2021年高考数学(理)一轮复习题型归纳与训练 专题9.3 圆的方程(教师版含解析)
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1、2021 年高考理科数学一轮复习:题型全归纳与高效训练突破年高考理科数学一轮复习:题型全归纳与高效训练突破 专题专题 9.3 圆的方程圆的方程 目录 一、考点全归纳一、考点全归纳 1圆的定义及方程圆的定义及方程 定义 平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)叫做圆 标准方程 (xa)2(yb)2r2(r0) 圆心:(a,b),半径:r 一般方程 x2y2DxEyF0(D2 E24F0) 圆心: D 2, E 2 , 半径:1 2 D2E24F 2.点与圆的位置关系点与圆的位置关系 点 M(x0,y0)与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系: (1)若 M(x0,y0)在圆外,则(x0a)2
2、(y0b)2r2. (2)若 M(x0,y0)在圆上,则(x0a)2(y0b)2r2. (3)若 M(x0,y0)在圆内,则(x0a)2(y0b)2r2. 【常用结论】几种常见圆的方程的设法【常用结论】几种常见圆的方程的设法 标准方程的设法 一般方程的设法 圆心在原点 x2y2r2 x2y2r20 续 表 标准方程的设法 一般方程的设法 过原点 (xa)2(yb)2a2b2 x2y2DxEy0 圆心在 x 轴上 (xa)2y2r2 x2y2DxF0 圆心在 y 轴上 x2(yb)2r2 x2y2EyF0 与 x 轴相切 (xa)2(yb)2b2 x2y2DxEy1 4D 20 与 y 轴相切
3、(xa)2(yb)2a2 x2y2DxEy1 4E 20 二、题型全归纳二、题型全归纳 题型一题型一 求圆的方程求圆的方程 【解题要点】求圆的方程的两种方法【解题要点】求圆的方程的两种方法 (1)直接法直接法 根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程 (2)待定系数法待定系数法 若已知条件与圆心(a,b)和半径 r 有关,则设圆的标准方程,依据已知条件列出关于 a,b,r 的方程组, 从而求出 a,b,r 的值; 若已知条件没有明确给出圆心或半径, 则选择圆的一般方程, 依据已知条件列出关于 D, E, F 的方程组, 进而求出 D,E,F 的值 【提醒】【提醒】解答圆的有关问题
4、,应注意数形结合,充分运用圆的几何性质 类型一类型一 已知不共线的三点,求圆的方程已知不共线的三点,求圆的方程 【例 1】已知圆 E 经过三点 A(0,1),B(2,0),C(0,1),且圆心在 x 轴的正半轴上,则圆 E 的标准方程 为_ 【答案】 x3 4 2 y225 16 【解析】 法一(待定系数法):根据题意,设圆 E 的圆心坐标为(a,0)(a0),半径为 r,则圆 E 的标准方程 为(xa)2y2r2(a0) 由题意得 a 212r2, (2a)2r2, a2(1)2r2, 解得 a 3 4, r225 16, 所以圆 E 的标准方程为 x3 4 2 y225 16. 法二(待定
