2021年中考数学专题复习 专题33 中考几何折叠翻折类问题(教师版含解析)
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1、 专题专题 33 33 中考几何折叠翻折类问题中考几何折叠翻折类问题 1.1.轴对称轴对称( (折痕折痕) )的性质:的性质: (1)成轴对称的两个图形全等。 (2)对称轴与连结“对应点的线段”垂直。 (3)对应点到对称轴的距离相等。 (4)对应点的连线互相平行。 也就是不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称,对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平 分线.对称的图形都全等. 2.2.折叠或者翻折试题解决哪些问题折叠或者翻折试题解决哪些问题 (1)求角度大小; (2)求线段长度; (3)求面积; (4)其他综合问题。 3.3.解决折叠问题的思维方法解决折叠问题的思维方法 (1)折叠后能够
2、重合的线段相等,能够重合的角相等,能够重合的三角形全等,折叠前后的图形关于折痕对 称,对应点到折痕的距离相等。 (2)折叠类问题中,如果翻折的直角,那么可以构造三垂直模型,利用三角形相似解决问题。 (3)折叠类问题中,如果有平行线,那么翻折后就可能有等腰三角形,或者角平分线。这对解决问题有很大 帮助。 (4)折叠类问题中,如果有新的直角三角形出现,可以设未知数,利用勾股定理构造方程解决。 (5)折叠类问题中,如果折痕经过某一个定点,往往用辅助圆解决问题。一般试题考查点圆最值问题。 (6)折叠后的图形不明确,要分析可能出现的情况,一次分析验证可以利用纸片模型分析。 【例题【例题 1 1】(202
3、0(2020哈尔滨哈尔滨) )如图,在 RtABC中,BAC90,B50,ADBC,垂足为D,ADB与 ADB关于直线AD对称,点B的对称点是点B,则CAB的度数为( ) A10 B20 C30 D40 【答案】A 【解析】由余角的性质可求C40,由轴对称的性质可得ABBB50,由外角性质可求解 BAC90,B50, C40, ADB与ADB关于直线AD对称,点B的对称点是点B, ABBB50, CABABBC10。 【对点练习】【对点练习】(2019(2019 重庆重庆) )如图,在ABC 中,ABC=45,AB=3,ADBC 于点 D,BEAC 于点 E,AE=1, 连接 DE,将AED
4、沿直线沿直线 AE 翻折至ABC 所在的平面内,得到AEF,连接 DF,过点 D 作 DGDE 交 BE 于点 G.则四边形 DFEG 的周长为( ) A.8 B.24 C.422 D.223 . 【答案】D. 【解析】 易证AEDAEFBGD,得 ED=EF=GD,DGE=45, 进而得BGD=AED=AEF=135, 易得DEG 和DEF 都是等腰直角三角形, 设 DG=x,则 EG=2x, 注意 AB=3,BG=AE=1,AEB=90, 可解得 x= 2 2 2 . 【例题【例题 2 2】(2020(2020 贵州黔西南贵州黔西南) )如图,对折矩形纸片 ABCD,使 AB 与 DC 重
5、合得到折痕 EF,将纸片展平,再一 次折叠,使点 D 落到 EF 上点 G 处,并使折痕经过点 A,已知 BC2,则线段 EG 的长度为_ 【答案】3 【解析】直接利用翻折变换的性质以及直角三角形的性质得出2=4,再利用平行线的性质得出1=2= 3,进而得出答案 解:如答图,由第一次折叠得 EFAD,AEDE, AEF90,AD2AE 四边形 ABCD 是矩形, DDAB90, AEFD, EFCD, AENADM, AN AM AE AD 1 2 , AN 1 2 AM, ANMN, 又由第二次折叠得AGMD90, NG 1 2 AM, ANNG, 24 由第二次折叠得12, 14 ABCD
6、,EFCD, EFAB,34, 123 123DAB90, 12330 四边形 ABCD 是矩形, ADBC2 由第二次折叠得 AGAD2 由第一次折叠得 AE 1 2 AD 1 2 21 在 RtAEG 中,由勾股定理得 EG 22 AGAE 22 21 3 【点拨】此题主要考查了翻折变换的性质以及矩形的性质,正确得出2=4 是解题关键 【对点练习】【对点练习】(2019 四川内江)如图,在菱形ABCD中,simB,点E,F分别在边AD、BC上,将四边形 AEFB沿EF翻折,使AB的对应线段MN经过顶点C,当MNBC时,的值是 【答案】 【解析】延长CM交AD于点G, 将四边形AEFB沿EF
