福建省漳州市2021届高三5月质检数学试题（含答案）

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1、准考证号姓名 (在此卷上答题无效) 漳州市 届高三毕业班第三次教学质量检测 数学试题 本试卷共 页 满分 分 考生注意: 答题前 考生务必在试题卷、 答题卡规定的地方填写自己的准考证号、 姓名 考生 要认真核对答题卡上粘贴的条形码的 “准考证号、 姓名” 与考生本人准考证号、 姓名是否 一致 回答选择题时 选出每小题答案后 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其它答案标号 回答非选择题时 将答案写在答题卡 上 写在本试卷上无效 考试结束 考生必须将试题卷和答题卡一并交回 一、 单项选择题: 本大题共 小题 每小题 分 共 分 在每小题给出的四个选项中 只有一

2、项是符合题目要求的 设集合 则集合 若复数 则 已知向量 与 的夹角为 则 () 已知 为等差数列 的前 项和 若 则 的值为 若一个圆锥的母线与底面所成的角为 侧面积为 则该圆锥的体积为 数学第三次教学质量检测 第 页 (共 页) “墨卡托投影” 是由荷兰地图学家墨卡托在 年拟定 假设地球被围在一个中空圆柱 里 其基准纬线与圆柱相切接触 假想地球中心有一盏灯 把球面上的图形投影到圆柱体 上 再把圆柱体展开 这就是一幅“墨卡托投影” 绘制出的地图 在地图上保持方向和角 度的正确是“墨卡托投影” 的优点 因此 “墨卡托投影” 地图常用作航海图和航空图 通 过地面上任意两点和地球中心作一平面 平面

3、与地球表面相交看到的圆周就是大圆 两点 之间的大圆劣弧线是两点在地面上的最短距离 沿着这段大圆劣弧线航行时的航线称为 “大圆航线” “大圆航线” 转绘到“墨卡托投影” 地图上为一条曲线 如图 ( ) ( ) 为地球上的两点( ) 中 为点 的正纬度或负纬度 为点 的正经度 或负经度 的符号确定规则如下: 当与同在北半球 或同在南半球时 否则 当 与 同在东经区或同在西经区时 否则 ) 记 其中 为地球中心 已知有下面等式: 某游轮拟从杭州(北纬 东经) 沿着大 圆航线航行至旧金山(北纬 西经 ) 则大圆航程约为(大圆圆心角 度所对应的 弧长约为 ) 参考数据: 已知抛物线 : 的焦点为 准线为

4、 是 上一点 是直线 与 的一个交 点 若 则 的值为 漳州市龙海区港尾镇和浮宫镇盛产杨梅 杨梅果味酸甜适中 有开胃健脾、 生津止渴、 消暑除烦 抑菌止泻 降血脂血压等功效 杨梅的保鲜时间很短 当地技术人员采用某种 保鲜方法后可使得杨梅采摘之后的时间 (单位: 小时) 与失去的新鲜度 满足函数关系 其中 为常数 已知采用该种保鲜方法后 杨梅采摘 小 时之后失去 的新鲜度 采摘 小时之后失去 的新鲜度 如今我国物流行业蓬勃 发展 为了保证港尾镇的杨梅运输到北方某城市销售时的新鲜度不低于 则物流时 数学第三次教学质量检测 第 页 (共 页) 间(从杨梅采摘的时刻算起) 不能超过(参考数据: ) 小

5、时 小时 小时 小时 二、 多项选择题: 本大题共小题 每小题分 共分 在每小题给出的四个选项中 有 多个选项符合题目要求 全部选对的得 分 选对但不全的得 分 有选错的得 分 已知 是两个不同的平面 是两条不同的直线 则下列结论正确的是 若 则 若 则 若 则 若 则 已知正数 满足 则 已知( ) ( ) 的展开式中的所有项的二项式系数之和为 记展开式中的第 项 的系数为 二项式系数为 则下列结论正确的是 数列 ( ) 是等比数列 数列 ( ) 的所有项之和为 数列 ( ) 是等差数列 数列 ( ) 的最大项为 已知 的三个内角 满足 则下列结论正确的是 是钝角三角形 记第 条双曲线的离心