5、系数法):设圆 E 的一般方程为 x2y2DxEyF0(D2E24F0), 则由题意得 1EF0, 42DF0, 1EF0, 解得 D3 2, E0, F1, 所以圆 E 的一般方程为 x2y23 2x10, 即 x3 4 2 y225 16. 法三(几何法):因为圆 E 经过点 A(0,1),B(2,0),所以圆 E 的圆心在线段 AB 的垂直平分线 y1 22(x1) 上 又圆 E 的圆心在 x 轴的正半轴上,所以圆 E 的圆心坐标为 3 4,0 . 则圆 E 的半径为 EB 23 4 2 (00)25 4, 所以圆 E 的标准方程为 x3 4 2 y225 16. 类型二类型二 已知两点
6、及圆心所在直线,求圆的方程已知两点及圆心所在直线,求圆的方程 【例 2】求圆心在直线 x2y30 上,且过点 A(2,3),B(2,5)的圆的方程 【答案】(x1)2(y2)210 【解析】 法一:设点 C 为圆心,因为点 C 在直线 x2y30 上, 所以可设点 C 的坐标为(2a3,a) 又该圆经过 A,B 两点, 所以|CA|CB|, 即(2a32)2(a3)2 (2a32)2(a5)2,解得 a2, 所以圆心 C 的坐标为(1,2),半径 r 10. 故所求圆的方程为(x1)2(y2)210. 法二:设所求圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2, 由题意得 (2a) 2(3b)2r2,
7、 (2a)2(5b)2r2, a2b30, 解得 a1, b2, r210, 故所求圆的方程为(x1)2(y2)210. 法三:设圆的一般方程为 x2y2DxEyF0,则圆心坐标为 D 2, E 2 . 由题意得 D 2 2 E 2 30, 492D3EF0, 4252D5EF0, 解得 D2, E4, F5. 故所求圆的方程为 x2y22x4y50. 类型三类型三 已知直线与圆的位置关系,求圆的方程已知直线与圆的位置关系,求圆的方程 【例【例 3】(2020 石家庄一模石家庄一模)已知圆 C 截两坐标轴所得弦长相等,且圆 C 过点(1,0)和(2,3),则圆 C 的半 径为( ) A8 B2
8、 2 C5 D 5 【答案】D. 【解析】 :法一:设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2(r0)因为圆 C 经过点(1,0)和(2,3),所以 (a1)2b2r2, (a2)2(b3)2r2,所以 ab20, 又圆 C 截两坐标轴所得弦长相等,所以|a|b|, 由得 ab1,所以圆 C 的半径为 5,故选 D. 法二:因为圆 C 经过点 M(1,0)和 N(2,3),所以圆心 C 在线段 MN 的垂直平分线 yx2 上,又圆 C 截两坐标轴所得弦长相等,所以圆心 C 到两坐标的距离相等,所以圆心 C 在直线 y x 上,因为直线 y x 和直线 yx2 平行, 所以圆心 C 为直线 yx
9、和直线 yx2 的交点(1, 1), 所以圆 C 的半径为 5. 故选 D. 【例【例 4】 】 (2020 湖北湖北“荆、 襄、 宜七校考试联盟荆、 襄、 宜七校考试联盟”期末期末)已知圆 C 经过直线 xy20 与圆 x2y24 的交点, 且圆 C 的圆心在直线 2xy30 上,则圆 C 的方程为_ 【答案】 :(x3)2(y3)234 【解析】 :设所求圆的方程为(x2y24)a(xy2)0,a0,即 x2y2axay42a0, 所以圆心为 a 2, a 2 ,因为圆心在直线 2xy30,所以aa 230,所以 a6. 所以圆的方程为 x2y26x6y160,即(x3)2(y3)234.