7、翻折, AEME,AEMC,BFFN,BN,ABMN 四边形ABCD是菱形 ABBCCDAD,BD,A+B180 simBsinN, 设CF4x,FN5x, CN3x, BC9xABCDAD, simBsinD GC GMGC(MNCN)6xx A+B180,EMC+EMG180 BEMG sinBsinEMG cosEMG EM2x, AE2x, 故答案为: 【例题【例题 3 3】(2020(2020 衢州模拟衢州模拟) )如图 1,将矩形 ABCD 沿 DE 折叠,使顶点 A 落在 DC 上的点 A处,然后将矩形 展平,沿 EF 折叠,使顶点 A 落在折痕 DE 上的点 G 处再将矩形 A
8、BCD 沿 CE 折叠,此时顶点 B 恰好落在 DE 上的点 H 处如图 2 (1)求证:EG=CH; (2)已知 AF=,求 AD 和 AB 的长 【答案】见解析。 【解析】本题考查了折叠的性质:折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变, 位置变化,对应边和对应角相等也考查了全等三角形的判定与性质,矩形的性质,勾股定理等知识 (1)证明:由折叠知 AE=AD=EG,BC=CH, 四边形 ABCD 是矩形, AD=BC, EG=CH; (2)解:ADE=45,FGE=A=90,AF=, DG=,DF=2, AD=AF+DF=+2; 由折叠知AEF=GEF,BEC=HEC,
9、 GEF+HEC=90,AEF+BEC=90, AEF+AFE=90, BEC=AFE, 在AEF 与BCE 中, , AEFBCE(AAS), AF=BE, AB=AE+BE=+2+=2+2 【对点练习】【对点练习】(2019(2019 徐州徐州) )如图,将平行四边形纸片ABCD沿一条直线折叠,使点A与点C重合,点D落在点 G处,折痕为EF求证: (1)ECBFCG; (2)EBCFGC 【答案】见解析。 【解析】 依据平行四边形的性质, 即可得到ABCD, 由折叠可得, AECG, 即可得到ECBFCG; 依据平行四边形的性质,即可得出DB,ADBC,由折叠可得,DG,ADCG,即可得到
10、B G,BCCG,进而得出EBCFGC 证明:(1)四边形ABCD是平行四边形, ABCD, 由折叠可得,AECG, BCDECG, BCDECFECGECF, ECBFCG; (2)四边形ABCD是平行四边形, DB,ADBC, 由折叠可得,DG,ADCG, BG,BCCG, 又ECBFCG, EBCFGC(ASA) 一、选择题一、选择题 1.(20201.(2020青岛青岛) )如图,将矩形ABCD折叠,使点C和点A重合,折痕为EF,EF与AC交于点O若AE5,BF 3,则AO的长为( ) A5 B3 2 5 C25 D45 【答案】C 【解析】由矩形的性质,折叠轴对称的性质,可求出AFF
11、CAE5,由勾股定理求出AB,AC,进而求出 OA即可 矩形ABCD, ADBC,ADBC,ABCD, EFCAEF, AEAF3, 由折叠得,FCAF,OAOC, BC3+58, 在 RtABF中,AB= 52 32=4, 在 RtABC中,AC= 42+ 82=45, OAOC25, 2(2020(2020枣庄枣庄) )如图,在矩形纸片ABCD中,AB3,点E在边BC上,将ABE沿直线AE折叠,点B恰好落 在对角线AC上的点F处,若EACECA,则AC的长是( ) A33 B4 C5 D6 【答案】D 【解析】根据折叠的性质得到AFAB,AFEB90,根据等腰三角形的性质得到AFCF,于是
12、得到 结论 将ABE沿直线AE折叠,点B恰好落在对角线AC上的点F处, AFAB,AFEB90, EFAC, EACECA, AECE, AFCF, AC2AB6 3(2020(2020广东广东) )如图,在正方形ABCD中,AB3,点E,F分别在边AB,CD上,EFD60若将四边形 EBCF沿EF折叠,点B恰好落在AD边上,则BE的长度为( ) A1 B2 C3 D2 【答案】D 【解析】由正方形的性质得出EFDBEF60,由折叠的性质得出BEFFEB60,BEBE, 设BEx,则BEx,AE3x,由直角三角形的性质可得:2(3x)x,解方程求出x即可得出答案 四边形ABCD是正方形, AB