6、率 为 且满足 ( ) () 求数列 的通项公式 () 求数列 的前 项和 ( 分) 如图 在四棱锥 中 四边形是菱形 三棱锥 是正三棱锥 分别为 的中点 () 证明: 直线 平面 () 求二面角 的余弦值 数学第三次教学质量检测 第 页 (共 页) ( 分) 为全面推进学校素质教育 推动学校体育科学发展 引导学生积极主动参与体育锻炼 促进学生健康成长 从 年开始 参加漳州市初中毕业和高中阶段学校考试的初中毕 业生 体育中考成绩以分数(满分 分计入中考总分) 和等级作为高中阶段学校招生投 档录取依据 考试由必考类、 抽考类、 抽选考类三部分组成 必考类是由笔试体育保健 知识(分值 分) 男生

7、米跑、 女生 米跑(分值 分) 组成 抽考类是篮球、 足 球、 排球 由市教育局从这三项技能中抽选一项考试(分值 分) 抽选考类是立定跳 远、 分钟跳绳、 引体向上(男)、 斜身引体(女)、 双手头上前掷实心球、 分钟仰卧起 坐 由市教育局随机抽选其中三项 考生再从这三个项目中自选两项考试 每项分 已 知今年教育局已抽选确定: 抽考类选考篮球 抽选考类选考立定跳远、 分钟跳绳、 双 手头上前掷实心球这三个项目 甲校随机抽取了名本校初三男生进行立定跳远测试 根据测试成绩得到如下的频率分布直方图 () 若漳州市初三男生的立定跳远成绩(单位: 厘米) 服从正态分布( ) 并用上 面样本数据的平均值和

8、标准差的估计值分别作为和 已计算得上面样本的标准差 的估计值为 (各组数据用中点值代替) 在漳州市届所有初三男生中任 意选取 人 记立定跳远成绩在 厘米以上(含 厘米) 的人数为 求随机变量 的分布列和期望 () 已知乙校初三男生有 名 男生立定跳远成绩在 厘米以上(含 厘米) 得满 分. () 若认为乙校初三男生立定跳远成绩也服从() 中所求的正态分布 请估计乙校 初三男生立定跳远得满分的人数(结果保留整数) () 事实上 () 中的估计值与乙校实际情况差异较大 请从统计学的角度分析 这个差异性 (至少写出两点) 附: 若 ( ) 则 ( ) ( ) ( 时 ( ) 在区间 () 上有且只有

9、两个零点 数学第三次教学质量检测 第 页 (共 页) 漳州市 届高三毕业班第三次教学质量检测 数学参考答案及评分细则 评分说明: . 本解答给出了一种或几种解法供参考 如果考生的解法与本解答不同 可根据试题 的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则 . 对计算题 当考生的解答在某一步出现错误时 如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度 可视影响的程度决定后继部分的给分 但不得超过该部分正确解答应给分数的 一半 如果后继部分的解答有较严重的错误 就不再给分 . 解答右端所注分数 表示考生正确做到这一步应得的累加分数 . 只给整数分数 选择题和填空题不给中间分 一、 单项选择题: 本大题共

10、小题 每小题 分 共 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 二、 多项选择题: 本大题共 小题 每小题 分 共 分 在每小题给出的四个选项中 有多个选项符合题目要求 全部选对的得 分 选对但不全的得 分 有选错的得 分. 三、 填空题: 本大题共 题 每小题 分 共 分 (答案不唯一 ( ) 其中 取任意实数均可) 四、 解答题: 本大题共 小题 共 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 解: () 在 中 由余弦定理可得 分 A B C D 所以 ( ) 即 又 所以 分 () 由() 可知 分 数学第三次教学质量检测参考答案 第 页 (共 页) 所以 ( ) 分 因

11、为 为锐角 所以 分 又因为 ( ) 所以 分 所以 ( ) 分 解: () 因为 ( ) 所以 ( ) ( ) 两式对应相减 可得 ( ) ( ) 所以 ( ) 分 因为当 时 ( ) 所以 分 所以 是以 为首项 以 为公差的等差数列 分 所以 ( ) 分 () 由题意 得 分 所以 ( ) 分 所以 ( ) ( ) 分 () 证明: 连结 交 于点 连结 因为四边形 是菱形 所以 为 的中点 分 因为 为 的中点 所以 分 又因为 平面 平面 分 所以直线 平面 分 () 解: 作 平面 于 则 为正 的中心 在线段 上 且 数学第三次教学质量检测参考答案 第 页 (共 页) 分 因为四

