2021年江苏省苏州市中考数学调研试卷（3月份）含答案

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1、2021 年江苏省苏州市中考数学调研试卷（年江苏省苏州市中考数学调研试卷（3 月份）月份） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的要求的.请将选择题的答案填写在答题卡相应位置上请将选择题的答案填写在答题卡相应位置上. 1 （3 分）下列四个数中，是负数的是（ ） A|3| B（3） C （3）2 D 2 （3 分）下列四个图案中，不是中心对称图案的是（ ） A B C D 3 （3 分）计算 a2a4的结果是（ ） Aa8 Ba6 C

2、2a6 D2a8 4 （3 分）某学习小组的五名同学在一次数学竞赛中的成绩分别是 94 分、98 分、90 分、94 分、74 分，则 下列结论正确的是（ ） A平均分是 91 B中位数是 90 C众数是 94 D极差是 20 5 （3 分）2018 年某公司一月份的销售额是 50 万元，第一季度的销售总额为 182 万元，设第一季度的销售 额平均每月的增长率为 x，可列方程为（ ） A50（1+x）2182 B50（1+2x）182 C182（1x）250 D50+50（1+x）+50（1+x）2182 6 （3 分）若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是（ ） A矩

3、形 B菱形 C对角线相等的四边形 D对角线互相垂直的四边形 7 （3 分）如图所示的飞镖游戏板是顺次连接正六边形的三个不相邻的顶点后得到的，若某人向该游戏板投 掷镖一次（假设飞镖落在游戏板上） ，则飞镖落在阴影部分的概率是（ ） A1 B C D 8 （3 分）如图，点 A、B、C、D 在O 上，OBCD，A25，则BOD 等于（ ） A100 B120 C130 D150 9 （3 分）如图，已知AOB60，点 P 在边 OA 上，OP10，点 M、N 在边 OB 上，PMPN，若 MN 2，则 OM（ ） A3 B4 C5 D6 10 （3 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，C120，

4、AD4，AB2，点 H、G 分别是边 CD、BC 上 的动点连接 AH、HG，点 E 为 AH 的中点，点 F 为 GH 的中点，连接 EF则 EF 的最大值与最小值的 差为（ ） A1 B1 C D2 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分分.请把答案直接填在相应答题卡相应位置上请把答案直接填在相应答题卡相应位置上. 11 （3 分）若二次根式有意义，则实数 x 的取值范围是 12 （3 分）分解因式：4a24a+1 13 （3 分）已知圆锥的底面半径为 2cm，母线长是 4cm，则圆锥的侧面积是 cm2（结果保留 ） 14 （3

5、分） “五一”期间，某服装商店举行促销活动，全部商品八折销售，小华购买一件原价为 140 元的运 动服，打折后他比按原价购买节省了 元 15 （3 分）关于 x 的一元二次方程 x22x+m30 有两个实数根，则 m 的取值范围是 16 （3 分）如图，一海轮位于灯塔 P 的西南方向，距离灯塔 40海里的 A 处，它沿正东方向航行一段时 间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 60方向上的 B 处，航程 AB 的值为 （结果保留 根号） 17 （3 分）已知关于 x 的二次函数 yax2+2ax+a3 在2x2 时的函数值始终是负的，则常数 a 的取值 范围是 18 （3 分）甲、乙两车从 A 地出

6、发，匀速驶向 B 地，甲车以 80km/h 的速度行驶 1h 后，乙车才沿相同路线 行驶乙车先到达 B 地并停留 1h 后，再以原速按原路返回，直至与甲车相遇在此过程中，两车之间 的距离 y （km） 与乙车行驶时间 x （h） 之间的函数关系如图所示 给出下列说法： 乙车的速度是 120km/h； m160；点 H 的坐标是（7，80） ；n7.5其中说法正确的有 （把你认为正确结论的 序号都填上） 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 10 小题，共小题，共 76 分分.解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明.作图时用作图时用 2B

