2021年上海市长宁区中考数学二模试卷（含答案详解）

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1、 第 1 页（共 23 页） 2021 年上海市长宁区中考数学二模试卷年上海市长宁区中考数学二模试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 6 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 24 分）分）每题只有一个正确选项，在答题纸相每题只有一个正确选项，在答题纸相 应题号的选项上用应题号的选项上用 2B 铅笔正确填涂铅笔正确填涂 1 （4 分）8的倒数是( ) A8 B8 C 1 8 D 1 8 2 （4 分）下列运算正确的是( ) A 2 35 ()aa B 248 aaa C 632 aaa D 333 ()aba b 3 （4 分）一家鞋店对上周某品牌女鞋的销售量统计如下： 尺寸 （码

2、) 35 36 37 38 39 销售量 （双) 2 4 11 7 3 这家鞋店决定本周进该品牌女鞋时多进一些尺寸为 37 码的鞋，影响鞋店决策的统计量是( ) A平均数 B众数 C中位数 D方差 4 （4 分）下列方程中，有实数解的是( ) A 2 10 xx B 2 10 x C 2 12 11xx D11xx 5 （4 分）下列命题中，假命题是( ) A对角线互相垂直的矩形是正方形 B对角线相等的菱形是正方形 C对角线互相垂直平分的四边形是正方形 D对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 6 （4 分）如果两个圆相交，且其中一个圆的圆心在另一个圆的圆内时，我们称此两圆的位 置关系为“内

3、相交” 如图 1，已知ABC中，90C，4AC ，3BC ，点O在边AC 上如果C与直线AB相切，以OA为半径的O与C “内相交” ，那么OA的长度可以 是( ) 第 2 页（共 23 页） A16 5 B12 5 C 8 5 D 4 5 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 12 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 48 分） 【在答题纸相应题号后的空格内直接分） 【在答题纸相应题号后的空格内直接 填写答案】填写答案】 7 （4 分）计算：(1)a a 8 （4 分）函数：2yx的定义域是 9 （4 分）方程组 22 23 0 xy xy 的解是 10 （4 分）正多边形的一个外角等

4、于20，则这个正多边形的边数是 11 （4 分）如果抛物线 2 (1)ymx的最高点是坐标轴的原点，那么m的取值范围是 12 （4 分）观察反比例函数 2 y x 的图象，当01x时，y的取值范围是 13 （4 分）从 2 ,2 9 ，这三个数中任选一个数，选出的这个数是有理数的概率为 14 （4 分）某校为了解本校学生每周阅读课外书籍的时间，对本校全体学生进行了调查， 并绘制如图所示的频率分布直方图，那么图中m的值为 15 （4 分）如图，在ABC中，12ABAC，4DC ，过点作C作/ /CEAB交BD的延 长线于点E，ABa，BCb，那么BE用向量, a b表示为 第 3 页（共 23

5、页） 16 （4 分）我国古代数学著作九章算术中有这样一个问题： “今有池方一丈，葭生其中 央， 出水一尺 引葭赴岸， 适与岸齐， 问水深几何？” （注： 丈， 尺是长度单位， 1 丈10尺） 这段话的意思是：有一水池一丈见方，池中央生有一棵芦苇，露出水面一尺如把它引向岸 边，正好与岸边齐问水有多深？即如图所示的截面图中，1AB 丈，CD垂直平分AB， 1DE 尺，CDCB，那么水的深度CE是 尺 17 （4 分）如图，已知 1 O与 2 O相交于A、B两点，圆心 1 O、 2 O在公共弦AB的两侧， 12 4ABOO， 1 12 sin 13 AO B，那么 2 O A的长是 18 （4 分

6、）如图，已知ABC中，90C，6AB ，CD是斜边AB的中线将ABC绕 点A旋转，点B、点C分别落在点B、点C处，且点B在射线CD上，边 AC 与射线CD交 于点E如果3 AE EC ，那么线段CE的长是 第 4 页（共 23 页） 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 题，满分题，满分 78 分）分）将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置 上上 19 （10 分）计算： 1 21 3 12 27( 21)( ) 221 20 （10 分）解不等式组： 2 623 3 1 2 xx x x ，并求出它的正整数解 21（10 分） 如图， 已

