2021年中考数学专题复习 专题17 全等三角形判定与性质定理(教师版含解析)
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1、专题专题 17 17 全等三角形判定与性质定理全等三角形判定与性质定理 1.1.基本概念基本概念 (1)全等形:能够完全重合的两个图形叫做全等形. (2)全等三角形:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. (注意对应的顶点写在对应的位置上) (3)对应顶点:全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点. (4)对应边:全等三角形中互相重合的边叫做对应边. (5)对应角:全等三角形中互相重合的角叫做对应角. 2 2全等三角形的表示全等三角形的表示 全等用符号“”表示,读作“全等于” 。如ABCDEF,读作“三角形 ABC 全等于三角形 DEF” 。 注:记两个全等三角形时,通常把表示对应顶点的字母写
2、在对应的位置上。 3 3全等三角形的性质:全等三角形的性质:全等三角形的对应角相等、对应边相等。 4 4三角形全等的判定三角形全等的判定定理定理 (1)边角边定理:有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可简写成“边角边”或“SAS”) (2)角边角定理:有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角边角”或“ASA”) (3)边边边定理:有三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“边边边”或“SSS”)。 (4)角角边定理:两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(简写成 AAS). 5 5直角三角形全等的判定:直角三角形全等的判定: HL 定理:有斜边和一条直角边对应相等
3、的两个直角三角形全等(可简写成“斜边、直角边”或“HL”) 【例题【例题 1】(2020甘孜州甘孜州)如图,等腰ABC 中,点 D,E 分别在腰 AB,AC 上,添加下列条件,不能判定 ABEACD 的是( ) AADAE BBECD CADCAEB DDCBEBC 【答案】B 【解析】利用等腰三角形的性质得ABCACB,ABAC,然后根据全等三角形的判定方法对各选项进 行判断 ABC 为等腰三角形, ABCACB,ABAC, 当 ADAE 时,则根据“SAS”可判断ABEACD; 当AEBADC,则根据“AAS”可判断ABEACD; 当DCBEBC,则ABEACD,根据“ASA”可判断ABE
4、ACD 【对点练习】【对点练习】如图,已知ABC=DCB,添加以下条件,不能判定ABCDCB 的是( ) AA=D BACB=DBC CAC=DB DAB=DC 【答案】C 【解析】全等三角形的判定方法有 SAS,ASA,AAS,SSS,根据定理逐个判断即可 AA=D,ABC=DCB,BC=BC,符合 AAS,即能推出ABCDCB,故本选项错误; BABC=DCB,BC=CB,ACB=DBC,符合 ASA,即能推出ABCDCB,故本选项错误; CABC=DCB,AC=BD,BC=BC,不符合全等三角形的判定定理,即不能推出ABCDCB,本选项正确; DAB=DC,ABC=DCB,BC=BC,符
5、合 SAS,即能推出ABCDCB,故本选项错误。 【例题【例题 2】(2020北京北京)如图,在ABC 中,ABAC,点 D 在 BC 上(不与点 B,C 重合)只需添加一个条 件即可证明ABDACD,这个条件可以是 (写出一个即可) 【答案】BDCD 【解析】由题意可得ABCACD,ABAC,即添加一组边对应相等,可证ABD 与ACD 全等 ABAC, ABDACD, 添加 BDCD, 在ABD 与ACD 中 = = = , ABDACD(SAS), 【对点练习】【对点练习】( (20192019 齐齐哈尔齐齐哈尔) )如图,已知在ABC和DEF中,BE,BFCE,点B、F、C、E在同一 条
6、直线上,若使ABCDEF,则还需添加的一个条件是 (只填一个即可) 【答案】ABDE 【解析】添加ABDE; BFCE, BCEF, 在ABC和DEF中, ABCDEF(SAS) 【例题【例题 3】(2020菏泽菏泽)如图,在ABC 中,ACB90,点 E 在 AC 的延长线上,EDAB 于点 D,若 BCED,求证:CEDB 【答案】见解析。 【解析】由“AAS”可证ABCAED,可得 AEAB,ACAD,由线段的和差关系可得结论 证明:EDAB, ADEACB90,AA,BCDE, ABCAED(AAS), AEAB,ACAD, CEBD 【对点练习】【对点练习】如图,点 A、D、C、F
