2021届高考数学考前30天冲刺模拟试卷（19）含答案

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1、考前考前 30 天冲刺高考模拟考试卷（天冲刺高考模拟考试卷（19） 一、一、选择题：本题共选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。求的。 1已知集合 | 22Axx ， | 11Bxx ，则( ) AA BA B R BA C R AB D R ABR 2若存在复数z同时满足| | 1zi ，| 33 |zit ，则实数t的取值范围是( ) A0，4 B(4,6) C4，6 D(6, ) 3已知等比数列 n a 的公比 2q ，前 6 项和 6 21S ，则

2、 6 (a ) A32 B16 C16 D32 4古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形式”在中华传统文 化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美如清代诗人黄柏权的茶壶回文诗 （如图）以连环诗的形式展现，20 个字绕着茶壶成一圆环，不论顺着读还是逆着读，皆成佳作数学与生 活也有许多奇妙的联系，如 2020 年 02 月 02 日(20200202)被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数字左 右完全对称的日期）数学上把 20200202 这样的对称数叫回文数，两位数的回文数共有 9 个(11，22， 99)，则共有多少个这样的三位回文数( )

3、 A64 B72 C80 D90 5 已知 1 F， 2 F是双曲线 2 2 1: 1 2 x Cy与椭圆 2 C的公共焦点，A是 1 C， 2 C在第一象限的公共点， 若 12 AFAF ， 则椭圆 2 C的离心率为( ) A 3 2 B 1 2 C 3 3 D 1 3 6已知奇函数 ( )yg x 的图象由函数 ( )sin(21)f xx 的图向左平移 (0)m m 个单位后得到，则m可以是( ) A 1 2 B1 C 1 2 D1 7用平面截棱长为 1 的正方体1111 ABCDABC D ，所得的截面的周长记为m，则当平面经过正方体的 某条体对角线时，m的最小值为( ) A 3 3

4、4 B 5 C3 3 D2 5 8已知函数 ( )f x的定义域为R，且满足了( )( )1( )fxf xfx 是 ( )f x的导函数），若(0)0f ，则不等 式( )1 x ef x的解集为( ) A( ,0) B(0, ) C(, 1) D( 1, ) 二、二、选择题：本题共选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。 全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的对分，部分选对的对 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。 9 对某中学的高中女生体重y（

5、单位： )kg与身高x（单位：)cm进行线性回归分析， 根据样本数据( i x，)(1 i yi ， 2， 3，12)， 计算得到相关系数 0.9962r ， 用最小二乘法近似得到回归直线方程为0.8585.71yx， 则以下结论中正确的是( ) Ax与y正相关 Bx与y具有较强的线性相关关系，得到的回归直线方程有价值 C若该中学某高中女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg D若该中学某高中女生身高为160cm，则可断定其体重为50.29kg 10下列四个选项中，化简正确的是( ) A 62 cos12 4 B 2 sin347 cos148sin77 cos58 2 C 241 co

6、scoscos 9998 D tan72tan12 3 1tan72 tan12 11已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1 F、 2 F，左、右顶点分别为 1 A、 2 A，P为椭圆C 上异于 1 A、 2 A的任一点，则下列结论正确的有( ) A椭圆C与椭圆 22 22 :1 11 xy C ab 有相同的焦点 B直线 1 PA， 2 PA的斜率之积为 2 2 b a C存在点P满足 2 12 | | 2PFPFa D若 12 PFF为等腰直角三角形，则椭圆C的离心率为 2 2 或21 12已知向量 (1,sin )a ，(cosb，2)(0)剟，则下

7、列命题正确的是( ) Aa与b可能平行 B存在，使得| |ab C当3a b时， 6 sin 3 D当 2 tan 2 时，a与b垂直 三、填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13设t为常数，若 10 () t x x 的展开式中所有项的系数和为 1024，则t 14某志愿者服务大队计划在今年“五一”小长假这 5 天中安排 3 天到社区进行劳动法宣讲，则这 3 天中 恰有 2 天连排的概率为 15如图为某月牙潭的示意图，该月牙潭是由两段在同一平面内的圆弧形堤岸连接围成，其中外堤岸为半 圆形，内堤岸圆弧所在圆的半径为 30 米，两堤岸的连

