2021年中考数学专题复习 专题37 二次函数问题(教师版含解析)
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1、 专题专题 37 37 二次函数问题二次函数问题 1.二次函数的概念二次函数的概念: 一般地,自变量 x 和 y 之间存在如下关系: y=ax2+bx+c(a0,a、b、c 为常数),则称 y 为 x 的二次函 数。抛物线)0,( 2 acbacbxaxy是常数,叫做二次函数的一般式。 2.2.二次函数二次函数 y=axy=ax 2 2 +bx+c(a +bx+c(a0)0)的图像与性质的图像与性质 (1)对称轴: 2 b x a (2)顶点坐标: 2 4 (,) 24 bacb aa (3)与 y 轴交点坐标(0,c) (4)增减性: 当 a0 时,对称轴左边,y 随 x 增大而减小;对称轴
2、右边,y 随 x 增大而增大; 当 a0 时,抛物线的开口向上;当 a0 时,一元二次方程有两个不相等的实根,二次函数图像与 x 轴有两个交点; 2 4bac=0 时,一元二次方程有两个相等的实根,二次函数图像与 x 轴有一个交点; 2 4bac 。 它与 x 轴的两个交点分别为(1,0),(3,0),对称轴是 x=1, b =1 2a 。b+2a=0。故命题错误。 a0, b 0 2a ,b0。 又 c0,abc0。故命题正确。 b+2a=0,a2b+4c=a+2b4b+4c=4b+4c。 ab+c=0,4a4b+4c=0。4b+4c=4a。 a0,a2b+4c=4b+4c=4a0。故命题正
3、确。 根据图示知,当 x=4 时,y0,16a+4b+c0。 由知,b=2a,8a+c0。故命题正确。 正确的命题为:三个。故选 A。 【点拨】二次函数图象与系数的关系。 【例题【例题 2】(2020无锡无锡)二次函数 yax23ax+3 的图象过点 A(6,0),且与 y 轴交于点 B,点 M 在该抛物线 的对称轴上,若ABM 是以 AB 为直角边的直角三角形,则点 M 的坐标为 【答案】(3 2,9)或( 3 2,6) 【分析】把点 A(6,0)代入 yax23ax+3 得,036a18a+3,得到 y= 1 6x 2+1 2x+3,求得 B(0,3),抛物 线的对称轴为 x= 1 2 2
4、(1 6) = 3 2,设点 M 的坐标为:( 3 2,m),当ABM90,过 B 作 BD对称轴于 D, 当MAB90,根据三角函数的定义即可得到结论 【解析】把点 A(6,0)代入 yax23ax+3 得,036a18a+3, 解得:a= 1 6, y= 1 6x 2+1 2x+3, B(0,3),抛物线的对称轴为 x= 1 2 2(1 6) = 3 2, 设点 M 的坐标为:(3 2,m), 当ABM90, 过 B 作 BD对称轴于 D, 则123, tan2tan1= 6 3 =2, =2, DM3,M(3 2,6), 当MAB90,tan3= =tan1= 6 3 =2, MN9,M
5、(3 2,9), 综上所述,点 M 的坐标为(3 2,9)或( 3 2,6) 【对点练习】【对点练习】已知抛物线 y=ax23x+c(a0)经过点(2,4),则 4a+c1= 【答案】-3 【解析】二次函数图象上点的坐标特征将点(2,4)代入 y=ax23x+c(a0),即可求得 4a+c 的值,进一 步求得 4a+c1 的值 把点(2,4)代入 y=ax23x+c,得 4a+6+c=4, 4a+c=2, 4a+c1=3, 故答案为3 【例题【例题 3】(2020河南河南)如图,抛物线 yx2+2x+c 与 x 轴正半轴,y 轴正半轴分别交于点 A,B,且 OA OB,点 G 为抛物线的顶点
6、(1)求抛物线的解析式及点 G 的坐标; (2)点 M, N 为抛物线上两点(点 M 在点 N 的左侧), 且到对称轴的距离分别为 3 个单位长度和 5 个单位长度, 点 Q 为抛物线上点 M,N 之间(含点 M,N)的一个动点,求点 Q 的纵坐标 yQ的取值范围 【答案】见解析。 【分析】(1)先求出点 B,点 A 坐标,代入解析式可求 c 的值,即可求解; (2)先求出点 M,点 N 坐标,即可求解 【解析】(1)抛物线 yx2+2x+c 与 y 轴正半轴分别交于点 B, 点 B(0,c), OAOBc,点 A(c,0),0c2+2c+c,c3 或 0(舍去), 抛物线解析式为:yx2+2
