2021年中考数学专题复习 专题27 涉及圆的证明与计算问题(教师版含解析)
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1、 专题专题 27 涉及圆的证明与计算问题涉及圆的证明与计算问题 圆的证明与计算是中考必考点,也是中考的难点之一。纵观全国各地中考数学试卷,能够看出,圆的 证明与计算这个专题内容有三种题型:选择题、填空题和解答题。 一、与圆有关的概念一、与圆有关的概念 1圆:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为,定长称为。圆的半径或直 径决定圆的大小,圆心决定圆的位置。 2:顶点在圆心上的角叫做圆心角。圆心角的度数等于它所对弧的度数。 3.:顶点在圆周上,并且两边分别与圆相交的角叫做圆周角。 4. 外接圆和外心:经过三角形的三个顶点可以做一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆。外接圆的圆心,叫
2、 做三角形的外心。外心是三角形三条边垂直平分线的交点。外心到三角形三个顶点的距离相等。 5若四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做这个四边形的外接圆。 6.和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的,其圆心称为内心。内心是三角形三个角的角平分线 的交点。内心到三角形三边的距离相等。 二、与圆有关的规律二、与圆有关的规律 1.圆的性质: (1)圆具有旋转不变性; (2)圆具有轴对称性; (3)圆具有中心对称性。 2.垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。 3推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧 4在同圆或等圆中,相等的圆心角
3、所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦心距也相等。 在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么他们所对的圆心角相等,所对的弦相等,所对的弦心距也 相等。在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么他们所对的圆心角相等,所对的弧相等,所对的弦 心距也相等。 5.在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半 6半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90的圆周角所对的弦是直径 7圆内接四边形的特征 圆内接四边形的对角互补; 圆内接四边形任意一个外角等于它的内对角。 三、点和圆、线和圆、圆和圆的位置关系三、点和圆、线和圆、圆和圆的位置关系 1. 点和圆的位置关系 点在圆内点到圆心的距离小于半
4、径 点在圆上点到圆心的距离等于半径 点在圆外点到圆心的距离大于半径 2.直线与圆有 3 种位置关系 如果O 的半径为 r,圆心 O 到直线 的距离为 d,那么 直线 和O 相交; 直线 和O 相切; 直线 和O 相离。 3圆与圆的位置关系 设圆 1 O的半径为 1 r,圆 2 O的半径为 2 r,两个圆的圆心距 12 |dOO,则: l lrd lrd lrd 两圆外离 12 drr;两圆外切 12 drr; 两圆相交 1212 |rrdrr;两圆内切 12 |drr; 两圆内含 12 |drr 四、切线的规律四、切线的规律 1.切线的性质 (1)经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。 (2
5、)经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。 (3)圆的切线垂直于经过切点的半径。 2.切线的判定方法:经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 3.切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,并且圆心和这一点的连线平分两条切 线的夹角。 四、求解圆的周长和面积的公式 设圆的周长为 r,则: 1. 求圆的直径公式 d=2r 2.求圆的周长公式 C=2r 3.求圆的面积公式 S=r 2 五、解题要领五、解题要领 1.判定切线的方法 (1)若切点明确,则“连半径,证垂直”。常见手法有全等转化;平行转化;直径转化;中线转化等;有时 可通过计算结合相似、勾股定理证垂直; (2)若切点不
