甘肃省武威市2020年中考数学试题（含答案解析）

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1、 武威市武威市 2020 年初中毕业、高中招生考试数学试卷年初中毕业、高中招生考试数学试卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 个小题个小题,每小题每小题 3 分分,共共 30 分在每小题给出的四个选项中，只有一分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1.下列实数是无理数的是（ ） A. -2 B. 1 6 C. 9 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】 根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）判断即可 【详解】解：-2 是负整数， 1 6 是分数，9=3 是整数，都是有理数. 11开方开不尽，是无理数. 故选:D. 【点睛】此题主要考查

2、了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，2等；开方开不尽的数；以 及像 0.1010010001，等有这样规律的数 2.若70，则的补角的度数是（ ） A. 130 B. 110 C. 30 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】 直接根据补角的定义即可得 【详解】70 的补角的度数是18018070110 故选：B 【点睛】本题考查了补角的定义，熟记定义是解题关键 3.若一个正方形的面积是 12，则它的边长是（ ） A. 2 3 B. 3 C. 3 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】 根据正方形的面积公式即可求解 【详解】解：由题意知：正方形的面积等于边长边长，设边长为

3、 a， 故 a =12， a=2 3，又边长大于 0 边长 a=2 3 故选：A. 【点睛】本题考查了正方形的面积公式，开平方运算等，属于基础题 4.下列几何体中，其俯视图与主视图完全相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 俯视图是指从上面往下看，主视图是指从前面往后面看，根据定义逐一分析即可求解 【详解】解：选项 A：俯视图是圆，主视图是三角形，故选项 A 错误； 选项 B：俯视图是圆，主视图是长方形，故选项 B错误； 选项 C：俯视图是正方形，主视图是正方形，故选项 C 正确； 选项 D：俯视图是三角形，主视图是长方形，故选项 D 错误 故答案为：C 【点睛

4、】本题考查了视图，主视图是指从前面往后面看，俯视图是指从上面往下看，左视图是指从左边往 右边看，熟练三视图的概念即可求解. 5.下列各式中计算结果为 6 x的是（ ） A. 24 xx B. 82 xx C. 24 xx D. 122 xx 【答案】C 【解析】 【分析】 根据合并同类项，同底数幂的乘法、除法，即可解答 【详解】解：A. 24 xx， 不是同类项，不能合并，不符合题意； B 82 xx， 不是同类项，不能合并，不符合题意； C 24 xx=x6,符合题意； D. 122 xx =x10,不符合题意； 故选:C. 【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法、除法，解决本题的关键

5、是熟记合并同类项，同底数幂 的乘法、除法的法则 6.生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近 0618，可以增加视觉美感，若图中b为 2 米，则a约为（ ） A. 124米 B. 138米 C. 142米 D. 162米 【答案】A 【解析】 【分析】 根据 a:b0.618，且 b=2即可求解 【详解】解：由题意可知，a:b0.618，代入 b=2， a20.618=1.2361.24 故答案为：A 【点睛】本题考查了黄金分割比的定义，根据题中所给信息即可求解，本题属于基础题 7.已知1x 是一元二次方程 22 (2)40mxxm的一个根，

6、则m的值为（ ） A. -1 或 2 B. -1 C. 2 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】 首先把 x=1 代入 22 (2)40mxxm，解方程可得 m1=2，m2=-1，再结合一元二次方程定义可得 m的 值 【详解】解：把 x=1代入 22 (2)40mxxm得： 2 m2+4m =0， 2 mm20， 解得：m1=2，m2=1 22 (2)40mxxm是一元二次方程， m2 0 ， m2， 1m， 故选：B 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解和定义，关键是注意方程二次项的系数不等于 0 8.如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节AE间的距离，若

7、AE间的 距离调节到 60cm，菱形的边长 20ABcm，则DAB的度数是（ ） A. 90 B. 100 C. 120 D. 150 【答案】C 【解析】 【分析】 如图 （见解析） ， 先根据菱形的性质可得,/ABBC AD BC， 再根据全等的性质可得 1 20 3 ACAEcm， 然后根据等边三角形的判定与性质可得60B ，最后根据平行线的性质即可得 【详解】如图，连接 AC 四边形 ABCD 是菱形 20,/ABBCcm AD BC 如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，60AEcm 1 20 3 ACAEcm ABBCAC ABC是等边三角形 60B /AD BC 180

