2021年江苏省南通市启东市中考数学质检试卷（含答案详解）

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1、 第 1 页（共 26 页） 2021 年江苏省南通市启东市中考数学质检试卷年江苏省南通市启东市中考数学质检试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分在每小题所给出的四个选项中，分在每小题所给出的四个选项中， 恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1 （3 分）比 1 小 2 的数是( ) A2 B2 C1 D| 2| 2 （3 分）2020 年初，新冠肺炎疫情袭卷全球，截止 2020 年底，据不完全统计，全球累计 确诊人数

2、约为 8096 万人，用科学记数法表示为( ) A 7 8.096 10 B 8 8.096 10 C 8 0.8096 10 D 6 80.96 10 3 （3 分）如图，把长方形ABCD沿EF对折，若144 ，则AEF等于( ) A136 B102 C122 D112 4 （3 分）下列计算正确的是( ) A8383 B4949 C9169 16 D7536 2 5 （3 分）如图，AOB中，90ABO，点B在x轴上，点A坐标为(2,2)，将AOB绕 点O逆时针旋转15，此时点A的对应点 A 的坐标是( ) A( 2，6) B( 6，2) C( 3，2 3) D(1, 3) 6 （3 分）

3、某中学八（1）班 8 个同学在课间进行一分钟跳绳比赛，成绩（单位：个）如下： 115，138，126，143，134，126，157，118这组数据的众数和中位数分别是( ) A126，126 B126，130 C130，134 D118，134 7 （3 分）已知平行四边形ABCD的对角线相交于点O，补充下列四个条件，能使平行四边 形ABCD成为菱形的是( ) 第 2 页（共 26 页） AABBD BACBD C90DAB D90AOB 8 （3 分）如图是某几何体的三种视图，其表面积为( ) A2 B3 C4 D5 9 （3 分）如图，在四边形ABCD中，/ /BCAD，90ADC，点E

4、沿着ABC的路 径以2/cm s的速度匀速运动，到达点C停止运动，EF始终与直线AB保持垂直，与AD或 DC交于点F，记线段EF的长度为dcm，d与时间t的关系图如图所示，则图中a的值为( ) A7.5 B7.8 C9 D9.6 10 （3 分）抛物线 2 3yxbx的对称轴为直线1x ，若关于x的一元二次方程 2 30(xbxtt 为实数）在23x 的范围内有实数根，则t的取值范围是( ) A123t B124t C124t D123t 二、 填空题 （本大题共二、 填空题 （本大题共 8 小题， 第小题， 第 11-12 题每小题题每小题 3 分， 第分， 第 13-18 题每小题题每小题

5、 3 分， 共分， 共 30 分 不分 不 需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上）需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上） 11 （3 分）已知 1 2 xy ，3xy ，则 22 x yxy 12 （3 分）如图，O的直径CD垂直弦AB于点E，且3CEcm，7DEcm，则弦AB cm 第 3 页（共 26 页） 13 （4 分）已知一次函数(21)3ymxm的图象不经过第二象限， 则m的 取值范围为 14 （4 分）如图，已知DC为ACB的平分线，/ /DEBC若8AD ，10BD ，15BC ， 求EC的长 15 （4 分）1275 年，我国南宋数学家杨辉

6、在田亩比类乘除算法中提出这样一个问题： 直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步问阔及长各几步意思是：矩形面积 864 平方步，宽比长少 12 步，问宽和长各几步若设长为x步，则可列方程为 16 （4 分）2022 年在北京将举办第 24 届冬季奥运会，很多学校都开展了冰雪项目学习如 图，滑雪轨道由AB、BC两部分组成，AB、BC的长度都为 200 米，一位同学乘滑雪板沿 此轨道由A点滑到了C点， 若AB与水平面的夹角为30，BC与水平面的夹角为45， 则他下降的高度为 米（结果保留根号） 17 （4 分）若 1 x， 2 x是方程 2 420200 xx的两个实数根，则代数式 2 112 2

7、2xxx的值等 于 18 （4 分）如图，点D是平行四边形OABC内一点，CD与x轴平行，BD与y轴平行， 2BD ，135ADB，2 ABD S若反比例函数(0) k yx x 的图象经过A、D两点， 则k的值是 第 4 页（共 26 页） 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤）说明、证明过程或演算步骤） 19 （11 分）计算： （1） 2 (23)(23)(21)xxx； （2） 22 2 24 (2) 24 xx x xx 20（10 分）