7、知梯形ABCD中，/ /ADBC，90B，15CD ，16BC ，12AB ， 点E是边BC上的一点，联结DE，且DECE （1）求梯形ABCD的面积； （2）求DEC的正切值 22 （10 分）某商店销售一种商品经过市场调查发现：该产品的销售单价需定在 50 元到 110 元之间较为合理，每月销售量y（万件）与销售单价x（元/件）存在如图所示的一次 函数关系根据图象提供的信息，解答下列问题： （1）求这种商品的每月销售量y（万件）关于销售单价x（元/件）(50110)x剟的函数解 析式； （2）已知六月份、八月份这种商品的销售单价分别为 95 元/件和 84 元/件，且每月销售量 的增长率是

8、相同的，求这个增长率 第 5 页（共 23 页） 23 （12 分）如图，已知四边形ABCD中，/ /ADBC，对角线AC、BD相交于点O，AC平 分BAD，BD平分ABC，点E在边BC的延长线上，联结OE，交边CD于点F （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）如果OECD，求证：CE OFCF OE 24 （12 分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线 2 16 3 yaxxc经过点(1,0)A、 (3,0)B，且与y轴交于点C （1）求抛物线的表达式； （2）如果将抛物线向左平移(0)m m 个单位长度，联结AC、BC，当抛物线与ABC的三 边有且只有一个公共点时，求m的值；

9、（3）如果点P是抛物线上一动点，且在点B的右侧，联结PC，直线PA交y轴于点E，当 PCEPEC时，求点P的坐标 第 6 页（共 23 页） 25 （14 分）已知半圆O的直径4AB ，点C、D在半圆O上（点C与点D不重合） ， COBDBO ，弦BD与半径OC相交于点E，CHAB，垂足为点H，CH交弦BD于 点F （1）如图 1，当点D是AC的中点时，求COB的度数； （2）如图 2，设OHx， CF y CE ，求y关于x函数解析式，并写出定义域； （ 3 ） 联 结OD、OF， 如 果DOF是 等 腰 三 角 形 ， 求 线 段OH的 长 第 7 页（共 23 页） 2021 年上海市长

10、宁区中考数学二模试卷年上海市长宁区中考数学二模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 6 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 24 分）分）每题只有一个正确选项，在答题纸相每题只有一个正确选项，在答题纸相 应题号的选项上用应题号的选项上用 2B 铅笔正确填涂铅笔正确填涂 1 （4 分）8的倒数是( ) A8 B8 C 1 8 D 1 8 【解答】解：根据倒数的定义得： 1 8()1 8 ， 因此8的倒数是 1 8 故选：C 2 （4 分）下列运算正确的是( ) A 2 35 ()aa B 248 aaa C 632 aaa D 333 ()ab

11、a b 【解答】解：A、 2 36 ()aa，故此选项错误； B、 246 aaa，故此选项错误； C、 633 aaa，故此选项错误； D、 333 ()aba b，故此选项正确； 故选：D 3 （4 分）一家鞋店对上周某品牌女鞋的销售量统计如下： 尺寸 （码) 35 36 37 38 39 销售量 （双) 2 4 11 7 3 这家鞋店决定本周进该品牌女鞋时多进一些尺寸为 37 码的鞋，影响鞋店决策的统计量是( ) A平均数 B众数 C中位数 D方差 【解答】解：鞋店最关心的应该是某一尺码鞋子的销售量最多，在统计量中也就是众数， 所以影响鞋店决策的统计量是众数， 故选：B 4 （4 分）下

12、列方程中，有实数解的是( ) 第 8 页（共 23 页） A 2 10 xx B 2 10 x C 2 12 11xx D11xx 【解答】解：方程 2 10 xx 的根的判别式1430 ， 所以方程A没有实数解； 方程 2 10 x 的根的判别式0440 ， 故方程B没有实数解； 方程 2 12 11xx 可变形为 2 122xx ，整理得 2 210 xx 解得1x ，当1x 时，分式方程无解故方程C没有实数解； 方程11xx 的解为1x ，故方程D有实数解 故选：D 5 （4 分）下列命题中，假命题是( ) A对角线互相垂直的矩形是正方形 B对角线相等的菱形是正方形 C对角线互相垂直平分