8、60180120DABB 故选：C 【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质等知识点，理解题意，熟练掌 握菱形的性质是解题关键 9.如图，A是圆O上一点，BC是直径，2AC ，4AB ，点D在圆O上且平分弧BC，则DC的长为 （ ） A. 2 2 B. 5 C. 2 5 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】 由BC是圆 O 的直径， 可得A=D=90， 又D在圆O上且平分弧BC， 则CBD=BCD=45， 即BCD 是等腰直角三角形.在 RtABC 中，根据勾股定理求出 BC长，从而可求 DC的长. 【详解】解：BC是圆 O 的直径， A=D=90. 又D在圆O

9、上且平分弧BC， CBD=BCD=45，即BCD是等腰直角三角形. 在 RtABC 中，2AC ，4AB ，根据勾股定理，得 BC= 22 ACAB =25. BCD是等腰直角三角形， CD= 2 BC = 10. 故选:D. 【点睛】此题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的性质和勾股定理此题难度不大，注意掌握数形结合 思想的应用 10.如图，正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，E是OD的中点，动点P从点E出发，沿着 EOBA的路径以每秒 1 个单位长度的速度运动到点A，在此过程中线段AP的长度y随着运动 时间x的函数关系如图所示，则AB的长为（ ） A. 4 2 B. 4 C. 3 3 D

10、. 2 2 【答案】A 【解析】 【分析】 如图 （见解析） ， 先根据函数图象可知2 5AE ， 再设正方形的边长为4a， 从而可得 2 2OAODa ， 然后根据线段中点的定义可得 1 2 2 OEODa，最后在Rt AOE中，利用勾股定理可求出 a 的值，由 此即可得出答案 【详解】如图，连接 AE 由函数图象可知，2 5AE 设正方形 ABCD的边长为4a，则4ABADa 四边形 ABCD 是正方形 1 ,90 2 OAODBD ACBDBAD 22 4 2BDABADa ， 2 2OAODa E是OD的中点 1 2 2 OEODa 则在Rt AOE，由勾股定理得： 22 10AEOA

11、OEa 因此有102 5a 解得 2a 则 4 2AB 故选：A 【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、函数图象等知识点，根据函数图象得出2 5AE 是解题 关键 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 个小题个小题,每小题每小题 3 分分,共共 24 分）分） 11.如果盈利 100 元记作+100 元，那么亏损 50 元记作_元 【答案】50 【解析】 【分析】 根据正数与负数的意义即可得 【详解】由正数与负数的意义得：亏损 50元记作50元 故答案为：50 【点睛】本题考查了正数与负数的意义，掌握理解正数与负数的意义是解题关键 12.分解因式： 2 aa_ 【答案】1a a 【

12、解析】 【分析】 提取公因式a，即可得解. 【详解】 2 1aaa a 故答案为：1a a. 【点睛】此题主要考查对分解因式的理解，熟练掌握，即可解题. 13.暑假期间， 亮视眼镜店开展学生配镜优惠活动， 某款式眼镜的广告如图， 请你为广告牌填上原价 原价： _元 【答案】200 【解析】 【分析】 设原价为 x 元，根据八折优惠，现价为 160元，即可得出关于 x的一元一次方程，解之即可得出原价 【详解】解：设原价为 x元. 根据题意，得 0.8x=160. 解得 x=200. 原价为 200元. 故答案为：200. 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是明确“现价=原价 折扣”

13、，本题属于基础题，难度 不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程是关键 14.要使分式 2 1 x x 有意义，则 x应满足条件_ 【答案】x1 【解析】 【分析】 当分式的分母不为零时，分式有意义，即 x10 【详解】当 x10 时，分式有意义，x1 故答案为：x1 【点睛】本题考查分式有意义的条件；熟练掌握分式分母不为零时，分式有意义是解题的关键 15.在一个不透明的袋中装有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，小明在袋中放入 3 个黑球（每个球除 颜色外其余都与红球相同） ，摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球 试验后发现，摸到红球的频率稳定在 0.85

