2021届河北省、重庆市、广东省、福建省、湖南省高三解题能力数学试题（含答案解析）

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1、2021 届新高考五省基础解题能力测试届新高考五省基础解题能力测试 数学数学 一一 单项选择题单项选择题 1. 已知集合 11 |, 3 Ay yx x ，|1Bx yx，则集合AB为( ) A. 0,3 B. 1,3 C. 1,3 D. 1 ,1 3 【答案】B 【解析】 【分析】 分别化简集合A，B，利用交集的定义计算可得答案 【详解】集合 11 |,|03 3 Ay yxyy x ，1|1|Bx yxx x 则集合|13ABxx 故选：B 【点睛】本题考查集合的交并补运算，考查学生计算能力，属于基础题 2. 提鞋公式也叫李善兰辅助角公式，其正弦型如下： 22 sincossin()axb

2、xabxj+=+， ，下 列判断错误的是( ) A. 当0a，0b时，辅助角arctan b a B. 当0a，0b 时，辅助角arctan b a C. 当0a ，0b时，辅助角arctan b a D. 当0a ，0b 时，辅助角arctan b a 【答案】B 【解析】 【分析】 分别判断出a，b的值，对辅助角的影响 0a，0b，则辅助角在第一象限； 0a，0b ，则辅助角在第四象限； 0a ，0b ，则辅助角在第三象限； 0a ，0b，则辅助角在第二象限 【详解】解：因为 22 cos a ab ， 22 sin b ab ，tan b a ，(, 对于A，因为0a，0b，则辅助角在第

3、一象限 0 2 ， 0 b a ，arctan(0,) 2 b a ，故A选项正确； 对于B，因为0a，0b ，则辅助角在第四象限 0 2 ； 0 b a ， arctan(, ) 2 b a ，故B选项错误； 对于C，因为0a ，0b，则辅助角在第二象限 2 ； 0 b a ， arctan(, ) 2 b a ，故C选项正确； 对于D，因为0a ，0b ，则辅助角在第三象限 2 ， 0 b a ， arctan(,) 2 b a ，故D选项正确； 故选：B 【点睛】本题考查了三角函数的性质，考查学生的分析能力，属于中档题 3. 在平面直角坐标系xOy中，已知点0, 2A， 1,0N，若动点

4、M满足2 MA MO ，则 OM ON的 取值范围是( ) A. 0,2 B. 0,2 2 C. 2 2 , D. 2 2,2 2 【答案】D 【解析】 【分析】 设出M的坐标为( , ) x y，依据题目条件，求出点M的轨迹方程 22 (2)8xy， 写出点M的参数方程，则 c2 2 osOM ON ，根据余弦函数自身的范围，可求得 OM ON结果. 【详解】设( , )M x y ，则 2 MA MO ，0, 2A 22 22 (2) 2 xy xy 2222 (2)2()xyxy 22 (2)8xy为点M的轨迹方程 点M的参数方程为 2 2cos 22 2sin x y (为参数) 则由

5、向量的坐标表达式有： c2 2 osOM ON 又cos 1,1 22cos 2 2,2 2OM ON 故选：D 【点睛】考查学生依据条件求解各种轨迹方程能力，熟练掌握代数式转换，能够利用三角换元的思想处 理轨迹中的向量乘积，属于中档题.求解轨迹方程的方法有：直接法；定义法；相关点法；参数法； 待定系数法 4. 已知0 x， 0y ，23xy，则 2 3xy xy 的最小值为( ) A. 3 2 2 B. 2 2 1 C. 2 1 D. 21 【答案】B 【解析】 【分析】 把要求的式子变形为 2 1 xy yx ，再利用基本不等式求得它的最小值 【详解】已知0 x，0y ，23xy， 则 2

