2021年浙江省宁波市北仑区中考数学一模试卷（含答案详解）

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1、 第 1 页（共 25 页） 2021 年浙江省宁波市北仑区中考数学一模试卷年浙江省宁波市北仑区中考数学一模试卷 一、选择题（本题共有一、选择题（本题共有 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选， 均不给分均不给分.） 1 （4 分）比 0 大的数是( ) A1 B 1 2 C0 D1 2 （4 分）台湾岛是我国最大的岛屿，总面积为 35882.6258 平方公里用科学记数法应表示为（保留三个 有效数字）( ) A 4 3.58 10平方公里 B 4 3.59 10平方公里 C 6

2、 3.58 10平方公里 D 6 3.59 10平方公里 3 （4 分）如图是由八个相同小正方体组合而成的几何体，则其左视图是( ) A B C D 4 （4 分）点(3, 5)P关于y轴对称的点的坐标为( ) A(3,5) B( 3,5) C( 3, 5) D( 5,3) 5 （4 分）小茜课间活动中，上午大课间活动时可以先从跳绳、乒乓球、健美操中随机选择一项运动，下午 课外活动再从篮球、武术、太极拳中随机选择一项运动则小茜上、下午都选中球类运动的概率是( ) A 1 9 B 1 3 C 2 3 D 2 9 6 （4 分）双十一来临前，某商场将一件衬衫的价格以一个给定的百分比提升，双十一那天

3、商场又按照新的 价格以相同的百分比降低了这件衬衫的价格，最终，衬衫的价格为原价的84%，则这个给定的百分比为( ) A16% B36% C40% D50% 7 （4 分） 如图， 在矩形ABCD中，2 2AB ，2AD ， 点E是AD的中点， 连接CE， 将DCE沿直线CE 折叠，使点D落在点F处，则线段AF的长度是( ) 第 2 页（共 25 页） A 2 3 B 2 2 C1 D 2 3 8 （4 分） 已知一个二次函数图象经过 11 ( 3,)Py， 22 ( 1,)Py， 33 (1,)Py， 44 (3,)Py四点， 若 324 yyy， 则 1 y， 2 y， 3 y， 4 y的最

4、值情况是( ) A 3 y最小， 1 y最大 B 3 y最小， 4 y最大 C 1 y最小， 4 y最大 D无法确定 9 （4 分）如图，点A在半径为 6 的O内，2 3OA，P为O上一动点，当OPA取最大值时，PA的 长等于( ) A3 B2 6 C 3 2 D2 3 10 （4 分）如图 1，矩形的一条边长为x，周长的一半为y定义( , )x y为这个矩形的坐标如图 2，在平 面直角坐标系中，直线1x ，3y 将第一象限划分成 4 个区域已知矩形 1 的坐标的对应点A落在如 图所示的双曲线上，矩形 2 的坐标的对应点落在区域中则下面叙述中正确的是( ) A点A的横坐标有可能大于 3 B矩形

5、 1 是正方形时，点A位于区域 第 3 页（共 25 页） C当点A沿双曲线向上移动时，矩形 1 的面积减小 D当点A位于区域时，矩形 1 可能和矩形 2 全等 二、填空题： （本题有二、填空题： （本题有 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分）分） 11 （5 分）若分式 1 1x 的值等于 1，则x 12 （5 分）把多项式36mxmy分解因式的结果是 13 （5 分）已知a、b为两个连续的整数，且19ab，则ab 14 （5 分） 如图， 曲线AMNB和MON是两个半圆，/ /MNAB， 大半圆半径为 2， 则阴影部分的面积是 15 （5 分）如图，(1,0)A，(3

6、,0)B，M (4,3)，动点P从点A出发，以每秒 1 个单位长的速度向右移动， 且经过点P的直线: l yxb 也随之移动，设移动时间为t秒，若l与线段BM有公共点，则t的取值范围 为 16 （5 分） 在平面直角坐标系中， 点O为坐标原点，A、B、C三点的坐标为( 3，0)、(3 3，0)、(0,5)， 点D在第一象限，且60ADB，则线段CD的长的最小值为 三、解答题： （本题共三、解答题： （本题共 8 小题，共小题，共 80 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （7 分）先化简，再求值： 2 2 2 (1) 169 xx xx

