2021年中考数学专题复习 专题52 中考数学最值问题(教师版含解析)
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1、专题专题 52 中考数学最值问题中考数学最值问题 在中学数学题中,最值题是常见题型,围绕最大(小)值所出的数学题是各种各样,就其解法,主要分 为几何最值和代数最值两大部分。 一、解决几何最值问题的要领一、解决几何最值问题的要领 (1)两点之间线段最短; (2)直线外一点与直线上所有点的连线段中,垂线段最短; (3)三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边(重合时取到最值)。 二、解决代数最值问题的方法要领二、解决代数最值问题的方法要领 1.二次函数的最值公式 二次函数yaxbxc 2 (a、b、c 为常数且a 0)其性质中有 若a 0当x b a 2 时,y 有最小值。y acb a
2、 min 4 4 2 ; 若a 0当x b a 2 时,y 有最大值。y acb a max 4 4 2 。 2.一次函数的增减性.一次函数ykxb k()0的自变量 x 的取值范围是全体实数,图象是一条直线,因 而没有最大(小)值;但当mxn时,则一次函数的图象是一条线段,根据一次函数的增减性,就有最大 (小)值。 3. 判别式法.根据题意构造一个关于未知数 x 的一元二次方程;再根据 x 是实数,推得 0,进而求出 y 的取值范围,并由此得出 y 的最值。 4.构造函数法.“最值”问题中一般都存在某些变量变化的过程,因此它们的解往往离不开函数。 5. 利用非负数的性质.在实数范围内,显然有
3、abkk 22 ,当且仅当ab 0时,等号成立,即 abk 22 的最小值为 k。 6. 零点区间讨论法.用“零点区间讨论法”消去函数 y 中绝对值符号,然后求出 y 在各个区间上的最大值, 再加以比较,从中确定出整个定义域上的最大值。 7. 利用不等式与判别式求解.在不等式xa中,xa是最大值,在不等式xb中,xb是最小值。 8. “夹逼法”求最值.在解某些数学问题时,通过转化、变形和估计,将有关的量限制在某一数值范围内, 再通过解不等式获取问题的答案,这一方法称为“夹逼法” 。 【例题【例题 1】(2020黑龙江黑龙江)如图,在边长为 1 的菱形 ABCD 中,ABC60,将ABD 沿射线
4、 BD 方向平 移,得到EFG,连接 EC、GC求 EC+GC 的最小值为 【答案】3 【解析】根据菱形的性质得到 AB1,ABD30,根据平移的性质得到 EGAB1,EGAB,推出四 边形 EGCD 是平行四边形,得到 EDGC,于是得到 EC+GC 的最小值EC+GD 的最小值,根据平移的性 质得到点 E 在过点 A 且平行于 BD 的定直线上,作点 D 关于定直线的对称点 M,连接 CM 交定直线于 AE, 解直角三角形即可得到结论 在边长为 1 的菱形 ABCD 中,ABC60, ABCD1,ABD30, 将ABD 沿射线 BD 的方向平移得到EGF, EGAB1,EGAB, 四边形
5、ABCD 是菱形, ABCD,ABCD, BAD120, EGCD,EGCD, 四边形 EGCD 是平行四边形, EDGC, EC+GC 的最小值EC+ED 的最小值, 点 E 在过点 A 且平行于 BD 的定直线上, 作点 D 关于定直线的对称点 M,连接 CM 交定直线于 E, 则 CM 的长度即为 EC+DE 的最小值, EADADB30,AD1, ADM60,DHMH= 1 2AD= 1 2, DM1, DMCD, CDMMDG+CDB90+30120, MDCM30, CM2 3 2 CD= 3 【对点练习】【对点练习】(2020内江内江)如图,在矩形 ABCD 中,BC10,ABD
6、30,若点 M、N 分别是线段 DB、 AB 上的两个动点,则 AM+MN 的最小值为 【答案】15 【解析】作点 A 关于 BD 的对称点 A,连接 MA,BA,过点 AHAB 于 H首先证明ABA是等 边三角形,求出 AH,根据垂线段最短解决问题即可 解:作点 A 关于 BD 的对称点 A,连接 MA,BA,过点 AHAB 于 H BABA,ABDDBA30, ABA60, ABA是等边三角形, 四边形 ABCD 是矩形, ADBC10, 在 RtABD 中,AB= 30 =103, AHAB, AHHB53, AH= 3AH15, AM+MNAM+MNAH, AM+MN15, AM+MN
