2021年中考数学专题复习 专题19 解直角三角形问题(教师版含解析)
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1、 专题专题 19 解直角三角形问题解直角三角形问题 一、勾股定理和勾股定理逆定理一、勾股定理和勾股定理逆定理 1.勾股定理:如果直角三角形的两直角边长分别为 a,b,斜边长为 c,那么 a2b2=c2。 2勾股定理逆定理:如果三角形三边长 a,b,c 满足 a2b2=c2。 ,那么这个三角形是直角三角形。 二、直角三角形的判定及性质二、直角三角形的判定及性质 1.直角三角形的判定 (1)有一个角等于 90 的三角形是直角三角形; (2)两锐角互余的三角形是直角三角形; (3)两条边的平方和等于另一边的平方的三角形是直角三角形; (4)有一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形。 2.直角
2、三角形的性质 (1)直角三角形的两锐角互余; (2)直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方; (3)直角三角形中 30 角所对直角边等于斜边的一半; (4)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 三、各种锐角三角函数的定义各种锐角三角函数的定义 1正弦: 在ABC 中,C=90 把锐角 A 的对边与斜边的比值叫做A 的正弦,记作 sinA A的对边 斜边 。 2 余弦: 在ABC 中, C=90 , 把锐角 A 的邻边与斜边比值的叫做A 的余弦, 记作 cosA A的邻边 斜边 。 3 正切: 在ABC 中, C=90 , 把锐角 A 的对边与邻边的比值叫做A 的正切, 记作 tanA
3、A的对边 A的邻边 。 四、解直角三角形问题类型四、解直角三角形问题类型 1解直角三角形的概念:在直角三角形中,除直角外,一共有五个元素,即三条边和两个锐角,由直角三 角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 2解直角三角形的理论依据:在 RtABC 中,C=90 ,A,B,C 所对的边分别为 a,b,c (1)三边之间的关系: 222 cba(勾股定理) (2)锐角之间的关系:A+B=90 (3)边角之间的关系: b a B a b B c a B c b B a b A b a A c b A c a Acot,tan,cos,sin;cot,tan,cos,sin
4、 b a B a b B c a B c b B a b A b a A c b A c a Acot,tan,cos,sin;cot,tan,cos,sin 3. 解直角三角形类型总结表格 类型 已知条件 解法 两边 两直角边 a、b c= 22 ab,tanA= a b ,B=90 -A 一直角边 a,斜边 c b= 22 ca,sinA= a c ,B=90 -A 五、特殊值的三角函数五、特殊值的三角函数 三角函数 0 30 45 60 90 sin 0 2 1 2 2 2 3 1 cos 1 2 3 2 2 2 1 0 tan 0 3 3 1 3 不存在 cot 不存在 3 1 3 3
5、 0 六、仰角、俯角、坡度六、仰角、俯角、坡度 1仰角:视线在水平线上方的角; 2俯角:视线在水平线下方的角。 一边 一锐角 一直角边 a,锐角 A B=90 -A,b=a cotA,c= sin a A 斜边 c,锐角 A B=90 -A,a=c sinA, b=c cosA 3坡度(坡比):坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(坡比)。用字母i表示,即 h i l 。把坡面与水 平面的夹角记作(叫做坡角),那么tan h i l 。 七、各锐角三角函数之间的关系七、各锐角三角函数之间的关系 (1)互余关系 sinA=cos(90 A), cosA=sin(90 A) tanA=cot(