7、 铅笔或黑色墨水签字笔铅笔或黑色墨水签字笔. 19 （5 分）计算： （） 2（ ）0+|2|+4sin60 20 （6 分）解不等式组并在数轴上表示解集 21 （6 分）今年 6 月 1 日起苏州市全面实行垃圾分类，为了解同学们对垃圾分类知识的知晓情况，我区某 校环保社团的同学们进行了抽样调查，对收集的信息进行整理，绘制了下面两幅尚不完整的统计图请 你根据统计图所提供的数据，解答下列问题： 图中 A 表示“很了解” ，B 表示“了解” ，C 表示“一般” ，D 表示“不了解” （1）被调查的总人数是 人，扇形统计图中 C 部分所对应的扇形圆心角的度数为 ； （2）若该校共有学生 1800 人

8、，请根据上述调查结果，估计该校学生中 B 类有多少人 22 （6 分）如图，点 B，F，C，E 在一条直线上，ABDE，BE，BFCE 求证：CGFG 23 （7 分）某校计划购买一批篮球和足球，已知购买 2 个篮球和 1 个足球共需 320 元，购买 3 个篮球和 2 个足球共需 540 元 （1）求每个篮球和每个足球的售价； （2）如果学校计划购买这两种球共 50 个，总费用不超过 5500 元，那么最多可购买多少个足球？ 24 （8 分）如图是某教室里日光灯的四个控制开关（分别记为 A、B、C、D） ，每个开关分别控制一排日光 灯（开关序号与日光灯的排数序号不一定一致） 某天上课时，王老

9、师在完全不知道哪个开关对应控制哪 排日光灯的情况下先后随机按下两个开关 （1）王老师按下第一个开关恰好能打开第一排日光灯的概率是 ； （2） 王老师按下两个开关恰好能打开第一排与第三排日光灯的概率是多少？请用列表法或画树状图法加 以分析 25 （8 分）如图，点 D 为O 上一点，点 C 在直径 BA 的延长线上，且CDACBD （1）判断直线 CD 和O 的位置关系，并说明理由 （2）过点 B 作O 的切线 BE 交直线 CD 于点 E，若 AC2，O 的半径是 3，求BEC 的正切值 26 （10 分）我们知道：如图，点 B 把线段 AC 分成两部分，如果，那么称点 B 为线段 AC 的黄

10、 金分割点它们的比值为 （1）在图中，若 AC20cm，则 AB 的长为 cm； （2）如图，用边长为 20cm 的正方形纸片进行如下操作：对折正方形 ABCD 得折痕 EF，连接 CE，将 CB 折叠到 CE 上，点 B 对应点 H，得折痕 CG试说明：G 是 AB 的黄金分割点； （3）如图，小明进一步探究：在边长为 a 的正方形 ABCD 的边 AD 上任取点 E（AEDE） ，连接 BE， 作 CFBE，交 AB 于点 F，延长 EF、CB 交于点 P他发现当 PB 与 BC 满足某种关系时，E、F 恰好分 别是 AD、AB 的黄金分割点请猜想小明的发现，并说明理由 27 （10 分）

11、如图，点 A 和动点 P 在直线 l 上，点 P 关于点 A 的对称点为 Q，以 AQ 为边作 RtABQ，使 BAQ90，AQ：AB3：4，作ABQ 的外接圆 O点 C 在点 P 右侧，PC4，过点 C 作直线 ml， 过点 O 作 ODm 于点 D，交 AB 右侧的圆弧于点 E在射线 CD 上取点 F，使 DF，以 DE，DF 为邻边作矩形 DEGF设 AQ3x （1）用关于 x 的代数式表示 BQ ，DF （2）当点 P 在点 A 右侧时，若矩形 DEGF 的面积等于 90，求 AP 的长 （3）当点 P 在点 A 右侧时，作直线 BG 交O 于点 N，若 BN 的弦心距为 1，求 AP