13、CD,A90, EFDBEF60, 将四边形EBCF沿EF折叠,点B恰好落在AD边上, BEFFEB60,BEBE, AEB180BEFFEB60, BE2AE, 设BEx,则BEx,AE3x, 2(3x)x, 解得x2 4如图,三角形纸片 ABC,AB=AC,BAC=90,点 E 为 AB 中点沿过点 E 的直线折叠,使点 B 与点 A 重 合,折痕现交于点 F已知 EF=,则 BC 的长是( ) A B C3 D 【答案】B 【解析】由折叠的性质可知B=EAF=45,所以可求出AFB=90,再直角三角形的性质可知 EF=AB, 所以 AB=AC 的长可求,再利用勾股定理即可求出 BC 的长
14、 沿过点 E 的直线折叠,使点 B 与点 A 重合, B=EAF=45, AFB=90, 点 E 为 AB 中点, EF=AB,EF=, AB=AC=3, BAC=90, BC=3 5如图,已知 D 为ABC 边 AB 的中点,E 在 AC 上,将ABC 沿着 DE 折叠,使 A 点落在 BC 上的 F 处若 B=65,则BDF 等于( ) A 65 B 50 C 60 D 57.5 【答案】B 【解析】先根据图形翻折不变性的性质可得 AD=DF,根据等边对等角的性质可得B=BFD,再根据三角形 的内角和定理列式计算即可求解 DEF 是DEA 沿直线 DE 翻折变换而来, AD=DF, D 是
15、 AB 边的中点, AD=BD,BD=DF,B=BFD, B=65, BDF=180BBFD=1806565=50 6如图,在矩形 OABC 中,OA=8,OC=4,沿对角线 OB 折叠后,点 A 与点 D 重合,OD 与 BC 交于点 E,则点 D 的坐标是( ) A (4,8) B (5,8) C (,) D (,) 【答案】C 【解析】 此题考查了翻折变换(折叠问题),坐标与图形性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理,熟练 掌握折叠的性质是解本题的关键 由四边形 ABCD 为矩形,利用矩形的性质得到两对边相等,再利用折叠的性质得到 OA=OD,两对角相等,利 用 HL 得到直角三角形 B
16、OC 与直角三角形 BOD 全等,利用全等三角形对应角相等及等角对等边得到 OE=EB, 在直角三角形 OCE 中,设 CE=x,表示出 OE,利用勾股定理求出 x 的值,确定出 CE 与 OE 的长,进而由三角 形 COE 与三角形 DEF 相似,求出 DF 与 EF 的长,即可确定出 D 坐标 矩形 ABCD 中,OA=8,OC=4, BC=OA=8,AB=OC=4, 由折叠得到 OD=OA=BC,AOB=DOB,ODB=BAO=90, 在 RtCBP 和 RtDOB 中, , RtCBPRtDOB(HL), CBO=DOB, OE=EB, 设 CE=x,则 EB=OE=8x, 在 RtC
17、OE 中,根据勾股定理得:(8x) 2=x2+42, 解得:x=3, CE=3,OE=5,DE=3, 过 D 作 DFBC,可得COEFDE, =,即= =, 解得:DF=,EF= , DF+OC=+4=,CF=3+ =, 则 D(,) 7 7(2019(2019 海南海南) )如图,在ABCD中,将ADC沿AC折叠后,点D恰好落在DC的延长线上的点E处若B 60,AB3,则ADE的周长为( ) A12 B15 C18 D21 【答案】C 【解析】依据平行四边形的性质以及折叠的性质,即可得到BC2AB6,AD6,再根据ADE是等边三角 形,即可得到ADE的周长为 6318 解:由折叠可得,AC
18、DACE90, BAC90, 又B60, ACB30, BC2AB6, AD6, 由折叠可得,EDB60, DAE60, ADE是等边三角形, ADE的周长为 6318 8 8(2019(2019 桂林桂林) )将矩形ABCD按如图所示的方式折叠,BE,EG,FG为折痕,若顶点A,C,D都落在点O处, 且点B,O,G在同一条直线上,同时点E,O,F在另一条直线上,则的值为( ) A B C D 【答案】B 11 【解析】由折叠可得,AEOEDE,CGOGDG, E,G分别为AD,CD的中点, 设CD2a,AD2b,则AB2aOB,DGOGCGa,BG3a,BCAD2b, C90, RtBCG中
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