2021届高考数学考前20天终极冲刺模拟试卷（6）含答案

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1、考前考前 20 天终极冲刺高考模拟考试卷（天终极冲刺高考模拟考试卷（6） 一、一、选择题：本题共选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。求的。 1设集合 |21Ay yx， |(34)(1)0Bxxx ，则 ()( R AB ) A0， 4 3 B 1 2 ， 4 3 C0， 4) 3 D 1 2 ， 4) 3 2设复数 1 1 i z i ，那么在复平面内复数31z 对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3采购经理指数( )P

2、MI，是通过对企业采购经理的月度调查结果统计汇总、编制而成的指数，它涵盖了企 业采购、生产、流通等各个环节包括制造业和非制造业领域，是国际上通用的监测宏观经济走势的先行性 指数之一，具有较强的预测、预警作用如图为国家统计局所做的我国 2019 年 12 月及 2020 年112月份 的采购经理指数( )PMI的折线图，若PMI指数为50%，则说明与上月比较无变化，根据此图，下列结论正 确的( ) A2020 年 1 至 12 月的PMI指数的最大值出现在 2020 年 3 月份 B2020 年 1 至 12 月的PMI指数的中位数为51.0% C2020 年 1 至 3 月的PMI指数的平均数

3、为49.9% D2020 年 1 月至 3 月的月PMI指数相对 10 月至 12 月，波动性更大 4下列对不等关系的判断，正确的是( ) A若 11 ab ，则 33 ab B若 22 |ab ab ，则2 2 ab C若 22 lnalnb，则 | | | 22 ab D若tantanab，则ab 5如果等比数列 n a 的前n项和 1 2n n Sa ，则常数 (a ) A1 B1 C2 D2 6函数 ( )2cos2f xxx 的图象在点 5 ( 12 ， 5 () 12 f 处的切线方程为( ) A 53 0 122 xy B 53 0 122 xy C 53 0 122 xy D

4、53 0 42 xy 7在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c ，若 1 sincossincos 3 aACcAAc，32ac，则 锐角B的值为( ) A 12 B 6 C 4 D 3 8已知 22 ( )(12710) ()f xxaxa ln xa的值域为0， )，则实数(a ) A4 或 0 B4 或 3 5 C0 或 3 5 D2 或 3 5 二、二、选择题：本题共选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。 全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选

5、对的对分，部分选对的对 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。 92020 年 3 月 15 日，某市物价部门对 5 家商场的某商品一天的销售量及其价格进行调查，5 家商场的售 价x（元)和销售量y（件)之间的一组数据如表所示： 价格x 9 9.5 10 10.5 11 销售量y 11 10 8 6 5 按公式计算，y与x的回归直线方程是： 3.2yxa ，相关系数| | 0.986 r ，则下列说法正确的有( ) A变量x，y线性负相关且相关性较强 B40a C当8.5x 时，y的估计值为 12.8 D相应于点(10.5,6)的残差约为 0.4 10设函数 ( )sin(2) 3 f

6、 xx ，则下列结论正确的是( ) A ( )f x的一个周期为4 B ( )yf x 的图象关于直线 7 12 x 对称 C函数 ( )f x向左平移 12 后所得函数为奇函数 D ( )f x在区间 7 ( 12 ， 13 ) 12 上单调递增 11已知直线: 0l kxy 与圆 22 :2210M xyxy ，则下列说法中正确的是( ) A直线l与圆M一定相交 B若0k ，则直线l与圆M相切 C当1k 时，直线 1 与圆M的相交弦最长 D圆心M到直线l的距离的最大值为2 12若非负实数a，b，c满足 1abc，则下列说法中一定正确的有( ) A 222 abc的最小值为 1 3 B( )

7、ab c 的最大值为 2 9 Cacbc ca的最大值为 1 3 Da b b c的最大值为 4 9 三、填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13在 12 2021 1 (1)x x 的展开式中， 2 x项的系数为 14已知向量满足| | 1ab， 3 () 2 aab ，则a，b 15设直三棱柱 111 ABCA B C 的所有顶点都在一个球面上，且球的体积是 40 10 3 ， 1 ABACAA ， 120BAC，则此直三棱柱的高是 16双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，直

8、线l过 1 F与C的左支和右支分别交于 A，B两点，若x轴上存在点Q满足 2 3QBF A， 22 QBFABF ，则C的渐近线方程为 四、四、解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17已知数列 n a 是等差数列， n S是数列 n a 的前n项和， 3 5a ， 7 49S （1）求数列 n a 的通项公式； （2）数列 n b 满足 11 ( 1)n nnnn bS Sa ，求数列 n b 的前2n项和 2n T 18在ABC中，已知2sin sin()sin 6 BCA （1）