14、 左右，则袋中红球约有_个 【答案】17 【解析】 【分析】 根据口袋中有 3 个黑球，利用小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可 【详解】解：通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在 0.85左右，口袋中有 3 个黑球， 假设有 x 个红球， 3 x x 0.85， 解得：x17， 经检验 x17是分式方程的解， 口袋中有红球约有 17 个 故答案为：17 【点睛】此题主要考查了用样本估计总体，根据已知得出小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等 是解决问题的关键 16.如图，在平面直角坐标系中，OAB的顶点A，B的坐标分别为(3, 3)，(4,0)，把OAB沿x轴向

15、右平移得到CDE，如果点D的坐标为(6, 3)，则点E的坐标为_ 【答案】(7,0) 【解析】 【分析】 根据 B点横坐标与 A点横坐标之差和 E 点横坐标与 D点横坐标之差相等即可求解 【详解】解：由题意知：A、B两点之间的横坐标差为：4 3 1 ， 由平移性质可知：E、D两点横坐标之差与 B、A 两点横坐标之差相等， 设 E 点横坐标为 a， 则 a-6=1，a=7， E 点坐标为(7,0) 故答案为：(7,0) 【点睛】本题考查了图形的平移规律，平移前后对应点的线段长度不发生变化，熟练掌握平移的性质是解 决此题的关键. 17.若一个扇形的圆心角为60，面积为 2 6 cm ，则这个扇形的

16、弧长为_ cm（结果保留） 【答案】 3 【解析】 【分析】 先利用扇形的面积公式求出扇形的半径，再利用弧长公式即可得 【详解】设扇形的半径为rcm 则 2 60 3606 r 解得1()rcm或1()rcm （不符题意，舍去） 则这个扇形的弧长为 601 () 1803 cm 故答案为： 3 【点睛】本题考查了扇形的面积公式、弧长公式，熟记公式是解题关键 18.已知 2 (4)5yxx ，当分别取 1，2，3，2020 时，所对应y值的总和是_ 【答案】2032 【解析】 【分析】 先化简二次根式求出 y的表达式，再将 x 的取值依次代入，然后求和即可得 【详解】 2 (4)545yxxxx

17、 当4x 时，4592yxxx 当4x 时，451yxx 则所求的总和为(92 1)(92 2)(92 3)1 11 7 5 3 1 2017 2032 故答案为：2032 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值、绝对值运算等知识点，掌握二次根式的化简方法是解题关键 三、解答题（一） ：本大题共三、解答题（一） ：本大题共 5 个小题个小题,共共 26 分分 19.计算： 0 (23)(23)tan60(2 3) 【答案】3 【解析】 【分析】 先计算平方差公式、特殊角的正切函数值、零指数幂，再计算实数的混合运算即可 【详解】原式 22 2( 3)31 433 1 3 【点睛】本题考查了平方差公

18、式、特殊角的正切函数值、零指数幂等知识点，熟记各运算法则是解题关键 20.解不等式组： 351 2(21) 34 xx xx ，并把它的解集在数轴上表示出来 【答案】-2x3，解集在数轴上表示见解析. 【解析】 【分析】 先求出两个不等式的解集，再求其公共解 【详解】解： 351 2(21) 34 xx xx 解不等式，得 x3. 解不等式，得 x -2. 所以原不等式组解集为-2x3. 在数轴上表示如下： 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解求不等式组解集的 口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解） 21.如图，在ABC中，D是B

19、C边上一点，且BDBA （1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法） 作ABC的角平分线交AD于点E； 作线段DC的垂直平分线交DC于点F （2）连接EF，直接写出线段EF和AC的数量关系及位置关系 【答案】 （1）作图见解析，作图见解析； （2） 1 / /,. 2 EFAC EFAC 【解析】 【分析】 （1）根据角平分线的作图方法直接作图即可；根据垂直平分线的作图方法直接作图即可； （2）根据等腰三角形的性质与垂直平分线的定义证明EF是DAC的中位线，根据中位线的性质可得答 案 【详解】解： （1）如图，BE即为所求作的ABC的角平分线， 过F的垂线是所求作的线段DC的垂直平分线 （2）如图

20、，连接EF， ,BABD BE平分,ABC ,AEDE 由作图可知：,DFCF EF是DAC的中位线， 1 / /, 2 EFAC EFAC 【点睛】本题考查的是角平分线与垂直平分线的尺规作图，同时考查了三角形的中位线的性质，掌握以上 知识是解题的关键 22.图是甘肃省博物馆的镇馆之宝铜奔马，又称“马踏飞燕”，于 1969年 10 月出土于武威市的雷台汉 墓，1983年 10 月被国家旅游局确定为中国旅游标志，在很多旅游城市的广场上都有“马踏飞燕”雕塑，某学 习小组把测量本城市广场的“马踏飞燕”雕塑（图）最高点离地面的高度作为一次课题活动，同学们制定了 测量方案，并完成了实地测量，测得结果如下