12、 的长 28 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 ykx4k+4 与抛物线 yx2x 交于 A、B 两点 （1）直线总经过定点，请直接写出该定点的坐标； （2）点 P 在抛物线上，当 k时，解决下列问题： 在直线 AB 下方的抛物线上求点 P，使得PAB 的面积等于 20； 连接 OA，OB，OP，作 PCx 轴于点 C，若POC 和ABO 相似，请直接写出点 P 的坐标 2021 年江苏省苏州市中考数学调研试卷（年江苏省苏州市中考数学调研试卷（3 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分

13、，共 30 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的要求的.请将选择题的答案填写在答题卡相应位置上请将选择题的答案填写在答题卡相应位置上. 1 （3 分）下列四个数中，是负数的是（ ） A|3| B（3） C （3）2 D 【分析】本题考查负数的基本概念，正确理解绝对值，相反数，平方根的含义加以辨析即可选出正确选 项 【解答】解：A|3|3，3 为正数故 A 错误 B（3）表示的是3 的相反数为 3，为正数故 B 错误 C （3）29，9 为正数故 C 错误 D为负数故 D 正确 故选：D 2 （3 分）下列四个图案中，不是中心对称

14、图案的是（ ） A B C D 【分析】直接利用中心对称图形的定义分析得出答案 【解答】解：A、不是中心对称图形，符合题意； B、是中心对称图形，不合题意； C、是中心对称图形，不合题意； D、是中心对称图形，不合题意； 故选：A 3 （3 分）计算 a2a4的结果是（ ） Aa8 Ba6 C2a6 D2a8 【分析】根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 amanam+n计算即可 【解答】解：a2a4a2+4a6 故选：B 4 （3 分）某学习小组的五名同学在一次数学竞赛中的成绩分别是 94 分、98 分、90 分、94 分、74 分，则 下列结论正确的是（ ） A平均

15、分是 91 B中位数是 90 C众数是 94 D极差是 20 【分析】直接利用平均数、中位数、众数以及极差的定义分别分析得出答案 【解答】解：A、平均分为：（94+98+90+94+74）90（分） ，故此选项错误； B、五名同学成绩按大小顺序排序为：74，90，94，94，98， 故中位数是 94 分，故此选项错误； C、94 分、98 分、90 分、94 分、74 分中，众数是 94 分故此选项正确； D、极差是 987424，故此选项错误 故选：C 5 （3 分）2018 年某公司一月份的销售额是 50 万元，第一季度的销售总额为 182 万元，设第一季度的销售 额平均每月的增长率为 x

16、，可列方程为（ ） A50（1+x）2182 B50（1+2x）182 C182（1x）250 D50+50（1+x）+50（1+x）2182 【分析】增长率问题，一般用增长后的量增长前的量（1+增长率） ，本题可先用 x 表示出二月份的销 售额，再根据题意表示出三月份的销售额，然后将三个月的销售额相加，即可列出方程 【解答】解：二月份的销售额为：50（1+x） ， 三月份的销售额为：50（1+x） （1+x）50（1+x）2， 故第一季度总销售额为：50+50（1+x）+50（1+x）2182 故选：D 6 （3 分）若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是（ ） A矩

17、形 B菱形 C对角线相等的四边形 D对角线互相垂直的四边形 【分析】首先根据题意画出图形，由四边形 EFGH 是菱形，点 E，F，G，H 分别是边 AD，AB，BC，CD 的中点，利用三角形中位线的性质与菱形的性质，即可判定原四边形一定是对角线相等的四边形 【解答】解：如图，根据题意得：四边形 EFGH 是菱形，点 E，F，G，H 分别是边 AD，AB，BC，CD 的中点， EFFGGHEH，BD2EF，AC2FG， BDAC 原四边形一定是对角线相等的四边形 故选：C 7 （3 分）如图所示的飞镖游戏板是顺次连接正六边形的三个不相邻的顶点后得到的，若某人向该游戏板投 掷镖一次（假设飞镖落在游