8、 如图， 在平面直角坐标系中， 直线 1: 6lyx与y轴交于点A， 直线 2: lykxb 与y轴交于点B，与 1 l相交于( 3,3)C ，2AOBO （1）求直线 2: lykxb的解析式； （2）求ABC的面积 21 （10 分）如图，AB是O的直径，AC切O于点A，连接BC交O于点D，点E是 BD的中点，连接AE交BC于点F （1）求证：ACCF； （2）若4AB ，3AC ，求BAE的正切值 22 （10 分）某球队对甲、乙两名运动员进行 3 分球投篮测试，测试共五组，每组投 10 次， 进球的个数统计结果如下： 甲：9，9，9，6，7； 乙：4，9，8，9，10； 列表进行数据分

9、析： 第 5 页（共 26 页） 选手 平均成绩 中位数 众数 方差 甲 8 b 9 d 乙 a 9 c 4.4 （1）b ，c ； （ 2 ） 试 计 算 乙 的 平 均 成 绩a和 甲 的 方 差d；（ 计 算 方 差 的 公 式 ： 2222 12 1 ()()() ) n sxxxxxx n （3） 根据以上数据分析， 如果你是教练， 你会选择哪名队员参加 3 分球大赛？请说明理由 23 （10 分） 小明代表学校参加 “我和我的祖国” 主题宣传教育活动， 该活动分为两个阶段， 第一阶段有“歌曲演唱” 、 “书法展示” 、 “器乐独奏”3 个项目（依次用A、B、C表示） ， 第二阶段有

10、“故事演讲” 、 “诗歌朗诵”2 个项目（依次用D、E表示） ，参加人员在每个阶 段各随机抽取一个项目完成 （1）用画树状图或列表的方法，列出小明参加项目的所有等可能的结果： （2）求小明恰好抽中B、D两个项目的概率 24 （12 分）如图，在矩形ABCD中，2ABBC，F、G分别为AB、DC边上的动点， 连接GF， 沿GF将四边形AFGD翻折至四边形EFGP， 点E落在BC上，EP交CD于点H， 连接AE交GF于点O （1）写出GF与AE之间的位置关系是： ； （2）求证：2AEGF； （3）连接CP，若 3 sin 5 CGP，10GF ，求CE的长 25 （14 分）在平面直角坐标系xO

11、y中，抛物线 2 31yaxaxa与y轴交于点A （1）此抛物线的对称轴 ，点A的坐标为 （用含a的式子表示） ； （2） 已知点( 2,2)Ma ，(0, )Na 若抛物线与线段MN恰有一个公共点， 结合函数图象， 第 6 页（共 26 页） 求a的取值范围 26 （13 分）定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂 四边形” （1）如图，四边形ABCD与四边形AEEG都是正方形，135180AEB ，求证：四 边形BEGD是“等垂四边形” ； （2）如图，四边形ABCD是“等垂四边形” ， ADBC，连接BD，点E，F，G分别 是AD，BC，BD的中点，连接EG

12、，FG，EF试判定EFG的形状，并证明； （3） 如图， 四边形ABCD是 “等垂四边形” ， 4AD ，6BC ， 试求边AB长的最小值 第 7 页（共 26 页） 2021 年江苏省南通市启东市中考数学质检试卷年江苏省南通市启东市中考数学质检试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分在每小题所给出的四个选项中，分在每小题所给出的四个选项中， 恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1

13、（3 分）比 1 小 2 的数是( ) A2 B2 C1 D| 2| 【解答】解：121( 2)1 ， 所以比 1 小 2 的数是1 故选：C 2 （3 分）2020 年初，新冠肺炎疫情袭卷全球，截止 2020 年底，据不完全统计，全球累计 确诊人数约为 8096 万人，用科学记数法表示为( ) A 7 8.096 10 B 8 8.096 10 C 8 0.8096 10 D 6 80.96 10 【解答】解：将 8096 万用科学记数法表示为： 7 8.096 10 故选：A 3 （3 分）如图，把长方形ABCD沿EF对折，若144 ，则AEF等于( ) A136 B102 C122 D1

