2021年高考数学(理)一轮复习题型归纳与训练 专题9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系(教师版含解析)
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1、2021 年高考理科数学一轮复习:题型全归纳与高效训练突破年高考理科数学一轮复习:题型全归纳与高效训练突破 专题专题 9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆、圆与圆的位置关系 目录 一、考点全归纳一、考点全归纳 1直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 设直线 l:AxByC0(A2B20), 圆:(xa)2(yb)2r2(r0), d 为圆心(a,b)到直线 l 的距离,联立直线和圆的方程,消元后得到的一元二次方程的判别式为 . 方法方法 位置关系位置关系 几何法几何法 代数法代数法 相交相交 d0 相切相切 dr 0 相离相离 dr 0), 圆 O2:(xa2)2(yb2)2r22(r2
2、0) 方法方法 位置关系位置关系 几何法:圆心距几何法:圆心距 d 与与 r1,r2 的关系的关系 代数法: 两圆方程联立组成方代数法: 两圆方程联立组成方 程组的解的情况程组的解的情况 外离外离 dr1r2 无解 外切外切 dr1r2 一组实数解 相交相交 |r1r2|dr1r2 两组不同的实数解 内切内切 d|r1r2|(r1r2) 一组实数解 内含内含 0d0,所以直线 l 与圆相交 法二:由题意知,圆心(0,1)到直线 l 的距离 d |m| m2110)上恒有 4 个点到直线 xy20 的距离为 1,则实数 r 的取值范围是( ) A( 21,) B( 21, 21) C(0, 21
3、) D(0, 21) 【答案】 (1)D (2)A 【解析】 (1)由 x2y22x2y10 得(x1)2(y1)21,因为直线 xmy2m 与圆 x2y22x2y 10 相交,所以|1m2m| 1m2 1,所以 m0,即 m(,0)(0,) (2)计算得圆心到直线 l 的距离为 2 2 21,如图 直线 l:xy20 与圆相交,l1,l2与 l 平行,且与直线 l 的距离为 1,故可以看出,圆的半径应该大于圆 心到直线 l2的距离 21.故选 A. 题型二题型二 圆的切线问题圆的切线问题 【规律与方法】【规律与方法】1求过圆上一点求过圆上一点(x0,y0)的切线方程的方法的切线方程的方法 先
4、求切点与圆心连线的斜率 k,若 k 不存在,则结合图形可直接写出切线方程为 yy0;若 k0,则结合图 形可直接写出切线方程为 xx0;若 k 存在且 k0,则由垂直关系知切线的斜率为1 k,由点斜式可写出切线 方程 2求过圆外一点(x0,y0)的圆的切线方程的两种方法 几何 法 当斜率存在时,设为 k,则切线方程为 yy0k(xx0),即 kxyy0kx00.由圆心到直线的距离等 于半径,即可求出 k 的值,进而写出切线方程 代数 法 当斜率存在时,设为 k,则切线方程为 yy0k(xx0),即 ykxkx0y0,代入圆的方程,得到一 个关于 x 的一元二次方程,由 0,求得 k,切线方程即
5、可求出 【例【例 1】 (2020 丹东二模丹东二模)经过点 M(3,0)作圆 x2y22x4y30 的切线 l,则 l 的方程为( ) Axy30 Bxy30 或 x3 Cxy30 Dxy30 或 x3 【答案】C 【解析】由 x2y22x4y30,得(x1)2(y2)28,则圆心坐标为(1,2),半径为 2 2,当过点 M(3,0) 的切线存在斜率 k 时,则设切线方程为 yk(x3),即 kxy3k0,圆心到它的距离为 2 2,有 |1k23k| k21 2 2k1; 当过点 M(3,0)的切线不存在斜率时, 即 x3, 显然圆心到它的距离为 22 2, x3 不是圆的切线因此切线方程为
6、 xy30. 【例 2】已知点 P( 21,2 2),点 M(3,1),圆 C:(x1)2(y2)24. (1)求过点 P 的圆 C 的切线方程; (2)求过点 M 的圆 C 的切线方程,并求出切线长 【答案】见解析 【解析】 由题意得圆心 C(1,2),半径长 r2. (1)因为( 211)2(2 22)24, 所以点 P 在圆 C 上 又 kPC2 22 2111,所以切线的斜率 k 1 kPC1. 所以过点 P 的圆 C 的切线方程是 y(2 2)1x( 21),即 xy12 20. (2)因为(31)2(12)254,所以点 M 在圆 C 的外部 当过点 M 的直线斜率不存在时,直线方
7、程为 x3, 即 x30. 又点 C(1,2)到直线 x30 的距离 d312r, 即此时满足题意,所以直线 x3 是圆的切线 当切线的斜率存在时,设切线方程为 y1k(x3), 即 kxy13k0, 则圆心 C 到切线的距离 d|k213k| k21 r2, 解得 k3 4.所以切线方程为 y1 3 4(x3),即 3x4y50.综上可得,过点 M 的圆 C 的切线方程为 x3 0 或 3x4y50. 当切线为 3x4y50 时, 因为|MC|(31)2(12)2 5,所以过点 M 的圆 C 的切线长为 |MC|2r2 541. 当切线为 x3 时,切线长为 1. 题型三题型三 圆的弦长问题
8、圆的弦长问题 【解题要点】求直线与圆相交时弦长的两种方法【解题要点】求直线与圆相交时弦长的两种方法 (1)几何法:直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点,设弦心距为 d,圆 C 的半径为 r,则|AB|2 r2d2. (2)代数法:将直线方程与圆的方程联立,设直线与圆的交点分别是 A(x1,y1),B(x2,y2) 则|AB| x1x22y1y22 1k2|x1x2|1 1 k2|y1y2|(直线 l 的斜率 k 存在) 【例 2】若 a,b,c 是ABC 三个内角的对边,且 csin C3asin A3bsin B,则直线 l:axbyc0 被圆 O:x2y212 所截得的弦长为( ) A4