6、明确,则“作垂直,证半径”。常见手法有角平分线定理;等腰三角形三线合一,隐藏角平分 线;总而言之,要完成两个层次的证明: 直线所垂直的是圆的半径(过圆上一点); 直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此 及彼的联想、要总结常添加的辅助线. 2.与圆有关的计算 计算圆中的线段长或线段比,通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合,形式 复杂,无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系,选择定理进行线段或者角度的转化。特别是 要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化,找出所求线段与已知线段的关系,从而化未知为已 知,解决问
7、题。其中重要而常见的数学思想方法有: (1)构造思想:构建矩形转化线段;构建“射影定理”基本图研究线段(已知任意两条线段可求其它所 有线段长);构造垂径定理模型:弦长一半、弦心距、半径;构造勾股定理模型;构造三角函数. (2)方程思想:设出未知数表示关键线段,通过线段之间的关系,特别是发现其中的相等关系建立方程,解 决问题。 (3)建模思想:借助基本图形的结论发现问题中的线段关系,把问题分解为若干基本图形的问题,通过基本 图形的解题模型快速发现图形中的基本结论,进而找出隐藏的线段之间的数量关系。 3.攻克典型基本模型图是解决圆的所有难题的宝剑 类型类型 1 1 图形:图形: (1)(1)如图
8、1,AB是O的直径,点E、C是O上的两点. 基本结论有:在“AC平分BAE”;“ADCD”;“DC是O的切线”三个论断中,知二推一。 (2)如图 2、3,DE等于弓形BCE的高;DC=AE的弦心距OF(或弓形BCE的半弦EF)。 (3)如图(4):若CKAB于K,则: CK=CD;BK=DE;CK= 2 1 BE=DC;AE+AB=2BK=2AD; ADCACBAC 2=ADAB (4)在(1)中的条件、中任选两个条件,当BGCD于E时(如图 5),则: DE=GB;DC=CG;AD+BG=AB;ADBG= 2 4 1 DG=DC 2 类型类型 2 2 图形图形:如图:RtABC中,ACB=9
9、0。点O是AC上一点,以OC为半径作O交AC于点E,基本结 论有: (1)在“BO平分CBA”;“BODE”;“AB是O的切线”;“BD=BC”。四个论断中,知一推三。 (2)G是BCD的内心; ;BCOCDEBODE=COCE= 2 1 CE 2; (3)在图(1)中的线段BC、CE、AE、AD中,知二求四。 (4)如图(3),若BC=CE,则: AD AE = 2 1 =tanADE;BC:AC:AB=3:4:5 ;(在、中知一推二) 设BE、CD交于点H,,则BH=2EH 类型类型 3 3 图形:图形:如图:RtABC中,ABC=90,以 AB 为直径作O 交 AC 于 D,基本结论有:
10、基本结论有: 如图: CG=GD (1)DE切OE是BC的中点; (2)若DE切O,则: DE=BE=CE; D、O、B、E四点共圆CED=2A CDCA=4BE 2, BA BC BD CD R DE 图形特殊化:在图形特殊化:在(1)(1)的条件下的条件下 如图:DEABABC、CDE是等腰直角三角形; 如图:若DE的延长线交AB的延长线于点F,若AB=BF,则: 3 1 EF DE ; 2 1 R BE 类型类型 4 4 图形:图形:如图,ABC中,AB=AC,以AB为直径作O,交BC于点D,交AC于点F, 基本结论有:基本结论有: (1)DEACDE切O; (2)在DEAC或DE切O下
11、,有: DFC是等腰三角形; EF=EC;D是 的中点。与基本图形基本图形 1 1 的结论重合。 连 AD,产生母子三角形。 类型类型 5 5 图形图形:以直角梯形ABCD的直腰为直径的圆切斜腰于, 基本结论有基本结论有: (1)如图 1:AD+BCCD; COD=AEB=90; OD平分ADC(或OC平分BCD);(注:在、 BF 及“CD是O的切线”四个论断中,知一推三) ADBCAB 4 1 2=R2; (2)如图 2,连AE、CO,则有:COAE,COAE=2R 2(与基本图形 2 重合) (3)如图 3,若EFAB于F,交AC于G,则:EG=FG. 类型类型 6 6 图形:图形:如图