18、戏板上） ，则飞镖落在阴影部分的概率是（ ） A1 B C D 【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值 【解答】解：设正六边形的边长为 a， 则总面积为a26a2，其中阴影部分面积为（a）2a2， 飞镖落在阴影部分的概率是， 故选：B 8 （3 分）如图，点 A、B、C、D 在O 上，OBCD，A25，则BOD 等于（ ） A100 B120 C130 D150 【分析】连接 OC，由平行线性质、等腰三角形的性质与圆周角定理证出D2A50，由平行线的 性质得出BOD+D180，即可得出BOD 的度数 【解答】解：连接 OC，如图所示： ODOC， D

19、OCD， OBCD， BOCOCD BOCD， BOC2A，A25， D2A50， OBCD， BOD+D180， BOD18050130； 故选：C 9 （3 分）如图，已知AOB60，点 P 在边 OA 上，OP10，点 M、N 在边 OB 上，PMPN，若 MN 2，则 OM（ ） A3 B4 C5 D6 【分析】作 PHMN 于 H，根据等腰三角形的性质求出 MH，根据直角三角形的性质求出 OH，计算即 可 【解答】解：作 PHMN 于 H， PMPN， MHNHMN1， AOB60， OPH30， OHOP5， OMOHMH4， 故选：B 10 （3 分）如图，在平行四边形 ABCD

20、 中，C120，AD4，AB2，点 H、G 分别是边 CD、BC 上 的动点连接 AH、HG，点 E 为 AH 的中点，点 F 为 GH 的中点，连接 EF则 EF 的最大值与最小值的 差为（ ） A1 B1 C D2 【分析】如图，取 AD 的中点 M，连接 CM、AG、AC，作 ANBC 于 N首先证明ACD90，求出 AC，AN，利用三角形中位线定理，可知 EFAG，求出 AG 的最大值以及最小值即可解决问题 【解答】解：如图，取 AD 的中点 M，连接 CM、AG、AC，作 ANBC 于 N 四边形 ABCD 是平行四边形，BCD120， D180BCD60，ABCD2， AMDMDC

21、2， CDM 是等边三角形， DMCMCD60，CMDMAM， MACMCA30， ACD90， AC2， 在 RtACN 中，AC2，ACNDAC30， ANAC， AEEH，GFFH， EFAG， 易知 AG 的最大值为 AC 的长，最小值为 AN 的长， AG 的最大值为 2，最小值为， EF 的最大值为，最小值为， EF 的最大值与最小值的差为 故选：C 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分分.请把答案直接填在相应答题卡相应位置上请把答案直接填在相应答题卡相应位置上. 11 （3 分）若二次根式有意义，则实数 x 的取值范围

22、是 x2 【分析】根据二次根式有意义的条件可得 x20，再解即可 【解答】解：由题意得：x20， 解得：x2， 故答案为：x2 12 （3 分）分解因式：4a24a+1 （2a1）2 【分析】根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的 2 倍，本题可用完全 平方公式分解因式 【解答】解：4a24a+1（2a1）2 故答案为： （2a1）2 13 （3 分）已知圆锥的底面半径为 2cm，母线长是 4cm，则圆锥的侧面积是 8 cm2（结果保留 ） 【分析】圆锥的侧面积底面周长母线长2 【解答】解：底面圆的半径为 2，则底面周长4，侧面面积448cm2 14 （3 分） “五

23、一”期间，某服装商店举行促销活动，全部商品八折销售，小华购买一件原价为 140 元的运 动服，打折后他比按原价购买节省了 28 元 【分析】八折销售，比按原价购买节省了二折 【解答】解：根据题意，节省了 140（180%）28 元 15 （3 分）关于 x 的一元二次方程 x22x+m30 有两个实数根，则 m 的取值范围是 m4 【分析】由方程的系数结合根的判别式0，即可得出关于 m 的一元一次不等式，解之即可得出 m 的 取值范围 【解答】解：关于 x 的一元二次方程 x22x+m30 有两个实数根， （2）241（m3）164m0， 解得：m4 故答案为：m4 16 （3 分）如图，一海