7、 的最小值为 15 【例题【例题 2】(2020襄阳襄阳)受新冠肺炎疫情影响,一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售 “一方有难,八 方支援”某水果经销商主动从该种植专业户购进甲,乙两种水果进行销售专业户为了感谢经销商的援助, 对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠,对乙种水果按 25 元/千克的价格出售设经销商购进甲种水果 x 千克,付款 y 元,y 与 x 之间的函数关系如图所示 (1)直接写出当 0 x50 和 x50 时,y 与 x 之间的函数关系式; (2)若经销商计划一次性购进甲, 乙两种水果共 100 千克, 且甲种水果不少于 40 千克, 但又不超过 60 千克 如 何分配甲,
8、乙两种水果的购进量,才能使经销商付款总金额 w(元)最少? (3)若甲,乙两种水果的销售价格分别为 40 元/千克和 36 元/千克经销商按(2)中甲,乙两种水果购进量的分 配比例购进两种水果共 a 千克,且销售完 a 千克水果获得的利润不少于 1650 元,求 a 的最小值 【分析】(1)由图可知 y 与 x 的函数关系式是分段函数,待定系数法求解析式即可 (2)设购进甲种水果为 a 千克,则购进乙种水果(100a)千克,根据实际意义可以确定 a 的范围,结合付款总 金额(元)与种水果的购进量之间的函数关系可以分类讨论最少费用为多少 (3)根据(2)的结论列不等式解答即可 【解析】(1)当
9、0 x50 是,设 ykx,根据题意得 50k1500, 解得 k30; y30 x; 当 x50 时,设 yk1x+b, 根据题意得, 50 + = 1500 70 + = 1980,解得 = 24 = 300, y24x+3000 y= 30(0 50) 24 + 300(50), (2)设购进甲种水果为 a 千克,则购进乙种水果(100a)千克, 40a60, 当 40a50 时,w130a+25(100a)5a+2500 当 a40 时wmin2700 元, 当 50a60 时,w224a+25(100a)a+2500 当 a60 时,wmin2440 元, 24402700, 当 a
10、60 时,总费用最少,最少总费用为 2440 元 此时乙种水果 1006040(千克) 答:购进甲种水果为 60 千克,购进乙种水果 40 千克,才能使经销商付款总金额 w(元)最少 (3)由题意得:(4024) 3 5a+(3625) 2 5 1650, 解得 117 6 7, a 为正整数, a118, a 的最小值为 118 【对点练习】【对点练习】(2020(2020 海南模拟海南模拟) )某水果店在两周内,将标价为 10 元/斤的某种水果,经过两次降价后的价格 为 8.1 元/斤,并且两次降价的百分率相同 (1)求该种水果每次降价的百分率; (2)从第一次降价的第 1 天算起,第x天
11、(x为正数)的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示. 已知该种水果的进价为 4.1 元/斤,设销售该水果第x(天)的利润为y(元),求y与x(1x15)之间的函数 关系式,并求出第几天时销售利润最大? 时间(天) 1x9 9x15 x15 售价(元/斤) 第 1 次降价后的价格 第 2 次降价后的价格 销量(斤) 803x 120 x 储存和损耗费用(元) 403x 3x 264x400 (3)在(2)的条件下,若要使第 15 天的利润比(2)中最大利润最多少 127.5 元,则第 15 天在第 14 天的价格基础上最多可降多少元? 【答案】看解析。 【解析】(1)设该种水果每次降价的