8、接点A，B间的距离为30 2米，则该月牙潭的面积 为 平方米 16在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 222 22cosbababcac，则 2 coscos1 22 BC 的取值范围为 四、四、解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17已知ABC内角A，B，C的对边为a，b，c， 4bc且满足_ sin cos() 6 aBbA ，sin3sinsin()CBAB， 233cos cos cbB aA ， 在这三个条件中任选一个，补充在上面的题干中，然后解答

9、问题 （1）求角A； （2）点P为ABC内一点，当 2 3 BPC 时，求BPC面积的最大值 18已知数列 n a 的前n项和为 n S，且 6，2 n S， n a成等差数列 （1）求 n a； （2）是否存在*mN，使得 12231 6 nnm a aa aa aa 对任意*nN成立？若存在，求m的所有取值； 否则，请说明理由 19如图，已知多面体PABCDE的底面ABCD是边长为 2 的菱形，PA底面ABCD， / /EDPA，且 22PAED （1）证明：平面PAC 平面PCE； （2）若直线PC与平面ABCD所成的角为45，求二面角PCED的余弦值 20张先生到一家公司参加面试，面试

10、的规则是：面试官最多向他提出五个问题，只要正确回答出三个问 题即终止提问，通过面试根据经验，张先生能够正确回答面试官提出的任何一个问题的概率为 2 3 ，假设 回答各个问题正确与否互不干扰 （1）求张先生通过面试的概率； （2）记本次面试张先生回答问题的个数为X，求X的分布列及数学期望 21已知抛物线 2 2(04)ypxp的焦点为F，点P在抛物线上，点P的纵坐标为 6，且| | 10PF （1）求抛物线的标准方程； （2）若A，B为抛物线上的两个动点（异于P点）且APAB，求点B纵坐标的取值范围 22已知函数( )(1) () x f xxeax aR （1）若2a ，证明： ( ) 0f

11、x ； （2）若关于x的不等式 1( )lnxf x 恒成立，求实数a的取值范围 考前考前 30 天冲刺高考模拟考试卷（天冲刺高考模拟考试卷（19）答案）答案 1 解：集合 | 22Axx ， | 11Bxx ， 则 | 11ABxxB ，故A错误； |2 RA x x 或 2x ， AB ，所以 R BA ，故B错误； |1 RB x x 或 1x ， | 21 R ABxx 或1 2x ，故C错误； | 22 |1 R ABxxx x 剟 或 1xR ，故D正确 故选：D 2解：设 ( , )zx y ， 因为 22 |(1)1zixy ， 所以Z对应点的轨迹是以 (0,1)A 为圆心，以

12、1r 为半径的圆， 22 |33 |(3)(3)tzixy 表示圆上点到圆外点 (3, 3)B 的距离， 因为 22 (03)(1 3)5AB ， 4ABr，6ABr， 所以46t剟 故选：C 3解：等比数列 n a 的公比 2q ，前 6 项和 6 21S ， 6 11 ( 2) 21 1( 2) a ，解得 1 1a ， 则 5 6 232a 故选：D 4解：3 位回文数的特点为，百位和个位数字相同但不能为零， 第一步，选百位和个位数字，共有 9 种选法； 第二步，选中间数字，有 10 种选法； 故 3 位回文数有9 1090个， 故选：D 5解：设椭圆方程为： 22 22 1 xy ab

13、 0ab，则3c ， 所以 1 |AFm， 2 |AFn ，由A在双曲线上，有 222 2 2 (2 3) mn mn ， 可得4mn，所以2a ， 所以椭圆的离心率为： 3 2 c e a 故选：A 6解：奇函数 ( )yg x 的图象由函数 ( )sin(21)f xx 的图向左平移 (0)m m 个单位后得到， 故 ( )sin(221)g xxm ，21mk ，kZ， 则 1 2 k m ，令1k ，可得 1 2 m ， 故选：A 7解：假设截面过体对角线 1 BD，（过其他体对角线结论一样） 如图所示， 因为一平面与两平行平面相交，交线平行， 1 / /D EBF ， 1 / /BE

14、D F，且 1 D EBF ， 1 BED F ， 故四边形 1 D EBF为平行四边形， 2()mBEBF ， 设CFx，则 1 1C Fx ， 22 2( 11 (1) )mxx， a，b为正数时， 2abab ，当且仅当a b时等号成立， 当 22 11 (1)xx即 1 2 x 时，m取最小值为：2 5， 故选：D 8解：因为 ( )( )1fxf x ， 所以 ( )( ) 10fxf x 令 ( )1 ( ) x f x g x e ， 则 2 ( ) ( )1( )( )1 ( )0 xx xx fx ef xefxf x g x ee ， 所以 ( )g x在R上单调递增， 又