21、表： 课题 测量“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度 测量示意图 如图，雕塑的最高点B到地面的高度为 BA，在测点C用仪器测得点B的仰角为 ，前进一段距离到达测点E，再用该仪 器测得点B的仰角为， 且点A，B，C， D，E，F均在同一竖直平面内，点A， C，E在同一条直线上 测量数据 的度数 的度数 CE的长度 仪器CD（EF）的 高度 31o 42 5 米 1.5米 请你根据上表中的测量数据， 帮助该小组求出“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度 （结果保留一位小数） （参 考数据：sin310.52，cos310.86，tan310.60，sin420.67，cos420.74，tan420.9

22、0） 【答案】10.5m 【解析】 【分析】 如图，延长DF交AB于G，设,BGx 利用锐角三角函数表示FG，再表示DG，再利用锐角三角函数 列方程求解x，从而可得答案 【详解】解：如图，延长DF交AB于G， 由题意得：90 ,BGDBAC 5,1.5,DFCEDCAGEF 设,BGx 由tantan42, BG FG 9 , 10 x FG 10 , 9 x FG 10 5, 9 x DG 由tantan31, BG DG 3 , 10 5 5 9 x x 5 15, 3 x 9,x 经检验：9x符合题意， 9 1.5 10.5BABGAG “马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度为10.5 .m

23、 【点睛】本题考查的是解直角三角形所的应用，掌握锐角三角函数的应用是解题的关键 23.2019 年甘肃在国际知名旅游指南孤独星球亚洲最佳旅游地排名第一，截至 2020 年 1 月，甘肃省已有 五家国家 5A级旅游景区，分别为 A：嘉峪关文物景区；B：平凉崆峒山风景名胜区；C：天水麦积山景区； D： 敦煌鸣沙月牙泉景区： E： 张掖七彩舟霞景区， 张帆同学与父母计划在暑假期间从中选择部分景区游玩 （1）张帆一家选择 E：张掖七彩丹霞景区的概率是多少？ （2）若张帆一家选择了 E：张掖七彩丹霞景区，他们再从A，B，C，D四个景区中任选两个景区去旅 游，求选A，D两个景区的概率（要求画树状图或列表求

24、概率） 【答案】(1) 1 5 ；(2) 1 6 【解析】 【分析】 (1) 张帆一家共有 5 种可能的选择方式，由此即可出选择景区 E的概率为 1 5 ； (2) 画树状图展示所有 12种等可能的结果数，找出选到 A，D两个景区的结果数，然后根据概率公式计算 【详解】解：(1)由题意可知：张帆一家共有 5 种可能的选择方式， 故选择张掖七彩丹霞景区的概率为 1 5 ， 故答案为 1 5 (2)由题意知，画出树状图如下： 共有 12种等可能的结果数，其中选到 A，C 两个景区的结果数为 2， 所以选到 A，C 两个景区概率= 21 = 126 故答案为： 1 6 【点睛】本题考查了列表法与树状

25、图法求事件的概率，利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n，再 从中选出符合事件 A的结果数 m，然后利用概率公式计()=A m P n ，即可求出事件 A 的概率 四、解答题（二） ：本大题共四、解答题（二） ：本大题共 5 个小题个小题,共共 40 分分 24.习近平总书记于 2019年 8月在兰州考察时说“黄河之滨也很美”，兰州是古丝绸之路商贸重镇，也是黄 河唯一穿城而过的省会城市，被称为“黄河之都”，近年来，在市政府的积极治理下，兰州的空气质量得 到极大改善，“兰州蓝”成为兰州市民引以为豪的城市名片，下图是根据兰州市环境保护局公布的 2013-2019年各年的全年空气质量优良天数绘