9、求角B的大小； （2）若4AB ，ABC的面积为3，求sin2A的值 19如图，ABCD为矩形，点A、E、B、F共面，且 ABE和ABF均为等腰直角三角形，且 90BAEAFB （）若平面ABCD 平面AEBF，证明平面BCF 平面ADF； （）问在线段EC上是否存在一点G，使得/ /BG平面CDF，若存在，求出此时三棱锥GABE与三棱 锥GADF的体积之比 20针对国内天然气供应紧张问题，某市打响了节约能源的攻坚战某研究人员为了了解天然气的需求状 况，对该地区某些年份天然气需求量进行了统计，数据资料见表1: 表1: 年份 2015 2016 2017 2018 2019 年份代码x 1 2

10、3 4 5 天然气需求量 /y 亿立方 米 24 25 26 28 29 （） 已知这5年的年度天然气需求量y与x之间的关系可用线性回归模型拟合， 求y与x的线性回归方程， 并预测 2021 年该地区的天然气需求量； （）政府部门为节约能源出台了购置新能源汽车补贴方案，根据续航里程的不同，将补贴金额划分 为三类，A类：每车补贴 1 万元；B类：每车补贴 2 万元；C类：每车补贴 3 万元某出租车公司对该公 司 120 辆新能源汽车的补贴情况进行了统计，结果如表2: 表2: 类型 A类 B类 C类 车辆数目 20 40 60 为了制定更合理的补贴方案，政府部门决定用分层抽样的方式了解出租车公司新

11、能源汽车的补贴情况，在 该出租公司的 120 辆车中抽取 6 辆车作为样本，再从 6 辆车中抽取 2 辆车进一步跟踪调查若抽取的两辆 车享受的补贴金额之和记为，求的分布列及期望 参考公式： 11 222 11 ()() () nn iiii ii nn ii ii xxyyx ynxy b xxxnx ， a ybx 21已知函数 1 ( ) a f xxalnx x ，aR （1）求 ( )f x的单调性； （2）若0a ，且 ( )f x的最小值小于42 3ln ，求a的取值范围 22已知点M是抛物线 2 1 1 : 4 Cyx 的准线上的任意一点，过点M作 1 C的两条切线MP，MQ，其

12、中P，Q 为切点 （1）证明：直线PQ过定点，并求出定点坐标； （2）若直线PQ交椭圆 22 2: 1 45 xy C于A，B两点，求 | | PQ AB 的最小值 22已知函数 ( )(,) b f xlnxa aR bR x 有最小值M，且0M （）求 1 1 a eb 的最大值； （）当 1 1 a eb 取得最大值时，设F（b） 1 () a m mR b ， ( )F x有两个零点为 1 x， 212 ()xxx ，证 明： 23 12 xxe 考前考前 20 天终极冲刺高考模拟考试卷（天终极冲刺高考模拟考试卷（6）答案）答案 1解： 4 |0, |1 3 Ay yBx xx 或 ，

13、 4 | 1 3 RB xx 剟 ， 4 ()0, 3 R AB 故选：A 2解：复数 2 1(1)2 1(1)(1)2 iii zi iii ， 那么在复平面内复数3113zi 对应的点( 1, 3) 位于第三象限， 故选：C 3解：根据折线图可得，2020 年112月的PMI指数的最大值出现在 2020 年 11 月，故A错误； 根据中位数的定义，将 2020 年112月的PMI指数按从小到大的顺序排列后，可知排在第五和第六位的两 个数据的平均数即为中位数，即可得中位数为 50.951.0 50.95% 2 ，故B错误； 根据平均数的定义，可求得 2020 年1 3月的PMI指数的平均数为

14、 50.035.752.0 45.9% 3 ，故C错误； 根据图中折线可得，2020 年 1 月至 3 月的PMI指数相对 10 月至 12 月，波动性更大，故D正确 故选：D 4解： 11 ab 时，得不出 33 ab，比如 1a ，1b ，A错误； 22 |ab ab 得出 11 |ab ， 0 | |ab ，得不出2 2 ab ，比如，3a ，4b ，B错误； 由 22 lnalnb得，| | | 0ab ， | | | 22 ab ，C正确； tantanab得不出ab，比如, 36 ab ，D错误 故选：C 5解：等比数列 n a 的前n项和 1 2n n Sa ， 2 11 24a