14、12 【解答】解：由折叠的性质可得， 23 ， 144 ， 2368 ， / /ADBC， 3180AEF ， 112AEF， 故选：D 第 8 页（共 26 页） 4 （3 分）下列计算正确的是( ) A8383 B4949 C9169 16 D7536 2 【解答】解：A、原式2 23，所以A选项错误； B、原式235，所以B选项错误； C、原式9 16，所以C选项正确； D、原式5 334 3，所以D选项错误 故选：C 5 （3 分）如图，AOB中，90ABO，点B在x轴上，点A坐标为(2,2)，将AOB绕 点O逆时针旋转15，此时点A的对应点 A 的坐标是( ) A( 2，6) B(

15、6，2) C( 3，2 3) D(1, 3) 【解答】解：如图，过点A作AHy轴于H (2,2)A， 2 2OAOA ， 45AOH，15AOA ， 30AOH ， 第 9 页（共 26 页） 1 2 2 A HAO ，36OHA H， ( 2A ，6)， 故选：A 6 （3 分）某中学八（1）班 8 个同学在课间进行一分钟跳绳比赛，成绩（单位：个）如下： 115，138，126，143，134，126，157，118这组数据的众数和中位数分别是( ) A126，126 B126，130 C130，134 D118，134 【解答】解：将这组数据重新排列为 115，118，126，126，13

16、4，138，143，157， 所以这组数据的众数为 126，中位数为126 134 130 2 ， 故选：B 7 （3 分）已知平行四边形ABCD的对角线相交于点O，补充下列四个条件，能使平行四边 形ABCD成为菱形的是( ) AABBD BACBD C90DAB D90AOB 【解答】解：A、ABBD，不能判定平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意； B、ACBD，则平行四边形ABCD是矩形，不一定是菱形，故选项B不符合题意； C、90DAB，则平行四边形ABCD是矩形，不一定是菱形，故选项B不符合题意； D、90AOB，则ACBD， 平行四边形ABCD是菱形，故选项D符合题意； 故选

17、：D 8 （3 分）如图是某几何体的三种视图，其表面积为( ) A2 B3 C4 D5 【解答】解：由三视图可知几何体底面半径为 1，高为3的圆锥，圆锥的母线长为 22 ( 3)12 所以所求几何体的表面积为： 2 1 213SS 侧底 ， 故选：B 第 10 页（共 26 页） 9 （3 分）如图，在四边形ABCD中，/ /BCAD，90ADC，点E沿着ABC的路 径以2/cm s的速度匀速运动，到达点C停止运动，EF始终与直线AB保持垂直，与AD或 DC交于点F，记线段EF的长度为dcm，d与时间t的关系图如图所示，则图中a的值为( ) A7.5 B7.8 C9 D9.6 【解答】解：如图

18、所示，作BMAB，交AD于点E，作/ /DNBM，交BC于点N， 由题意可知，4 28()ABcm，6BMcm，6DNcm， 2222 8610()AMABBMcm， / /BCAD，90ADC， 90C， 又/ /DNBM， CNDADNAMB ， CDNBAM， 6 63.6() 10 CNcm， 63.627.8a 故选：B 10 （3 分）抛物线 2 3yxbx的对称轴为直线1x ，若关于x的一元二次方程 2 30(xbxtt 为实数）在23x 的范围内有实数根，则t的取值范围是( ) A123t B124t C124t D123t 【解答】解：抛物线 2 3yxbx的对称轴为直线1x

19、 ， 第 11 页（共 26 页） 2b ， 2 23yxx， 一元二次方程 2 30 xbxt 的实数根可以看作 2 23yxx与函数yt的有交点， 方程在23x 的范围内有实数根， 当2x 时，3y ； 当3x 时，12y ； 函数 2 23yxx在1x 时有最大值 4； 124t 故选：C 二、 填空题 （本大题共二、 填空题 （本大题共 8 小题， 第小题， 第 11-12 题每小题题每小题 3 分， 第分， 第 13-18 题每小题题每小题 3 分， 共分， 共 30 分 不分 不 需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上）需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相

20、应位置上） 11 （3 分）已知 1 2 xy ，3xy ，则 22 x yxy 3 2 【解答】解： 22 13 ()( 3) 22 x yxyxy xy ， 故答案为： 3 2 12 （3 分）如图，O的直径CD垂直弦AB于点E，且3CEcm，7DEcm，则弦AB 2 21 cm 【解答】解：连接OA，如图， 3CE ，7DE ， 10CD， 5OCOA，2OE ， ABCD， AEBE， 第 12 页（共 26 页） 在Rt AOE中， 22 5221AE ， 22 21()ABAEcm 故答案为2 21 13 （4 分）已知一次函数(21)3ymxm的图象不经过第二象限， 则m的 取值