24、轮位于灯塔 P 的西南方向，距离灯塔 40海里的 A 处，它沿正东方向航行一段时 间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 60方向上的 B 处，航程 AB 的值为 40+40 （结果保留根号） 【分析】过点 P 作 PCAB 于 C，根据等腰直角三角形的性质求出 AC、PC，根据正切的定义求出 BC， 结合图形计算，得到答案 【解答】解：过点 P 作 PCAB 于 C， 在 RtAPC 中，APC45，AP42海里， ACPCAP4040（海里） ， 在 RtBPC 中，BPC60，tanBPC， BCPCtanBPC40， ABAC+BC（40+40）海里， 航程 AB 的值为 40+40， 故答

25、案为：40+40 17 （3 分）已知关于 x 的二次函数 yax2+2ax+a3 在2x2 时的函数值始终是负的，则常数 a 的取值 范围是 a且 a0 【分析】利用配方法求出抛物线的顶点坐标，根据二次函数的性质判断即可 【解答】解：yax2+2ax+a3a（x+1）23， 抛物线的顶点坐标为（1，3） ， 当 a0 时，y0， 当 a0 时，由题意得，当 x2 时，y0， 即 9a30， 解得，a， 由二次函数的定义可知，a0， 故答案为：a且 a0 18 （3 分）甲、乙两车从 A 地出发，匀速驶向 B 地，甲车以 80km/h 的速度行驶 1h 后，乙车才沿相同路线 行驶乙车先到达 B

26、 地并停留 1h 后，再以原速按原路返回，直至与甲车相遇在此过程中，两车之间 的距离 y （km） 与乙车行驶时间 x （h） 之间的函数关系如图所示 给出下列说法： 乙车的速度是 120km/h； m160；点 H 的坐标是（7，80） ；n7.5其中说法正确的有 （把你认为正确结论 的序号都填上） 【分析】根据题意，两车距离为函数，由图象可知两车起始距离为 80，从而得到乙车速度，根据图象变 化规律和两车运动状态，得到相关未知量 【解答】解：由图象可知，乙出发时，甲乙相距 80km，2 小时后，乙车追上甲则说明乙每小时比甲快 40km，则乙的速度为 120km/h正确； 由图象第26小时，

27、 乙由相遇点到达B， 用时4小时， 每小时比甲快40km， 则此时甲乙距离440160km， 则 m160，正确； 当乙在 B 休息 1h 时，甲前进 80km，则 H 点坐标为（7，80） ，正确； 乙返回时，甲乙相距 80km，到两车相遇用时 80（120+80）0.4 小时，则 n6+1+0.47.4，错误 故答案为： 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 10 小题，共小题，共 76 分分.解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明.作图时用作图时用 2B 铅笔或黑色墨水签字笔铅笔或黑色墨水签字笔. 19 （5 分）计算： （） 2

28、（ ）0+|2|+4sin60 【分析】原式第一项利用负整数指数幂法则计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用绝对值的 代数意义化简，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果 【解答】解：原式41+2+45+ 20 （6 分）解不等式组并在数轴上表示解集 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小 无解了确定不等式组的解集 【解答】解：解不等式 2x+10，得：x， 解不等式，得：x0， 则不等式组的解集为x0， 将不等式组的解集表示在数轴上如下： 21 （6 分）今年 6 月 1 日起苏州市全面实行垃圾分类，为了解同学们对垃圾分类知识

29、的知晓情况，我区某 校环保社团的同学们进行了抽样调查，对收集的信息进行整理，绘制了下面两幅尚不完整的统计图请 你根据统计图所提供的数据，解答下列问题： 图中 A 表示“很了解” ，B 表示“了解” ，C 表示“一般” ，D 表示“不了解” （1）被调查的总人数是 50 人，扇形统计图中 C 部分所对应的扇形圆心角的度数为 216 ； （2）若该校共有学生 1800 人，请根据上述调查结果，估计该校学生中 B 类有多少人 【分析】 （1） “A 很了解”的人数为 5 人，占调查人数的 10%，可求出调查人数，进而求出“C 一般”所 占的百分比，求出相应的圆心角的度数； （2）样本中， “B 了解