26、制的折线统计图 请结合统计图解答下列问题： （1）2019 年比 2013年的全年空气质量优良天数增加了 天； （2）这七年的全年空气质量优良天数的中位数是 天； （3）求这七年的全年空气质量优良天数的平均天数； （4） 兰州市“十三五”质量发展规划中指出：2020年，确保兰州市全年空气质量优良天数比率达 80% 以上，试计算 2020 年（共 366 天）兰州市空气质量优良天数至少需要多少天才能达标 【答案】(1)26;（2）254； （3）261； （4）293. 【解析】 【分析】 （1）用 2019年全年空气质量优良天数减去 2013 年全年空气质量优良天数即可； （2）把这七年的全年

27、空气质量优良天数按照从小到大排列，根据中位数的定义解答； （3）根据平均数的求解方法列式计算即可得解 （4）用 366乘以 80%，即可解答 【详解】 解：（1） 由折线图可知 2019年全年空气质量优良天数为 296， 2013 年全年空气质量优良天数为 270， 296-270=26， 故 2019年比 2013 年的全年空气质量优良天数增加了 26 天； 故答案为：26. (2)这七年的全年空气质量优良天数按照从小到大排列如下：213，233，250，254，270，296，313， 所以中位数是 254； 故答案为：254； （3）这七年的全年空气质量优良天数的平均数= 2703132

28、50254233213296 7 261天； （4）36680%=292.8 293(天). 所以 2020 年（共 366天）兰州市空气质量优良天数至少需要 293 天才能达标. 【点睛】本题考查了折线统计图，要理解中位数的定义，以及算术平均数的求解方法，能够根据计算的数 据进行综合分析，熟练掌握对统计图的分析和平均数的计算是解题的关键 25.通过课本上对函数的学习，我们积累了一定的经验，下表是一个函数的自变量x与函数值y的部分对应 值，请你借鉴以往学习函数的经验，探究下列问题： x 0 1 2 3 4 5 y 6 3 2 1.5 1.2 1 （1）当x 时， 1.5y ； （2）根据表中数

29、值描点( , ) x y，并画出函数图象； （3）观察画出图象，写出这个函数的一条性质： 【答案】 （1）3； （2）见解析； （3）函数图像与x轴无限接近，但没有交点 【解析】 【分析】 （1）观察列表即可得出答案； （2）依照表格中的数据描出各个点，然后利用光滑的曲线连接各点即可； （3）观察函数图像，写出一条符合函数图像的性质即可 【详解】解： （1）通过观察表格发现：当3x 时， 1.5y ， 故答案为：3； （2）如下图： （3）观察第（2）问中的图像可以得出一个结论：函数图像与x轴无限接近，但没有交点； 【点睛】本题考查的是函数图象，主要让学生通过描点画出函数图象，从图象中读取相关

30、的信息 26.如图，圆O是ABC的外接圆，其切线AE与直径BD的延长线相交于点E，且AE AB （1）求ACB的度数； （2）若2DE ，求圆O的半径 【答案】 （1）ACB的度数为60； （2）圆 O的半径为 2 【解析】 【分析】 （1）如图（见解析） ，设Ex ，先根据等腰三角形的性质得出ABEEx ，再根据圆的性质可得 OAOB，从而可得OABABOx，然后根据圆的切线的性质可得OAAE，又根据三角形的内 角和定理可求出 x的值，从而可得AOB的度数，最后根据圆周角定理即可得； （2）如图（见解析） ，设圆 O 的半径为r，先根据圆周角定理得出90BAD，再根据直角三角形的性质 可得3

31、ABr，从而可得3AEr，然后在Rt AOE中，利用勾股定理求解即可得 【详解】 （1）如图，连接 OA 设Ex AEABQ ABEEx OAOB OABABOx，1801802AOBOABABOx AE 是圆 O的切线 OAAE，即90OAE 90BAEOABOAEx 在ABE中，由三角形的内角和定理得：180ABEEBAE 即90180 xxx 解得30 x 18021802 30120AOBx 则由圆周角定理得： 11 12060 22 ACBAOB 故ACB的度数为60； （2）如图，连接 AD 设圆 O的半径为r，则,2OAODr BDr 2DE 2OEODDEr BD 是圆 O的直

32、径 90BAD 由（1）可知，30ABD 则在RtABD中， 22 1 ,3 2 ADBDr ABBDADr 3AEr 在Rt AOE中，由勾股定理得： 222 OAAEOE，即 222 ( 3 )(2)rrr 解得2r =或 2 3 r （不符题意，舍去） 则圆 O的半径为 2 【点睛】本题考查了圆周角定理、圆的切线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，较难的是题 （2） ，通过作辅助线，利用圆周角定理是解题关键 27.如图，点M，N分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且45MAN，把ADN 绕点A顺时 针旋转90得到ABE （1）求证： AEM ANM （2）若3BM ，2DN ，

