2021届广东省惠州市高三上学期第一次调研数学试题(含答案解析)
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1、惠州市惠州市 2021 届高三第一次调研考试试题届高三第一次调研考试试题 数数 学学 一、单项选择题:本题共一、单项选择题:本题共 10 小题,每小题满分小题,每小题满分 5 分,共分,共 50 分分每小题给出的四个选项中,只有每小题给出的四个选项中,只有 一项符合题目要求,选对得一项符合题目要求,选对得 5 分,选错得分,选错得 0 分分 1. 设集合 2 |560Mx xx,集合0Nx x, 则MN( ) A. 0 x x B. |3x x C. |2x x D. 23xx 【答案】A 【解析】 【分析】 解一元二次不等式得集合M,利用并集的概念即可. 【详解】由题意可得23Mxx,0Nx
2、 x, 所以MN0 x x , 故选:A 【点晴】此题考一元二次不等式的解法和集合的并集,属于基础题. 2. 复数z满足(1 )1iz=i ,其中i为虚数单位,则复数z=( ) A. 1 i B. 1i C. i D. i 【答案】C 【解析】 【分析】 由复数除法的运算法则,化简复数 1 1 i zi i ,即可求解. 【详解】由题意,复数z满足(1)1iz=i ,可得 1112 1112 iiii zi iii . 故选:C 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算法则,其中解答中熟记复数的除法的运算法则,准确运算是解答 的关键,着重考查推理与运算能力. 3. 已知 2 sin 3 ,则cos
3、( 2 )的值为( ) A. 5 3 B. 1 9 C. 1 9 D. 5 3 【答案】C 【解析】 【分析】 利用诱导公式和二倍角的余弦公式可求得结果. 【详解】 2 2 21 cos2cos21 2sin1 2 39 . 故选:C. 点睛】本题考查利用诱导公式和二倍角余弦公式求值,考查计算能力,属于基础题. 4. 已知向量,3ka,向量1,4b ,若ab ,则实数k ( ) A. 12 B. 12 C. 3 4 D. 3 4 【答案】B 【解析】 【分析】 ab,等价于0a b,计算可得. 【详解】由已知得13 40a bk , 12k , 故选 B 【点晴】此题考向量垂直的充要条件,属于
4、基础题. 5. 已知正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 1,则直线 1 DA与直线AC所成角的余弦值为( ) A. 1 2 B. 2 2 C. 1 2 D. 3 2 【答案】C 【解析】 【分析】 连接 1 CB,得到 11 / /CBDA,把异面直线 1 DA与直线AC所成角转化为直线 1 CB与直线AC所成角,在 1 ACB中,即可求解. 【详解】在正方体 1111 ABCDABC D中,连接 1 CB,可得 11 / /CBDA, 异面直线 1 DA与直线AC所成角,即为直线 1 CB与直线AC所成角, 因为 1 ACB是正三角形,所以 1 1 cos,cos 32 DA AC
5、 . 故选:C 【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解,其中解答中熟记异面直线所成角的概念,把异面直线所 成的角转化为相交直线所成的角是解答的关键,着重考查空间想象能力,以及计算能力. 6. 已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的一条渐近线平行于直线 :250l xy ,则双曲线的离心率为 ( ) A. 1 2 B. 6 2 C. 3 2 D. 5 2 【答案】D 【解析】 【分析】 由渐近线平行于直线: 250l xy 可得两直线斜率相等,即可求出离心率. 【详解】因为一条渐近线平行于直线: 250l xy ,可知两直线斜率相等, 由题知双曲线的一条渐近线方程为 1
6、2 yx ,则 1 2 b a , 222 2 22 1 1 4 bca e aa , 5 2 e . 故选:D 【点睛】本题考查双曲线离心率的求法,属于基础题. 7. 张丘建算经是我国北魏时期大数学家张丘建所著,约成书于公元 466-485 年间其中记载着这么一 道“女子织布”问题:某女子善于织布,一天比一天织得快,且每日增加的数量相同已知第一日织布 5 尺,30 日共织布 390尺,则该女子织布每日增加( )尺 A. 4 7 B. 16 29 C. 8 15 D. 16 31 【答案】B 【解析】 【分析】 设等差数列为 n a的公差为d,根据首项 1 5a , 30 390S,列出方程,