30、”的频数为 50305510，占比为，即为，因此估计总体 1800 人的五 分之一是“B 类”的人数 【解答】解： （1）510%50（人） ，360216， 故答案案为：50，216； （2）1800360（人） ， 答：该校 1800 名学生中 B 类有 360 人 22 （6 分）如图，点 B，F，C，E 在一条直线上，ABDE，BE，BFCE 求证：CGFG 【分析】由“SAS”可证ABCDEF，可得ACBDFE，可得结论 【解答】证明：BFCE BF+CFCE+CF BCEF 在ABC 和DEF 中 ABCDEF（SAS） ACBDFE CGFG 23 （7 分）某校计划购买一批篮球

31、和足球，已知购买 2 个篮球和 1 个足球共需 320 元，购买 3 个篮球和 2 个足球共需 540 元 （1）求每个篮球和每个足球的售价； （2）如果学校计划购买这两种球共 50 个，总费用不超过 5500 元，那么最多可购买多少个足球？ 【分析】 （1）设每个篮球和每个足球的售价分别为 x 元，y 元，根据题意列出方程组，求出方程组的解 即可； （2）设篮球购买 a 个，则足球购买（50a）个，根据题意列出不等式，求出不等式的解集即可确定出 最多购买的足球 【解答】解： （1）设每个篮球和每个足球的售价分别为 x 元，y 元， 根据题意得：， 解得：， 则每个篮球和每个足球的售价分别为

32、100 元，120 元； （2）设足球购买 a 个，则篮球购买（50a）个， 根据题意得：120a+100（50a）5500， 整理得：20a500， 解得：a25， 则最多可购买 25 个足球 24 （8 分）如图是某教室里日光灯的四个控制开关（分别记为 A、B、C、D） ，每个开关分别控制一排日光 灯（开关序号与日光灯的排数序号不一定一致） 某天上课时，王老师在完全不知道哪个开关对应控制哪 排日光灯的情况下先后随机按下两个开关 （1）王老师按下第一个开关恰好能打开第一排日光灯的概率是 ； （2） 王老师按下两个开关恰好能打开第一排与第三排日光灯的概率是多少？请用列表法或画树状图法加 以分析

33、 【分析】 （1）直接由概率公式求解即可； （2）用列表法或树状图法列举出所以可能，再利用概率公式解答即可 【解答】解： （1）由题意可知王老师按下第一个开关恰好能打开第一排日光灯的概率为， 故答案为：； （2）画树状图如下： 所有出现的等可能性结果共有 12 种，其中满足条件的结果有 2 种 P（两个开关恰好能打开第一排与第三排日光灯） 25 （8 分）如图，点 D 为O 上一点，点 C 在直径 BA 的延长线上，且CDACBD （1）判断直线 CD 和O 的位置关系，并说明理由 （2）过点 B 作O 的切线 BE 交直线 CD 于点 E，若 AC2，O 的半径是 3，求BEC 的正切值 【

34、分析】 （1）连接 OD，证明 ODCE，所以需证明CDA+ODA90； （2）根据已知条件在 RtCDO 中，由勾股定理求得：CD4，又 CE 切O 于 D，EB 切O 于 B，由 切线长定理得 DEEB，设 DEEBx，在 RtCBE 中，由勾股定理得：CE2BE2+BC2，则 （a+x） 2x2+（5+3）2，解得：x6，即 BE6，然后由正切函数的定义解得BEC 的正切值 【解答】解： （1）直线 CD 与O 的位置关系是相切 理由： 连接 OD，如图所示： AB 是O 的直径， ADB90， DAB+DBA90， CDACBD， DAB+CDA90， ODOA， DABADO， CD