15、 (0)0f ， 所以 (0)(0)1 1gf ， 又 ( )1 ( )11 x x f x ef x e ， 即 ( )(0)g xg ， 由得：0 x ， 即不等式( )1 x ef x的解集为(0, )， 故选：B 9解：由于线性回归方程中x的系数为0.850，因此y与x具有正的线性相关关系，A正确； 根据样本数据计算得到相关系数0.9962r 接近 1，则样本数据与回归直线方程有较强的相关性，因此B正 确； 由线性回归方程中系数的意义可得回归直线的估计值知，x每增加1cm，其体重约增加0.85kg，C正确； 当某女生的身高为160cm时，其体重估计值是50.29kg，而不是具体值，因此

16、D错误 故选：ABC 10解：对于A， 123226 coscos() 123422224 ，故选项A错误； 对于B， 2 sin347 cos148sin77 cos58cos77 ( sin58 )sin77 cos58sin(5877 )sin135 2 ， 故选项B错误； 对于C， 241224144181 sincoscoscossincoscossincossinsin 999929994998989 ， 所以 241 coscoscos 9998 ，故选项C正确； 对于D， tan72tan12 tan(7212 )tan603 1tan72 tan12 ，故选项D正确 故选：C

17、D 11解：对于A， 22 11ab ， 2222 1 (1)abab 椭圆C与椭圆 22 22 :1 11 xy C ab 有相同的 焦点，故正确； 对于B，设 ( , )p m n，则 2 222 2 () b nam a ，直线 1 PA， 2 PA的斜率之积为 22 222 nb maa ，故错； 对于C， 设 ( , )pmn ， 则 2222 12 | | ()()PFPFaem aemae ma， 故不存在点P满足 2 12 | | 2PFPFa； 对于D，当 12 PFPF 时，bc，则2ac，则椭圆C的离心率为 2 2 ， 当 112 PFFF 时， 2 2 b c a ，即

18、 22 20caca， 2 210ee ，21e ，故正确 故选：AD 12解：若a与b平行，则sincos2，即sin22 2 不成立，即a与b不可能平行，故A错误， 若| |ab，则 22 12sincos 得 22 1sincos2，即 22 cossincos21，此时存在， 故B正确， 若3a b，则 12 cos2sin3(cossin ) 33 ， 设 1 sin 3 ， 2 cos 3 ，则cos2sin3sin()3， 则sin( )1 ，即 2 2 k ， 0 剟，0k时， 2 ， 则 26 sincos 33 ，故C正确， 当 2 tan 2 时， 则 2 sincos

19、2 ， 则 2 c o s2s i nc o s2 (c o s ) c o sc o s0 2 a b ， 则a与b垂直成立，故D正确， 故选：BCD 13解：令1x 代入二项式可得： 10 (1)1024t ， 所以12t ，则3t 或1， 故答案为：3 或1 14解：从 5 天中选 3 天的所以选法有 3 5 10C 种选法， 这 3 天中恰有 2 天连排的情况有 124，125，235，134，145，245 共 6 种选法， 故 3 天中恰有 2 天连排的概率 63 105 P 故答案为： 3 5 15解：连接AB，作AM的垂直平分线，交AB于点M，交两段弧于点P、Q，如图所示： 设

20、内堤岸弧所在圆心为O，则30 2AB 米，30OA 米， 在Rt AOM中， 1 30 2 2 2 sin 302 AOM ， 所以 4 AOM ， 2 AOB ， 所以月牙潭的面积为： 2 2 30 2111 3030 30225450 2242 SSS 弓形半圆 （平方米） 故答案为：225450 16解：因为 222 22cosbababcac， 整理可得 222 2(1 cos )abCacb， 所以由余弦定理可得2 (1cos)2cosabCacB ， 所以(1 cos )cosbCcB ，可得sinsincossincosBCBBC， 可得sin sin()BCB ， 因为0 2