7、x ，其中x是从 1，2，3 中选取的一个合适的数 18 （9 分）如图，方格纸中每个小方格都是边长为 1 的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格 点多边形” 如图（一)中四边形ABCD就是一个“格点四边形” （1）求图中四边形ABCD的面积等于 ； （2）在图（二)中，作出ABC绕点B顺时针旋转90后的A BC； （3）在图（三)中，画一个格点BDE，使BDE的面积等于四边形ABCD的面积且为轴对称图形 （只需 要作出 1 个即可） 第 4 页（共 25 页） 19 （10 分）为了掌握八年级数学考试卷的命题质量与难度系数，命题组教师赴外地选取一个水平相当的八 年级班级进行预测，将考

8、试成绩分布情况进行处理分析，制成如图表（成绩得分均为整数）: 组别 成绩分组 频数 A 47.5 59.5 2 B 59.5 71.5 4 C 71.5 83.5 a D 83.5 95.5 10 E 95.5 107.5 b F 107.5 120 6 根据图表中提供的信息解答下列问题： （1）频数分布表中的a ，b ；扇形统计图中的m ，n ； （2）已知全区八年级共有 200 个班（平均每班 40 人） ，用这份试卷检测，108 分及以上为优秀，预计优秀 的人数约为 人，72 分及以上为及格，预计及格的人数约为 人； （3）补充完整频数分布直方图 20 （8 分）某校计划购进A，B两种树

9、木共 100 棵进行校园绿化，经市场调查：购买A种树木 2 棵，B种 第 5 页（共 25 页） 树木 5 棵，共需 600 元；购买A种树木 3 棵，B种树木 1 棵，共需 380 元 （1）求A，B两种树木每棵各多少元？ （2）因布局需要，购买A种树木的数量不少于B种树木数量的 3 倍实际付款总金额按市场价九折优惠， 请设计一种购买树木的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用 21 （8 分）如图，Rt ABC中，90ABC，以AB为直径作半圆O交AC与点D，点E为BC的中点， 连接DE （1）求证：DE是半圆O的切线 （2）若30BAC，2DE ，求AD的长 22 （10 分）为加强

10、对市内道路交通安全的监督，王警官利用无人机进行检测某高架路有一段限速每小时 60 千米的道路AB（如图所示） ， 当无人机在限速道路的正上方C处时， 测得限速道路的起点A的俯角是37， 无人机继续向右水平飞行 220 米到达D处，此时又测得起点A的俯角是30，同时测得限速道路终点B的 俯角是45（注：即四边形ABDC是梯形） （1）求限速道路AB的长（精确到 1 米） ； （2）如果李师傅在道路AB上行驶的时间是 1 分 20 秒，请判断他是否超速？并说明理由 （参考数据：sin370.60 ，cos370.80 ，tan370.75 ，31.73) 23 （14 分）定义：由两条与x轴有着相

11、同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月 牙线” 如图，抛物线 1 C与抛物线 2 C组成一个开口向上的“月牙线” ，抛物线 1 C与抛物线 2 C与x轴有相同 的交点M，N（点M在点N的左侧） ，与y轴的交点分别为A，B且点A的坐标为(0, 3)，抛物线 2 C的解 析式为 2 412ymxmxm，(0)m （1）请你根据“月牙线”的定义，设计一个开口向下的“月牙线” ，直接写出两条抛物线的解析式； 第 6 页（共 25 页） （2）求M，N两点的坐标； （3）在第三象限内的抛物线 1 C上是否存在一点P，使得PAM的面积最大？若存在，求出PAM的面积 的最大值；若不存在，

12、说明理由 24 （14 分）如图 1，已知ABC中，90ACB，ACBC，点D、E在边AB上，45DCE，过点 A作AB的垂线交CE的延长线于点M，连接MD （1）求证： 2 CEBE DE； （2）当3AC ，2ADBD时，求DE的长； （3）如图 2，过点M作射线CD的垂线，垂足为点F，设 BD x BC ，tanFMDy，求y关于x的函数关 系式，并写出自变量x的取值范围 2021 年浙江省宁波市北仑区中考数学一模试卷年浙江省宁波市北仑区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题共有一、选择题（本题共有 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40

13、 分分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选， 均不给分均不给分.） 1 （4 分）比 0 大的数是( ) A1 B 1 2 C0 D1 【解答】解：4 个选项中只有D选项大于 0 第 7 页（共 25 页） 故选：D 2 （4 分）台湾岛是我国最大的岛屿，总面积为 35882.6258 平方公里用科学记数法应表示为（保留三个 有效数字）( ) A 4 3.58 10平方公里 B 4 3.59 10平方公里 C 6 3.58 10平方公里 D 6 3.59 10平方公里 【解答】解： 44 35882.62583.58826258 103.