6、222 3(2 )222 1212 21 xyxxy yxxyyxyxy xyxyxyyxyx ， 当且仅当 22 2xy 时，即当 3 23x ，且 63 2 2 y ，等号成立， 故 2 3xy xy 最小值为1 2 2 ， 故选：B 【点睛】本题考查基本不等式的运用，考查常数代换法，注意最值取得的条件，考查运算能力，属于中档 题 5. 在可行域内任取一点, x y，如果执行如图所示的程序框图，那么输出数对 , x y的概率是( ) A. 8 B. 4 C. 6 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】 作出条件 11, 11, xy xy 所表示的正方形区域，和圆 22 1 2 xy，再

7、利用几何概型计算概率，即可得答案. 【详解】如图所示：分别作出条件 11, 11, xy xy 所表示的正方形区域、圆 22 1 2 xy， 由程序框图的程序得：当输出数对, x y的概率是 2 1 2 4( 2) . 故选：B. 【点睛】本题考查程序框图与几何概型，考查数形结合思想和运算求解能力，属于基础题. 6. 已知点P为双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 右支上一点，点 1 F， 2 F分别为双曲线的左右焦点，点I是 12 PFF的内心(三角形内切圆的圆心)，若恒有 121 2 2 2 IPFIPFIF F SSS 成立，则双曲线的离心率取值范 围是( ) A. 1, 2

8、B. 2, C. 1, 2 D. 2, 【答案】B 【解析】 【分析】 根据所给条件和三角形面积公式，求得a，c的关系式，即可求得离心率的范围. 【详解】设 12 PFF的内切圆半径为r， 则 1 1 1 = 2 IPF SPFr ， 2 2 1 = 2 IPF SPFr ， 1 2 12 1 = 2 IF F SFFr ， 因为 121 2 2 2 IPFIPFIF F SSS ， 所以 1212 2 2 PFPFFF， 由双曲线的定义可知 12 =2PFPFa， 12 =2FFc， 所以2 2ac ，即2 c a . 故选：B. 【点睛】本题考查了求双曲线离心率的范围，其主要方法为根据条件

9、得出一个关于, ,a b c的齐次式，再化简 转化成关于e的不等式即可得解，本题属于较难题. 7. 一个班级共有 30 名学生，其中有 10 名女生，现从中任选三人代表班级参加学校开展的某项活动，假设 选出的 3名代表中的女生人数为变量 X，男生的人数为变量 Y，则22P XP Y等于( ) A. 22 1020 3 30 C C C B. 22 1020 3 30 CC C C. 2112 10201020 3 30 C CC C C D. 2112 10201020 3 30 CCCC C 【答案】C 【解析】 【分析】 求出(X2),P(Y2)P,即得解. 【详解】由题得 2112 10

10、201020 33 3030 (2), (2) C CC C P XP Y CC , 所以(X2)P(Y2)P 2112 10201020 3 30 C CC C C . 故选：C. 【点睛】本题主要考查超几何分布概率计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 8. 某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD(边长为 2个单位)的顶点A 处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走了几个单位，如果掷出的点数为 1,2,6i i ，则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去.则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回 到起点A处的所有不同走法共有( ) A. 2

11、1 种 B. 22 种 C. 25 种 D. 27 种 【答案】D 【解析】 【分析】 正方形ABCD的周长为 8， 抛掷三次骰子的点数之和为 8 或 16， 分别求出两种情况下三次骰子的点数情况， 进而求出对应的排列方法即可. 【详解】由题意，正方形ABCD的周长为 8，抛掷三次骰子的点数之和为 8 或 16， 点数之和为 8 的情况有：1,1,6；1,2,5；1,3,4；2,2,4；2,3,3， 排列方法共有 13311 33333 21CAACC 种； 点数之和为 16 的情况有：4,6,6；5,5,6，排列方法共有 11 33 6CC种. 所以，抛掷三次骰子后棋子恰好又回到起点A处的所