7、x+3, yx2+2x+3(x1)2+4, 顶点 G 为(1,4); (2)yx2+2x+3(x1)2+4, 对称轴为直线 x1, 点 M, N 为抛物线上两点(点 M 在点 N 的左侧), 且到对称轴的距离分别为 3 个单位长度和 5 个单位长度, 点 M 的横坐标为2 或 4,点 N 的横坐标为 6, 点 M 坐标为(2,5)或(4,5),点 N 坐标(6,21), 点 Q 为抛物线上点 M,N 之间(含点 M,N)的一个动点, 21yQ4 【对点练习】【对点练习】如图,抛物线 y=x2bx+c 交 x 轴于点 A(1,0),交 y 轴于点 B,对称轴 是 x=2 (1)求抛物线的解析式;
8、 (2)点 P 是抛物线对称轴上的一个动点,是否存在点 P,使PAB 的周长最小?若存在,求出点 P 的坐标;若 不存在,请说明理由 【答案】见解析。 【解析】(1)由题意得, 解得 b=4,c=3, 抛物线的解析式为y=x24x+3; (2)点 A 与点 C 关于 x=2 对称, 连接 BC 与 x=2 交于点 P,则点 P 即为所求, 根据抛物线的对称性可知,点 C 的坐标为(3,0), y=x24x+3 与 y 轴的交点为(0,3), 设直线 BC 的解析式为:y=kx+b, , 解得,k=1,b=3, 直线 BC 的解析式为:y=x+3, 则直线 BC 与 x=2 的交点坐标为:(2,
9、1) 点 P 的交点坐标为:(2,1) 【点拨】本题考查的是待定系数法求二次函数的解析式和最短路径问题,掌握待定系数法求解析式的一般 步骤和轴对称的性质是解题的关键 一、选择题一、选择题 1(2020鄂州)如图,抛物线 yax2+bx+c(a0)与 x 轴交于点 A(1,0)和 B,与 y 轴交于点 C下列结论: abc0,2a+b0,4a2b+c0,3a+c0,其中正确的结论个数为( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【答案】B 【分析】由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系,由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系,然后根据对称 轴求出 2a 与 b 的关系 【解析】
10、由抛物线的开口向上知 a0, 对称轴位于 y 轴的右侧, b0 抛物线与 y 轴交于负半轴, c0, abc0; 故错误;对称轴为 x= 2 1,得 2ab,即 2a+b0, 故错误; 如图,当 x2 时,y0,4a2b+c0, 故正确; 当 x1 时,y0, 0ab+ca+2a+c3a+c,即 3a+c0 故正确 综上所述,有 2 个结论正确 2 (2020株洲)二次函数 yax2+bx+c, 若 ab0, ab20, 点 A(x1, y1), B(x2, y2)在该二次函数的图象上, 其中 x1x2,x1+x20,则( ) Ay1y2 By1y2 Cy1y2 Dy1、y2的大小无法确定 【
11、答案】B 【分析】首先分析出 a,b,x1的取值范围,然后用含有代数式表示 y1,y2,再作差法比较 y1,y2的大小 【解析】ab20,b20, a0 又ab0, b0, x1x2,x1+x20, x2x1,x10 点 A(x1,y1),B(x2,y2)在该二次函数 yax2+bx+c 的图象上, 1= 12+ 1+ ,2= 22+ 2+ = 12 1+ y1y22bx10 y1y2 3(2020襄阳)二次函数 yax2+bx+c 的图象如图所示,下列结论: ac0;3a+c0;4acb20;当 x1 时,y 随 x 的增大而减小 其中正确的有( ) A4 个 B3 个 C2 个 D1 个