12、:直线PRO的半径OB于E,PQ切O于Q,BQ 交直线PQ于R。 基本结论有:基本结论有: (1)PQ=PR (PQR是等腰三角形); (2)在“PROB”、“PQ切O”、“PQ=PR”中,知二推一 (3)2PRRE=BRRQ=BE2R=AB 2 类型类型 7 7 图形:图形:如图,ABC内接于O,I为ABC的内心。基本结论有:基本结论有: (1)如图 1,BD=CD=ID;DI 2DEDA;AIB=90+ 2 1 ACB; (2)如图 2,若BAC=60,则:BD+CE=BC. 类型类型 8 8 图形:图形:已知,AB是O的直径,C是 中点,CDAB于D。BG交CD、AC 于E、F。基本结论
13、有:基本结论有: (1)CD= 2 1 BG;BE=EF=CE;GF=2DE (反之,由CD= 2 1 BG或BE=EF可得:C是 中点) (2)OE= 2 1 AF,OEAC;ODEAGF (3)BEBG=BDBA (4)若D是OB的中点,则:CEF是等边三角形; 【例题 1】(2020(2020武汉武汉) )如图,在半径为 3 的O中,AB是直径,AC是弦,D是 的中点,AC与BD交于点 E若E是BD的中点,则AC的长是( ) BC=CG=AG BG BG A5 23 B33 C32 D42 【答案】D 【解析】连接OD,交AC于F,根据垂径定理得出ODAC,AFCF,进而证得DFBC,根
14、据三角形中位线 定理求得OF= 1 2BC= 1 2DF,从而求得 BCDF2,利用勾股定理即可求得AC 连接OD,交AC于F, D是 的中点,ODAC,AFCF,DFE90, OAOB,AFCF,OF= 1 2BC, AB是直径,ACB90, 在EFD和ECB中 = = 90 = = EFDECB(AAS), DFBC, OF= 1 2DF, OD3,OF1,BC2, 在 RtABC中,AC 2AB2BC2, AC= 2 2= 62 22=42, 【对点练习】【对点练习】(2019(2019山东省聊城市山东省聊城市) )如图,BC是半圆O的直径,D,E是上两点,连接BD,CE并延长交于 点A
15、,连接OD,OE如果A70,那么DOE的度数为( ) A35 B38 C40 D42 【答案】C 【解析】考点是圆周角定理、直角三角形的性质。连接CD,由圆周角定理得出BDC90,求出ACD 90A20,再由圆周角定理得出DOE2ACD40即可, 连接CD,如图所示: BC是半圆O的直径,BDC90,ADC90, ACD90A20,DOE2ACD40 【例题【例题 2 2】(2020(2020牡丹江牡丹江) )AB是O的弦,OMAB,垂足为M,连接OA若AOM中有一个角是 30,OM 23,则弦AB的长为 【答案】12 或 4 【解析】分OAM30,AOM30,两种情况分别利用正切的定义求解即
16、可 OMAB, AMBM, 若OAM30, 则 tanOAM= = 23 = 3 3 , AM6, AB2AM12; 若AOM30, 则 tanAOM= = 23 = 3 3 , AM2, AB2AM4 【对点练习】【对点练习】(2019(2019 安徽安徽) )如图,ABC内接于O,CAB30,CBA45,CDAB于点D,若O的 半径为 2,则CD的长为 【答案】 【解析】本题考查了三角形的外接圆与外心,圆周角定理,等腰直角三角形的性质,正确的作出辅助线是 解题的关键 连接CO并延长交O于E, 连接BE, 于是得到EA30, EBC90, 解直角三角形即可得到结论 连接CO并延长交O于E,连
17、接BE, 则EA30,EBC90, O的半径为 2,CE4,BCCE2, CDAB,CBA45,CDBC 【例题【例题 3 3】(2020(2020 贵州黔西南贵州黔西南) )古希腊数学家毕达哥拉斯认为:“一切平面图形中最美的是圆”请研究如 下美丽的圆如图,线段 AB 是O 的直径,延长 AB 至点 C,使 BCOB,点 E 是线段 OB 的中点,DEAB 交 O 于点 D,点 P 是O 上一动点(不与点 A,B 重合),连接 CD,PE,PC (1)求证:CD 是O 的切线; (2)小明在研究的过程中发现 PE PC 是一个确定的值回答这个确定的值是多少?并对小明发现的结论加以证 明 【答案