14、59 10（平方公里） 故选：B 3 （4 分）如图是由八个相同小正方体组合而成的几何体，则其左视图是( ) A B C D 【解答】解：从左面可看到从左往右三列小正方形的个数为：2，3，1 故选：B 4 （4 分）点(3, 5)P关于y轴对称的点的坐标为( ) A(3,5) B( 3,5) C( 3, 5) D( 5,3) 【解答】解：点(3, 5)P关于y轴对称的点的坐标为( 3, 5) ， 故选：C 5 （4 分）小茜课间活动中，上午大课间活动时可以先从跳绳、乒乓球、健美操中随机选择一项运动，下午 课外活动再从篮球、武术、太极拳中随机选择一项运动则小茜上、下午都选中球类运动的概率是( )

15、 A 1 9 B 1 3 C 2 3 D 2 9 【解答】解：画树状图为： 共有 9 种等可能的结果数，其中小茜上、下午都选中球类运动的结果数为 1， 第 8 页（共 25 页） 所以小茜上、下午都选中球类运动的概率 1 9 故选：A 6 （4 分）双十一来临前，某商场将一件衬衫的价格以一个给定的百分比提升，双十一那天商场又按照新的 价格以相同的百分比降低了这件衬衫的价格，最终，衬衫的价格为原价的84%，则这个给定的百分比为( ) A16% B36% C40% D50% 【解答】解：这个给定的百分比为x，由题意得， (1)(1)84%xx， 0.4x（负值舍去） ， 即这个给定的百分比为40%

16、 故选：C 7 （4 分） 如图， 在矩形ABCD中，2 2AB ，2AD ， 点E是AD的中点， 连接CE， 将DCE沿直线CE 折叠，使点D落在点F处，则线段AF的长度是( ) A 2 3 B 2 2 C1 D 2 3 【解答】解：作EHAF于点H，如图： 在矩形ABCD中，2 2AB ，2AD ，点E是AD的中点 1EDEA， 22 3ECEDDC，90D DCE沿直线CE折叠为FCE 1EFEA，2 2CFCDABDECCEF ，90DEFC EAF是等腰三角形，90FECECF 第 9 页（共 25 页） 180DEFFEA 90CEFFEA HEFECF EFHCEF EFEC H

17、FEF 即： 13 1HF 1 3 HF 2 2 3 AFHF 故选：A 8 （4 分） 已知一个二次函数图象经过 11 ( 3,)Py， 22 ( 1,)Py， 33 (1,)Py， 44 (3,)Py四点， 若 324 yyy， 则 1 y， 2 y， 3 y， 4 y的最值情况是( ) A 3 y最小， 1 y最大 B 3 y最小， 4 y最大 C 1 y最小， 4 y最大 D无法确定 【解答】解：二次函数图象经过 11 ( 3,)Py， 22 ( 1,)Py， 33 (1,)Py， 44 (3,)Py四点，且 324 yyy， 抛物线开口向上，对称轴在 0 和 1 之间， 11 ( 3

18、,)Py离对称轴的距离最大， 33 (1,)Py离对称轴距离最小， 3 y最小， 1 y最大， 故选：A 9 （4 分）如图，点A在半径为 6 的O内，2 3OA，P为O上一动点，当OPA取最大值时，PA的 长等于( ) A3 B2 6 C 3 2 D2 3 【解答】解：在OPA中，当OPA取最大值时，OAPA， 第 10 页（共 25 页） PA取最小值， OA、OP是定值， PAOA时，PA取最小值， 在Rt OPA中，2 3OA，6OP ， 22 36 122 6APOPOA 故选：B 10 （4 分）如图 1，矩形的一条边长为x，周长的一半为y定义( , )x y为这个矩形的坐标如图

19、2，在平 面直角坐标系中，直线1x ，3y 将第一象限划分成 4 个区域已知矩形 1 的坐标的对应点A落在如 图所示的双曲线上，矩形 2 的坐标的对应点落在区域中则下面叙述中正确的是( ) A点A的横坐标有可能大于 3 B矩形 1 是正方形时，点A位于区域 C当点A沿双曲线向上移动时，矩形 1 的面积减小 D当点A位于区域时，矩形 1 可能和矩形 2 全等 【解答】解：设点( , )A x y， A、设反比例函数解析式为：(0) k yk x ， 由图形可知：当1x 时，3y ， 3kxy， yx， 3x，即点A的横坐标不可能大于 3， 故选项A不正确； B、当矩形 1 为正方形时，边长为x，