12、百分率为x,则第一次降价后的价格为 10(1x),第二次降价后的价格为 10(1x) 2,进而可得方程;(2)分两种情况考虑,先利用“利润(售价进价)销量储存和损耗费用” ,再 分别求利润的最大值,比较大小确定结论;(3)设第 15 天在第 14 天的价格基础上降a元,利用不等关系“(2) 中最大利润(8.1a4.1)销量储存和损耗费用127.5”求解 解答:(1)设该种水果每次降价的百分率为x,依题意得: 10(1x) 28.1 解方程得:x10.110%,x21.9(不合题意,舍去) 答:该种水果每次降价的百分率为 10% (2)第一次降价后的销售价格为:10(110%)9(元/斤), 当
13、 1x9 时,y(94.1)(803x)(403x)17.7x352; 当 9x15 时,y(8.14.1)(120 x)(3x 264x400)3x260 x80, 综上,y与x的函数关系式为:y 17.7x352(1x9,x为整数), 3x260 x80(9x15,x为整数) 当 1x9 时,y17.7x352,当x1 时,y最大334.3(元); 当 9x15 时,y3x 260 x803(x10)2380,当 x10 时,y最大380(元); 334.3380,在第 10 天时销售利润最大 (3)设第 15 天在第 14 天的价格上最多可降a元,依题意得: 380(8.1a4.1)(1
14、2015)(315 26415400)127.5, 解得:a0.5, 则第 15 天在第 14 天的价格上最多可降 0.5 元 所以当x 35时,最大利润为 1950 元。 【例题【例题 3】(2020乐山乐山)如图,在平面直角坐标系中,直线 yx 与双曲线 y= 交于 A、B 两点,P 是以点 C(2,2)为圆心,半径长 1 的圆上一动点,连结 AP,Q 为 AP 的中点若线段 OQ 长度的最大值为 2,则 k 的值为( ) A 1 2 B 3 2 C2 D 1 4 【答案】A 【分析】 确定 OQ 是ABP 的中位线, OQ 的最大值为 2, 故 BP 的最大值为 4, 则 BCBPPC4
15、13, 则(m2)2+(m2)232,即可求解 【解析】点 O 是 AB 的中点,则 OQ 是ABP 的中位线, 当 B、C、P 三点共线时,PB 最大,则 OQ= 1 2BP 最大, 而 OQ 的最大值为 2,故 BP 的最大值为 4, 则 BCBPPC413, 设点 B(m,m),则(m2)2+(m2)232, 解得:m2= 1 2, km(m)= 1 2 【对点练习】【对点练习】(2019(2019 云南云南) )如图,MN 是O 的直径,MN=4,AMN=40,点 B 为弧 AN 的中点,点 P 是直径 MN 上的一个动点,则 PA+PB 的最小值为 【答案】2 【解析】过 A 作关于
16、直线 MN 的对称点 A,连接 AB,由轴对称的性质可知 AB 即为 PA+PB 的最小值, 由对称的性质可知=,再由圆周角定理可求出AON 的度数,再由勾股定理即可求解过 A 作关 于直线 MN 的对称点 A,连接 AB,由轴对称的性质可知 AB 即为 PA+PB 的最小值, 连接 OB,OA,AA, AA关于直线 MN 对称,=, AMN=40, AON=80,BON=40,AOB=120, 过 O 作 OQAB 于 Q, 在 RtAOQ 中,OA=2, AB=2AQ=2, 即 PA+PB 的最小值 2 【例题【例题 4】(2020衡阳衡阳)在平面直角坐标系 xOy 中,关于 x 的二次函
17、数 yx2+px+q 的图象过点(1,0),(2, 0) (1)求这个二次函数的表达式; (2)求当2x1 时,y 的最大值与最小值的差; (3)一次函数 y(2m)x+2m 的图象与二次函数 yx2+px+q 的图象交点的横坐标分别是 a 和 b,且 a3 b,求 m 的取值范围 【答案】见解析。 【分析】(1)由二次函数的图象经过(1,0)和(2,0)两点,组成方程组再解即可求得二次函数的表达式; (2)求得抛物线的对称轴,根据图象即可得出当 x2,函数有最大值 4;当 x= 1 2是函数有最小值 9 4,进而 求得它们的差; (3)由题意得 x2x2(2m)x+2m,整理得 x2+(m3