13、的四边形是正方形 D对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 【解答】解：A、对角线互相垂直的矩形是正方形，是真命题； B、对角线相等的菱形是正方形，是真命题； C、对角线互相相等且垂直平分的四边形是正方形，原命题是假命题； D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，是真命题； 故选：C 6 （4 分）如果两个圆相交，且其中一个圆的圆心在另一个圆的圆内时，我们称此两圆的位 置关系为“内相交” 如图 1，已知ABC中，90C，4AC ，3BC ，点O在边AC 上如果C与直线AB相切，以OA为半径的O与C “内相交” ，那么OA的长度可以 是( ) A 16 5 B 12 5 C 8 5 D

14、4 5 第 9 页（共 23 页） 【解答】解：ABC中，90C，4AC ，3BC ， 5AB， 作CDAB于D，以C为圆心，以CD为半径的圆C与直线AB相切于D， CD是C半径， 11 22 AC BCAB CD，即 11 435 22 CD ， 12 5 CD， C的半径为12 5 ， 128 4 55 ， 1232 4 55 ， 816 55 OA， 故选：B 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 12 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 48 分） 【在答题纸相应题号后的空格内直接分） 【在答题纸相应题号后的空格内直接 填写答案】填写答案】 7 （4 分）计算：(1)a a 2

15、 aa 【解答】解：原式 2 aa 故答案为： 2 aa 8 （4 分）函数：2yx的定义域是 2x 【解答】解：根据题意得：2 0 x ， 解得：2x 9 （4 分）方程组 22 23 0 xy xy 的解是 31 31 xx yy 或 【解答】解： 22 ()()xyxy xy 22 0 xy可改写成：0 xy或者0 xy 第 10 页（共 23 页） 方程组 22 23 0 xy xy 可以改写为： 23 0 xy xy 或者 23 0 xy xy 解得： 31 31 xx yy 或 故答案为： 31 31 xx yy 或 10 （4 分）正多边形的一个外角等于20，则这个正多边形的边数

16、是 18 【解答】解：因为外角是 20 度，3602018，则这个多边形是 18 边形 故答案为：18 11 （4 分）如果抛物线 2 (1)ymx的最高点是坐标轴的原点，那么m的取值范围是 1m 【解答】解：根据题意知点(0,0)O是抛物线 2 (1)ymx的最高点知抛物线的开口向下 10m ， 解得：1m 故答案为：1m 12 （4 分）观察反比例函数 2 y x 的图象，当01x时，y的取值范围是 2y 【解答】解：2k ， 反比例函数 2 y x 的图象在一三象限，且在每个象限y随x的增大而减小， 当1x 时，2y ， 当01x时，y的取值范围2y ， 故答案为2y 13 （4 分）从

17、 2 ,2 9 ，这三个数中任选一个数，选出的这个数是有理数的概率为 1 3 【解答】解：在 2 ,2 9 ，这三个数中，有理数有 2 9 这 1 个， 选出的这个数是无理数的概率为 1 3 ， 故答案为： 1 3 14 （4 分）某校为了解本校学生每周阅读课外书籍的时间，对本校全体学生进行了调查， 并绘制如图所示的频率分布直方图，那么图中m的值为 0.140 第 11 页（共 23 页） 【解答】解：(1 0.120.20.250.15)20.2820.140m ， 故答案为：0.140 15 （4 分）如图，在ABC中，12ABAC，4DC ，过点作C作/ /CEAB交BD的延 长线于点E

18、，ABa，BCb，那么BE用向量, a b表示为 1 2 ba 【解答】 解：/ /CEAB， ADAB DCCE ， 12ABAC，4DC ， 8AD； 41 82 CE AB ， 2ABCE， ABa， 1 2 CEa ， 1 2 BEBCCEba 第 12 页（共 23 页） 16 （4 分）我国古代数学著作九章算术中有这样一个问题： “今有池方一丈，葭生其中 央， 出水一尺 引葭赴岸， 适与岸齐， 问水深几何？” （注： 丈， 尺是长度单位， 1 丈10尺） 这段话的意思是：有一水池一丈见方，池中央生有一棵芦苇，露出水面一尺如把它引向岸 边，正好与岸边齐问水有多深？即如图所示的截面图中