12、有不同走法共有21 627 种. 故选：D. 【点睛】本题考查排列组合问题，注意两种计数原理的应用，考查学生的推理能力与计算能力，属于中档 题. 二二 多项选择题多项选择题 9. 已知 2 21 ( )1 x m x f x e ， 2 2 ( )(2)1g xmx 若 ( ) ( )( ) x x g x xef x e 有唯一的零点， 则m 的值可能为( ) A. 2 B. 3 C. 3 D. 4 【答案】ACD 【解析】 【分析】 通过 ( ) ( )( ) x x g x xef x e 只有一个零点，化为 22 2 11 (2)()210 xx xx mm ee 只有一个实数根 令

13、2 1 x x t e ，利用函数的导数，判断函数的单调性，结合函数的图象，通过当2m时，当3m时， 当3m时，当4m 时，验证函数的零点个数，推出结果即可 【详解】解： 2 2 (1) ( )1 x m x f x e ， 22 ( )(2)(1)g xmx ( ) ( )( ) x x g x xef x e 只有一个零点， 22 2 (2)(1) 2 (1)0 x x mx m xe e 只有一个实数根， 即 22 2 11 (2)()210 xx xx mm ee 只有一个实数根 令 2 1 x x t e ，则 222 2 (1)(1)(1) 0 () xx xx xexex t e

14、e ， 函数 2 1 x x t e 在R上单调递减，且x 时，0t ， 函数 2 1 x x t e 的大致图象如图所示， 所以只需关于t的方程 2 (2)210(*)mtmt 有且只有一个正实根 当2m时，方程(*)为 2 4410tt ，解得 1 2 t ，符合题意； 当3m时，方程(*)为 2 5610tt ，解得 1 5 t 或1t ，不符合题意； 当3m时，方程(*)为 2 610tt ，得310t ，只有3100，符合题意 当4m 时，方程(*)为 2 2810tt ，得 43 2 2 t ，只有 43 2 0 2 ，符合题意 故选：ACD 【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数

15、的零点以及数形结合，构造法的应用，考查转化思想以及计算 能力，属于难题 10. 下列四个条件中，p是q的充分 条件的是( ) A. :p ab， 22 :q ab B. 22 :p axbyc为双曲线， :0q ab C. :p ab，:22 ab q D. 2 :0p axbxc， 2 :0 cb qa xx 【答案】BC 【解析】 【分析】 依次分析判断每个选项可知. 【详解】对于 A，若1,2ab ，则 22 ab，故 p 不是 q 的充分条件； 对于 B，若 22 axbyc为双曲线，则, a b异号，即0ab，故 p 是 q的充分条件； 对于 C，2xy 单调递增，当ab时，2 2

16、ab ，故 p是 q 的充分条件； 对于 D，当0,0 xc=时， 2 0axbxc成立， 2 0 cb a xx 不成立，故不是 q 的充分条件. 故选：BC. 【点睛】本题考查充分条件的判断，属于基础题. 11. 在正三棱锥ABCD中，侧棱长为 3，底面边长为 2，E，F分别为棱 AB，CD的中点，则下列命题正 确的是( ) A. EF 与 AD 所成角的正切值为 3 2 B. EF与 AD 所成角的正切值为 2 3 C. AB与面 ACD 所成角的余弦值为 7 2 12 D. AB 与面 ACD所成角的余弦值为 7 9 【答案】BC 【解析】 【分析】 如图所示，先找出 EF 与 AD所

17、成角再求解，再找出 AB 与面 ACD所成角求解. 【详解】 (1)设AC中点为G，BC中点为H，连接EG、FG、AH、DH， 因为AEBE，AGGC，CFDF， 所以/EG BC，/FG AD， 所以EFG就是直线EF与AD所成的角或补角， 在三角形EFG中，1EG ， 3 2 FG ， 由于三棱锥ABCD是正三棱锥，BCDH，BCAH， 又因为,AH HD 平面ADH，AHDHH，所以BC平面ADH， ADQ平面ADH，所以BCAD，所以EGFG， 所以 12 tan 3 3 2 EG EFG FG ，所以 A 错误 B正确. (2)过点B作BO垂直AF，垂足为O. 因为CDBF，CDAF