33、求正方形ABCD边长 【答案】 （1）证明见解析； （2）正方形ABCD的边长为 6 【解析】 【分析】 （1）先根据旋转的性质可得,AEANBAEDAN ，再根据正方形的性质、角的和差可得 45MAE，然后根据三角形全等的判定定理即可得证； （2） 设正方形ABCD的边长为x， 从而可得3,2CMxCNx， 再根据旋转的性质可得2BEDN， 从而可得5ME ，然后根据三角形全等的性质可得5MNME，最后在Rt CMN中，利用勾股定理 即可得 【详解】 （1）由旋转的性质得：,AEANBAEDAN 四边形 ABCD 是正方形 90BAD，即90BANDAN 90BANBAE，即90EAN 45

34、MAN 904545MAEEANMAN 在 AEM 和ANM中，45 AEAN MAEMAN AMAM ()ANMAS SEMA ； （2）设正方形ABCD的边长为 x，则BCCDx 3,2BMDN 3,2CMBCBMxCNCDDNx 由旋转的性质得：2BEDN 2 35MEBEBM 由（1）已证：AEMANM 5MNME 又四边形 ABCD是正方形 90C 则在Rt CMN中， 222 CMCNMN，即 222 (3)(2)5xx 解得6x或1x（不符题意，舍去） 故正方形ABCD的边长为 6 【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，较 难的

35、是题（2） ，熟练掌握旋转的性质与正方形的性质是解题关键 28.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 2 2yaxbx交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且 28OAOCOB，点P是第三象限内抛物线上的一动点 （1）求此抛物线的表达式； （2）若/PCAB，求点P的坐标； （3）连接AC，求PAC面积最大值及此时点P的坐标 【答案】 （1） 2 7 2 2 yxx； （2） （ 7 2 ，2） ； （3）PAC面积的最大值是 8； 点P的坐标为 （2，5） 【解析】 【分析】 （1）由二次函数的性质，求出点 C 的坐标，然后得到点 A、点 B的坐标，再求出解析式即可； （2）由/PCAB，则点 P

36、的纵坐标为2，代入解析式，即可求出点 P 的坐标； （3） 先求出直线 AC的解析式， 过点 P 作 PDy轴， 交 AC于点 D， 则 1 2 PAC SPD OA ， 设点 P 为 （x， 2 7 2 2 xx） ，则点 D为（x， 1 2 2 x） ，求出 PD的长度，利用二次函数的性质，即可得到面积的最大 值，再求出点 P 的坐标即可 【详解】解： （1）在抛物线 2 2yaxbx中， 令0 x，则 2y ， 点 C的坐标为（0，2） ， OC=2， 28OAOCOB， 4OA， 1 2 OB ， 点 A为（4，0） ，点 B为（ 1 2 ，0） ， 则把点 A、B 代入解析式，得 1

37、6420 11 20 42 ab ab ，解得： 1 7 2 a b ， 2 7 2 2 yxx； （2）由题意，/PCAB，点 C 为（0，2） ， 点 P 的纵坐标为2， 令2y ，则 2 7 22 2 xx ， 解得： 1 7 2 x =-， 2 0 x ， 点 P 的坐标为（ 7 2 ，2） ； （3）设直线 AC 的解析式为y mxn ，则 把点 A、C代入，得 40 2 mn n ，解得： 1 2 2 m n ， 直线 AC的解析式为 1 2 2 yx ； 过点 P 作 PDy轴，交 AC于点 D，如图： 设点 P 为（x， 2 7 2 2 xx） ，则点 D为（x， 1 2 2 x） ， 22 17 2(2)4 22 PDxxxxx ， OA=4， 22 11 (4 ) 428 22 APC SPD OAxxxx ， 2 2(2)8 APC Sx ， 当2x时， APC S取最大值 8； 22 77 2( 2)( 2)25 22 xx ， 点 P 的坐标为（2，5） 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，二次函数的性质，一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二 次函数和一次函数的性质进行解题，注意利用数形结合的思想进行解题