21、范围为 1 3 2 m 【解答】解： 根据题意得 210 3 0 m m ， 解得 1 3 2 m 故答案为 1 3 2 m 14 （4 分）如图，已知DC为ACB的平分线，/ /DEBC若8AD ，10BD ，15BC ， 求EC的长 20 3 【解答】解：DC为ACB的平分线 BCDECD / /DEBC EDCBCD EDCECD ECDE 8AD ，10BD 18AB / /DEBC 第 13 页（共 26 页） ADEABC ADDE ABBC 8AD ，18AB ，15BC 8 1815 DE 20 3 DE 20 3 EC 故答案为： 20 3 15 （4 分）1275 年，我国

22、南宋数学家杨辉在田亩比类乘除算法中提出这样一个问题： 直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步问阔及长各几步意思是：矩形面积 864 平方步， 宽比长少12步， 问宽和长各几步 若设长为x步， 则可列方程为 (12)864x x 【解答】解：长为x步，宽比长少 12 步， 宽为(12)x步 依题意，得：(12)864x x 16 （4 分）2022 年在北京将举办第 24 届冬季奥运会，很多学校都开展了冰雪项目学习如 图，滑雪轨道由AB、BC两部分组成，AB、BC的长度都为 200 米，一位同学乘滑雪板沿 此轨道由A点滑到了C点， 若AB与水平面的夹角为30，BC与水平面的夹角为45， 则他下

23、降的高度为 100(12) 米（结果保留根号） 【解答】解：过点A作AEBM于点E，BFCN于点F， 为30，为45，200ABBC米， sin30 AE AB ，sin45 BF BC ， sin30100AEAB （米)， sin45100 2BFBC （米)， 他下降的高度为：100(12)AEBF米 第 14 页（共 26 页） 故答案为：100(12) 17 （4 分）若 1 x， 2 x是方程 2 420200 xx的两个实数根，则代数式 2 112 22xxx的值等 于 2028 【解答】解： 1 x， 2 x是方程 2 420200 xx的两个实数根， 12 4xx， 2 11

24、 420200 xx，即 2 11 42020 xx， 则原式 2 1112 422xxxx 2 1112 42()xxxx 202024 20208 2028， 故答案为：2028 18 （4 分）如图，点D是平行四边形OABC内一点，CD与x轴平行，BD与y轴平行， 2BD ，135ADB，2 ABD S若反比例函数(0) k yx x 的图象经过A、D两点， 则k的值是 6 【解答】解：作AMy轴于M，延长BD，交AM于E，设BC与y轴的交点为N， 四边形OABC是平行四边形， / /OABC，OABC， AOMCNM ， 第 15 页（共 26 页） / /BDy轴， CBDCNM ，

25、 AOMCBD ， CD与x轴平行，BD与y轴平行， 90CDB，BEAM， CDBAMO ， ()AOMCBD AAS ， 2OMBD， 1 2 2 ABD SBD AE ， 2 2AE， 135ADB， 45ADE， ADE是等腰直角三角形， 2 2DEAE， D的纵坐标为3 2， 设( , 2)A m，则(2 2D m，3 2)， 反比例函数(0) k yx x 的图象经过A、D两点， 2(2 2) 3 2kmm， 解得：3 2m ， 26km 故答案为：6 第 16 页（共 26 页） 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 90 分请在答题卡指定区域内作答，解

26、答时应写出文字分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤）说明、证明过程或演算步骤） 19 （11 分）计算： （1） 2 (23)(23)(21)xxx； （2） 22 2 24 (2) 24 xx x xx 【解答】解： （1） 2 (23)(23)(21)xxx 22 49441xxx 410 x； （2） 22 2 24 (2) 24 xx x xx 2 2 (2)(2) (2)(2) 22(2) xxxxx xx 22 2 42 12(2) xxx x 2 2 2(2)2 12(2) xx x 2x 20（10 分） 如图， 在平面直角坐标系中， 直线 1