35、A+ADO90， 即：ODCE， 直线 CD 是O 的切线 即：直线 CD 与O 的位置关系是相切 （2）AC2，O 的半径是 3， OC2+35，OD3， 在 RtCDO 中，由勾股定理得：CD4 CE 切O 于 D，EB 切O 于 B， DEEB，CBE90， 设 DEEBx， 在 RtCBE 中，有勾股定理得：CE2BE2+BC2， 则 （4+x）2x2+（5+3）2， 解得：x6， 即 BE6， tanBEC， 即：tanBEC 26 （10 分）我们知道：如图，点 B 把线段 AC 分成两部分，如果，那么称点 B 为线段 AC 的黄 金分割点它们的比值为 （1）在图中，若 AC20c

36、m，则 AB 的长为 （1010） cm； （2）如图，用边长为 20cm 的正方形纸片进行如下操作：对折正方形 ABCD 得折痕 EF，连接 CE，将 CB 折叠到 CE 上，点 B 对应点 H，得折痕 CG试说明：G 是 AB 的黄金分割点； （3）如图，小明进一步探究：在边长为 a 的正方形 ABCD 的边 AD 上任取点 E（AEDE） ，连接 BE， 作 CFBE，交 AB 于点 F，延长 EF、CB 交于点 P他发现当 PB 与 BC 满足某种关系时，E、F 恰好分 别是 AD、AB 的黄金分割点请猜想小明的发现，并说明理由 【分析】 （1）由黄金分割点的概定义可得出答案； （2）

37、延长 EA，CG 交于点 M，由折叠的性质可知，ECMBCG，得出EMCECM，则 EM EC，根据勾股定理求出 CE 的长，由锐角三角函数的定义可出 tanBCG，则可得出答案； （3）证明ABEBCF（ASA） ，由全等三角形的性质得出 BFAE，证明AEFBPF，则可得出 答案 【解答】解：点 B 把线段 AC 分成两部分， 点 B 是线段 AC 的黄金分割点，且 ABBC， 它们的比值为， 故答案为为； （1）点 B 为线段 AC 的黄金分割点，AC20cm， AB20（1010）cm 故答案为： （1010） （2）延长 EA，CG 交于点 M， 四边形 ABCD 为正方形， DMB

38、C， EMCBCG， 由折叠的性质可知，ECMBCG， EMCECM， EMEC， DE10，DC20， EC， EM10， DM10+10， tanDMC， tanBCG， 即， ABBC， ， G 是 AB 的黄金分割点； （3）当 BPBC 时，满足题意 理由如下： 四边形 ABCD 是正方形， ABBC，BAECBF90， BECF， ABE+CFB90， 又BCF+BFC90， BCFABE， ABEBCF（ASA） ， BFAE， ADCP， AEFBPF， ， 当 E、F 恰好分别是 AD、AB 的黄金分割点时， AEDE， ， BFAE，ABBC， ， ， BPBC 27 （1

39、0 分）如图，点 A 和动点 P 在直线 l 上，点 P 关于点 A 的对称点为 Q，以 AQ 为边作 RtABQ，使 BAQ90，AQ：AB3：4，作ABQ 的外接圆 O点 C 在点 P 右侧，PC4，过点 C 作直线 ml， 过点 O 作 ODm 于点 D，交 AB 右侧的圆弧于点 E在射线 CD 上取点 F，使 DF，以 DE，DF 为邻边作矩形 DEGF设 AQ3x （1）用关于 x 的代数式表示 BQ 5x ，DF 3x （2）当点 P 在点 A 右侧时，若矩形 DEGF 的面积等于 90，求 AP 的长 （3）当点 P 在点 A 右侧时，作直线 BG 交O 于点 N，若 BN 的弦