20、2yx， 则点A是直线2yx与双曲线的交点，如图 2，交点A在区域， 故选项B不正确； 第 11 页（共 25 页） C、当一边为x，则另一边为yx， 22 ()Sx yxxyxkx， 当点A沿双曲线向上移动时，x的值会越来越小， 矩形 1 的面积会越来越大， 故选项C不正确； D、当点A位于区域时， 点( , )A x y， 1x，3y ，即另一边为：2yx， 矩形 2 落在区域中，1x ，3y ，即另一边0yx， 当点A位于区域时，矩形 1 可能和矩形 2 全等； 故选项正确； 故选：D 二、填空题： （本题有二、填空题： （本题有 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分

21、）分） 11 （5 分）若分式 1 1x 的值等于 1，则x 0 【解答】解：由分式 1 1x 的值等于 1，得 1 1 1x ， 解得0 x ， 经检验0 x 是分式方程的解 故答案为：0 12 （5 分）把多项式36mxmy分解因式的结果是 3 (2 )m xy 【解答】解：363 (2 )mxmym xy 故答案为：3 (2 )m xy 第 12 页（共 25 页） 13 （5 分）已知a、b为两个连续的整数，且19ab，则ab 9 【解答】解：161925， 4195， 19ab， 4a，5b ， 9ab， 故答案为：9 14 （5 分）如图，曲线AMNB和MON是两个半圆，/ /MN

22、AB，大半圆半径为 2，则阴影部分的面积是 22 【解答】解：连接OM、ON， MN是小半圆的直径， 90MON， 2OMONOA， 22 222 2MN， 2 () 2 MN S 小半圆 ， 大圆中扇形OMN的面积 2 902 360 S ， 11 222 22 MON SOM ON ， 22 MONOMN SSSS 阴影小半圆扇形 ， 故答案为22 15 （5 分）如图，(1,0)A，(3,0)B，M (4,3)，动点P从点A出发，以每秒 1 个单位长的速度向右移动， 第 13 页（共 25 页） 且经过点P的直线: l yxb 也随之移动，设移动时间为t秒，若l与线段BM有公共点，则t的

23、取值范围 为 26t剟 【解答】解：当直线yxb 过点(3,0)B时， 03b ， 解得：3b ， 0(1)3t ， 解得2t 当直线yxb 过点(4,3)M时， 34b ， 解得：7b ， 0(1)7t ， 解得6t 故若l与线段BM有公共点，t的取值范围是：26t剟， 故答案为26t剟 16 （5 分） 在平面直角坐标系中， 点O为坐标原点，A、B、C三点的坐标为( 3，0)、(3 3，0)、(0,5)， 点D在第一象限，且60ADB，则线段CD的长的最小值为 2 72 【解答】解：作圆，使60ADB，设圆心为P，连接PA、PB、PC，PEAB于E，如图所示： ( 3A，0)、(3 3B，

24、0)， (2 3E，0) 又60ADB， 120APB， 1PE，22PAPE， (2 3P，1)， 第 14 页（共 25 页） (0,5)C， 22 (2 3)(5 1)2 7PC， 又2PDPA， 只有点D在线段PC上时，CD最短（点D在别的位置时构成)CDP CD最小值为：2 72 故答案为：2 72 三、解答题： （本题共三、解答题： （本题共 8 小题，共小题，共 80 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （7 分）先化简，再求值： 2 2 2 (1) 169 xx xxx ，其中x是从 1，2，3 中选取的一个合适的数 【

25、解答】解：原式 2 3(1) 1 (3) xx x xx 3 x x 当2x 时，原式 2 2 23 18 （9 分）如图，方格纸中每个小方格都是边长为 1 的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格 点多边形” 如图（一)中四边形ABCD就是一个“格点四边形” （1）求图中四边形ABCD的面积等于 15 2 ； （2）在图（二)中，作出ABC绕点B顺时针旋转90后的A BC； （3）在图（三)中，画一个格点BDE，使BDE的面积等于四边形ABCD的面积且为轴对称图形 （只需 要作出 1 个即可） 第 15 页（共 25 页） 【解答】解： （1）四边形ABCD的面积 1115 525 1