12、【答案】B 【分析】二次函数图象与系数的关系以及二次函数的性质,逐一分析判断即可 【解析】抛物线开口向上,且与 y 轴交于负半轴, a0,c0, ac0,结论正确; 抛物线对称轴为直线 x1, 2 =1, b2a, 抛物线经过点(1,0), ab+c0, a+2a+c0,即 3a+c0,结论正确; 抛物线与 x 轴由两个交点, b24ac0,即 4acb20,结论正确; 抛物线开口向上,且抛物线对称轴为直线 x1, 当 x1 时,y 随 x 的增大而减小,结论错误; 4(2020广东)把函数 y(x1)2+2 图象向右平移 1 个单位长度,平移后图象的的数解析式为( ) Ayx2+2 By(x
13、1)2+1 Cy(x2)2+2 Dy(x1)23 【答案】C 【分析】先求出 y(x1)2+2 的顶点坐标,再根据向右平移横坐标加,求出平移后的二次函数图象顶点坐 标,然后利用顶点式解析式写出即可 【解析】二次函数 y(x1)2+2 的图象的顶点坐标为(1,2), 向右平移 1 个单位长度后的函数图象的顶点坐标为(2,2), 所得的图象解析式为 y(x2)2+2 5(2020菏泽)一次函数 yacx+b 与二次函数 yax2+bx+c 在同一平面直角坐标系中的图象可能是( ) A B C D 【答案】B 【分析】先由二二次函数 yax2+bx+c 的图象得到字母系数的正负,再与一次函数 yac
14、x+b 的图象相比较 看是否一致 【解析】A.由抛物线可知,a0,b0,c0,则 ac0,由直线可知,ac0,b0,故本选项错误; B.由抛物线可知,a0,b0,c0,则 ac0,由直线可知,ac0,b0,故本选项正确; C.由抛物线可知,a0,b0,c0,则 ac0,由直线可知,ac0,b0,故本选项错误; D.由抛物线可知,a0,b0,c0,则 ac0,由直线可知,ac0,b0,故本选项错误 6 (2020天津)已知抛物线 yax2+bx+c(a, b, c 是常数, a0, c1)经过点(2, 0), 其对称轴是直线 x= 1 2 有 下列结论: abc0; 关于 x 的方程 ax2+b
15、x+ca 有两个不等的实数根; a 1 2 其中,正确结论的个数是( ) A0 B1 C2 D3 【答案】C 【分析】由题意得到抛物线的开口向下,对称轴 2 = 1 2,ba,判断 a,b 与 0 的关系,得到 abc0, 即可判断; 根据题意得到抛物线开口向下,顶点在 x 轴上方,即可判断; 根据抛物线 yax2+bx+c 经过点(2,0)以及 ba,得到 4a2a+c0,即可判断 【解析】抛物线的对称轴为直线 x= 1 2, 而点(2,0)关于直线 x= 1 2的对称点的坐标为(1,0), c1, 抛物线开口向下, a0, 抛物线对称轴为直线 x= 1 2, 2 = 1 2, ba0, a
16、bc0,故错误; 抛物线开口向下,与 x 轴有两个交点, 顶点在 x 轴的上方, a0, 抛物线与直线 ya 有两个交点, 关于 x 的方程 ax2+bx+ca 有两个不等的实数根;故正确; 抛物线 yax2+bx+c 经过点(2,0), 4a+2b+c0, ba, 4a2a+c0,即 2a+c0, 2ac, c1, 2a1, a 1 2,故正确, 7(2020陕西)在平面直角坐标系中,将抛物线 yx2(m1)x+m(m1)沿 y 轴向下平移 3 个单位则平移 后得到的抛物线的顶点一定在( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【答案】D 【分析】根据平移规律得到平移后抛物线的顶
17、点坐标,然后结合 m 的取值范围判断新抛物线的顶点所在的 象限即可 【解析】yx2(m1)x+m(x 1 2 )2+m (1)2 4 , 该抛物线顶点坐标是(1 2 ,m (1)2 4 ), 将其沿 y 轴向下平移 3 个单位后得到的抛物线的顶点坐标是(1 2 ,m (1)2 4 3), m1, m10, 1 2 0, m (1)2 4 3= 4(22+1)12 4 = (3)24 4 = (3)2 4 10, 点(1 2 ,m (1)2 4 3)在第四象限; 8.(2019 哈尔滨哈尔滨)将抛物线 2 2xy 向上平移 3 个单位长度,再向右平移 2 个单位长度,所得到的抛物线 为( ) A
