点，则ab的范围是( ) A( ,)e B 2 (e，) C 2 1 (,) e D 1 ( ,) e 二、二、选择题：本题共选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。 全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的对分，部分选对的对 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。 9记等差数列 n a的前n项和为 n S，若 2 10a ， 52 SS，则( ) A 34 SS B 6 10a C n S的最

5、大值为 30 D n a的最大值为 15 10已知0a ，0b ，231ab，下列结论正确的是( ) A 22 ab的最小值为 1 12 B 2424 loglogab的最大值为1 C 11 ab 的最小值为4 6 D48 ab 的最小值为2 2 11 定义域为R的函数( )yf x， 对任意两个不相等的实数 1 x， 2 x， 都有 11221221 ()()()()x f xx f xx f xx f x， 则称函数为“Z函数” ，现给出如下函数，其中为“Z函数”的有( ) A 3 1yxx B32(sincos )yxxx C 2 (2) xx yelne D 1 sin x x y e

6、e 12在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 22 2cos3aabCb，则下列选项正 确的是( ) A 222 2()abc Btan3tanAB C 3 tan 3 B DtanC存在最大值 三、填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13已知向量(1, 1)a ，| 4b ，2 2a b ，则a与b的夹角为 14为了强化劳动观念，弘扬劳动精神，某班级决定利用班会课时间进行劳动教育现要购买铁锹、锄头、 镰刀三种劳动工具共 10 把，每种工具至少购买 1 把，则不同的选购方法共有 种 15已知椭圆 22 22 :1(

7、0) xy Cab ab ，A，F分别是椭圆C的左顶点和左焦点，圆 222 :O xyb，过左 焦点F作PFx轴，交圆O于点P，直线AP恰好与圆O相切，则椭圆C的离心率为 16已知菱形ABCD的边长为 4，对角线4BD ，将ABD沿着BD折叠，使得二面角ABDC为120， 则三棱锥ABCD的外接球的表面积为 四、四、解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17数列 n a中， 1 1 3 a ， 11 20 nnnn aaaa （1）求 n a的通项公式； （2）求满足 12231 1

8、7 nn a aa aaa 的n的最大值 18已知A、B、C为ABC的三个内角，a、b、c是其三条边，2a ， 1 cos 4 C （1）若sin2sinAB，求b、c； （2）若 4 cos() 45 A ，求c 19如图，在平行四边形ABCD中，BDCD，BEAD，将ABD沿对角线BD折起，使ABBC， 连接AC、EC，得到如图所示的三棱锥ABCD （1）求证：BE 平面ADC； （2）若1ED ，二面角CBED的平面角的正切值为6，求直线BD与平面ADC所成角的正弦值 20 从 2020 年元月份以来， 全世界的经济都受到了新冠病毒的严重影响， 我国抗疫战斗取得了重大的胜利， 全国上下齐

9、心协力复工复产， 抓经济建设； 某公司为了提升市场的占有率， 准备对一项产品实施科技改造， 经过充分的市场调研与模拟，得到x，y之间的五组数据如表： x 2 3 5 7 8 y 5 8 12 14 16 其中，x（单位：百万元）是科技改造的总投入，y（单位：百万元）是改造后的额外收益；设2Uxy 是对当地生产总值增长的贡献值 （1）若从五组数据中任取两组，求恰有一组满足30U 的概率； （2）记为20U 时的任意两组数据对应的贡献值的和，求随机变量的分布列和数学期望； （3） 利用表中数据， 甲、 乙两个调研小组给出的拟合直线方程分别为甲组：21yx， 乙组： 53 22 yx， 试用最小二乘

10、法判断哪条直线的拟合效果更好？ 附：对于一组数据 1 (x， 1) y， 2 (x， 2) y，( n x，) n y，其拟合直线方程 ybxa的残差平方和为 2 1 () n ii i Dybxa ，D越小拟合效果越好 21曲线C上任一点( , )M x y到点 1( 1,0) F ， 2(1,0) F距离之和为2 2，点 0 (P x， 0) y是曲线C 上一点，直线l过点P且与直线 00 220 x xy y垂直，直线l与x轴交于点Q （）求曲线C的方程及点Q的坐标（用点 0 (P x， 0) y的坐标表示） ； （）比较 1 2 | | PF PF 与 1 2 | | QF QF 的大

11、小，并证明你的结论 22已知函数 2 ( )(1) (1) 2 x f xxln x （1）证明：(0,)上，( )f x有唯一的极小值点 0 x，且 0 23x； （2）讨论函数( )f x零点个数 考前考前 30 天冲刺高考模拟考试卷（天冲刺高考模拟考试卷（12）答案）答案 1解：由集合AU，BU，且 U AB ， 所以AB，ABA， U BA ， UU AB痧 选项D正确 故选：D 2解：因为()1zi ii ， 所以 1(1)() 12 () iii ziii iii ， 所以 22 | | |( 1)( 2)5zz 故选：B 3解：二项式 6 (1)x的展开式的通项公式为 66 16

