2021年高考数学(理)一轮复习题型归纳与训练 专题9.11 解析几何减少运算量的常见运算技巧(教师版含解析)
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1、2021 年高考理科数学一轮复习:题型全归纳与高效训练突破年高考理科数学一轮复习:题型全归纳与高效训练突破 专题专题 9.11 解析几何减少运算量的常见解析几何减少运算量的常见运算运算技巧技巧 目录 运算技巧一运算技巧一 解析几何中的解析几何中的“设而不求设而不求” 【概述】“设而不求”是简化运算的一种重要手段,它的精彩在于设而不求,化繁为简解题过程中,巧 妙设点,避免解方程组,常见类型有:(1)灵活应用“点、线的几何性质”解题;(2)根据题意,整体消参或 整体代入等 类型一 巧妙运用抛物线定义得出与根与系数 关系的联系,从而设而不求 【例 1】在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线x 2 a2
2、 y2 b21(a0,b0)的右支与焦点为 F 的抛物线 x 22py(p0) 交于 A,B 两点若|AF|BF|4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为_ 【答案】 y 2 2 x 【解析】 设 A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线的定义可知|AF|y1p 2,|BF|y2 p 2,|OF| p 2,由|AF|BF| y1p 2y2 p 2y1y2p4|OF|2p,得 y1y2p. kABy2y1 x2x1 x22 2p x21 2p x2x1 x2x1 2p . 由 x21 a2 y21 b21, x22 a2 y22 b21, 得 kABy2y1 x2x1 b2(x1x2) a2(y
3、1y2) b2 a2 x1x2 p ,则b 2 a2 x1x2 p x2x1 2p ,所以b 2 a2 1 2 b a 2 2 ,所以 双曲线的渐近线方程为 y 2 2 x. 类型二 中点弦或对称问题,可以利用“点差法” , “点差法”实质上是“设而不求”的一种方法 【例 2】ABC 的三个顶点都在抛物线 E:y22x 上,其中 A(2,2),ABC 的重心 G 是抛物线 E 的焦点, 则 BC 边所在直线的方程为_ 【答案】 4x4y50 【解析】 设 B(x1,y1),C(x2,y2),边 BC 的中点为 M(x0,y0),易知 G 1 2,0 ,则 x 1x22 3 1 2, y1y22
4、 3 0, 从而 x0 x 1x2 2 1 4, y0y1y2 2 1, 即 M 1 4,1 , 又 y212x1,y222x2,两式相减得(y1y2)(y1y2)2(x1x2),则直线 BC 的斜率 kBCy1y2 x1x2 2 y1y2 2 2y0 1 y0 1,故直线 BC 的方程为 y(1) x1 4 ,即 4x4y50. 类型三 中点弦或对称问题,可以利用“点差法”,但不要忘记验证 0 【例 3】已知椭圆 E:x 2 a2 y2 b21(ab0)的右焦点为 F(3,0),过点 F 的直线交 E 于 A,B 两点若 AB 的 中点坐标为 M(1,1),则 E 的标准方程为( ) Ax
5、2 45 y2 361 Bx 2 36 y2 271 Cx 2 27 y2 181 Dx 2 18 y2 91 【答案】 D 【解析】 通解:设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1x22,y1y22, x21 a2 y21 b21, x22 a2 y22 b21, 得(x1x2)(x1x2) a2 (y1y2)(y1y2) b2 0, 所以 kABy1y2 x1x2 b2(x1x2) a2(y1y2) b2 a2. 又 kAB01 31 1 2,所以 b2 a2 1 2. 又 9c2a2b2,解得 b29,a218, 所以椭圆 E 的标准方程为x 2 18 y2 91. 【优解】
6、:由 kABkOMb 2 a2得, 10 13 1 1 b 2 a2得,a 22b2, 又 a2b29,所以 a218,b29, 所以椭圆 E 的标准方程为x 2 18 y2 91. 【例 4】已知双曲线 x2y 2 21,过点 P(1,1)能否作一条直线 l 与双曲线交于 A,B 两点,且点 P 是线段 AB 的中点? 【解】 假设存在直线 l 与双曲线交于 A,B 两点,且点 P 是线段 AB 的中点 设 A(x1,y1),B(x2,y2),易知 x1x2,由 x 2 1y 2 1 21, x22y 2 2 21, 两式相减得(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2) 2 0, 又x
7、1x2 2 1,y1y2 2 1,所以 2(x1x2)(y1y2)0, 所以 kABy1y2 x1x22, 故直线 l 的方程为 y12(x1),即 y2x1. 由 y2x1, x2y 2 21, 消去 y 得 2x24x30, 因为 162480,方程无解,故不存在一条直线 l 与双曲线交于 A,B 两点,且点 P 是线段 AB 的中 点 类型四 求解直线与圆锥曲线的相关问题时, 若两条直线互相垂直或两直线斜率有明确等量关系, 可用“替 代法”, “替代法”的实质是设而不求 【例 5】已知 F 为抛物线 C:y22x 的焦点,过 F 作两条互相垂直的直线 l1,l2,直线 l1与 C 交于
8、A,B 两 点,直线 l2与 C 交于 D,E 两点,则|AB|DE|的最小值为_ 【答案】 8 【解析】 法一:由题意知,直线 l1,l2的斜率都存在且不为 0,F 1 2,0 ,设 l1:xty 1 2,则直线 l1的斜 率为1 t, 联立方程得 y 22x, xty1 2, 消去 x 得 y22ty10. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1y22t,y1y21. 所以|AB| t21|y1y2| t21 (y1y2)24y1y2 t21 4t242t22, 同理得,用1 t替换 t 可得|DE| 2 t22,所以|AB|DE|2 t21 t2 4448,当且仅当 t21 t
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