2021年中考数学专题复习 专题29 几何问题辅助线添加技巧(教师版含解析)
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1、 专题专题 29 几何问题辅助线添加技巧几何问题辅助线添加技巧 全国各地每年的中考试卷里都会出现考查几何的证明和计算问题,在解答试题过程中,我们发现当题 设条件不够,必须添加辅助线,把分散条件集中,建立已知和未知的桥梁,结合学过的知识,采用一定的 数学方法,把问题转化为自己能解决的问题。学会添加辅助线技巧,是培养学生科学思维、科学探究的重 要途径。所以希望大家学深学透添加辅助线的技巧和方法。 一、以基本图形为切入点研究添加辅助线的技巧策略一、以基本图形为切入点研究添加辅助线的技巧策略 1.三角形问题 方法 1:有关三角形中线的题目,常将中线加倍。含有中点的题目,常常利用三角形的中位线,通过这种
2、方 法,把要证的结论恰当的转移,很容易地解决了问题。 方法 2:含有平分线的题目,常以角平分线为对称轴,利用角平分线的性质和题中的条件,构造出全等三角 形,从而利用全等三角形的知识解决问题。 方法 3:结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形,或利用关于平分线段的一些定理。 方法 4:结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目,常采用截长法或补短法,所谓截长法 就是把第三条线段分成两部分,证其中的一部分等于第一条线段,而另一部分等于第二条线段。 2.平行四边形问题 平行四边形(包括矩形、正方形、菱形)的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质,所以在添辅 助线方法上也有共同之处
3、,目的都是造就线段的平行、垂直,构成三角形的全等、相似,把平行四边形问 题转化成常见的三角形、正方形等问题处理,其常用方法有下列几种,举例简解如下: (1)连对角线或平移对角线: (2)过顶点作对边的垂线构造直角三角形; (3)连接对角线交点与一边中点,或过对角线交点作一边的平行线,构造线段平行或中位线; (4)连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段,构造三角形相似或等积三角形; (5)过顶点作对角线的垂线,构成线段平行或三角形全等。 3.梯形问题 梯形是一种特殊的四边形。它是平行四边形、三角形知识的综合,通过添加适当的辅助线将梯形问题 化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。辅助线的添加成
4、为问题解决的桥梁,梯形中常用到的辅助线 有: (1)在梯形内部平移一腰; (2)梯形外平移一腰; (3)梯形内平移两腰; (4)延长两腰; (5)过梯形上底的两端点向下底作高; (6)平移对角线; (7)连接梯形一顶点及一腰的中点; (8)过一腰的中点作另一腰的平行线; (9)作中位线。 当然在梯形的有关证明和计算中,添加的辅助线并不一定是固定不变的、单一的。通过辅助线这座桥 梁,将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决,这是解决问题的关键。 4.圆中常用辅助线的添法 在平面几何中,解决与圆有关的问题时,常常需要添加适当的辅助线,架起题设和结论间的桥梁,从 而使问题化难为易,顺其自然地
5、得到解决,因此,灵活掌握作辅助线的一般规律和常见方法,对提高学生 分析问题和解决问题的能力是大有帮助的。 (1)见弦作弦心距。有关弦的问题,常作其弦心距(有时还须作出相应的半径),通过垂径平分定理,来沟通 题设与结论间的联系。 (2)见直径作圆周角。在题目中若已知圆的直径,一般是作直径所对的圆周角,利用直径所对的圆周角是 直角这一特征来证明问题。 (3)见切线作半径。命题的条件中含有圆的切线,往往是连结过切点的半径,利用切线与半径垂直这一性 质来证明问题。 (4)两圆相切作公切线。对两圆相切的问题,一般是经过切点作两圆的公切线或作它们的连心线,通过公切 线可以找到与圆有关的角的关系。 (5)两
6、圆相交作公共弦。对两圆相交的问题,通常是作出公共弦,通过公共弦既可把两圆的弦联系起来,又 可以把两圆中的圆周角或圆心角联系起来。 二、添加辅助线的重要方法总结二、添加辅助线的重要方法总结 1.中点、中位线,延线,平行线。如遇条件中有中点,中线、中位线等,那么过中点,延长中线或中位线 作辅助线,使延长的某一段等于中线或中位线;另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线,以达到 应用某个定理或造成全等的目的。 2.垂线、分角线,翻转全等。如遇条件中,有垂线或角的平分线,可以把图形按轴对称的方法,并借助其 他条件,而旋转 180 度,得到全等形, ,这时辅助线的做法就会应运而生。其对称轴是垂线或角的
7、平分线。 3. 边边若相等,旋转。如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等,有时边角互相配合,然后把图形旋转 一定的角度,就可以得到全等形,这时辅助线的做法仍会应运而生。其对称中心,因题而异,有时没有中 心。故可分“有心”和“无心”旋转两种。 4. 造角、平移、相似,和、差、积、商。如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等,欲证线段或角的和 差积商,往往与相似形有关。在制造两个三角形相似时,一般地,有两种方法:第一,造一个辅助角等于 已知角;第二,是把三角形中的某一线段进行平移。故作歌诀: “造角、平、相似,和差积商见。 ” 5.两圆若相交,连心公共弦。如果条件中出现两圆相交,那么辅助线往往是连心