12、6 ( 1)( 1) rrrrrr r TC xCx ， 所以 6 2 ()(1)xx x 的展开式中含 3 x的项为： 442224333 66 2 ( 1)( 1)153045x CxCxxxx x ， 所以含 3 x项的系数为 45， 故选：A 4解：由已知可得， 1 (2023252730)25 5 x ， 1 (22.4334.6)3 5 z ， 代入0.2zxa，得30.2252a ， 2 121 () c x zlnyln cec xlnc ， 则 1 2lnc ，即 2 1 ce 故选：B 5解：由题意，在底面半径为 1，高为3的圆锥中， O是底面圆心，P为圆锥顶点，圆锥的侧面

13、展开图是半圆，如图， A，B是底面圆周上的两点， 2 3 AOB ， 所以在展开图中， 3 APB ，母线长为：312，M为母线PA的中点， 所以1PM ， 所以从B到M的最短路径的长是413BM 故选：A 6解：某医生从“三药三方”中随机选出两种， 事件A表示选出的两种中有一药，事件B表示选出的两种中有一方， 则P（A） 211 333 2 6 4 5 CC C C ， 11 33 2 6 3 () 5 C C P AB C ， 3 ()3 5 (|) 4 ( )4 5 P AB P B A P A 故选：D 7解：设( ,0)F c，渐近线OH的方程为 b yx a ， F到渐近线OH的距

14、离 22 | | bcbc FHb c ab ， 在直角三角形OFH中，可得 2222 |OHOFFHcba， 在直角三角形OHA中， |4 tan |3 AH HOA OH ， 由两条渐近线的斜率为 b a ，可得 22 24 tan 3 1() bb ab aa HOA bb ba aa ， 可得 22 2320baba，解得2ba， 则 2 2 1145 cb e aa 故选：D 8解： 11 ( ) 2021 fx x ， 易知( )fx在(0,)上单调递减，且(2021)0f， 故(0,2021)x时，( )0fx，( )f x递增， (2021,)x时，( )0fx，( )f x递

15、减， 0a ，0b ，且ab，不妨设ab，则0ab， 而 2 22 ()0 2021 e f elne，f（1） 2 10 2021 ln， 2 1ae ，又 100100 100100 ()100 20212021 ee f elne， 由2e ，则 100100 2e， 10010010 1010 2(2 )1024 1001001001000 2021202120212021 e ， 故 2100 ebe，故 2102 eabe， 故选：B 9解：因为等差数列 n a中， 2 10a ， 52 SS， 所以 1 11 10 5102 ad adad ，解得5d ， 1 15a 205 n

16、 an， 2 355 2 n nn S ， 故 4 0a ， 34 SS，A正确； 6 10a ，B错误； 当3n 或 4 时， n S取得最大值 30，C正确； 由于0d ，故当1n 时， n a取最大值 15，D正确 故选：ACD 10解：0a ，0b ，231ab， 12 0 3 a b ， 故 1 0 2 a， 故 2 2222 121341 () 39 aaa aba ， 当 2 13 a 时，上式取得最小值 1 13 ，A错误； 因为1232 6abab，当且仅当 1 23 2 ab，即 1 4 a ， 1 6 b 时取等号， 解得， 1 24 ab， 242424 loglogl

17、og1abab，即最大值1，B正确； 11232332 552 6 ababba ababab ，当且仅当 32ba ab 时取等号，此时取得最小值52 6，C 错误； 23 482 482 22 2 ababab ，当且仅当23ab且231ab，即 1 4 a ， 1 6 b 时取等号，此时取得最 小值2 2，D正确 故选：BD 11解：由 11221221 ()()()()x f xx f xx f xx f x得 1212 () ()()0 xxf xf x， 所以( )f x在R上单调递增， 3 :( )1A yf xxx，由于f（1）1，f（2）5 ，f（1）f（2） ，不满足在R上

18、单调递增，不 符合题意； :( )32(sincos )B yf xxxx，( )32(cossin )32 2cos()0 4 fxxxx 恒成立，即( )f x在R上 单调递增，符合题意； C：根据复合函数的单调性可知 2 (2) xx elne在R上单调递增，符合题意； 1 sin :( ) x x D yf x ee ，(0)0f，f（2）0，不满足单调递增，不符合题意 故选：BC 12解： 22 2cos3aabCb， 由余弦定理可得： 222 22abc，可得 222 2()abc，故A错误， 222 2sin2sinsinABC， 2 1cos21cos2sinABC ， 2 2