26、 222 ； 故答案为 15 2 ； （2）如图（二)，A BC为所作； （3）如图（三)，BDE为所作 19 （10 分）为了掌握八年级数学考试卷的命题质量与难度系数，命题组教师赴外地选取一个水平相当的八 年级班级进行预测，将考试成绩分布情况进行处理分析，制成如图表（成绩得分均为整数）: 组别 成绩分组 频数 A 47.5 59.5 2 第 16 页（共 25 页） B 59.5 71.5 4 C 71.5 83.5 a D 83.5 95.5 10 E 95.5 107.5 b F 107.5 120 6 根据图表中提供的信息解答下列问题： （1）频数分布表中的a 8 ，b ；扇形统计图中

27、的m ，n ； （2）已知全区八年级共有 200 个班（平均每班 40 人） ，用这份试卷检测，108 分及以上为优秀，预计优秀 的人数约为 人，72 分及以上为及格，预计及格的人数约为 人； （3）补充完整频数分布直方图 【解答】解： （1）被调查的总人数为25%40（人)， 4020%8a，40(248 106)10b ， 4 %100%10% 40 m， 10 %100%25% 40 n，即10m 、25n ； 故答案为：8、10、10、25； （2）预计优秀的人数约为20040 15%1200（人)， 预计及格的人数约为200 40 (1 5% 10%)6800（人)， 故答案为：12

28、00、6800； （3）补全频数分布直方图如下： 20 （8 分）某校计划购进A，B两种树木共 100 棵进行校园绿化，经市场调查：购买A种树木 2 棵，B种 树木 5 棵，共需 600 元；购买A种树木 3 棵，B种树木 1 棵，共需 380 元 （1）求A，B两种树木每棵各多少元？ 第 17 页（共 25 页） （2）因布局需要，购买A种树木的数量不少于B种树木数量的 3 倍实际付款总金额按市场价九折优惠， 请设计一种购买树木的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用 【解答】解： （1）设A种树每棵x元，B种树每棵y元， 依题意得： 25600 3380 xy xy ， 解得 100

29、80 x y 答：A种树每棵 100 元，B种树每棵 80 元； （2）设购买A种树木为a棵，则购买B种树木为(100)a棵， 则3(100)aa， 解得75a 设实际付款总金额是y元，则 0.910080(100)yaa，即187200ya 180，y随a的增大而增大， 当75a 时，y最小 即当75a 时，18 7572008550y 最小值 （元) 答：当购买A种树木 75 棵，B种树木 25 棵时，所需费用最少，最少为 8550 元 21 （8 分）如图，Rt ABC中，90ABC，以AB为直径作半圆O交AC与点D，点E为BC的中点， 连接DE （1）求证：DE是半圆O的切线 （2）若

30、30BAC，2DE ，求AD的长 【解答】 （1）证明：连接OD，OE，BD， AB为圆O的直径， 90ADBBDC ， 在Rt BDC中，E为斜边BC的中点， 第 18 页（共 25 页） DEBE， 在OBE和ODE中， OBOD OEOE BEDE ， ()OBEODE SSS ， 90ODEABC ， 则DE为圆O的切线； （2）在Rt ABC中，30BAC， 1 2 BCAC， 24BCDE， 8AC， 又60C，DECE， DEC为等边三角形，即2DCDE， 则6ADACDC 22 （10 分）为加强对市内道路交通安全的监督，王警官利用无人机进行检测某高架路有一段限速每小时 60

31、千米的道路AB（如图所示） ， 当无人机在限速道路的正上方C处时， 测得限速道路的起点A的俯角是37， 无人机继续向右水平飞行 220 米到达D处，此时又测得起点A的俯角是30，同时测得限速道路终点B的 俯角是45（注：即四边形ABDC是梯形） （1）求限速道路AB的长（精确到 1 米） ； （2）如果李师傅在道路AB上行驶的时间是 1 分 20 秒，请判断他是否超速？并说明理由 （参考数据：sin370.60 ，cos370.80 ，tan370.75 ，31.73) 第 19 页（共 25 页） 【解答】解： （1）根据题意，得37CAB，220CD 米，30DAB，45DBA， 如图，过

32、点C和点D作CE和DF垂直于AB于点E和F， / /CDAB， 四边形CDFE是矩形， CEDF，CDEF， 45DBA， DFBF， 设DFBFCEx米， 在Rt ADF中，30DAF，DFx米， 33AFDFx（米)， ( 3220)AEAFEFx米， 在Rt AEC中，37CAE， tan37CEAE， ( 3220)0.75xx ， 解得60(3 34)(180 3240)x 米， 3220(320240 3)AEx米， (180 3240)FBx（米)， ABAEEFFB 320240 3220180 3240 780420 3 第 20 页（共 25 页） 1507（米)， 答：限