18、)x+m40,因为 a2b,ab,(m3)2 4(m4)(m5)20,把 x3 代入(2m)x+2mx2x2,解得 m 1 2 【解析】(1)由二次函数 yx2+px+q 的图象经过(1,0)和(2,0)两点, 1 + = 0 4 + 2 + = 0,解得 = 1 = 2, 此二次函数的表达式 yx2x2; (2)抛物线开口向上,对称轴为直线 x= 1+2 2 = 1 2, 在2x1 范围内,当 x2,函数有最大值为:y4+224; 当 x= 1 2是函数有最小值:y= 1 4 1 2 2= 9 4, 的最大值与最小值的差为:4( 9 4) = 25 4 ; (3)y(2m)x+2m 与二次函
19、数 yx2x2 图象交点的横坐标为 a 和 b, x2x2(2m)x+2m,整理得 x2+(m3)x+m40 a3b ab (m3)24(m4)(m5)20 m5 a3b 当 x3 时,(2m)x+2mx2x2, 把 x3 代入(2m)x+2mx2x2,解得 m 1 2 m 的取值范围为 m 1 2 【对点练习】【对点练习】(2019 海南)如图,已知抛物线yax 2+bx+5 经过 A(5,0),B(4,3)两点,与x轴的另 一个交点为C,顶点为D,连结CD (1)求该抛物线的表达式; (2)点P为该抛物线上一动点(与点B、C不重合),设点P的横坐标为t 当点P在直线BC的下方运动时,求PB
20、C的面积的最大值; 该抛物线上是否存在点P,使得PBCBCD?若存在,求出所有点P的坐标;若不存在,请说明理由 【答案】见解析。 【解析】(1)将点A、B坐标代入二次函数表达式,即可求解; (2)SPBCPG(xCxB),即可求解;分点P在直线BC下方、上方两种情况,分别求解即可 解:(1)将点A、B坐标代入二次函数表达式得:,解得:, 故抛物线的表达式为:yx 2+6x+5, 令y0,则x1 或5, 即点C(1,0); (2)如图 1,过点P作y轴的平行线交BC于点G, 将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得: 直线BC的表达式为:yx+1, 设点G(t,t+1),则点P(t,t 2+6t
21、+5), SPBCPG(xCxB)(t+1t 26t5) t 2 t6, 0,SPBC有最大值,当t时,其最大值为; 设直线BP与CD交于点H, 当点P在直线BC下方时, PBCBCD,点H在BC的中垂线上, 线段BC的中点坐标为(,), 过该点与BC垂直的直线的k值为1, 设BC中垂线的表达式为:yx+m,将点(,)代入上式并解得: 直线BC中垂线的表达式为:yx4, 同理直线CD的表达式为:y2x+2, 联立并解得:x2,即点H(2,2), 同理可得直线BH的表达式为:yx1, 联立并解得:x或4(舍去4), 故点P(,); 当点P(P)在直线BC上方时, PBCBCD,BPCD, 则直线
22、BP的表达式为:y2x+s,将点B坐标代入上式并解得:s5, 即直线BP的表达式为:y2x+5, 联立并解得:x0 或4(舍去4), 故点P(0,5); 故点P的坐标为P(,)或(0,5) 【点拨】本题考查的是二次函数综合运用,涉及到一次函数、等腰三角形性质、图形的面积计算等,其中 (2),要主要分类求解,避免遗漏 【例题【例题 5 5】(2020(2020 无锡模拟无锡模拟) )如图,线段AB的长为 4,C为AB上一动点,分别以AC、BC为斜边在AB的同侧 作等腰直角ACD和等腰直角BCE,那么DE长的最小值是 【答案】4 【解析】设AC=x,BC=4x,根据等腰直角三角形性质,得出CD=
23、2 2 x,CD= 2 2 (4x), 根据勾股定理然后用配方法即可求解 解:设AC=x,BC=4x, ABC,BCD均为等腰直角三角形, CD= 2 2 x,CD= 2 2 (4x), ACD=45,BCD=45, DCE=90, DE 2=CD2+CE2=1 2 x 2+1 2 (4x) 2=x24x+8=(x2)2+4, 根据二次函数的最值, 当x取 2 时,DE取最小值,最小值为:4 【点拨】本题考查了二次函数最值及等腰直角三角形,难度不大,关键是掌握用配方法求二次函数最值 【对点练习】【对点练习】(2019(2019 年黑龙江大庆年黑龙江大庆) )如图,在 RtABC中,A90AB8
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