40、心距为 1，求 AP 的长 【分析】 （1）由 AQ：AB3：4，AQ3x，易得 AB4x，由勾股定理得 BQ，再由中位线的性质得 AH BHAB，求得 CD，FD； （2）利用（1）的结论，易得 CQ 的长，作 OMAQ 于点 M，则 OMAB，由垂径定理得 QMAM x，由矩形性质得 ODMC，利用矩形面积，求得 x，得出结论； （3）连接 NQ，由点 O 到 BN 的弦心距为 l，得 NQ2，过点 B 作 BMEG 于点 M，GMx，BMx， 易得GBM45，BMAQ，易得 AIAB，求得 IQ，由 NQ 得 AP 【解答】解： （1）在 RtABQ 中， AQ：AB3：4，AQ3x，

41、AB4x， BQ5x， ODm，ml， ODl， OBOQ， AHBHAB2x， CD2x， FDCD3x， 故答案为：5x，3x； （2）APAQ3x，PC4， CQ6x+4， 作 OMAQ 于点 M，如图 1， OMAB， O 是ABQ 的外接圆，BAQ90， 点 O 是 BQ 的中点， QMAMx ODMCx+4， OEBQx， ED2x+4， S矩形DEGFDFDE3x（2x+4）90， 解得：x15（舍去） ，x23， AP3x9； （3）连接 NQ，由点 O 到 BN 的弦心距为 l，得 NQ2，如图 2， 过点 B 作 BMEG 于点 M， GMx，BMx GBM45， BMAQ

42、， AIAB4x， IQx， NQ2， x2， AP6 28 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 ykx4k+4 与抛物线 yx2x 交于 A、B 两点 （1）直线总经过定点，请直接写出该定点的坐标； （2）点 P 在抛物线上，当 k时，解决下列问题： 在直线 AB 下方的抛物线上求点 P，使得PAB 的面积等于 20； 连接 OA，OB，OP，作 PCx 轴于点 C，若POC 和ABO 相似，请直接写出点 P 的坐标 【分析】 （1）变形为不定方程 k（x4）y4，然后根据 k 为任意实数得到 x40，y40，然后 求出 x、y 即可得到定点的坐标； （2）通过解方程组得 A（6，3

43、） 、B（4，8） ； 如图 1，作 PQy 轴，交 AB 于点 Q，设 P（x，x2x） ，则 Q（x，x+6） ，则 PQ（x+6） （x2x） ，利用三角形面积公式得到 SPAB（x1）2+20，然后解方程求出 x 即可得到 点 P 的坐标； 设 P（x，x2x） ，如图 2，利用勾股定理的逆定理证明AOB90，根据三角形相似的判定，由 于AOBPCO，则当时，CPOOAB，即；当时，CPO OBA，即，然后分别解关于 x 的绝对值方程即可得到对应的点 P 的坐标 【解答】解： （1）ykx4k+4k（x4）+4， 即 k（x4）y4， 而 k 为任意实数， x40，y40，解得 x4，

44、y4， 直线过定点（4，4） ； （2）当 k时，直线解析式为 yx+6， 解方程组得或，则 A（6，3） 、B（4，8） ； 如图 1，作 PQy 轴，交 AB 于点 Q， 设 P（x，x2x） ，则 Q（x，x+6） ， PQ（x+6）（x2x）（x1）2+， SPAB（6+4）PQ（x1）2+20， 解得 x12，x24， 点 P 的坐标为（4，0）或（2，3） ； 设 P（x，x2x） ，如图 2， 由题意得：AO3，BO4，AB5， AB2AO2+BO2， AOB90， AOBPCO， 当时，CPOOAB， 即， 整理得 4|x2x|3|x|， 解方程 4（x2x）3x 得 x10（舍去） ，x27，此时 P 点坐标为（7，） ； 解方程 4（x2x）3x 得 x10（舍去） ，x21，此时 P 点坐标为（1，） ； 当时，CPOOBA， 即， 整理得 3|x2x|4|x|， 解方程 3（x2x）4x 得 x10（舍去） ，x2，此时 P 点坐标为（，） ； 解方程 3（x2x）4x 得 x10（舍去） ，x2，此时 P 点坐标为（，） 综上所述，点 P 的坐标为： （7，）或（1，）或（，）或（，）