18、，,BFAFF BF AF平面ABF， 所以CD平面ABF，BO平面ABF，所以CDBO， 因为BOAF，,AFCDF AF CD平面ACD，所以BO平面ACD， 所以BAO就是AB与平面ACD所成角. 由题得3,2 2,3BFAFAB，所以 983147 cos2 122 3 2 212 2 BAO . 所以 C正确 D错误. 故答案为：BC. 【点睛】本题主要考查空间异面直线所成的角的求法，考查直线和平面所成的角的求法，意在考查学生对 这些知识的理解掌握水平. 12. 已知函数 f x是定义在R上的奇函数， 当0 x 时， 1 x f xex 则下列结论正确的是( ) A. 当0 x时，

19、1 x f xex B. 函数 f x有五个零点 C. 若关于x的方程 f x m有解，则实数m的取值范围是 22fmf D. 对 12 ,x xR， 21 2f xf x 恒成立 【答案】AD 【解析】 【分析】 根据函数 ( )f x是奇函数，求出 0 x时的解析式，可判断 A；利用导数求出函数 ( )f x在(0,)上的单调区 间及极值，再结合 ( )f x是奇函数，可作出函数( )f x在R上的大致图象，从而可逐项判断 B、C、D 【详解】设0 x，则0 x ，所以()(1) x fxex ， 又函数 ( )f x是定义在R上的奇函数，所以()( )fxf x ， 所以( )(1) x

20、 f xex ，即( )(1) x f xex 故 A 正确 当0 x时， 1 ( ) x x f x e ，所以 2 (1)2 ( ) () xx xx exex fx ee ， 令( )0fx ，解得2x， 当02x时，( )0fx ；当2x 时，( )0fx ， 所以函数 ( )f x在(0,2)上单调递增，在(2,)上单调递减， 故当2x时，函数 ( )f x取得极小值 2 0e， 当02x时，(0)(2)0ff，又(1)0f，故函数 ( )f x在(0,2)仅有一个零点1 当2x 时， 1 ( )0 x x f x e ，所以函数( )f x在(2,)没有零点， 所以函数 ( )f

21、x在(0,)上仅有一个零点，函数( )f x是定义在R上的奇函数， 故函数 ( )f x在(,0) 上仅有一个零点1，又(0)0f， 故函数 ( )f x是定义在R上有 3个零点 故 B 错误 作出函数 ( )f x的大致图象，由图可知 若关于x的方程 ( )f xm 有解，则实数m的取值范围是11m . 故 C 错误 由图可知，对 12 ,x xR， 21 ()( )|1 ( 1)| 2f xf x 故 D 正确 故选：AD 【点睛】本题主要考查利用函数奇偶性求函数解析式；利用导数研究函数的单调性及最值；同时也考查函 数的零点，综合性较强 三三 填空题填空题 13. “学习强国”学习平台是由

22、中宣部主管， 以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容， 立足全体党员、面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态、紧跟时代脉搏的热门 APP，该 款软件主要设有“阅读文章”“视听学习”两个学习板块和“每日答题”“每周答题”“专项答题”“挑战答题”四个答 题板块，某人在学习过程中，“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法 有_种. 【答案】432 【解析】 【分析】 根据分类计数原理，结合排列数和组合数的计算公式进行求解即可. 【详解】根据题意学习方法有二类： 一类是：在“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间间隔一个答题板块， 这样的

23、学习方法数为： 214 244 2 1 4 4 3 2 1192ACA ； 另一类是：在“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间不间隔一个答题板块， 这样的学习方法数为： 25 25 2 1 5 4 3 2 1240AA ， 因此某人在学习过程中， “阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法数为： 192 240432. 故答案为：432 【点睛】本题考查了分类计算原理的应用，考查了排列数与组合数的计算，考查了数学运算能力和数学阅 读能力. 14. 函数 ( )f x的定义域为 1,1) ，其图象如图所示.函数( )g x是定义域为R的奇函数，满足 (2)( )