33、速道路AB的长约为 1507 米； （2）1分 20 秒 1 45 小时， 该汽车的速度约为： 1 150767.8/60/ 45 km hkm h， 该车超速 23 （14 分）定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月 牙线” 如图，抛物线 1 C与抛物线 2 C组成一个开口向上的“月牙线” ，抛物线 1 C与抛物线 2 C与x轴有相同 的交点M，N（点M在点N的左侧） ，与y轴的交点分别为A，B且点A的坐标为(0, 3)，抛物线 2 C的解 析式为 2 412ymxmxm，(0)m （1）请你根据“月牙线”的定义，设计一个开口向下的“月牙线” ，直

34、接写出两条抛物线的解析式； （2）求M，N两点的坐标； （3）在第三象限内的抛物线 1 C上是否存在一点P，使得PAM的面积最大？若存在，求出PAM的面积 的最大值；若不存在，说明理由 【解答】解： （1）如图 1，抛物线 2 23yxx与抛物线 2 12 1 33 yxx 所围成的封闭曲线即为开口向 下的“月牙线” ； （2）在抛物线 2 C的解析式 2 412ymxmxm中， 当0y 时， 2 4120mxmxm， 0m ， 2 4120 xx， 解得， 1 6x ， 2 2x ， 第 21 页（共 25 页） 点M在点N的左边， ( 6,0)M，(2,0)N； （3）存在，理由如下： 如

35、图 2，连接AM，PO，PM，PA， 抛物线 1 C和抛物线 2 C与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同， 可设抛物线 1 C的解析式 2 412 (0)ynxnxn n， 抛物线 1 C与y轴的交点为(0, 3)A， 123n ， 1 4 n， 抛物线 1 C的解析式为 2 1 3 4 yxx， 可设点P的坐标为 2 1 ( ,3) 4 ttt ， PAMPMOPAOAOM SSSS 2 1111 6(3)3 ()63 2422 ttt 2 39 42 tt ， 2 327 (3) 44 t ， 3 0 4 ，60t ， 根据二次函数的图象和性质知，当3t 时，即点P的坐标为 15 ( 3

36、,) 4 时，PAM的面积有最大值，最大 值为 27 4 第 22 页（共 25 页） 24 （14 分）如图 1，已知ABC中，90ACB，ACBC，点D、E在边AB上，45DCE，过点 A作AB的垂线交CE的延长线于点M，连接MD （1）求证： 2 CEBE DE； （2）当3AC ，2ADBD时，求DE的长； （3）如图 2，过点M作射线CD的垂线，垂足为点F，设 BD x BC ，tanFMDy，求y关于x的函数关 系式，并写出自变量x的取值范围 【解答】 （1）证明：如图 1，90ACB，ACBC， 45BCAB ， 45DCE， BDCE ， CEDCEB ， 第 23 页（共 2

37、5 页） CDEBCE， CEDE BECE ， 2 CEBE DE （2）解：如图 2，过D作DNAC于N， 90AND， 45DAN， ADN是等腰直角三角形， / /DNBC，2ADBD， 2 3 ADAN ABAC ， 3AC ， 3 2AB，2ANDN，1CN ， 2ADBD， 2BD， 由勾股定理得： 2222 215DCDNCN， 由（1）知：CDEBCE， 5 3 DECEDC CEBEBC ， 设5DEx，3CEx， 35 325 x x ， 第 24 页（共 25 页） 10 4 x， 5 2 5 4 DEx （3）解：如图 3，过点C作CPCM，交AB的延长线于点P， 4

38、5DCE，90ACB 45ACMBCDBCDBCP ， BCPACM ， 18045135CBPCAM ，ACBC， ()AMCBPC ASA ， CMCP， 45DCMDCP ，CDCD， ()MCDPCD SAS ， MDCPDCBDC ， 45ABCMCD ， BCDCMD， BDBC CDCM ，即 BDCD BCCM ， FMFC，45DCE， CFM是等腰直角三角形， 2CMFM， 第 25 页（共 25 页） tanyFMD 22()22 1212 DFDFCFCDCFCDBD x MFCMCMCMBC Rt ABC中，ACBC， 2ABBC， D，E是AB上一点，45DCE， 当点E与A重合时，BD最大为 1 2 AB， BD x BC ， 2 0 2 x ， 2 12 (0) 2 yxx