15、Saa， 32 221 224aSSaa， 43 332 228aSSaa， 1 a， 2 a， 3 a成等比数列， 2 4(4) 8a， 解得常数2a 故选：C 6解： ( )2cos2f xxx 的导数为 ( )22sin2fxx ， 可得图象在点 5 ( 12 ， 5 () 12 f 处的切线的斜率为 5 22sin1 6 ， 切点为 5 ( 12 ， 53) 62 ， 则切线的方程为 535 () 6212 yx ， 即为 53 0 122 xy 故选：A 7解：因为 1 sincossincos 3 aACcAAc， 所以3 sincos3 sincosaACcAAc， 又32ac，

16、可得3sin2sinAC， 所以2 sincos3 sincoscACcAAc，即2sincos3sincos1ACAA， 可得2sin cos2sincos2sin()2sin1ACCAACB ，可得 1 sin 2 B ， 因为B为锐角， 所以 6 B 故选：B 8解： 22 ( )(12710) ()(32 ) (45 )()f xxaxa ln xaxaxaln xa， 由 ( )0f x ，可得 2 3 a x ，或 5 4 a x ，或1xa， 它的定义域为( , )a ，值域为0，)， 若0a ，则 2 ( )12f xxlnx，则函数的值域为( ,) ，不满足条件 若0a ，则

17、根据函数的定义域为( , )a ，此时，函数( )f x的零点为 5 4 xa ，1xa， 故 5 1 4 a a，求得4a ； 若0a ，则函数的定义域为( , )a ，此时函数( )f x的零点为 2 3 a x ，1xa， 故 2 1 3 a a， 3 5 a 综上 3 5 a ，或4a ， 故选：B 9解：对A，由表可知y随x增大而减少，可认为变量x， y线性负相关，且相关性强，故A正确 对B，价格平均 10，销售量 8故回归直线恒过定点(10,8)，故83.2 1040a ，故B正确 对C，当8.5x 时， 3.2 8.54012.8y ，故C正确 对D，相应于点(10.5,6)的残

18、差约为 6( 3.2 10.540)0.4e ，故D不正确 故选：ABC 10解：函数 ( )sin(2) 3 f xx ， 对于A：函数的最小正周期为，所以4也为函数的周期，故A正确； 对于B：当 7 12 x 时， 73 ()sin1 122 f ，故B正确； 对于C： 函数 ( )f x的图象向左平移 12 ， 得到( )sin(2)cos2 2 g xxx 的图象， 故函数( )g x为偶函数， 故C 错误； 对于D：当 7 ( 12 x ， 13 ) 12 时， 35 2(,) 322 x ，故函数在该区间上单调递增，故D正确 故选：ABD 11解：由 22 2210 xyxy ，得

19、 22 (1)(1)1xy， 直线: 0l kxy 过原点O，且不与y轴重合， 当0k 时，直线l与圆M相离，故A错误； 若0k ，则直线l与圆M相切，故B正确； 当1k 时，直线 1 过圆心M，直线l与圆M的相交弦最长，故C正确； 当1k 时，圆心M到直线l的距离取最大值为2，故D正确 故选：BCD 12解：因为 222 abcabacbc，当且仅当abc时取等号， 所以 222 222222abcabacbc， 所以 2222 333()1abcabc， 故 222 abc的最小值 1 3 ，A正确； 因为 2 11 ()(1)() 24 cc ab cc c ，当且仅当1cc，即 1 2

20、 c 时取等号， 即( )ab c 的最大值 1 4 ，B正确； 同A， 2 1()333abcacbcca ， 所以 1 3 abacbc ，当且仅当abb时取等号，C正确； 令bx，cy， 所以 23 22233 3 (1)(1)() 44 xx a bb cbcbb cxyx yxxxy xyxxxx， 令 3 3 ( ) 4 x f xx，01x剟， 则 2 9 ( )1 4 x fx ， 易得，当 2 0 3 x 时，( )0fx，函数单调递增，当 2 1 3 x剟时，( )0fx，函数单调递减， 故 24 ( )( ) 39 f xf，D正确 故选：ACD 13解：在 12 202

21、1 1 (1)x x 的表示 12 个因式 2021 1 (1)x x 的乘积， 故有 2 个因式取x，其余的 10 个因式都取 1，可得展开式中，含 2 x项， 故含 2 x项的系数为 210 1210 66CC， 故答案为：66 14解：| | 1ab，且 3 () 2 aab ， 2 3 2 aa b ，即 31 1 22 a b ， 则 1 1 2 cos, 1 12| a b a b a b ， 又a，0b ， ，a， 3 b 故答案为： 3 15解：设 1 2ABACAAm 120BAC，30ACB， 于是 2 2 ( sin30 m r r 是ABC外接圆的半径），2rm 又球心