24、0gxg x，且当(0,1)x时，( )( )g xf x.给出下列三个结论：(0)0g；函数( )g x在 ( 1,5) 内有且仅有3个零点；不等式()0fx的解集为10 xx .其中，正确结论的序号是 _. 【答案】 【解析】 【分析】 利用 g x的奇偶性和 20gxg x可求出 g x的周期为2， 对于， 0g x 即可判断； 对于， 令1x 求出 10g，再利用周期即可判断；对于，令tx ，求 0f t ，观察图像即可得出结论. 【详解】因为函数( )yg x是奇函数，所以( )()g xgx ， 又(2)( )0gxg x，所以(2)()gxgx，即 (2)( )g xg x ，

25、所以，函数( )yg x的周期为2. 对于，由于函数( )yg x是R上的奇函数，所以，(0)0f，故正确； 对于，(2)( )0gxg x，令1x ，可得2 (1)0g，得(1)0g， 所以，函数( )yg x在区间 1,1上的零点为0和1. 因为函数( )yg x的周期为2，所以函数( )yg x在( 1,5)内有5个零点，分别是0、1、2、3、4，故 错误； 对于，令tx ，则需求 ( )0f t 的解集，由图象可知，01t ，所以10 x ，故正确. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了函数的性质，利用函数的奇偶性和周期求区间内零点的个数以及观察图像解不等 式.属于较易题. 15. 九

26、章算术 中， 将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的鳖臑PABC中，PA 平面ABC，90ACB，4CA，2PA，D为AB中点，E为PAC内的动点(含边界)，且 PCDE.当E在AC上时，AE _；点E的轨迹的长度为_. 【答案】 (1). 2 (2). 2 5 5 【解析】 【分析】 (1)根据PCDE与鳖臑的性质证明DE 平面PAC再求解即可. (2)根据(1)中的计算可知PC垂直于D所在的平面,再得出PC垂直于E在平面内的轨迹再计算长度即可. 【详解】(1)当E在AC上时,因为PA 平面ABC,故PADE,又PCDE,故DE 平面PAC. 故DEAC.又90ACB,D为A

27、B中点,故/DEBC所以E为AC中点. 故 1 2 2 AEAC. (2)取AC中点F则由(1)有DF 平面PAC,故PC DF,又PCDE, 设平面DEFPCG则有PC 平面DGF.故点E的轨迹为FG. 又此时2CF , 1 tan 2 PA PCA AC ,故 22 11 sin 5 12 PCA . 所以 22 5 sin 55 FGCFPCA. 故答案为：(1). 2 (2). 2 5 5 【点睛】本题主要考查了根据线面垂直与线面垂直的性质求解立体几何中的轨迹问题,需要根据垂直关系求 解对应的线段长度.属于中档题. 16. 已知等差数列 * n anN中，若 1010 0a，则等式 1

28、2122019 2019,* nn aaaaaannN 恒成立；运用类比思想方法，可知在等比数列 * n bnN 中，若 100 1b，则与此相应的等式_恒成立. 【答案】 * 1 211 2199 199,N nnn bbbbbbbnn 【解析】 【分析】 根据等差数列的性质有 120191010 20 nn aaa ，等比数列的性质有 2 1 199100 =1 nn bbb ，类比即可得到结 论. 【详解】已知等差数列 * n anN 中， 12122019nn aaaaaa 1122019nnn aaaaa , 1220182019 0 nnn aaaa . 1010 0a,由等差数列

29、的性质得， 12019220181010 20 nnnn aaaaa . 等比数列 * n bnN ，且 100 1b，有等比数列的性质得， 2 1 1992 198100 =1 nnnn bbbbb . 所以类比等式 * 12122019 2019, nn anaaaaanN ，可得 * 1 211 2199 199,N nnn bbbbbbbnn . 故答案为： * 1 211 2199 199,N nnn bbbbbbbnn . 【点睛】本题考查等差数列和等比数列的性质，结合类比的规则，和类比积，加类比乘，得出结论,属于中 档题. 四四 解答题解答题 17. 已知圆柱 1 OO底面半径为