18、】(1)见解析;(2) 1 2 ,解析 【解析】本题考查了切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质(1)连接 OD,DB,由已知可得 DE 垂直 平分 OB,于是 DBDO,而 OBOD,所以 DBDOOB,即ODB 是等边三角形,于是BDO60,再由等 腰三角形的性质及三角形的外角性质可得CDB30,从而可得ODC90,所以 ODCD,所以 CD 是 O 的切线;(2)连接 OP,由已知条件得 OPOBBC2OE,再利用“两组边成比例,夹角相等”证明OEP OPC,最后由相似三角形的对应边成比例得到结论 【详解】解:(1)如答图,连接 OD,DB,点 E 是线段 OB 的中点,DEAB 交O
19、 于点 D,DE 垂直平分 OB, DBDODOOB,DBDOOB,ODB 是等边三角形,BDODBO60BCOBBD,且 DBE 为BDC 的外角,BCDBDC 1 2 DBODBO60,CDB30ODCBDO BDC603090,ODCD,CD 是O 的切线; (2)这个确定的值是 1 2 证明:如答图,连接 OP,OPOBBC2OE, OE OP OP OC 1 2 ,又COPPOE,OEPOPC, PE PC OP OC 1 2 【点拨】本题考查切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质,掌握相关性质及定理是解题的关键 【对点练习】【对点练习】( (20192019湖北湖北十堰十堰) )
20、如图,ABC中,ABAC,以AC为直径的O交BC于点D,点E为C延长线 上一点,且CDEBAC (1)求证:DE是O的切线; (2)若AB3BD,CE2,求O的半径 【答案】见解析。 【解析】本题考查了圆的切线的判定定理、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形相似的判定和性质, 解题的关键是作出辅助线构造直角三角形或等腰三角形 (1)如图,连接OD,AD, AC是直径, ADC90, ADBC, ABAC, CADBADBAC, CDEBAC CDECAD, OAOD, CADADO, ADO+ODC90, ODC+CDE90 ODE90 又OD是O的半径 DE是O的切线; (2)解:ABAC,
21、ADBC, BDCD, AB3BD, AC3DC, 设DCx,则AC3x, AD2x, CDECAD,DECAED, CDEDAE, ,即 DE4,x, AC3x14, O的半径为 7 一、选择题一、选择题 1(2020(2020宜昌宜昌) )如图,E,F,G为圆上的三点,FEG50,P点可能是圆心的是( ) A B C D 【答案】C 【解析】利用圆周角定理对各选项进行判断 FEG50, 若P点圆心, FPG2FEG100 2(2020(2020营口营口) )如图,AB为O的直径,点C,点D是O上的两点,连接CA,CD,AD若CAB40, 则ADC的度数是( ) A110 B130 C140
22、 D160 【答案】B 【解析】连接BC,如图,利用圆周角定理得到ACB90,则B50,然后利用圆的内接四边形的性 质求ADC的度数 如图,连接BC, AB为O的直径,ACB90, B90CAB904050, B+ADC180, ADC18050130 3(2020(2020荆门荆门) )如图,O中,OCAB,APC28,则BOC的度数为( ) A14 B28 C42 D56 【答案】D 【解析】根据垂径定理,可得 = ,APC28,根据圆周角定理,可得BOC 在O中,OCAB, = , APC28, BOC2APC56 4(2020(2020临沂临沂) )如图,在O中,AB为直径,AOC80
23、点D为弦AC的中点,点E为 上任意一点则 CED的大小可能是( ) A10 B20 C30 D40 【答案】C 【解析】连接OD、OE,设BOEx,则COE100 x,DOE100 x+40,根据等腰三角形的性质 和三角形内角和定理求出DEO和CEO,即可求出答案 连接OD、OE, OCOA, OAC是等腰三角形, 点D为弦的中点, DOC40,BOC100, 设BOEx,则COE100 x,DOE100 x+40, OCOE,COE100 x, OECOCE40+ 1 2x, ODOE,DOE100 x+40140 x, OED20+ 1 2x, CEDOECOED(40+ 1 2x)(20
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