22、到平面ABC的距离等于侧棱长 1 AA的一半， 球的半径为 22 (2 )5mmm 球的表面积为 3 440 10 ( 5 ) 33 m ， 解得2m 于是直三棱柱的高是 1 22 2AAm 故答案为：2 2 16解：如图所示，由题意可得 12 | 2FFc ， 因为 2 1 3 F AQB ，所以 12 F AF 1 F BQ， 所以 2 | 4F Qc ，设 2 |AFm ，则| | 3BQm ， 由角平分线的性质定理可得，因为 2 BF平分 1 FBQ ， 所以 112 2 |21 |42 BFFFc BQF Qc ， 所以 1 3 | 2 m BF ， 11 1 | 32 m AFBF

23、 ， 1 2 | 3 ABBFm ， 由双曲线的定义可得 21 | 2AFAFa ，所以 2 2 m ma ，即4ma， 12 | 2BFBFa ，所以 2 3 |2 2 m BFam ， 所以 22 | | |BFABAFm ，即 2 ABF 是等边三角形， 所以 22 60F BQABF ， 在 2 F BQ中， 222222 22 2 2 |9161 cos 2| |232 BFBQF Qmmc F BQ BFBQmm ， 化简可得 22 716mc， 由可得 2 2 7 c a ，所以 222 22 6 bca aa ， 所以双曲线的渐近线方程为6yx 故答案为：6yx 17解：（1）

24、因为 74 749Sa ，所以 4 7a ， 而 3 5a ， 设数列 n a 的公差为d， 则 43 2daa ， 1 1a ， 所以 12(1)21 n ann ； （2）由 2 1 (121) 2 n Snnn ， 由 11 ( 1)n nnnn bS Sa ， 可得 ( 1) (21)11 ( 1) () (1)1 n n n n b n nnn ， 2 111111112 11 223342212121 n n T nnnn 18解：（1）在ABC中，2sin sin()sin 6 BCA ， 所以3sinsinsincossin()BCBCBC 即3sinsinsincossinc

25、oscossinBCBCBCBC， 所以3sinsincossinBCBC 又sin0C ，所以 3 tan 3 B ， 又0B，所以 6 B （2）设BCt由题意及（1）得， 1 4 sin3 26 ABC St ， 解得3t ，即3BC 在ABC中，由余弦定理， 得 22222 2cos4( 3)243cos7 6 ACABBCAB BCB 所以7AC 由正弦定理，得 sinsin ACBC BA ， 所以 3121 sinsin 62147 BC A AC 因为73ACBC， 所以BA ，所以0 6 A 所以 22 215 7 cos1sin1() 1414 AA， 所以 215 75

26、3 sin22sincos2 141414 sAAA 19解：（1）证明：ABCD为矩形，BCAB， 又平面ABCD 平面AEBF，BC 平面ABCD，平面ABCD平面AEBFAB， BC平面AEBF， 又AF 平面AEBF，BCAF 90AFB，即AFBF，且BC、BF 平面BCF，BCBFB， AF平面BCF 又AF 平面ADF，平面ADF 平面BCF （2）解：/ /BCAD，AD 平面ADF，/ /BC平面ADF ABE和ABF均为等腰直角三角形，且90BAEAFB ， 45FABABE ，/ /AFBE，又AF 平面ADF，/ /BE平面ADF， BCBEB ，平面/ /BCE平面A

27、DF 延长EB到点H，使得BHAF，又 / /BCAD ，连CH、HF， 由题意能证明ABHF是平行四边形， / / /HFABCD ，HFDC是平行四边形，/ /CHDF 过点B作CH的平行线，交EC于点G，即/ / /BGCHDF，(DF 平面 )CDF / /BG平面CDF，即此点G为所求的G点 又222BEABAFBH， 2 3 EGEC，又2 ABEABF SS ， 24444 33333 GABECABECABED ABFB ADFGADF VVVVVV ， 故 4 3 GABE GADF V V 20解：（）由题意可知 12345 3 5 x ， 2425262829 26.4

