2021年高考数学(理)一轮复习题型归纳与训练 专题9.2 两直线的位置关系（教师版含解析）

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1、2021 年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破 专题专题 9.2 两直线的位置关系两直线的位置关系 目录 一、考点全归纳一、考点全归纳 1两条直线平行与垂直的判定两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行两条直线平行 对于两条不重合的直线 l1，l2，其斜率都存在且分别为 k1，k2，则有 l1l2 k1k2；特别地，当直线 l1，l2 的斜率都不存在时，l1与 l2平行 (2)两条直线垂直两条直线垂直 如果两条直线 l1，l2斜率都存在，设为 k1，k2，则 l1l2 k1 k21，当一条直线斜率为零，另一条直线斜 率不存在时，两

2、条直线垂直 2两直线相交两直线相交 直线 l1：A1xB1yC10 和 l2：A2xB2yC20 的公共点的坐标与方程组 A1xB1yC10， A2xB2yC20 的解一一对 应 相交 方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 平行 方程组无解； 重合 方程组有无数个解 3三种距离三种距离 点点距点点距 点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间 的距离 |P1P2| （x2x1）2（y2y1）2 点线距点线距 点 P0(x0， y0)到直线 l： AxBy C0 的距离 d|Ax0By0C| A2B2 线线距线线距 两条平行线 AxByC10 与 AxByC20 间的距离 d |C1C2

3、| A2B2 【常用结论】【常用结论】 1两个充要条件两个充要条件 (1)两直线平行或重合的充要条件 直线 l1：A1xB1yC10 与直线 l2：A2xB2yC20 平行或重合的充要条件是 A1B2A2B10. (2)两直线垂直的充要条件 直线 l1：A1xB1yC10 与直线 l2：A2xB2yC20 垂直的充要条件是 A1A2B1B20. 2六种常见对称六种常见对称 (1)点(x，y)关于原点(0，0)的对称点为(x，y) (2)点(x，y)关于 x 轴的对称点为(x，y)，关于 y 轴的对称点为(x，y) (3)点(x，y)关于直线 yx 的对称点为(y，x)，关于直线 yx 的对称点

4、为(y，x) (4)点(x，y)关于直线 xa 的对称点为(2ax，y)，关于直线 yb 的对称点为(x，2by) (5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2ax，2by) (6)点(x，y)关于直线 xyk 的对称点为(ky，kx)，关于直线 xyk 的对称点为(ky，xk) 3三种直线系方程三种直线系方程 (1)与直线 AxByC0 平行的直线系方程是 AxBym0(mR 且 mC) (2)与直线 AxByC0 垂直的直线系方程是 BxAyn0(nR) (3)过直线 l1：A1xB1yC10 与 l2：A2xB2yC20 的交点的直线系方程为 A1xB1yC1(A2xB2y C2)0

5、(R)，但不包括 l2. 二、题型全归纳二、题型全归纳 题型一题型一 两直线的位置关系两直线的位置关系 【解题要点】两直线平行、垂直的判断方法【解题要点】两直线平行、垂直的判断方法 若已知两直线的斜率存在 (1)两直线平行 两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等 (2)两直线垂直 两直线的斜率之积等于1. 【提醒】判断两条直线的位置关系应注意： (1)注意斜率不存在的特殊情况 (2)注意 x，y 的系数不能同时为零这一隐含条件 类型一类型一 判断两直线的位置关系判断两直线的位置关系 【例【例 1】(2020 天津静海区联考天津静海区联考)“a1”是“直线 ax2y80 与直线 x(a1)y40

6、 平行”的( ) A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】设直线 l1：ax2y80，直线 l2：x(a1)y40.若 l1与 l2平行，则 a(a1)20，即 a2a 20，解得 a1 或 a2.当 a2 时，直线 l1的方程为2x2y80，即 xy40，直线 l2的方 程为 xy40，此时两直线重合，则 a2.当 a1 时，直线 l1的方程为 x2y80，直线 l2的方程为 x2y40，此时两直线平行故“a1”是“直线 ax2y80 与直线 x(a1)y40 平行”的充要条 件故选 A. 类型二类型二 由两直线的位置关系求参数由两直线的位