7、在同一条直线上,AD=CF,AB=DE,BC=EF (1)求证:ABCDEF; (2)若A=55,B=88,求F 的度数 【答案】见解析。 【解析】求出 AC=DF,根据 SSS 推出ABCDEF由(1)中全等三角形的性质得到:A=EDF,进而得出 结论即可 证明:(1)AC=AD+DC,DF=DC+CF,且 AD=CF AC=DF 在ABC 和DEF 中, ABCDEF(SSS) (2)由(1)可知,F=ACB A=55,B=88 ACB=180(A+B)=180(55+88)=37 F=ACB=37 一、选择题一、选择题 1(2020鄂州鄂州)如图,在AOB 和COD 中,OAOB,OCO
8、D,OAOC,AOBCOD36连 接 AC,BD 交于点 M,连接 OM下列结论: AMB36,ACBD,OM 平分AOD,MO 平分AMD其中正确的结论个数有( )个 A4 B3 C2 D1 【答案】B 【分析】由 SAS 证明AOCBOD 得出OCAODB,ACBD,正确; 由全等三角形的性质得出OCAODB,由三角形的外角性质得:CMD+OCACOD+ODB,得 出CMDCOD36,AMBCMD36,正确; 作 OGAM 于 G, OHDM 于 H, 如图所示: 则OGAOHB90, 由 AAS 证明OGAOHB(AAS), 得出 OGOH,由角平分线的判定方法得出 OM 平分AMD,正
9、确; 假设 OM 平分AOD, 则DOMAOM, 由全等三角形的判定定理可得AMOOMD, 得 AOOD, 而 OCOD,所以 OAOC,而 OAOC,故错误;即可得出结论 【解析】AOBCOD36, AOB+BOCCOD+BOC, 即AOCBOD, 在AOC 和BOD 中, = = = AOCBOD(SAS), OCAODB,ACBD,故正确; OCAODB, 由三角形的外角性质得: CMD+OCACOD+ODB, 得出CMDCOD36,AMBCMD36,故正确; 作 OGAM 于 G,OHDM 于 H,如图所示, 则OGAOHB90, 在OGA 和OHB 中, = = 90 = = , O
10、GAOHB(AAS), OGOH, OM 平分AMD,故正确; 假设 OM 平分AOD,则DOMAOM, 在AMO 与DMO 中, = = = , AMOOMD(ASA), AOOD, OCOD, OAOC, 而 OAOC,故错误; 正确的个数有 3 个. 2.如图,若ABCDEF,A=45,F=35,则E 等于( ) A35 B45 C60 D100 【答案】D 【解析】ABCDEF,A=45,F=35 D=A=45 E=180DF=100 3.(2020 安顺模拟)如图,点 D,E 分别在线段 AB,AC 上,CD 与 BE 相交于 O 点,已知 AB=AC,现添加以下的 哪个条件仍不能判
11、定ABEACD( ) AB=C BAD=AE CBD=CE DBE=CD 【答案】D 【解析】欲使ABEACD,已知 AB=AC,可根据全等三角形判定定理 AAS、SAS、ASA 添加条件,逐一证明 即可 AB=AC,A 为公共角, A如添加B=C,利用 ASA 即可证明ABEACD; B如添 AD=AE,利用 SAS 即可证明ABEACD; C如添 BD=CE,等量关系可得 AD=AE,利用 SAS 即可证明ABEACD; D如添 BE=CD,因为 SSA,不能证明ABEACD,所以此选项不能作为添加的条件 4 如图, ABCD, 且 AB=CD E、 F 是 AD 上两点, CEAD, B
12、FAD 若 CE=a, BF=b, EF=c, 则 AD 的长为( ) Aa+c Bb+c Cab+c Da+bc 【答案】D 【解析】只要证明ABFCDE,可得 AF=CE=a,BF=DE=b,推出 AD=AF+DF=a+(bc)=a+bc; ABCD,CEAD,BFAD, AFB=CED=90,A+D=90,C+D=90, A=C,AB=CD, ABFCDE, AF=CE=a,BF=DE=b, EF=c, AD=AF+DF=a+(bc)=a+bc 5如图,ACB=90,AC=BCADCE,BECE,垂足分别是点 D、E,AD=3,BE=1,则 DE 的长是( ) A B2 C2 D 【答案
13、】B 【解析】根据条件可以得出E=ADC=90,进而得出CEBADC,就可以得出 BE=DC,就可以求出 DE 的值 BECE,ADCE, E=ADC=90, EBC+BCE=90 BCE+ACD=90, EBC=DCA 在CEB 和ADC 中, , CEBADC(AAS), BE=DC=1,CE=AD=3 DE=ECCD=31=2 6如图,ABCAEF,AB=AE,B=E,则对于结论AC=AF,FAB=EAB,EF=BC,EAB= FAC,其中正确结论的个数是( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【答案】C 【解析】ABCAEF, AC=AF,故正确; EAF=BAC, FAC=E
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