28、5 y ， 22222 1 242253264285295 326.4 1.3 123455 3 b ， 26.41.3 322.5a ， 1.322.5yx ，所以当7x 时， 31.6y ， 2021年该地区的天然气需求量大约为 31.6 亿立方米 （）由题意可知抽样比为 61 12020 ， 所以A类车抽取 1 201 20 辆，B类车抽取 1 402 20 辆，C类车抽取 1 603 20 辆， 故的可能取值为 3，4，5，6， 1 2 2 6 2 (3) 15 C P C ； 12 32 2 6 4 (4) 15 CC P C ； 11 23 2 6 62 (5) 155 C C P

29、 C ； 2 3 2 6 31 (6) 155 C P C ； 所以的分布列为： 3 4 5 6 P 2 15 4 15 2 5 1 5 242114 ( )3456 1515553 E 21解：（1） 2 222 1(1)(1)(1) ( )1 aaxaxaxxa fx xxxx ，( 0)x ， 当1a时， ( ) 0fx恒成立，( )f x 在(0, )上单调递增， 当1a 时，令 ( )0fx ，则01xa，令 ( )0fx ，则1xa， ( )f x 在(0, 1)a 上单调递减，在( 1,)a 上单调递增， 综上：当1a时， ( )f x在(0,)上单调递增， 当 1a 时，( )

30、f x在(0,1)a上单调递减，在(1,)a 上单调递增， （2）由（1）知 ( )(1)1 1(1) min f xf aaaln a ，则 (1)22 3aaln aln ， 令 ( )(1)g xxxln x ，则 1 ( )1(1)(1) 11 x g xln xln x xx ， 令 1 ( )(1) 1 h xln x x ， 2 11 ( )0 1(1) h x xx ， ( )h x 在( 1, ) 上单调递减，又(0)10h ，h（1） 1 20 2 ln ， 存在 0 (0,1)x ，使得 0 ()0h x ， 即 0 ()0g x ， ( )g x在 0 (0,)x 上单

31、调递增，在 0 (x，)上单调递减， 又 (0)022 3gln ，g（2）22 3ln， g （a）22 32lna a的取值范围为(2,) 22解：（1）证明：根据题意，设 ( , 1)M t ， 1 (P x， 1) y ， 2 (Q x， 2) y ， 由 2 1 4 yx ，求导得 1 2 yx ， 所以切线MP的方程为 1 11 () 2 x yyxx ，又 2 11 1 4 yx ， 所以MP的方程可化为 11 2()x xyy ， 同理，切线MQ的方程为 22 2()x xyy ， 因为上述两条直线都过点M，把M的坐标代入两方程，得 11 220txy 和 22 220txy

32、， 这两个方程说明点P，Q都在直线 220txy 上， 而此直线过定点(0,1)， 所以直线PQ过定点(0,1) （2）设直线PQ的方程为 1(ykxk 总存在）， 3 (A x， 3) y ， 4 (B x， 4) y ， 联立方程组， 2 1 4 1 yx ykx ， 消去y，得 2 440 xkx， 2 1 16(1)0k， 所以 12 4xxk ， 12 4x x ， 所以 22 12 |1| 4(1)PQkxxk， 联立 22 1 45 1 xy ykx ， 消去y，得 22 (54)8160kxkx， 2 2 64 5(1)0k， 所以 34 2 8 54 k xx k ， 34

33、2 16 54 x x k ， 所以 2 2 34 2 8 5(1) |1| 54 k ABkxx k ， 所以 2 |2 555 |522 PO k AB ， 所以 | | PO AB 的最小值为 5 2 22解：（）有题意， 当时，在上单增，此时显然不成立， 当时，令，得， 此时在上单减，在上单增， （b），即，所以， 所以的最大值为 1 （）证明：当取得最大值时， 22 1 ( )(0) bxb fxx xxx 0b( ) 0fx ( )f x(0,) 0b ( )0fx xb ( )f x(0, )b( ,)b Mf10lnba 1lnb a 1a b e 1 0 a eb 1 1 a

34、 eb 1 1 a eb 1alnb 1 ( ) alnb F bmm bb 的两个零点为，则，即， 不等式恒成立等价于， 两式相减得， 带入上式得， 令，则， 所以函数在上单调递增，（1），得证 ( )F x 1 x 2 x 12 12 0;0 lnxlnx mm xx 11 lnxmx 22 lnxmx 23 12 xxe 121212 22(2)3lnxlnxmxmxm xx 1 12 12 212 () x ln xx lnm xxm xxx 11 21122 12 1 12212 2 3(1) 3() (2)3 2 2 xx ln xxxxx xxln x xxxxx x 1 2 (01) x tt x 3(1) ( ),(01) 2 t g tlntt t 2 (1)(4) ( )0 (2) tt g t t t ( )g t(0,1)( )g tg0