7、置关系求参数 【例【例 2】(2020 安徽芜湖四校联考安徽芜湖四校联考)直线(2m1)xmy10 和直线 mx3y30 垂直，则实数 m 的值为 ( ) A1 B0 C2 D1 或 0 【答案】D 【解析】由两直线垂直可得 m(2m1)3m0，解得 m0 或1.故选 D. 【例【例 3】(2020 陕西宝鸡中学二模陕西宝鸡中学二模)若直线 x(1m)y20 与直线 mx2y40 平行，则 m 的值是( ) A1 B2 C1 或2 D3 2 【答案】A 【答案】当 m1 时，两直线方程分别为 x20 和 x2y40，此时两直线相交，不符合题意 当 m1 时，两直线的斜率都存在，由两直线平行可得

8、 1 1m m 2， 2 1m2， 解得 m1.综上可得 m1.故选 A. 类型三类型三 由两直线的位置关系求直线方程由两直线的位置关系求直线方程 【例 4】经过两条直线 2x3y10 和 x3y40 的交点，并且垂直于直线 3x4y70 的直线的方程 为_ 【答案】 4x3y90 【解析】 法一：由方程组 2x3y10， x3y40 解得 x 5 3， y7 9， 即交点为 5 3， 7 9 ， 因为所求直线与直线 3x4y70 垂直， 所以所求直线的斜率为 k4 3. 由点斜式得所求直线方程为 y7 9 4 3 x5 3 ， 即 4x3y90. 法二：由垂直关系可设所求直线方程为 4x3y

9、m0， 由方程组 2x3y10， x3y40 可解得交点为 5 3， 7 9 ， 代入 4x3ym0 得 m9， 故所求直线方程为 4x3y90. 法三：由题意可设所求直线的方程为(2x3y1)(x3y4)0， 即(2)x(33)y140， 又因为所求直线与直线 3x4y70 垂直， 所以 3(2)4(33)0， 所以 2，代入式得所求直线方程为 4x3y90. 题型二题型二 两条直线的交点和距离问题两条直线的交点和距离问题 【题型要点】【题型要点】(1)求过两直线交点的直线方程的方法 求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程 (2)利用距离公式应注

10、意： 点 P(x0，y0)到直线 xa 的距离 d|x0a|，到直线 yb 的距离 d|y0b|；应用两平行线间的距离公式 要把两直线方程中 x，y 的系数分别化为相等 【例【例 1】 (2020 广州模拟广州模拟)已知点 P(4， a)到直线 4x3y10 的距离不大于 3， 则 a 的取值范围是_ 【答案】0，10 【解析】 由题意得， 点 P 到直线的距离为|4 43 a1| 5 |153a| 5 .又|153a| 5 3， 即|153a|15， 解得 0a10， 所以 a 的取值范围是0，10 【例【例 2】 (2020 厦门模拟厦门模拟)若两平行直线3x2y10， 6xayc0 之间

11、的距离为2 13 13 ， 则 c的值是_ 【答案】2 或6 【解析】依题意知，6 3 a 2 c 1，解得 a4，c2，即直线 6xayc0 可化为 3x2y c 20，又两 平行线之间的距离为2 13 13 ，所以 |c 21| 32（2）2 2 13 13 ，解得 c2 或6. 题型三题型三 对称问题对称问题 【规律与方法】【规律与方法】(1)中心对称问题的中心对称问题的 2 个类型及求解方法个类型及求解方法 点关于点对称： 若点 M(x1，y1)及 N(x，y)关于点 P(a，b)对称，则由中点坐标公式得 x2ax1， y2by1，进而求解； 直线关于点的对称，主要求解方法： (a)在

12、已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方 程； (b)求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程 (2)轴对称问题的 2 个类型及求解方法 点关于直线的对称： 若两点 P1(x1，y1)与 P2(x2，y2)关于直线 l：AxByC0 对称， 由方程组 A x1x2 2 B y1y2 2 C0， y2y1 x2x1 A B 1， 可得到点 P1关于 l 对称的点 P2的坐标(x2，y2)(其中 B0，x1x2) 直线关于直线的对称： 一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴

13、平行 类型一类型一 点关于点的对称点关于点的对称 【例 1】过点 P(0，1)作直线 l，使它被直线 l1：2xy80 和 l2：x3y100 截得的线段被点 P 平分， 则直线 l 的方程为_ 【答案】 x4y40 【解析】 设 l1与 l 的交点为 A(a，82a)，则由题意知，点 A 关于点 P 的对称点 B(a，2a6)在 l2上， 把 B 点坐标代入 l2的方程得a3(2a6)100， 解得 a4，即点 A(4，0)在直线 l 上， 所以由两点式得直线 l 的方程为 x4y40. 类型二类型二 点关于线的对称点关于线的对称 【例 2】如图所示，已知两点 A(4，0)，B(0，4)，从

14、点 P(2，0)射出的光线经直线 AB 反射后再射到直线 OB 上，最后经直线 OB 反射后又回到 P 点，则光线所经过的路程是( ) A2 10 B6 C3 3 D2 5 【答案】A 【解析】易得 AB 所在的直线方程为 xy4，由于点 P 关于直线 AB 的对称点为 A1(4，2)，点 P 关于 y 轴 对称的点为 A2(2，0)，则光线所经过的路程即 A1(4，2)与 A2(2，0)两点间的距离于是|A1A2| （42）2（20）22 10. 类型三类型三 线关于线的对称线关于线的对称 【例 3】直线 2xy30 关于直线 xy20 对称的直线方程是( ) Ax2y30 Bx2y30 C

15、x2y10 Dx2y10 【答案】A 【解析】 设所求直线上任意一点 P(x，y)，则 P 关于直线 xy20 的对称点为 P(x0，y0)， 由 xx0 2 yy0 2 20， xx0（yy0） 得 x0y2， y0 x2， 由点 P(x0，y0)在直线 2xy30 上， 所以 2(y2)(x2)30，即 x2y30. 题型四题型四 直线系方程的应用直线系方程的应用 类型一类型一 平行直线系平行直线系 【解题要点】1.由于两直线平行，它们的斜率相等或它们的斜率都不存在，因此两直线平行时，它们的一次 项系数与常数项有必然的联系 2.先设与直线 AxByC0 平行的直线系方程为 AxByC10(

16、C1C)，再由其他条件求 C1. 【例【例 1】求与直线 3x4y10 平行且过点(1，2)的直线 l 的方程 【答案】3x4y110 【解析】依题意，设所求直线方程为 3x4yC10(C11)，因为直线过点(1，2)， 所以 3 14 2C10，解得 C111. 因此，所求直线方程为 3x4y110. 类型二类型二 垂直直线系垂直直线系 【题型要点】【题型要点】1.由于直线 A1xB1yC10 与 A2xB2yC20 垂直的充要条件为 A1A2B1B20，因此，当 两直线垂直时，它们的一次项系数有必然的联系，可以考虑用直线系方程求解 2.先设与直线 AxByC0 垂直的直线系方程为 BxAy

17、C10，再由其他条件求出 C1. 【例 2】求经过 A(2，1)，且与直线 2xy100 垂直的直线 l 的方程 【答案】 【解析】因为所求直线与直线 2xy100 垂直，所以设该直线方程为 x2yC10，又直线过点 A(2， 1)，所以有 22 1C10，解得 C10，所以所求直线方程为 x2y0. 类型三类型三 过直线交点的直线系过直线交点的直线系 【例 3】求经过直线 l1：3x2y10 和 l2：5x2y10 的交点，且垂直于直线 l3：3x5y60 的直线 l 的方程 【解析】 法一：将直线 l1，l2的方程联立，得 3x2y10， 5x2y10， 解得 x1， y2， 即直线 l1

18、，l2的交点为(1，2) 由题意得直线 l3的斜率为3 5，又直线 ll3，所以直线 l 的斜率为 5 3， 则直线 l 的方程是 y25 3(x1)， 即 5x3y10. 法二：由于 ll3，所以可设直线 l 的方程是 5x3yC0，将直线 l1，l2的方程联立，得 3x2y10， 5x2y10，解 得 x1， y2， 即直线 l1，l2的交点为(1，2)，则点(1，2)在直线 l 上，所以 5 (1)3 2C0，解得 C 1， 所以直线 l 的方程为 5x3y10. 法三：设直线 l 的方程为 3x2y1(5x2y1)0， 整理得(35)x(22)y(1)0. 由于 ll3，所以 3(35