30、 1，高为，ABCD是圆柱的一个轴截面，动点M从点B出发沿着圆柱的侧 面到达点D，其距离最短时在侧面留下的曲线如图所示.将轴截面ABCD绕着轴 1 OO逆时针旋转 0后，边 11 BC与曲线相交于点P. (1)求曲线的长度； (2)当 2 时，求点 1 C到平面APB的距离. 【答案】(1) 2；(2) 2 2 4 4 【解析】 【分析】 (1)将圆柱的一半展开,可知曲线的长度为矩形的对角线长度.其中矩形的宽为圆柱的高,长为底面的半圆长, 即可求得曲线的长度. (2)当 2 时,以底面的圆心 O为原点建立空间直角坐标系.写出各个点的坐标,求得平面ABP的法向量,即 可求得点 1 C到平面APB

31、的距离. 【详解】(1)曲线的长度为矩形的对角线长度.其中矩形的宽为圆柱的高,长为底面的半圆长, 其中AD,底面的半圆长为 1 2 1 2 的长为 2 (2)当 2 时,建立如图所示的空间直角坐标系: 则有0, 1,0A、0,1,0B、1,0, 2 P 、 1 1,0,C, 所以0,2,0AB 、1,1, 2 AP 、 1 1,0,OC . 设平面ABP的法向量为, ,nx y z, 则 0 0 n AB n AP ,代入可得 20 0 2 y xyz , 令2z ,得,0,2n, 所以点 1 C到平面PAB的距离为 1 2 4 OC n d n . 【点睛】本题考查了圆柱的展开图及距离的求法

32、,利用空间向量求点到平面距离,属于中档题. 18. 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都 猜对，则“星队”得 3 分；如果只有一个人猜对，则“星队”得 1 分；如果两人都没猜对，则“星队”得 0 分已 知甲每轮猜对的概率是 3 4 ，乙每轮猜对的概率是 2 3 ；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响各轮结果亦互 不影响假设“星队”参加两轮活动，求： ()“星队”至少猜对3个成语的概率； ()“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX 【答案】() 2 3 ()分布列见解析， 23 6 EX 【解析】 试题分析： ()找出“星队”至少猜对

33、3 个成语所包含的基本事件， 由独立事件的概率公式和互斥事件的概率加 法公式求解； ()由题意， 随机变量X的可能取值为 0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性， 得到X的分布列， 根据期望公式求解. 试题解析： ()记事件 A:“甲第一轮猜对”，记事件 B：“乙第一轮猜对”， 记事件 C：“甲第二轮猜对”，记事件 D：“乙第二轮猜对”， 记事件 E：“星队至少猜对 3 个成语”. 由题意，.EABCDABCDABCDABCDABCD 由事件的独立性与互斥性， P EP ABCDP ABCDP ABCDP ABCDP ABCD P A P B P C P DP A P B P C P

34、DP A P B P C P D P A P B P C P DP A P B P C P D 323212323132 =2 434343434343 2 . 3 , 所以“星队”至少猜对 3 个成语的概率为 2 3 . ()由题意，随机变量X的可能取值为 0,1,2,3,4,6. 由事件的独立性与互斥性，得 11111 0 4343144 P X , 31111211105 12 4343434314472 P X , 313131121231121225 2 4343434343434343144 P X , 321111321 3 4343434312 P X , 3231321260

35、5 42= 4343434314412 P X , 32321 6 43434 P X . 可得随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 6 P 1 144 5 72 25 144 1 12 5 12 1 4 所以数学期望 152515123 012346 14472144121246 EX . 【考点】独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式，分布列和数学期望 【名师点睛】本题主要考查独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式、随机变量的分布列和数学期 望.解答本题，首先要准确确定所研究对象的基本事件空间、基本事件个数，利用独立事件的概率公式和互 斥事件的概率加法公式求解.本题较难，能