21、B ，0 2 C ， 所以BCB，可得2CB， 又因为ABC为锐角三角形， 所以 0 2 02 2 03 2 B CB AB ，可得 64 B ， 所以 23 cos 22 B， 又因为 2 1cos3cos1 coscos1cos1 2222 BCBB B ， 所以 3 223 32 3cos1 22 B ， 从而 3 223cos13 32 424 B ，可得 2 coscos1 22 BC 的取值范围为 3 22 ( 4 ， 3 32) 4 故答案为： 3 22 ( 4 ， 3 32) 4 17解：选sin cos() 6 aBbA ， 由正弦定理得sin sinsincos() 6 A

22、BBA ， 因为sin0B ， 所以 31 sincos()cossin 622 AAAA ， 即 3 tan 3 A ， 因为 (0, )A ， 所以 6 A ； 选sin3sinsin()CBAB， 所以sin()3sinsin()ABBAB， 所以sincossincos3sinsincossincosABBABABBA， 即2sincos3sinBAB， 因为sin0B ， 所以 3 cos 2 A， 因为 (0, )A ， 所以 6 A ； 选 233cos cos cbB aA ， 由正弦定理得 2sin3sin3cos sincos CBB AA ， 整理得，2sincos3si

23、ncos3sincos3sin()3sinCABAABABC， 因为sin0C ， 所以 3 cos 2 A， 因为 (0, )A ， 所以 6 A ； （2）由余弦定理 222 3 2cos16162443216 3 2 abcbcA ， BPC中，由余弦定理得 22222 2 2cos3 3 aBPPCBP PCBPPCBP PCBP PC ， 当且仅当BPCP时取等号， 所以 2 3 a BP PC， 2 12138 3 sin4 232323 BPC a SBP PC ， BPC面积的最大值 8 3 4 3 18解：（1）数列 n a 的前n项和为 n S，且 6，2 n S， n a

24、成等差数列 故4 6 nn Sa ， 当1n 时，解得 1 2a ， 当2n时， 11 46 nn Sa ， 得： 1 1 3 n n a a （常数）， 所以数列 n a 是以 2 为首项， 1 3 为公比的等比数列； 所以 1 1 2() 3 n n a （2）由（1）得： 21 1 1 4() 3 n nn a a ， 所以 13211 12231 11 ()(1) 1111 39 4 ()()()412() 1 3333 1 9 n nm nn a aa aa a ， 所以 2 311 (1)() 893 m n 对任意的nN恒成立 由于 1 11 9n 且n时， 1 11 9n ，

25、所以 2 13 () 38 m ，故m为偶数， 当2m 时成立， 当4m时， 2 11 () 39 m ， 故2m 19证明：（1）连接BD，交AC于点O，设PC中点为F， 连接OF，EF，O，F分别为AC，PC的中点， / /OFPA，且 1 2 OFPA ， / /DEPA，且 1 2 DEPA ，/ /OFDE，且OFDE 四边形OFED为平行四边形，/ /ODEF ，即/ /BDEF PA平面ABCD，BD平面ABCD，PABD ABCD是菱形，BDAC PAACA ，BD平面PAC / /BDEF，EF平面PAC FE 平面PCE，平面PAC 平面PCE 解：（2）解法 1：因为直线

26、PC与平面ABCD所成角为45， 45PCA，2ACPA ACAB，故ABC为等边三角形 设BC的中点为M，连接AM，则AMBC 以A为原点，AM，AD，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A xyz （如图） 则 (0P ，0，2)，( 3,1,0)C， (0E ，2，1)， (0D ，2，0)， ( 3,1, 2)PC ，(3CE ，1，1)，(0DE ，0，1) 设平面PCE的法向量为 1 nx ， 1 y， 1 z ， 则 0 0 n PC n CE ，即 111 111 320 30. xyz xyz 令 1 1y ，则 1 1 3 2 x z ，( 3,1,2)n 设平面CD

27、E的法向量为 2 (mx ， 2 y， 2) z ， 则 0 0 m DE m CE ，即 2 222 0 30. z xyz 令 2 1x ，则 2 2 3 0 y z ，(1, 3,0)m 设二面角PCED的大小为，由于为钝角， |2 36 cos|cos,|cos|cos,| | | |42 2 2 n mn m n mn m nmnm 二面角PCED 的余弦值为 6 4 解法 2：因为直线PC与平面ABCD所成角为45，且PA平面ABCD， 所以45PCA，所以2ACPA 因为2ABBC，所以ABC为等边三角形 因为PA平面ABCD，由（1）知/ /PAOF， 所以OF 平面ABCD