7、即可求解. 【详解】由题意,可知该女子每日织布数呈等差数列 n a, 设等差数列为 n a的公差为d,其中首项 1 5a , 30 390S, 可得 30 29 5 30390 2 d ,解得 16 29 d . 故选:B 【点睛】本题主要考查了等差数列的前n项和公式的应用,其中解答中正确理解题意,熟练应用等差数列 的前n项和公式,列出方程求解是解答的关键,着重考查计算能力. 8. 函数 cosf xx x的部分图象的大致形状是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 运用排除法,由()cos()cos( )fxxxxxf x ,得出 f x为奇函数, ()cos0 66
8、6 f , 可排除得选项 【详解】由()cos()cos( )fxxxxxf x ,所以 f x为奇函数,排除 A,C; 因为 f x 的大于 0的零点中,最小值为 2 ;又因为()cos0 666 f ,排除 B, 故选:D 【点睛】本题考查函数的图象的辨别,常从函数的奇偶性,特殊点的函数值的正负,函数的单调性运用排 除法,属于基础题 9. 根据党中央关于“精准”脱贫的要求,我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研,每个县区 至少派一位专家,则甲,乙两位专家派遣至同一县区的概率为( ) A. 1 6 B. 1 4 C. 1 3 D. 1 2 【答案】A 【解析】 【分析】 每个县区至少
9、派一位专家,基本事件总数36n,甲,乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数 6m,由此能求出甲,乙两位专家派遣至同一县区的概率. 【详解】派四位专家对三个县区进行调研,每个县区至少派一位专家 基本事件总数: 23 43 36nC A 甲,乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数: 212 232 6mC C A 甲,乙两位专家派遣至同一县区的概率为: 61 366 m p n 本题正确选项:A 【点睛】本题考查概率的求法,考查古典概型等基础知识,考查运算求解能力,是基础题. 10. 若在定义域内存在实数 0 x,满足 00 ()()fxf x ,则称( )f x为“有点奇函数”,若 12
10、 ( )423 xx f xmm 为定义域R上“有点奇函数”,则实数m的取值范围是( ) A. 1 313m B. 1 32 2m C. 2 22 2m D. 2 213m 【答案】B 【解析】 根据“局部奇函数”的定义可知,函数()( )fxf x 有解即可, 即 1212 ()423(423) xxxx fxmmmm , 2 442 (22 )2m60 xxxx m , 即 22 (22 )2(22 )280 xxxx mm 有解即可, 设22 xx t ,则222 xx t , 方程等价为 22 2280tm tm 在2t 时有解, 设 22 ( )228g ttm tm , 对称轴 2
11、 2 m xm , 若2m,则 22 44(28)0mm , 即 2 8m , 2 22 2m ,此时2 2 2m 若2m,要使 22 2280tm tm 在2t 时有解, 则 2 (2)0 0 m f , 即 2 1313 2 32 3 m m m , 解得132m, 综上:1 32 2m 选 B. 点睛:研究二次函数最值或单调性,一般根据对称轴与定义区间位置关系进行分类讨论;研究二次方程在定 义区间有解,一般从开口方向,对称轴位置,判别式正负,以及区间端点函数值正负四个方面进行考虑. 二、多项选择题:本题共二、多项选择题:本题共 2 小题,每小题满分小题,每小题满分 5 分,共分,共 10
12、 分在每小题给出的四个选项中,分在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求全部选对得有多项符合题目要求全部选对得 5 分,部分选对得分,部分选对得 3 分,有选错的得分,有选错的得 0 分分 11. 下列说法中正确的有( ) A. 不等式2 abab 恒成立 B. 存在 a,使得不等式 1 2a a 成立 C. 若, (0,)a b,则2 ba ab D. 若正实数 x,y满足21xy,则 21 8 xy 【答案】BCD 【解析】 【分析】 根据基本不等式的条件和结论对所有选择支分别判断 【详解】不等式2abab恒成立的条件是0a,0b,故 A不正确; 当 a为负数时,不等式 1 2a a
13、 成立.故 B正确; 由基本不等式可知 C正确; 对于 212144 (2 )4428 yxy x xy xyxyxyxy , 当且仅当 4yx xy ,即 1 , 2 x 1 4 y 时取等号,故 D 正确. 故选:BCD. 【点睛】本题考查基本不等式的应用,基本不等式的条件不能忘记,如果用基本不等式求最值一定要注意 一正二定三相等另外存在性命题举例可说明正确,全称性命题需证明才能说明正确性 12. 在空间中,已知, a b是两条不同的直线, , 是两个不同的平面,则下列选项中正确的是( ) A. 若/ab,且a,b,则/ / B. 若,且/a,b / ,则ab C. 若a与b相交,且a,b