36、很好的考查考生的数学应用意识、基本运算求解能力等. 19. 为了缓解城市交通压力，某市市政府在市区一主要交通干道修建高架桥，两端的桥墩现已建好，已知这 两桥墩相距 m 米，“余下的工程”只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩经测算，一个桥墩的工程费用为 256 万元；距离为 x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2 x)x 万元假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视 为点，且不考虑其他因素记“余下工程”的费用为 y 万元 (1)试写出工程费用 y关于 x 的函数关系式； (2)当 m640米时，需新建多少个桥墩才能使工程费用 y 最小？并求出其最小值 【答案】 (1) 256 ( )2256(0) m f x

37、m xmxm x ； (2)需新建 9个桥墩才能使工程费用 y取得最小 值，且最少费用为 8 704万元 【解析】 试题分析：(1)设出相邻桥墩间距x米，需建桥墩(1) m x 个，根据题意余下工程的费用y为桥墩的总费用 加上相邻两墩之间的桥面工程总费用即可得到y的解析式； (2)把640m米代入到y的解析式中并求出y 令其等于 0，然后讨论函数的增减性判断函数的最小值时m的值代入(1) m x 中求出桥墩个数即可. 试题解析：(1)相邻桥墩间距x米，需建桥墩(1) m x 个，则 256(1)(2)2562256 mmm yx xm xm xxx ，(0 xm) (2)当640m米时， 25

38、6 6401024yf xx x （）， 3 9 2 22 2562 64012640 2 x fxx xx ， 6 20f（ ）且 6 2x 时， 0fx ， f x单调递增， 6 02x时， 0fx ， f x单调递减， 6 28704f xf xf 最小极小 （ ）（ ）（ ），需新建桥墩 6 640 19 2 个. 20. 已知直线与抛物线交于两点. (1)求证：若直线l过抛物线的焦点，则 2 12 yyp ； (2)写出(1)的逆命题，判断真假，并证明你的判断. 【答案】(1)证明见解析；(2)逆命题：若 2 12 y yp ，则直线过抛物线的焦点；真命题.见解析 【解析】 【分析】

39、 (1)不妨设抛物线方程为 2 2ypx ，则焦点坐标为 ,0 2 p ， 当直线的斜率不存在时，直线方程为 2 p x 代入 2 2ypx，验证.当直线的斜率存在时，设直线方程为 () 2 p yk x 代入 2 2ypx，得 22 20kypykp，再由韦达定理验证. (2)逆命题：直线l过抛物线的焦点. 是真命题.证明：当直线的斜率不存在时，设直线方程为 ,0 xmm 代入 2 2ypx，解得 1 2, 22,ypm ypm ，再由 2 12 yyp ，求解.当直线 的斜率存在时，设直线方程为y kxb 代入 2 2ypx，得 2 220kypypb ，由韦达定理得 12 2pb yy

40、k 再由 2 12 yyp ，求得k 与b 的关系现求解. 【详解】(1)设抛物线方程为 2 2ypx ，则焦点坐标为 ,0 2 p ， 两个交点 1122 ,A x yB x y ， 当直线的斜率不存在时，直线方程为 2 p x ， 代入 2 2ypx，得 1 , 2yp yp ， 所以 2 12 yyp . 当直线的斜率存在时，设直线方程为() 2 p yk x， 代入 2 2ypx， 得 22 20kypykp ， 由韦达定理得 2 12 yyp . 所以若直线l过抛物线的焦点时，则 2 12 yyp . (2)逆命题：若 2 12 yyp ，则直线l过抛物线的焦点. 是真命题 证明：当

41、直线的斜率不存在时，设直线方程为,0 xmm 代入 2 2ypx得 1 2, 22,ypm ypm 因为 2 12 yyp ， 所以 22 ( 2)pmp ， 解得 2 p m ， 所以直线过抛物线的焦点. 当直线的斜率存在时，设直线方程为y kxb ， 代入 2 2ypx， 得 2 220kypypb ， 由韦达定理得 12 2pb yy k ， 又因为 2 12 yyp ， 所以 2 pk b ， 所以直线的方程 2 p ykxbkx ， 所以直线过定点,0 2 p 即直线过抛物线的焦点. 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 21. 在股票市