19、)5(22)0，解得 1 5， 所以直线 l 的方程为 5x3y10. 类型四类型四 直线恒过定点直线恒过定点 【题型要点】【题型要点】直线 AxByC0 恒过定点问题实际上是直线系方程问题将问题转化为两直线的交点，即 将 AxByC0 化为(a1xb1yc1)(a2xb2yc2)0.通过方程组 a1xb1yc10 a2xb2yc20，即可求出直线恒过 的定点 【例 4】已知 R，求证直线 l：(21)x(31)y730 恒过定点，并求出该定点坐标 【答案】(2，1 【解析】 将(21)x(31)y730 化成 (2x3y7)(xy3)0.要使直线恒过定点，必须 2x3y70 xy30. 解得

20、 x2， y1. 即直线 l 恒过定点(2，1) 三、高效训练突破三、高效训练突破 一、选择题一、选择题 1已知直线 l1：mxy10 与直线 l2：(m2)xmy20，则“m1”是“l1l2”的( ) A充分不必要条件 B充要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 【答案】A. 【解析】 ：由 l1l2，得 m(m2)m0，解得 m0 或 m1，所以“m1”是“l1l2”的充分不必要条件，故 选 A. 2已知直线 l1：(k3)x(4k)y10 与 l2：2(k3)x2y30 平行，则 k 的值是( ) A1 或 3 B1 或 5 C3 或 5 D1 或 2 【答案】C 【解析】 ：

21、 .法一： 由两直线平行得， 当 k30 时， 两直线的方程分别为 y1 和 y3 2， 显然两直线平行 当 k30 时，由 k3 2（k3） 4k 2 1 3，可得 k5.综上，k 的值是 3 或 5. 法二：当 k3 时，两直线平行，故排除 B，D；当 k1 时，两直线不平行，排除 A. 3(2020 安徽江南十校二联安徽江南十校二联)已知直线 l1：mx3y60，l2：4x3my120，若 l1l2，则 l1，l2之间的 距离为( ) A.12 13 13 B8 13 13 C.9 13 13 D 13 【答案】A. 【解析】 ：由于两条直线平行，所以 m (3m)(3) 40，解得 m

22、 2，当 m2 时，两直线方程都是 2x 3y60，故两直线重合，不符合题意当 m2 时，l1：2x3y60，l2：2x3y60，故 l1，l2 之间的距离为|6（6）| 2232 12 13 13 .故选 A. 4(2020 淮南模拟淮南模拟)设 R，则“3”是“直线 2x(1)y1 与直线 6x(1)y4 平行”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】当 3 时，两条直线的方程分别为 6x4y10,3x2y20，此时两条直线平行；若两条直 线平行，则 2 (1)6(1)，所以 3 或 1，经检验，两者均符合，综上，“3”是“直线

23、 2x (1)y1 与直线 6x(1)y4 平行”的充分不必要条件 5.(2020 重庆巴蜀中学模拟重庆巴蜀中学模拟)已知曲线 y 2x x1在点 P(2，4)处的切线与直线 l 平行且距离为 2 5，则直线 l 的 方程为( ) A2xy20 B2xy20 或 2xy180 C2xy180 D2xy20 或 2xy180 【答案】B 【解析】y2x12x x12 2 x12，当 x2 时，y 2 2122，因此 kl2，则设直线 l 方程为 y 2xb，即 2xyb0，由题意知|2 24b| 5 2 5，解得 b18 或 b2，所以直线 l 的方程为 2x y180 或 2xy20.故选 B

24、. 6.若 P，Q 分别为直线 3x4y120 与 6x8y50 上任意一点，则|PQ|的最小值为( ) A.9 5 B.18 5 C.29 10 D.29 5 【答案】C 【解析】易知直线 3x4y120 与 6x8y50 平行，所以|PQ|的最小值就是这两条平行线间的距离.6x 8y50 可化为 3x4y5 20，则这两条平行线间的距离是 125 2 3242 29 10. 7.已知过点 A(m1,0)，B(5，m)的直线与过点 C(4,3)，D(0,5)的直线平行，则 m 的值为( ) A1 B2 C2 D1 【答案 B 【解析】 由题意得， kAB m0 5m1 m 6m， kCD 5