18、3)2(2 2 xy B3)2(2 2 xy C3)2(2 2 xy D3)2(2 2 xy 【答案】B 【解析】将抛物线 y2x2向上平移 3 个单位长度,再向右平移 2 个单位长度,得到的抛物线的解析式为 y 2(x2)2+3,故选 B 9.(2019 年陕西省年陕西省)已知抛物线 2 (1)yxmxm,当1x 时,0y ,且当2x时, y 的值随 x 值 的增大而减小,则 m 的取值范围是( ) A1m B3m C13m D34m 【答案】C 【解析】根据“当1x 时,0y ” ,得到一个关于 m 不等式,在根据抛物线 2 (1)yxmxm,可知 抛物线开口向上, 再在根据 “当2x时,
19、 y 的值随 x 值的增大而减小” , 可知抛物线的对称轴在直线2x 的右侧或者是直线2x,从而列出第二个关于 m 的不等式,两个不等式联立,即可解得答案 因为抛物线 2 (1)yxmxm, 所以抛物线开口向上 因为当1x 时,0y , 所以 2 1(1) 10mm , 因为当2x时, y 的值随 x 值的增大而减小, 所以可知抛物线的对称轴在直线2x的右侧或者是直线2x, 所以 1 2 2 1 m , 联立不等式,解得13m 10.(2019 广西梧州广西梧州)已知0m ,关于x的一元二次方程(1)(2)0 xxm的解为 1 x, 212 ()xxx,则下列 结论正确的是( ) A 12 1
20、2xx B 12 12xx C 12 12xx D 12 12xx 【答案】A 【解析】关于x的一元二次方程(1)(2)0 xxm的解为 1 x, 2 x,可以看作二次函数(1)(2)mxx与x 轴交点的横坐标, 二次函数(1)(2)mxx与x轴交点坐标为( 1,0),(2,0),如图: 当0m 时,就是抛物线位于x轴上方的部分,此时1x ,或2x ; 又 12 xx 1 1x , 2 2x ; 12 12xx , 故选:A 二、填空题二、填空题 11(2020南京)下列关于二次函数 y(xm)2+m2+1(m 为常数)的结论:该函数的图象与函数 yx2 的图象形状相同;该函数的图象一定经过点
21、(0,1);当 x0 时,y 随 x 的增大而减小;该函数的图 象的顶点在函数 yx2+1 的图象上其中所有正确结论的序号是 【答案】 【分析】利用二次函数的性质一一判断即可 【解析】二次函数 y(xm)2+m+1(m 为常数)与函数 yx2的二次项系数相同, 该函数的图象与函数 yx2的图象形状相同,故结论正确; 在函数 y(xm)2+m2+1 中,令 x0,则 ym2+m2+11, 该函数的图象一定经过点(0,1),故结论正确; y(xm)2+m2+1, 抛物线开口向下,对称轴为直线 xm,当 xm 时,y 随 x 的增大而减小,故结论错误; 抛物线开口向下,当 xm 时,函数 y 有最大
22、值 m2+1, 该函数的图象的顶点在函数 yx2+1 的图象上故结论正确. 12(2020连云港)加工爆米花时,爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率” 在特定条件下,可食用率 y 与加工时间 x(单位:min)满足函数表达式 y0.2x2+1.5x2,则最佳加工时间为 min 【答案】3.75 【分析】根据二次函数的性质可得 【解析】根据题意:y0.2x2+1.5x2, 当 x= 1.5 2(0.2) =3.75 时,y 取得最大值, 则最佳加工时间为 3.75min 13(2020泰安)已知二次函数 yax2+bx+c(a,b,c 是常数,a0)的 y 与 x 的部分对应值如下表: x 5
23、 4 2 0 2 y 6 0 6 4 6 下列结论: a0; 当 x2 时,函数最小值为6; 若点(8,y1),点(8,y2)在二次函数图象上,则 y1y2; 方程 ax2+bx+c5 有两个不相等的实数根 其中,正确结论的序号是 (把所有正确结论的序号都填上) 【答案】 【分析】任意取表格中的三组对应值,求出二次函数的关系式,再根据二次函数的图象与系数之间的关系 进行判断即可 【解析】将(4,0)(0,4)(2,6)代入 yax2+bx+c 得, 16 4 + = 0 = 4 4 + 2 + = 6 ,解得, = 1 = 3 = 4 , 抛物线的关系式为 yx2+3x4, a10,因此正确;
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