19、，1AB 丈，CD垂直平分AB， 1DE 尺，CDCB，那么水的深度CE是 12 尺 【解答】解：设水池里水的深度是x尺， 由题意得， 222 5(1)xx， 解得：12x ， 答：水池里水的深度是 12 尺 故答案为：12 17 （4 分）如图，已知 1 O与 2 O相交于A、B两点，圆心 1 O、 2 O在公共弦AB的两侧， 12 4ABOO， 1 12 sin 13 AO B，那么 2 O A的长是 5 【解答】解：如图，过点A作 1 AEO B于E， 第 13 页（共 23 页） 1 O与 2 O相交于A、B两点， 12 O O垂直平分AB， 2AHBH， 1 1 12 sin 13

20、AE AO B AO ， 设12AEx， 1 13AOx， 22 11 5OEO AAEx， 8BEx， 222 AEBEAB， 22 1446416xx， 13 13 x， 1 1313AOx， 22 11 1343OHO AAH， 2 1O H， 22 22 145O AAHO H， 故答案为5 18 （4 分）如图，已知ABC中，90C，6AB ，CD是斜边AB的中线将ABC绕 点A旋转，点B、点C分别落在点B、点C处，且点B在射线CD上，边 AC 与射线CD交 于点E如果3 AE EC ，那么线段CE的长是 7 2 第 14 页（共 23 页） 【解答】解：根据已知，作出的图形，如图所

21、示： ABC中，90C，6AB ，CD是斜边AB的中线 1 3 2 ADCDDBAB， DACACD ， 根据旋转性质：B AEB CA ， B AEB CA， B AAEB E B CACB A ， 3AEEC， 3 4 AEAE ACAC ， 63 46 B E B C ， 8B C ， 9 2 B E， 97 8 22 ECB CB E， 故答案为： 7 2 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 题，满分题，满分 78 分）分）将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置 上上 19 （10 分）计算： 1 21 3 12 27( 21)(

22、 ) 221 第 15 页（共 23 页） 【解答】解：原式 2( 21) 332 22 ( 21)( 21) 332 222 22 6 20 （10 分）解不等式组： 2 623 3 1 2 xx x x ，并求出它的正整数解 【解答】解： 2 623 3 1 2 xx x x ， 由不等式，得 3x ， 由不等式，得 1 3 x， 故原不等式组的解集是 1 3 3 x ， 该不等式组的正整数解是 1，2 21（10 分） 如图， 已知梯形ABCD中，/ /ADBC，90B，15CD ，16BC ，12AB ， 点E是边BC上的一点，联结DE，且DECE （1）求梯形ABCD的面积； （2）

23、求DEC的正切值 【解答】解： （1）过D作DFBC于F， 梯形ABCD中，/ /ADBC，90B，15CD ，16BC ，12AB ， 第 16 页（共 23 页） 12DFAB， 2222 15129CFDCDF， 1697ADBFBCCF， 梯形ABCD的面积 716 12138 22 ADBC DF ； （2）DECE， 9EFDE， 222 DEDFEF， 22 144(9)DEDE， 25 2 DE， 7 2 EF， 24 tan 7 DF DEC EF 22 （10 分）某商店销售一种商品经过市场调查发现：该产品的销售单价需定在 50 元到 110 元之间较为合理，每月销售量y（

24、万件）与销售单价x（元/件）存在如图所示的一次 函数关系根据图象提供的信息，解答下列问题： （1）求这种商品的每月销售量y（万件）关于销售单价x（元/件）(50110)x剟的函数解 析式； （2）已知六月份、八月份这种商品的销售单价分别为 95 元/件和 84 元/件，且每月销售量 的增长率是相同的，求这个增长率 【解答】解： （1）由题意，设ykxb， 图象过点(70、5)，(90、3)， 570 390 kb kb ， 第 17 页（共 23 页） 解得： 1 10 12 k b ， 函数解析式为： 1 12(50110) 10 yxx 剟； （2）由（1）中解析式知： 六月份的销售量为：

25、 1 95122.5 10 y （万件） ， 九月份的销售量为： 1 84123.6 10 y （万件） ， 设每月销售量的增长率为x，则由题意得： 2 2.5(1)3.6x， 解得：20%x ， 答：每个月的增长率为20% 23 （12 分）如图，已知四边形ABCD中，/ /ADBC，对角线AC、BD相交于点O，AC平 分BAD，BD平分ABC，点E在边BC的延长线上，联结OE，交边CD于点F （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）如果OECD，求证：CE OFCF OE 【解答】证明： （1）AC平分BAD，BD平分ABC， DACBAC ，ABDCBD ， / /ADBC， DACA