12、边形 是菱形 所以 以 为坐标原点 分别以 的方向为 轴 轴 轴的正方向建立空间 直角坐标系 如图 分 则 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 所以 ( ) ( ) ( ) 设 ( ) 是平面 的法向量 则 即 取 ( ) 分 设 ( ) 是平面 的法向量 则 即 取 ( ) 分 所以 分 又因为二面角 是锐二面角 所以二面角 的余弦值为 分 解: () 由题意 得 分 数学第三次教学质量检测参考答案 第 页 (共 页) 所以 ( ) ( ) 所以 ( ) 所以( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 所以 的分布列为:

13、分 () 分 () () 记乙校初三男生立定跳远成绩为 厘米 则 ( ) 所以 ( ) ( ) ( ( ) ( ) 分 所以估计乙校初三男生立定跳远得满分的人数为 分 () 本题结论开放 只要考生能从统计学的角度作出合理的分析即可 如: 一次取样未必能客观反映总体 样本容量过小也可能影响估计的准确 性 忽略异常数据的影响也可能导致估计失真 模型选择不恰当 模型的拟合效果不好 也将导致估计失真 样本不具代表性 也会对 估计产生影响 等等 分 解法一: () 由题意可知:( ) ( ) 分 所以点 到点 ( ) 与到点 ( ) 的距离之差为 且 ) 其中 所以 所以 所以曲线 的方程为 ( ) 分

14、 () () 设直线 的方程为 ( ) ( ) 其中 数学第三次教学质量检测参考答案 第 页 (共 页) 联立 消去 可得( ) 由题意知 且 ( ) ( ) 所以 分 直线 : ( ) 直线 : ( ) 由于点 ( ) 在曲线 上 可知 ( ) 所以 ( ) 所以直线 : ( ) ( ) 联立 消去 可得( ) ( ) ( ) 即( ) ( )( ) 所以( ) ( )( ) ( ) 所以( ) 所以 所以点 在定直线 上 分 () 由题意 与() 同理可证点 也在定直线 上 分 设 ( ) ( ) 则 由于 在直线 : ( ) 上 在直线 : ( ) 上 所以 所以 ( )( ) ( )(

15、 ) ( ) ( ) 又因为 ( ) ( ) 数学第三次教学质量检测参考答案 第 页 (共 页) 所以 所以 分 解法二: () 同解法一 () () 设直线 的方程为 ( ) ( ) 其中 联立 消去 可得( ) 由题意知 且 ( ) ( ) 所以 分 因为直线 : ( ) 直线 : ( ) 联立 ( ) ( ) 消去 可得 ( ) ( ) 即 ( ) ( ) ( ) ( ) 又因为 ( ) 所以 ( ) ( ) 所以 所以点 在定直线 上 分 () 同解法一 解法三: () 同解法一 () () 设直线 的方程为 ( ) ( ) 其中 联立 消去 可得( ) 由题意知 且 ( ) ( )

16、数学第三次教学质量检测参考答案 第 页 (共 页) 所以 因为直线 : ( ) 直线 : ( ) 联立 ( ) ( ) 消去 可得 ( ) ( ) 即 ( ) ( ) ( ) ( ) 又因为 所以 所以 ( ) 所以 所以点 在定直线 上 分 () 同解法一 解法四: () 同解法一 () () 设直线 的方程为 ( ) ( ) 其中 联立 消去 可得( ) 由题意知 且 ( ) ( ) 所以 因为直线 : ( ) 直线 : ( ) 联立 ( ) ( ) 消去 可得 ( ) ( ) 数学第三次教学质量检测参考答案 第 页 (共 页) 即 ( ) ( ) ( ) ( ) 当 ( ) ( ) 时

17、( ( ) ) ( ) 当 ( ) ( ) 时 同理可证 所以 所以点 在定直线 上 分 () 同解法一 数学第三次教学质量检测参考答案 第 页 (共 页) 解: () 若 则 () 当 () 时 ( ) () () 分 由 () 所以 () 所以 () 在 () 上单调递增 分 () 当 ( 时 () () () 所以 ( ) 在 ( 上单调递减 ( ) () 若 则 ( ) ( ) 所以 ( ) 在 ( 上单调递增 又 ( ) ( ) 所以 ( ) 在 ( 上有唯一零点 分 () 若 则 ( ) 所以存在 () 使得 () 且当 () 时 ( ) 当 () 时 ( ) 所以 ( ) 在 () 上单调递增 在 () 上单调递减 又 ( ) ( ) 所以 ( ) 在 ( 上有唯一零点 分 当 ( 时 ( ) ( ) ( ) 时 ( ) 所以 ( ) 时 ( ) 在 () 上有且只有两个零点 分 数学第三次教学质量检测参考答案 第 页 (共 页)