19、sin()sin()sinBABAC， 2sin()sinsin()ABCAB， 2sincos2cossinsincoscossinABABABAB， sincos3cossinABAB，锐角ABC中 可得：tan3tanAB，故B正确， 则必有 3 tan 3 B 否则C为钝角 2 tantan4tan tan 1tantan13 ABB C ABtan B 33 22 1212 tantantan 1 331 tan Btan B ABC tan Btan B ， 3 tan 3 B ，故C正确， 令tan Ax，则tan3Bx，则 2 tantan4 tantan() 1tantan3

20、1 ABx CAB ABx ， 令 2 4 ( ) 31 x f x x ，( 3x，)， 2222 222222 4(31)4612424124 ( ) (31)(31)(31) xxxxxx fx xxx ， 可知( )fx在( 3x，)恒小于 0， 所以( )f x在( 3x，)单调递减， ( )f x没有最大值，即tanC不存在最大值，故D错误 故选：BC 13解：根据题意，设a与b的夹角为， 向量(1, 1)a ，则|1 12a ， 则有24cos2 2a b ，变形可得 1 cos 2 ， 又由0180剟， 则120， 故答案为：120 14解：设购买铁锹x把，锄头y把，镰刀z把，

21、则10 xyz， 当1x 时，9yz，共有 8 种购买方法， 当2x 时，8yz，共有 7 种购买方法， 依此类推，共有8765432136 种购买方法， 故答案为：36 15解：设椭圆的半焦距为c如图， AP与圆O相切于P，PAOP |OFc，|OAa，PFx轴， 22 |PFbc，且 2 | |()PFOFAFc ac， 得 22 ()bcc ac 222 abc， 22 0aacc， 即 2 10ee ，(0,1)e， 51 2 e 故答案为： 51 2 16解：将ABD沿BD折起后，取BD中点为E，连接AE，CE，则AEBD，CEBD， 所以AEC即为二面角ABDC的平面角，所以120

22、AEC； ABD与BCD是边长为 4 的等边三角形 分别记三角形ABD与BCD的重心为G、F， 则 12 3 33 EGEA， 12 3 33 EFEC；即EFEG； 因为ABD与BCD都是边长为 4 的等边三角形， 所以点G是ABD的外心，点F是BCD的外心； 记该几何体ABCD的外接球球心为O，连接OF，OG， 根据球的性质，可得OF 平面BCD，OG 平面ABD， 所以OGE与OFE都是直角三角形，且OE为公共边， 所以Rt OGE与Rt OFE全等，因此 1 60 2 OEGOEFAEC ， 所以 4 3 3 OE ； 因为AEBD，CEBD，AECEE，且AE 平面AEC，CE 平面

23、AEC， 所以BD 平面AEC； 又OE 平面AEC，所以BDOE， 连接OB，则外接球半径 22 2 21 3 OBOEBE， 所以外接球表面积为 112 3 故答案为： 112 3 17解： （1） 11 20 nnnn aaaa 1 11 2 nn aa ，又 1 1 3 a ， 数列 1 n a 是以 3 为首项，2 为公差的等差数列， 1 21 n n a ， 1 21 n a n ； （2）由（1）知， 1 1111 ()(2) (21)(21)2 2121 nn aan nnnn ， 12231 11111111 11 ()()()() 2355721212 321 nn a a

24、a aaa nnn ， 12231 1 7 nn a aa aaa ， 1 111 () 2 3217n ， 4242n，10n， * nN， n的最大值为 9 18解： （1）因为sin2sinAB，可得2ab， 又2a ，可得1b ， 由于 222222 211 cos 22 2 14 abcc C ab ，可得6c （2）因为 24 cos()(cossin) 425 AAA ， 可得 4 2 cossin 5 AA， 又 22 cossin1AA， 可解得 7 2 cos 10 A， 2 sin 10 A ，或 7 2 sin 10 A， 2 cos 10 A， 因为 1 cos 4

25、C ，可得 15 sin 4 C ，tan15C ， 若 7 2 sin 10 A， 2 cos 10 A，可得tan7A ，可得 tantan715 tantan()0 tantan17(15)1 AC BAC AC ， 可得B为钝角，这与C为钝角矛盾，舍去， 所以 2 sin 10 A ，由正弦定理 2 sinsin c AC ，可得 5 30 2 c 19证明： （1）在平行四边形ABCD中，BDCD，BEAD，BDAB， 将ABD沿对角线BD折起使ABBC，连接AC、EC，得到如图所示的三棱锥ABCD ABBD，ABBC， BDBCB，AB平面BDC， CD 平面BDC，ABCD， C

26、DBD，ABBDB，CD平面ABD， BE 平面ABD，BECD， BEAD，ADCDD， BE平面ADC 解： （2）1ED ，二面角CBED的平面角的正切值为6， 以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，过D作平面BDC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系， Rt BEDRt ABD， DEBD BDAD ，设BDa，则 2 ADa， 2 1ABCDa a， (B a，0，0)，(0C， 2 1a a ，0)， 2 11 ( ,0,) a E aa ， (BCa ， 2 1a a ，0)， 2 1 ( a BE a ，0， 2 1)a a ， 设平面BCE的法向量(mx，y，) z， 则 2 22