42、场上，投资者常参考股价(每一股的价格)的某条平滑均线的变化情况来决定买入或卖出股票. 股民老张在研究股票的走势图时，发现一只股票的均线近期走得很有特点：如果按如图所示的方式建立平 面直角坐标系xOy，则股价y(元)和时间x的关系在ABC段可近似地用解析式 sin0yaxb来描述，从C点走到今天的D点，是震荡筑底阶段，而今天出现了明显 的筑底结束的标志，且D点和C点正好关于直线l：34x对称.老张预计这只股票未来的走势如图中虚线 所示，这里DE段与ABC段关于直线l对称，EF段是股份延续DE段的趋势(规律)走到这波上升行情的最 高点F.现在老张决定取点0,22A，点12,19B，点44,16D来

43、确定解析式中的常数a，b， 并且求得 72 . (1)请你帮老张算出a，b，中，并回答股价什么时候见顶(即求F点的横坐标) (2)老张如能在今天以D点处价格买入该股票 3000股，到见顶处F点的价格全部卖出，不计其它费用， 这次操作他能赚多少元？ 【答案】(1)6a，19b ， 5 6 ，当92x 时，股价见顶；(2)27000(元). 【解析】 【分析】 (1) 根 据CD关 于 直 线l对 称 ， . 得 到C点 坐 标 为24,16， 然 后 将ABC的 坐 标 代 入 sin0yaxb求得ABC段的解析式，然后再利用为称性得到DEF段的解析式. (2)利用(1)的解析式先求得 F y，

44、再由300016 F y求解. 【详解】(1)CD关于直线l对称，. C点坐标为2 3444,16，即24,16把ABC的坐标代入解析式， 得 22sin 19sin 6 16sin 3 ab ab ab ， -得，sinsin3 6 a ， -得，sinsin6 3 a ， 2sin2sinsinsin 63 ， 33 cos3sincossin 22 ， 333 1cos3 sin31 sin 222 ， 3 tan 3 ， 0， 5 66 ，代入，得19b . 再由得，6a， 6a，19b ， 5 6 ， 于是，ABC段的解析式为 5 6sin19 726 yx ， 由对称性得DEF段的

45、解析式为 5 6sin(68)19 726 yx ， 5 68 7262 F x ，解得92 F x . 因此可知，所以当92x 时，股价见顶. (2)由(1)可知， 5 6sin(6892)196sin1925 7262 F y ，故这次操作老张能赚 300025 1627000(元). 【点睛】本题主要考查函数解析式的求法和应用，还考查了数形结合的思想和运算求解能力，属于中档题. 五五 选考题选考题 22. 在平面直角坐标系xOy， (2,0)P 以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2，点( , )(0)Q 剟为C上的动点，M为PQ的中点 (1)请求出

46、M点轨迹 1 C的直角坐标方程； (2)设点A的极坐标为(1, )A若直线l经过点A且与曲线 1 C交于点,E F，弦EF的中点为D，求 | | | AD AEAF 的取值范围 【答案】(1) 22 (1)1(0)xyy；(2) 3 2 , 33 . 【解析】 【分析】 (1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程为 22 4xy， 可得点 00 ,Q x y满足 22 4(0)xyy 利 用相关点法即可得出M点轨迹 1 C的直角坐标方程； (2)根据已知条件求出直线l的参数方程，把直线l的参数方程代入 1 C，利用根与系数关系求出 121 2 ,tt t t， 由直线l的参数方程中t的几何意义可将 | | | AD AEAF 用 12 ,t t表示，再将 121 2 ,tt t t代入即可求出 | | | AD AEAF 的取值范围 【详解】(1)因为C的直角坐标方程为 22 4xy， 所以点 00 ,Q x y满足 22 4(0)xyy 设( , )M x y，因为M为PQ的中点，(2,0)P 所以 0 2 2 x x ， 0 2 y y ，所以 0 22xx， 0 2yy