27、: 6lyx与y轴交于点A， 直线 2: lykxb 与y轴交于点B，与 1 l相交于( 3,3)C ，2AOBO （1）求直线 2: lykxb的解析式； （2）求ABC的面积 第 17 页（共 26 页） 【解答】解： （1）直线 1: 6lyx与y轴交于点A， 当0 x 时，066y ， (0,6)A， 2AOBO， (0, 3)B， ( 3,3)C ， 代入直线 2: lykxb中得 33 3 kb b ， 解得 2 3 k b 故直线 2 l的解析式为23yx ； （2） 1127 |(63)3 222 ABCC SABx 21 （10 分）如图，AB是O的直径，AC切O于点A，连接

28、BC交O于点D，点E是 BD的中点，连接AE交BC于点F （1）求证：ACCF； （2）若4AB ，3AC ，求BAE的正切值 【解答】 （1）证明：连接BE， CA是O的切线， 第 18 页（共 26 页） 90CAB， AB是直径， 90AEB， E是弧BD的中点， DEBE， BAEDBE， CAEEFBAFC ， ACCF； （2）解：在Rt ABC中，4AB ，3AC ， 22 5BCABAC 3ACCF， 2BFBCCF AB是直径， 90ADB， 4 cos 5 BDAB ABC ABBC ， 16 5 BD， 22 12 5 ADABBD， 6 5 DFBDBF 1 tanta

29、n 2 DF BAEDAE AD 22 （10 分）某球队对甲、乙两名运动员进行 3 分球投篮测试，测试共五组，每组投 10 次， 进球的个数统计结果如下： 甲：9，9，9，6，7； 乙：4，9，8，9，10； 第 19 页（共 26 页） 列表进行数据分析： 选手 平均成绩 中位数 众数 方差 甲 8 b 9 d 乙 a 9 c 4.4 （1）b 9 ，c ； （ 2 ） 试 计 算 乙 的 平 均 成 绩a和 甲 的 方 差d；（ 计 算 方 差 的 公 式 ： 2222 12 1 ()()() ) n sxxxxxx n （3） 根据以上数据分析， 如果你是教练， 你会选择哪名队员参加

30、3 分球大赛？请说明理由 【解答】解：将甲的 5 个数据按照由小到大的顺序排列：6，7，9，9，9， 位置在最中间的是 9， 这组数据的中位数为 9 9b 乙的 5 个数据中 9 出现了两次，出现次数最多， 乙组数据的众数为：9 9c 故答案为：9；9 （2）乙的平均数 498910 8 5 a 方差的公式： 2222 12 1( )()() n sxxxxxx n ， 22222 1(9 8)(98)(98)(68)(78) 1.6 5 d （3）选择甲选手参加比赛 理由：甲，乙的平均成绩都为 8，中位数都为 9，众数都为 9， 但甲的方差1.6d 乙的方差 4.4 在平均数、中位数、众数都

31、相同的情况下，甲的方差比乙小， 故甲比乙稳定，选择甲 23 （10 分） 小明代表学校参加 “我和我的祖国” 主题宣传教育活动， 该活动分为两个阶段， 第一阶段有“歌曲演唱” 、 “书法展示” 、 “器乐独奏”3 个项目（依次用A、B、C表示） ， 第二阶段有“故事演讲” 、 “诗歌朗诵”2 个项目（依次用D、E表示） ，参加人员在每个阶 段各随机抽取一个项目完成 第 20 页（共 26 页） （1）用画树状图或列表的方法，列出小明参加项目的所有等可能的结果： （2）求小明恰好抽中B、D两个项目的概率 【解答】解： （1）画树状图： 由树状图知共有 6 种等可能结果； （2）小明恰好抽中B、D

32、两个项目的只有 1 种情况， 所以小明恰好抽中B、D两个项目的概率为 1 6 24 （12 分）如图，在矩形ABCD中，2ABBC，F、G分别为AB、DC边上的动点， 连接GF， 沿GF将四边形AFGD翻折至四边形EFGP， 点E落在BC上，EP交CD于点H， 连接AE交GF于点O （1）写出GF与AE之间的位置关系是： GFAE ； （2）求证：2AEGF； （3）连接CP，若 3 sin 5 CGP，10GF ，求CE的长 【解答】 （1）解：由折叠的性质得：AOFEOF ， 180AOFEOF， 90AOFEOF ， GFAE， 故答案为：GFAE； （2）证明：过G作GMAB于M，如图