10、 题型二题型二 与圆有关的轨迹问题与圆有关的轨迹问题 【规律与方法】【规律与方法】1掌握掌握“三方法三方法” 2明确明确“五步骤五步骤” 【例 1】已知圆 x2y24 上一定点 A(2,0),B(1,1)为圆内一点,P,Q 为圆上的动点 (1)求线段 AP 中点的轨迹方程; (2)若PBQ90 ,求线段 PQ 中点的轨迹方程 【答案】见解析 【解析】 :(1)设 AP 的中点为 M(x,y),由中点坐标公式可知,P 点坐标为(2x2,2y) 因为 P 点在圆 x2y24 上, 所以(2x2)2(2y)24. 故线段 AP 中点的轨迹方程为(x1)2y21. (2)设 PQ 的中点为 N(x,y
11、),在 Rt PBQ 中,|PN|BN|, 设 O 为坐标原点,连接 ON(图略),则 ONPQ,所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2, 所以 x2y2(x1)2(y1)24. 故线段 PQ 中点的轨迹方程为 x2y2xy10. 【例【例 2】(2020 潍坊调研潍坊调研)已知圆 x2y24 上一定点 A(2,0),B(1,1)为圆内一点,P,Q 为圆上的动点 (1)求线段 AP 中点的轨迹方程; (2)若PBQ90 ,求线段 PQ 中点的轨迹方程 【答案】见解析 【解析】 (1)设 AP 的中点为 M(x,y), 由中点坐标公式可知,P 点坐标为(2x2,2y) 因为 P
12、点在圆 x2y24 上, 所以(2x2)2(2y)24, 故线段 AP 中点的轨迹方程为(x1)2y21. (2)设 PQ 的中点为 N(x,y), 在 Rt PBQ 中,|PN|BN|. 设 O 为坐标原点,连接 ON,则 ONPQ, 所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2, 所以 x2y2(x1)2(y1)24. 故线段 PQ 中点的轨迹方程为 x2y2xy10. 题型三题型三 与圆有关的最值问题与圆有关的最值问题 【解题要点】【解题要点】借助几何性质求与圆有关的最值问题,根据代数式的几何意义,借助数形结合思想求解 (1)形如 yb xa形式的最值问题,可转化为动直线斜率的
13、最值问题或转化为线性规划问题 (2)形如 taxby 形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题或转化为线性规划问题 (3)形如(xa)2(yb)2形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题 类型一类型一 建立函数关系求最值建立函数关系求最值 【例【例 1】 】 (2020 厦门模拟厦门模拟)设点 P(x,y)是圆:x2(y3)21 上的动点,定点 A(2,0),B(2,0),则PA PB 的最大值为_ 【答案】 12 【解析】 由题意,知PA (2x,y),PB(2x,y),所以PA PBx2y24,由于点 P(x,y)是圆 上的点,故其坐标满足方程 x2(y3)21,故 x
14、2(y3)21,所以PA PB(y3)21y246y 12.由圆的方程 x2(y3)21,易知 2y4,所以当 y4 时,PA PB的值最大,最大值为 6 41212. 类型二类型二 借助几何性质求最值借助几何性质求最值 【例【例 2】 】 (2020 湖南师大附中模拟湖南师大附中模拟)已知点 A(2,0), B(0,1), 若点 C 是圆 x22axy2a210 上的动点, ABC 面积的最小值为 3 2,则 a 的值为_ 【答案】1 或5 【解析】由题意,知圆的标准方程为(xa)2y21,则圆心为(a,0),半径 r1,又 A(2,0),B(0,2)可得直 线 AB 的方程为 x 2 y
15、21,即 xy20.所以圆心到直线 AB 的距离 d |a2| 2 ,则圆上的点到直线 AB 的 最短距离为 dr|a2| 2 1, 又|AB| 442 2, 所以 ABC 面积的最小值为1 2|AB| (dr) 2 |a2| 2 1 3 2,解得 a1 或5. 【例 3】 (1)已知实数 x, y 满足方程 x2y24x10, 则(1)y x的最大值和最小值分别为_和_; (2)yx 的最大值和最小值分别为_和_; (3)x2y2的最大值和最小值分别为_和_ 【答案】 (1) 3 3 (2)2 6 2 6 (3)74 3 74 3 【解析】 原方程可化为(x2)2y23,表示以(2,0)为圆
16、心, 3为半径的圆 (1)y x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率,所以设 y xk,即 ykx.当直线 ykx 与圆相切时(如图),斜率 k 取最大值或最小值,此时|2k0| k21 3,解得 k 3.所以 y x的最大值为 3,最小值为 3. (2)yx 可以看作是直线 yxb 在 y 轴上的截距如图所示,当直线 yxb 与圆相切时,纵截距 b 取得 最大值或最小值, 此时|20b| 2 3,解得 b2 6,所以 yx 的最大值为2 6,最小值为2 6. (3)x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方 由平面几何知识知, 在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得 最大值和最小值又圆心到原点的距
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