14、,则与相交 D. 若ab,且/a,b / ,则 【答案】AC 【解析】 【分析】 用线面,面面平行垂直的性质判断进行判断. 【详解】若/ab,且,ab,即两平面的法向量平行,则/ /成立,故 A正确; 证明:如图,aP,过P在平面内作mnP, a,am,an Q,/ab,bm,bn ,b b ,故/ / 若,且ab/ ,则a与b互相平行或相交或异面,故 B 错误; 若, a b相交,且,ab,则, 相交成立. 证明:反证法 假设、不相交,则/ / 又,ab,所以/ab,矛盾. 故、相交,故 C 正确; 若ab,且ab/ ,则与平行或相交,故 D错误; 故选:AC 【点睛】此题为基础题,考查线、
15、面平行垂直性质及判断. 三、 填空题: 本题共三、 填空题: 本题共 4 小题, 每小题小题, 每小题 5分, 共分, 共 20 分, 其中分, 其中 16 题第一个空题第一个空 3 分, 第二个空分, 第二个空 2分分 13. 函数 lnf xx在点 1,0处的切线方程为_ 【答案】10 xy 【解析】 【分析】 因为曲线 f(x)lnx 在点(1,0)处的切线的斜率为 f(1),用点斜式求得函数 f(x)lnx 的图象在点(1,0) 处的切线方程 【详解】解:f(x) 1 x ,曲线 f(x)lnx 在点(1,0)处的切线的斜率为 f(1)1, 所以函数 f(x)lnx的图象在点(1,0)
16、处的切线方程是 y0 x1, 整理得 xy10 故答案为 xy10 【点睛】本题考查导数的几何意义,考查学生的计算能力,比较基础 14. 二项式 7 21x的展开式中 3 x的系数是_ 【答案】280 【解析】 【分析】 求出展开式的通项,令x的指数为 3,即可求出系数. 【详解】展开式的第1r 项为 7 17(2 ) 1 rrr r TCx , 故令73r ,即4r , 所以 3 x的系数为 43 72 280C 故答案为:280. 【点睛】本题考查二项式展开式指定项的系数,属于基础题. 15. 若抛物线 y2=4x 上的点 M 到焦点的距离为 10,则 M 到 y 轴的距离是_ 【答案】9
17、 【解析】 试题分析:1 109 MM xx . 【考点】抛物线的定义 【思路点睛】当题目中出现抛物线上的点到焦点的距离时,一般都会想到转化为抛物线上的点到准线的距 离解答本题时转化为抛物线上的点到准线的距离,进而可得点到y轴的距离 16. 已知ABC,AB=AC=4,BC=2 点 D为 AB延长线上一点,BD=2,连结 CD,则BDC 的面积是 _,cosBDC=_ 【答案】 (1). 15 2 (2). 10 4 【解析】 取BC中点E,由题意:AEBC, ABE中, 1 cos 4 BE ABC AB , 1115 cos,sin1 4164 DBCDBC , 115 sin 22 BC
18、D SBDBCDBC 2ABCBDC , 2 1 coscos22cos1 4 ABCBDCBDC , 解得 10 cos 4 BDC或 10 cos 4 BDC (舍去) 综上可得,BCD面积为 15 2 , 10 cos 4 BDC 【名师点睛】利用正、余弦定理解决实际问题的一般思路:(1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全 部集中在一个三角形中,可以利用正弦定理或余弦定理求解;(2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量 涉及两个或两个以上三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,再逐步解其他三角形,有时 需要设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要的解
19、四、解答题:共四、解答题:共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. 已知等差数列 n a的公差0d ,若 6 11a ,且 2514 ,a a a成等比数列. (1)求数列 n a的通项公式; (2)设 1 1 n nn b a a ,求数列 n b的前 n 项和 n S. 【答案】(1)21 n an(2) 21 n n 【解析】 【分析】 (1)由已知列式求得等差数列的首项与公差,则通项公式可求; (2)把数列 n a的通项公式代入 1 (21)(21) n b nn ,再由裂项相消法求数列 n b的前 n 项和 n S. 【详解】
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- 2021 广东省 惠州市 高三上 学期 第一次 调研 数学试题 答案 解析
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