28、因为OB 平面ABCD，OC 平面ABCD，所以OFOB且OFOC 在菱形ABCD中，OBOC 以点O为原点，OB，OC，OF分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O xyz （如图） 则(0,0,0), (0, 1,2), (0,1,0),(3,0,0), (3,0,1)OPCDE， 则(0, 2,2),(3, 1,1),(3, 1,0)CPCECD 设平面PCE的法向量为 1 (nx ， 1 y， 1) z ， 则 0 0 n CP n CE 即 11 111 220 30. yz xyz 令 1 1y ，则 1 1 1 1. y z ，则法向量 (0n ，1，1) 设平面CDE的法向量为

29、 2 (mx ， 2 y， 2) z ， 则 0 0 m CE m CD 即 222 22 30 30. xyz xy 令 2 1x ，则 2 2 3 0. y z 则法向量(1,3,0)m 设二面角PCED的大小为，由于为钝角， 则 |36 cos|cos,| | |42 2 n m n m nm 二面角PCED 的余弦值为 6 4 20解：（1）记张先生第 次答对面试官提出的问题为事件，2，3，4，则，张先生 前三个问题均回答正确为事件，前三个问题回答正确两个且第四个又回答正确为事件前四个问题回 答正确两个且第五个又回答正确为事件，张先生通过面试为事件，则 根据题意，得， 因为事件，互斥，

30、所以， 即张先生能够通过面试的概率为 （2）根据题意，4，5表明前面三个问题均回答错误（淘汰）或均回答正确（通过），所以 ；表明前面三个问题中有两个回答错误且第四个问题又回答错误（淘汰）或 者前面三个问题中有两个回答正确且第四个问题回答正确（通过）， 所以；表明前面四个问题中有两个回答错误，两个回答正 确，所以 所以的分布列为： 3 4 5 i(1 i A i 5) 2 () 3 i P A BC DMMBCD 3 28 ( )( ) 327 P B 22 3 21 28 ( )( ) 33 327 P CC 222 4 21216 ()( )( ) 33381 P DC BCD 881664

31、 ()( )( )() 27278181 P MP BP CP D 64 81 3X 3X 33 121 (3)( )( ) 333 P X 4X 1222 33 21121 210 (4)( )( ) 33333 327 P XCC5X 222 4 218 (5)( )( ) 3327 P XC X X 故 21解：（1）抛物线准线方程为： 将纵坐标代入抛物线的方程可得：，所以， 由抛物线的性质， 解得：或， 因为， 所以抛物线的标准方程为：； （2）由（1）可得， 设， 因为， ， 所在的直线方程：，整理可得：， 联立，整理可得：， ， 解得：或 所以点纵坐标的取值范围或 22解：（1）当

32、时，则有 令，解得， 当时，此时函数单调递增； 当时，此时函数单调递减； 函数，即得 （2）根据题意，恒成立， P 1 3 10 27 8 27 1108107 ()345 3272727 E X 2 p x P 2 62px 18 x p 18 10 2 p p 0p 18p 2p 04p 2 4yx (9,6)P 2 ( 4 n A )n 2 0 ( 4 y B 0) y APAB 2 64 6 9 4 PA n k nn AB 2 6 () 44 nn ynx ()(6)160yn n 2 ()(6)160 4 yn n yx 2 (6)6160nyny 2 (6)4(616) 0yy

33、14y2y B |14y y2y 2a ( ) x f xxex( )(1)1 x fxxe ( )0fx0 x 0 x ( )0fx( )f x 0 x ( )0fx ( )f x ( )(0)0 min f xf( ) 0f x 1(1) x lnxxeax 等价变形可得恒成立； 令，则只需 令，则有 在上单调递增， ，（1） 存在，使得 由此可得，在上单调递减，在，上单调递增， 故有， 即实数的取值范围为， 1 1 x lnx ae x 1 ( )1(0) x lnx g xex x ( )mina g x 2 2222 11 ( ) x xx lnxlnxxelnx g xee xxxx 2 ( ) x h xxelnx 2 1 ( )(2)0 x h xxx e x ( )g x(0,) 1 2 1 ( )0 e gee e g 0e 0 (0,)x 0 ( )00.567g xx ( )g x 0 (0,)x 0 (x) 0 ( )()22 min g xg xa a(2