33、 1 所示： 则90FMG，四边形ADGM是矩形， 第 21 页（共 26 页） ADGM，90MFGMGF ， 由（1）得：GFAE， 90MFGFAO， BAEMGF ， 四边形ABCD是矩形， ADBC，90BADDBFMG ， ABEGMF， 2 AEABABAB GFGMADBC ， 2AEGF； （3）解：过P作PKBC，交BC的延长线于K，如图 2 所示： 由折叠的性质得：AFEF，90FEPFADDEPG ， 90CGPGHP， 90PECEHC，GHPEHC ， PECCGP ， 90BFEBFEBEFPEC ， BFEPECCGP ， 3 sin 5 CGP， 3 sin

34、5 BE BFE EF ， 设3BEx，则5AFEFx， 2222 (5 )(3 )4BFEFBExxx， 9ABAFBFx， 2AEGF，10GF ， 2 10AE， 在Rt ABE中，由勾股定理得： 222 ABBEAE， 即 222 (9 )(3 )(2 10)xx， 解得： 2 3 x 或 2 3 x （舍去） ， 96ABx，32BEx， 第 22 页（共 26 页） 2ABBC， 3BC， 321CEBCBE 25 （14 分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线 2 31yaxaxa与y轴交于点A （1）此抛物线的对称轴 直线 3 2 x ，点A的坐标为 （用含a的式子表示） ； （

35、2） 已知点( 2,2)Ma ，(0, )Na 若抛物线与线段MN恰有一个公共点， 结合函数图象， 求a的取值范围 【解答】解： （1）由抛物线 2 31yaxaxa，可知 33 22 a x a ， 抛物线的对称轴为直线 3 2 x 抛物线 2 31yaxaxa与y轴交于A， 令0 x ，得到1ya， (0,1)Aa 故答案为直线 3 2 x ，(0,1)a 第 23 页（共 26 页） （2）对于任意实数a，都有1aa ， 可知点A在点N的上方， 令抛物线上的点( 2, )Cy， 111 c ya， 如图 1 中， 当0a 时，2 c ya ， 点C在点M的上方， 结合图象可知抛物线与线段

36、MN没有公共点 当0a 时， （a）如图 2 中， 当抛物线经过点M时，2 c ya ， 1 4 a ， 结合图象可知抛物线与线段MN巧有一个公共点M （b）当 1 0 4 a时，观察图象可知抛物线与线段MN没有公共点 （c）如图 3 中，当 1 4 a 时，2 c ya ， 点C在点M的下方， 结合图象可知抛物线与线段MN恰好有一个公共点， 第 24 页（共 26 页） 综上所述，满足条件的a的取值范围是 1 4 a 26 （13 分）定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂 四边形” （1）如图，四边形ABCD与四边形AEEG都是正方形，135180AEB ，求

37、证：四 边形BEGD是“等垂四边形” ； （2）如图，四边形ABCD是“等垂四边形” ， ADBC，连接BD，点E，F，G分别 是AD，BC，BD的中点，连接EG，FG，EF试判定EFG的形状，并证明； （3） 如图， 四边形ABCD是 “等垂四边形” ， 4AD ，6BC ， 试求边AB长的最小值 【解答】解： （1）如图，延长BE，DG交于点H， 四边形ABCD与四边形AEFG都为正方形， ABAD，AEAG，90BADEAG BAEDAG 第 25 页（共 26 页） ()ABEADG SAS BEDG，ABEADG 90ABDADB ， 90ABEEBDADBDBEADBADG ， 即

38、90EBDBDG， 90BHD BEDG 又BEDG， 四边形BEGD是“等垂四边形” （2）EFG是等腰直角三角形 理由如下：如图，延长BA，CD交于点H， 四边形ABCD是“等垂四边形” ， ADBC， ABCD，ABCD， 90HBCHCB 点E，F，G分别是AD，BC，BD的中点， 1 2 EGAB， 1 2 GFCD，/ /EGAB，/ /GFDC， BFGC ，EGDHBD ，EGGF 90EGFEGDFGDABDDBCGFBABDDBCCHBCHCB EFG是等腰直角三角形 （3）延长BA，CD交于点H，分别取AD，BC的中点E，F连接HE，EF，HF， 第 26 页（共 26 页） 则 11 321 22 EF HFHEBCAD， 由（2）可知22ABEF AB最小值为2