6、90 A), cotA=tan(90 A) (2)平方关系 1cossin 22 AA (3)倒数关系 tanAtan(90 A)=1 (4)弦切关系 tanA= A A cos sin 八、锐角三角函数的增减性八、锐角三角函数的增减性 当角度在 0 90 之间变化时, (1)正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小) (2)余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大) 仰角 铅垂线 水平线 视线 视线 俯角 :ih l h l (3)正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小) (4)余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大) 【例题【例题 1】(2020陕西陕西)如图,在 3
7、3 的网格中,每个小正方形的边长均为 1,点 A,B,C 都在格点上,若 BD 是ABC 的高,则 BD 的长为( ) A10 13 13 B 9 13 13 C 8 13 13 D 7 13 13 【答案】D 【解析】根据勾股定理计算 AC 的长,利用面积差可得三角形 ABC 的面积,由三角形的面积公式即可得到 结论 由勾股定理得:AC= 22+ 32= 13, S ABC 3 3 1 2 1 2 1 2 1 3 1 2 2 3 =3.5, 1 2 = 7 2, 13 = 7, BD= 713 13 【对点练习】【对点练习】(2020 贵州黔西南贵州黔西南)如图所示,在 RtABC 中,C9
8、0 ,点 D 在线段 BC 上,且B30 , ADC60 ,BC3 3,则 BD 的长度为_ 【答案】2 3 【解析】首先证明 DB=AD=2CD,然后再由条件 BC=3 3可得答案 解:C90 ,ADC60 , DAC30 , CD 1 2 AD B30 ,ADC60 , BAD30 , BDAD, BD2CD BC3 3, CD2CD3 3, CD3, DB2 3, 【点拨】此题主要考查了含 30 角的直角三角形的性质,关键是掌握在直角三角形中,30 角所对的直角边 等于斜边的一半 【例题【例题 2】(2020凉山州凉山州)如图所示,ABC 的顶点在正方形网格的格点上,则 tanA 的值为
9、( ) A1 2 B 2 2 C2 D22 【答案】A 【解析】根据网格构造直角三角形,由勾股定理可求 AD、BD,再根据三角函数的意义可求出 tanA 的值 如图,连接 BD,由网格的特点可得,BDAC, AD= 22+ 22=22,BD= 12+ 12= 2, tanA= = 2 22 = 1 2 【对点练习】【对点练习】(2020扬州扬州)如图,由边长为 1 的小正方形构成的网格中,点 A、B、C 都在格点上,以 AB 为 直径的圆经过点 C、D,则 sinADC 的值为( ) A213 13 B313 13 C2 3 D3 2 【答案】A 【解析】首先根据圆周角定理可知,ADCABC,
10、然后在 RtACB 中,根据锐角三角函数的定义求出 ABC 的正弦值 如图,连接 BC ADC 和ABC 所对的弧长都是 , 根据圆周角定理知,ADCABC 在 RtACB 中,根据锐角三角函数的定义知, sinABC= , AC2,BC3, AB= 2+ 2= 13, sinABC= 2 13 = 213 13 , sinADC= 213 13 【例题【例题 3】(2020荆门荆门)如图,海岛 B 在海岛 A 的北偏东 30 方向,且与海岛 A 相距 20 海里,一艘渔船从海 岛 B 出发,以 5 海里/时的速度沿北偏东 75 方向航行,同时一艘快艇从海岛 A 出发,向正东方向航行2 小时后
11、,快艇到达 C 处,此时渔船恰好到达快艇正北方向的 E 处 (1)求ABE 的度数; (2)求快艇的速度及 C,E 之间的距离 (参考数据:sin150.26,cos150.97,tan150.27,3 1.73) 【答案】见解析。 【分析】(1)过点 B 作 BDAC 于点 D,作 BFCE 于点 E,由平行线的性质得出ABDNAB30 ,求 出DBE105 ,则可得出答案; (2)在 RtBEF 中,解直角三角形求出 EF,BF,在 RtABD 中,解直角三角形求出 AD,BD,证明四边形 BDCF 为矩形,得出 DC,FC,求出 CE 的长,则可得出答案 【解析】(1)过点 B 作 BD
12、AC 于点 D,作 BFCE 于点 E, 由题意得,NAB30 ,GBE75 , ANBD, ABDNAB30 , 而DBE180 GBE180 75 105 , ABEABD+DBE30 +105 135 ; (2)BE5 210(海里), 在 RtBEF 中,EBF90 75 15 , EFBEsin15100.262.6(海里), BFBEcos15100.979.7(海里), 在 RtABD 中,AB20,ABD30 , ADAB sin30 20 1 2 =10(海里), BDAB cos30 20 3 2 =103 10 1.7317.3, BDAC,BFCE,CEAC, BDCD