9、 6 B2 6 C6 D5 【答案】 C 【解析】 因为 a sin A b sin B c sin C. 故由 csin C3asin A3bsin B 可得 c23(a2b2) 圆 O:x2y212 的圆心为 O(0,0),半径为 r2 3,圆心 O 到直线 l 的距离 d |c| a2b2 3,所以直线 l 被圆 O 所截得的弦长为 2 r2d22(2 3)2( 3)26,故选 C. 【例2】 设直线yx2a与圆C: x2y22ay20相交于A, B两点, 若|AB|2 3, 则圆C的面积为_ 【答案】 4 【解析】 圆 C 的方程可化为 x2(ya)2a22,可得圆心的坐标为 C(0,
10、a),半径 r a22,所以圆心 到直线 xy2a0 的距离为|a2a| 2 |a| 2,所以 |a| 2 2 ( 3)2( a22)2,解得 a22,所以圆 C 的半径 为 2,所以圆 C 的面积为 4. 【例【例 3】 (2020 遵义航天高级中学月考遵义航天高级中学月考)直线 l:xay2 被圆 x2y24 所截得的弦长为 2 3,则直线 l 的 斜率为( ) A. 3 B 3 C. 3 3 D 3 3 【答案】D 【解析】 圆心(0,0)到直线 l: xay20的距离 d 2 1a2, 因为直线 l被圆 x 2y24所截得的弦长为 2 3, 所以 2 1a2 2 2 3 2 24,解得
11、 a 3,所以直线 l 的斜率为1 a 3 3 . 【例【例 4】在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C 与 y 轴相切,且过点 M(1, 3),N(1, 3) (1)求圆 C 的方程; (2)已知直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点,且直线 OA 与直线 OB 的斜率之积为2.求证:直线 l 恒过定点,并 求出定点的坐标 【答案】见解析 【解析】 (1)因为圆 C 过点 M(1, 3),N(1, 3), 所以圆心 C 在线段 MN 的垂直平分线上,即在 x 轴上, 故设圆心为 C(a,0),易知 a0, 又圆 C 与 y 轴相切,所以圆 C 的半径 ra, 所以圆 C 的方程为(xa)2
12、y2a2. 因为点 M(1, 3)在圆 C 上, 所以(1a)2( 3)2a2,解得 a2. 所以圆 C 的方程为(x2)2y24. (2)记直线 OA 的斜率为 k(k0), 则其方程为 ykx. 联立,得 (x2)2y24, ykx, 消去 y,得(k21)x24x0,解得 x10,x2 4 k21. 所以 A 4 k21, 4k k21 . 由 k kOB2,得 kOB2 k,直线 OB 的方程为 y 2 kx, 在点 A 的坐标中用2 k代换 k,得 B 4k2 k24, 8k k24 . 当直线 l 的斜率不存在时, 4 k21 4k2 k24,得 k 22,此时直线 l 的方程为
13、x4 3. 当直线 l 的斜率存在时, 4 k21 4k2 k24,即 k 22. 则直线 l 的斜率为 4k k21 8k k24 4 k21 4k2 k24 4k(k24)8k(k21) 4(k24)4k2(k21) 3k(k22) 4k4 3k 2k2. 故直线 l 的方程为 y 4k k21 3k 2k2 x 4 k21 . 即 y 3k 2k2 x4 3 ,所以直线 l 过定点 4 3,0 . 综上,直线 l 恒过定点,定点坐标为 4 3,0 . 题型题型四四 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系 【规律方法】【规律方法】(1)判断两圆位置关系的方法判断两圆位置关系的方法 常用几何法,即
14、用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系,一般不用代数法 (2)两圆公共弦长的求法两圆公共弦长的求法 两圆公共弦长,在其中一圆中,由弦心距 d,半弦长l 2,半径 r 所在线段构成直角三角形,利用勾股定理求 解 【提醒】【提醒】(1)当两圆相交时,两圆方程相减,所得的直线方程即两圆公共弦所在的直线方程,这一结论的前 提是两圆相交,如果不确定两圆是否相交,两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方 程 (2)两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心 (3)求公共弦长时,几何法比代数法简单且易求 【例【例 1】 (2020 揭阳模拟揭阳模拟)若圆 x2y21 与圆 x2y26x8ym0 相
15、切,则 m 的值为_ 【答案】 9 或 11 【解析】因为 x2y26x8ym0,所以(x3)2(y4)225m,因为两圆相切,所以 32421 25m或 3242|1 25m|,解得 m9 或 11. 【例 2】 已知圆 C1:x2y22x6y10 和 C2:x2y210 x12y450. (1)求证:圆 C1和圆 C2相交; (2)求圆 C1和圆 C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长 【答案】见解析 【解析】 (1)证明:圆 C1的圆心 C1(1,3),半径 r1 11, 圆 C2的圆心 C2(5,6),半径 r24, 两圆圆心距 d|C1C2|5,r1r2 114,|r1r2|4 11,
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