8、线或公共弦。 6.两圆相切、离,连心,公切线。如条件中出现两圆相切(外切,内切),或相离(内含、外离),那么, 辅助线往往是连心线或内外公切线。 7. 切线连直径,直角与半圆。如果条件中出现圆的切线,那么辅助线是过切点的直径或半径使出现直角; 相反,条件中是圆的直径,半径,那么辅助线是过直径(或半径)端点的切线。即切线与直径互为辅助线。 如果条件中有直角三角形,那么作辅助线往往是斜边为直径作辅助圆,或半圆;相反,条件中有半圆,那 么在直径上找圆周角直角为辅助线。即直角与半圆互为辅助线。 8. 弧、弦、弦心距;平行、等距、弦。如遇弧,则弧上的弦是辅助线;如遇弦,则弦心距为辅助线。如遇 平行线,则
9、平行线间的距离相等,距离为辅助线;反之,亦成立。如遇平行弦,则平行线间的距离相等, 所夹的弦亦相等,距离和所夹的弦都可视为辅助线,反之,亦成立。有时,圆周角,弦切角,圆心角,圆 内角和圆外角也存在因果关系互相联想作辅助线。 9.面积找底高,多边变三边。如遇求面积,(在条件和结论中出现线段的平方、乘积,仍可视为求面积), 往往作底或高为辅助线,而两三角形的等底或等高是思考的关键。如遇多边形,想法割补成三角形;反之, 亦成立。 三、初中几何常见辅助线作法歌诀三、初中几何常见辅助线作法歌诀 人说几何很困难,难点就在辅助线。 辅助线,如何添?把握定理和概念。 还要刻苦加钻研,找出规律凭经验。 辅助线,
10、是虚线,画图注意勿改变。 假如图形较分散,对称旋转去实验。 基本作图很关键,平时掌握要熟练。 解题还要多心眼,经常总结方法显。 切勿盲目乱添线,方法灵活应多变。 分析综合方法选,困难再多也会减。 虚心勤学加苦练,成绩上升成直线。 三角形三角形 图中有角平分线,可向两边作垂线。 也可将图对折看,对称以后关系现。 角平分线平行线,等腰三角形来添。 角平分线加垂线,三线合一试试看。 线段垂直平分线,常向两端把线连。 要证线段倍与半,延长缩短可试验。 三角形中两中点,连接则成中位线。 三角形中有中线,延长中线等中线。 四边形四边形 平行四边形出现,对称中心等分点。 梯形里面作高线,平移一腰试试看。 平
11、行移动对角线,补成三角形常见。 证相似,比线段,添线平行成习惯。 等积式子比例换,寻找线段很关键。 直接证明有困难,等量代换少麻烦。 斜边上面作高线,比例中项一大片。 圆圆 半径与弦长计算,弦心距来中间站。 圆上若有一切线,切点圆心半径连。 切线长度的计算,勾股定理最方便。 要想证明是切线,半径垂线仔细辨。 是直径,成半圆,想成直角径连弦。 弧有中点圆心连,垂径定理要记全。 圆周角边两条弦,直径和弦端点连。 弦切角边切线弦,同弧对角等找完。 要想作个外接圆,各边作出中垂线。 还要作个内接圆,内角平分线梦圆。 如果遇到相交圆,不要忘作公共弦。 内外相切的两圆,经过切点公切线。 若是添上连心线,切
12、点肯定在上面。 要作等角添个圆,证明题目少困难。 【例题【例题 1 1】(2020(2020 广东梅州模拟广东梅州模拟) )如图,AOE=BOE=15,EFOB,ECOB,若 EC=1,则 EF= 【答案】【答案】2 【分析】【分析】作 EGOA 于 F, EFOB,OEF=COE=15, AOE=15,EFG=15+15=30。 EG=CE=1,EF=21=2。 【点拨】【点拨】角平分线的性质,平行的性质,三角形外角性质,含 30 度角的直角三角形的性质。 【对点练习】【对点练习】如图,在ABC 中,AB=AC,BDAC 于 D。求证:DBC= 1 2 BAC. 【答案】 见解析。 【解析】
13、证明:如图,作 AEBC 于 E,则EAC+C=90 AB=AC EAG=1 2 BAC BDAC 于 D DBC+C=90 EAC=DBC(同角的余角相等) 即DBC= 1 2 BAC。 E C A B D C A B D 【点拨】 DBC、 BAC 分别在直角三角形和等腰三角形中, 由所证的结论 “DBC= BAC” 中含有角的倍、 半关系,因此,可以做A 的平分线,利用等腰三角形三线合一的性质,把A 放在直角三角形中求解; 也可以把DBC 沿 BD 翻折构造 2DBC 求解。 【例题【例题 2 2】(2019(2019 江苏常熟江苏常熟) )如图,在矩形ABCD中,AD3AB3,点P是A
14、D的中点,点E在BC上,CE 2BE,点M、N在线段BD上若PMN是等腰三角形且底角与DEC相等,则MN 【答案】6 【解析】作PFMN于F,如图所示: 则PFMPFN90, 四边形ABCD是矩形, ABCD,BCAD3AB3,AC90, ABCD,BD10, 点P是AD的中点, PDAD, PDFBDA, PDFBDA, ,即, 解得:PF, CE2BE, BCAD3BE, BECD, CE2CD, PMN是等腰三角形且底角与DEC相等,PFMN, MFNF,PNFDEC, PFNC90, PNFDEC, 2, NF2PF3, MN2NF6 【对点练习】【对点练习】已知,如图,在ABCD 中
15、,AB = 2BC,M 为 AB 中点 求证:CMDM 【答案】见解析。 【解析】证明:延长 DM、CB 交于 N 四边形 ABCD 为平行四边形 3 2 1 N M B A D C AD = BC,ADBC A = NBA ADN =N 又AM = BM AMDBMN AD = BN BN = BC AB = 2BC,AM = BM BM = BC = BN 1 =2,3 =N 123N = 180 o, 13 = 90 o CMDM 【点拨】有以平行四边形一边中点为端点的线段时常延长此线段. 【例题【例题 3 3】(2020(2020金华金华) )如图,O是等边ABC的内切圆,分别切AB,
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