27、 10 11 0 m BCaxa ay aa m BExz aa ，取1x ，得(1m ， 2 1 1a ， 2 1)a ， 平面BED的法向量(0n ，1，0) 二面角CBED的平面角的正切值为6， 二面角CBED的平面角的余弦值为 11 167 ， 2 2 2 1 |1 1 |cos,| | |17 11 1 m n a m n mn a a ， 解得3a ，( 3B，0，0)，( 3,0, 6)A，(0D，0，0)，(0C，6，0)， ( 3DB ，0，0)，( 3,0, 6)DA，(0DC ，6，0)， 设平面ADC的法向量(px，y，) z， 则 360 60 p DAxz p DC

28、y ，取2x ，得( 2p ，0，1)， 设直线BD与平面ADC所成角为， 则 |66 sin 3| |33 DB p DBp 直线BD与平面ADC所成角的正弦值为 6 3 20解： （1）设所给的五组数据分别为， 从五组数据中任意取出两组的情况有种抽法， 其中恰有一组满足的有，共 4 种抽法， 所以所求概率为； （2）满足的数据是后 3 组，所以的可能取值为 50，54，60， ABCDE 2 5 10C 230UxyAEBECEDE 42 105 P 20U 所以， 所以的分布列为： 50 54 60 故的数学期望； （3）用甲组给出的拟合直线方程列表如下： 2 3 5 7 8 5 8 1

29、2 14 16 5 7 11 15 17 用乙组给出的拟合直线方程列表如下： 2 3 5 7 8 5 8 12 14 16 3.5 6 11 16 18.5 由表中的数据可得， ， 故， 所以甲组给出的拟合直线方程的拟合效果更好 21解： （）由题意可知，曲线是焦点在轴上的椭圆，所以，（2 分） 曲线的方程为：，（2 分） 当时，直线 与轴重合，不合题意， 当时，直线 与轴重合，点是原点，（1 分） 当，时，由题意得：，直线 的方程：，（2 分） 得，（1 分） 2 3 11 (50) 3 P C 2 3 11 (54) 3 P C 2 3 11 (60) 3 P C P 1 3 1 3 1

30、3 111164 ( )505460 3333 E x y 21yx x y 53 22 yx 22222 011( 1)( 1)4D 甲 22222 1 521( 2)( 2.5)17.5D 乙 DD 乙甲 21yx Cx1c 2a 1b C 2 2 1 2 x y 0 0y lx 0 0 x lyQ(0,0)Q 0 0 x 0 0y 0 0 2 l y k x l 0000 20y xx yx y 0 (,0) 2 x Q 综上所述，点（1 分） （）点，满足方程：，（1 分） ，（1 分） 将代 入 整 理 得 ：，（ 2分 ） ，（1 分） 所以，（1 分） 22解： （1）证明：令，

31、 则， 当时，单调递增， （2），（3）， 所以在上，有唯一的极小值点，且 （2）在上，为减函数， 且， 所以存在， 所以在上， 在，上， 在上，为增函数， 由（1）知，存在上， 所以在上， 在，上， 所以上，无零点， 0 (,0) 2 x Q 0 (P x 0) y 2 20 0 1 2 x y 22 00 1 22 2 00 (1)| | (1) xyPF PF xy 2 20 0 1 2 x y 22 0 00 01 22 20 00 0 1 |2| (1)|2| 2 1 |2| (1) |2| 2 x xyxPF PFx xy x 0 01 0 20 |1| |2| 2 |2| |1|

32、 2 x xQF x QFx 11 22 | | PFQF PFQF ( )( )1(1)h xfxxln x 1 ( )1 11 x h x xx 0 x ( )0h x( )h x h130ln h240ln (0,)( )f x 0 x 0 23x ( 1,0)( )0 1 x h x x ( )fx 22 11 (1)0f ee (0)10f 1 ( 1,0)x 1 ()0fx 1 ( 1,)x( )0fx 1 (x0)( )0fx (0,)( )0h x( )fx 20 (0,)xx 2 ()0fx 2 (0,)x( )0fx 2 (x)( )0fx 1 ( 1,)x( )0f x ( )f x 在，上，为减函数， 又，且， 所以只有一个零点为 0， 在，上，为增函数， 所以， 所以在，上，仅有一个零点， 综上所述，零点个数为 2 1 (x 2) x( )0fx( )f x 1 0(x 2) x(0)0f ( )f x 2 (x)( )f x 2 ()(0)0f xf 4222 22 21(6)1 (1)20 22 eee e f ee 2 (x)( )f x ( )f x