26、CBBAC ，ADBDBCABD ， ABBC，ABAD， ADBC， 又/ /ADBC， 四边形ABCD是平行四边形， 又ABAD， 平行四边形ABCD是菱形； 第 18 页（共 23 页） （2）如图，过点O作OHBC于H， 四边形ABCD是菱形， OCBOCD ， 又OFCD，OHBC， OFOH， EE，90EFCEHO ， CEFOEH， CECF OEOH ， CE OFCF OE 24 （12 分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线 2 16 3 yaxxc经过点(1,0)A、 (3,0)B，且与y轴交于点C （1）求抛物线的表达式； （2）如果将抛物线向左平移(0)m

27、m 个单位长度，联结AC、BC，当抛物线与ABC的三 边有且只有一个公共点时，求m的值； （3）如果点P是抛物线上一动点，且在点B的右侧，联结PC，直线PA交y轴于点E，当 PCEPEC时，求点P的坐标 第 19 页（共 23 页） 【解答】解： （1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得： 16 0 3 9160 ac ac ，解得 4 3 4 a c ， 故抛物线的表达式为 2 416 4 33 yxx； （2）当抛物线与ABC的三边有且只有一个公共点时，则抛物线过点(0,4)C， 由抛物线的表达式知，其对称轴为2x ， 则平移后抛物线再过点C时，4m ； （3）设点P的坐标为 2 416

28、( ,4) 33 ttt， 设直线PA的表达式为ykxb，则 2 416 4 33 0 ttktb kb ，解得 4 4 3 4 4 3 kt bt ， 故点E的坐标为 4 (0,4) 3 t， 而点(0,4)C， PCEPEC ， 则点P在CE的中垂线上， 由中点公式得： 1 () 2 PCE yyy，即 2 41614 4(44) 3323 ttt， 解得1t （舍去）或 7 2 ， 第 20 页（共 23 页） 故点P的坐标为 7 ( 2 ， 5) 3 25 （14 分）已知半圆O的直径4AB ，点C、D在半圆O上（点C与点D不重合） ， COBDBO ，弦BD与半径OC相交于点E，CH

29、AB，垂足为点H，CH交弦BD于 点F （1）如图 1，当点D是AC的中点时，求COB的度数； （2）如图 2，设OHx， CF y CE ，求y关于x函数解析式，并写出定义域； （ 3 ） 联 结OD、OF， 如 果DOF是 等 腰 三 角 形 ， 求 线 段OH的 长 【解答】解： （1）如图 1 中，连接BC ADCD， ABDDBC ， COBABD ， 2OBCCOB ， 设COBx， OBOC， 2OCBOBCx ， 180COBOCBOBC， 22180 xxx ， 第 21 页（共 23 页） 36x， 36COB （2）如图 2 中，过点E作EJCF于J CHOB， 90CH

30、OCHB ， 90COBC ，90ABDHFB， CHFB ， HFBCFE ， CCFE ， ECEF， EJCF， CJJF， 4OC ，OHx， 222 416CHxx， / /EJOH， ECCJ OCCH ， CJCH CEOC ， 22CJCH CEOC ， 2 16 2 CFx CE ， 2 16 (04) 2 x yx 第 22 页（共 23 页） （3）如图3 1中，当FDFC时， FDFO，ODOB， DFODB ， EOBB ， DDOFBEOC ， ()FDOEOB ASA ， FDFOEOEB， 设FDFOEOEBx，则4ECEFx，24BFx，34BDx， DOBBEO， BDOB OBBE ， 344 4 x x ， 解得 22 13 3 x 或 23 13 3 （舍弃） ， 2222 OFOHBFBH， 2222 (4)OFOHBFOH， 22 22 1344 13 ()(4)168 33 OH ， 131OH 如图32中，当DCDF时， 第 23 页（共 23 页） OCOD， DFOC， ECCF， DEOE， DDOE ， ODOB， DEBO ， COBB ， 45DBEOBDOE ， CHOB， OCH是等腰直角三角形， 2 2 2 2 OHOC， 综上所述，OH的值为131或2 2