13、CFBFC90 , 四边形 BDCF 为矩形, DCBF9.7,FCBD17.3, ACAD+DC10+9.719.7, CEEF+CF2.6+17.319.9, 设快艇的速度为 v,则 v= 19.7 2 =9.85(海里/小时) 答:快艇的速度为 9.85 海里/小时,C,E 之间的距离为 19.9 海里 【对点练习】【对点练习】(2019浙江宁波浙江宁波)如图,某海防哨所 O 发现在它的西北方向,距离哨所 400 米的 A 处有一艘船 向正东方向航行,航行一段时间后到达哨所北偏东 60 方向的 B 处,则此时这艘船与哨所的距离 OB 约为 多少米(精确到 1 米,参考数据:1.414,1
14、.732) 【答案】456 【解析】考查了解直角三角形的应用方向角的问题此题是一道方向角问题,结合航海中的实际问题, 将解直角三角形的相关知识有机结合,体现了数学应用于实际生活的思想 通过解直角OAC 求得 OC 的长度,然后通过解直角OBC 求得 OB 的长度即可 如图,设线段 AB 交 y 轴于 C, 在直角OAC 中,ACOCAO45 ,则 ACOC OA400 米, OCOAcos45 400200(米) 在直角OBC 中,COB60 ,OC200米, OB400456(米) 故答案是:456 一、选择题一、选择题 1(2020长沙长沙)从一艘船上测得海岸上高为 42 米的灯塔顶部的仰
15、角为 30 时,船离灯塔的水平距离是( ) A423米 B143米 C21 米 D42 米 【答案】A 【解析】在直角三角形中,已知角的对边求邻边,可以用正切函数来解决 根据题意可得:船离海岸线的距离为 42 tan30 423(米) 2(2020河北河北)如图,从笔直的公路 l 旁一点 P 出发,向西走 6km 到达 l;从 P 出发向北走 6km 也到达 l下 列说法错误的是( ) A从点 P 向北偏西 45 走 3km 到达 l B公路 l 的走向是南偏西 45 C公路 l 的走向是北偏东 45 D从点 P 向北走 3km 后,再向西走 3km 到达 l 【答案】A 【解析】先作出图形,
16、根据勾股定理和等腰直角三角形的性质即可求解 如图, 由题意可得PAB 是腰长 6km 的等腰直角三角形, 则 AB62km, 则 PC32km, 则从点 P 向北偏西 45 走 32km 到达 l,选项 A 错误; 则公路 l 的走向是南偏西 45 或北偏东 45 ,选项 B,C 正确; 则从点 P 向北走 3km 后,再向西走 3km 到达 l,选项 D 正确 3(2020聊城聊城)如图,在 4 5 的正方形网格中,每个小正方形的边长都是 1,ABC 的顶点都在这些小正方 形的顶点上,那么 sinACB 的值为( ) A35 5 B 17 5 C3 5 D4 5 【答案】D 【解析】如图,过
17、点 A 作 AHBC 于 H利用勾股定理求出 AC 即可解决问题 在 RtACH 中,AH4,CH3, AC= 2+ 2= 42+ 32=5, sinACH= = 4 5 4(2020重庆重庆)如图,在距某居民楼 AB 楼底 B 点左侧水平距离 60m 的 C 点处有一个山坡,山坡 CD 的坡度 (或坡比)i1:0.75,山坡坡底 C 点到坡顶 D 点的距离 CD45m,在坡顶 D 点处测得居民楼楼顶 A 点的仰 角为 28 ,居民楼 AB 与山坡 CD 的剖面在同一平面内,则居民楼 AB 的高度约为(参考数据:sin280.47, cos280.88,tan280.53)( ) A76.9m
18、 B82.1m C94.8m D112.6m 【答案】B 【解析】构造直角三角形,利用坡比的意义和直角三角形的边角关系,分别计算出 DE、EC、BE、DF、AF, 进而求出 AB 如图,由题意得,ADF28 ,CD45,BC60, 在 RtDEC 中, 山坡 CD 的坡度 i1:0.75, = 1 0.75 = 4 3, 设 DE4x,则 EC3x,由勾股定理可得 CD5x, 又 CD45,即 5x45, x9, EC3x27,DE4x36FB, BEBC+EC60+2787DF, 在 RtADF 中, AFtan28 DF0.538746.11, ABAF+FB46.11+3682.1 5(
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