25、3 04 1 2.由于 ABCD， 即 kABkCD， 所以 m 6m 1 2，所以 m2. 8.(2020 葫芦岛模拟葫芦岛模拟)当点 P(3,2)到直线 mxy12m0 的距离最大时，m 的值为( ) A3 B0 C1 D1 【答案】C 【解析】直线 mxy12m0 可化为 ym(x2)1，故直线过定点 Q(2,1)，当 PQ 和直线垂直时，距离 取得最大值，故 m kPQm 21 32m 11，m1. 9.已知直线 l 被两条直线 l1：4xy30 和 l2：3x5y50 截得的线段的中点为 P(1,2)，则直线 l 的一 般式方程为( ) A3xy50 B3xy10 Cx3y70 Dx

26、3y50 【答案】B 【解析】设 l 与 l1的交点坐标为 A(a，y1)，l 与 l2的交点坐标为 B(b，y2)，y14a3，y23b 5 1，由中 点坐标公式得ab 2 1，y1y2 2 2，即 ab2，(4a3) 3b 5 1 4，解得 a2，b0，A( 2,5)，B(0，1)，l 的方程为 3xy10. 10.已知 b0，直线(b21)xay20 与直线 xb2y10 垂直，则 ab 的最小值为( ) A1 B2 C2 2 D2 3 【答案】B 【解析】由已知两直线垂直，得(b21)ab20，即 ab2b21，又 b0，abb1 b.由基本不等式得 b 1 b2 b 1 b2，当且仅

27、当 b1 时等号成立，(ab)min2.故选 B. 11.已知直线 y2x 是 ABC 中C 的平分线所在的直线，若点 A，B 的坐标分别是(4，2)，(3，1)，则点 C 的坐标为 ( ) A(2，4) B(2，4) C(2，4) D(2，4) 【答案】C. 【解析】 ：设 A(4，2)关于直线 y2x 的对称点为(x，y)，则 y2 x4 21， y2 2 2 4x 2 ， 解得 x4， y2，所以 BC 所 在的直线方程为 y121 43 (x3)， 即 3xy100.同理可得点 B(3， 1)关于直线 y2x 的对称点为(1， 3)，所以 AC 所在的直线方程为 y2 32 1（4）

28、(x4)，即 x3y100.联立得 3xy100， x3y100，解得 x2， y4，则 C(2，4)故选 C. 12.(2020 保定模拟保定模拟)设点 P 为直线 l： xy40 上的动点， 点 A(2,0)， B(2,0)， 则|PA|PB|的最小值为( ) A2 10 B. 26 C2 5 D. 10 【答案】A 【解析】依据题意作出图象如下， 设点 B(2,0)关于直线 l 的对称点为 B1(a，b)，则它们的中点坐标为 a2 2 ，b 2 ，且|PB|PB1|，由对称性，得 b0 a2 11， a2 2 b 240， 解得 a4，b2，所以 B1(4,2)，因为|PA|PB|PA|

29、PB1|，所以当 A，P，B1三 点共线时，|PA|PB|最小，此时最小值为|AB1| 4222022 10. 二、填空题二、填空题 1.与直线 l1：3x2y60 和直线 l2：6x4y30 等距离的直线方程是_ 【答案】 ：12x8y150 【解析】 ：l2：6x4y30 化为 3x2y3 20，所以 l1 与 l2平行，设与 l1，l2等距离的直线 l 的方程为 3x 2yc0，则：|c6|c3 2|，解得 c 15 4 ，所以 l 的方程为 12x8y150. 2l1，l2是分别经过 A(1，1)，B(0，1)两点的两条平行直线，当 l1，l2间的距离最大时，直线 l1的方程是 _ 【

30、答案】 ：x2y30 【解析】 ：当两条平行直线与 A，B 两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大又 kAB11 01 2，所 以两条平行直线的斜率为 k1 2，所以直线 l1 的方程是 y11 2(x1)，即 x2y30. 3已知点 A(1，2)，B(3，4)P 是 x 轴上一点，且|PA|PB|，则 PAB 的面积为_ 【答案】 ：15 2 【解析】 ：设 AB 的中点坐标为 M(1，3)， kAB 42 3（1） 1 2， 所以 AB 的中垂线方程为 y32(x1) 即 2xy50. 令 y0，则 x5 2， 即 P 点的坐标为(5 2，0)， |AB| （13）2（24）22 5.

31、点 P 到 AB 的距离为|PM| 15 2 2 323 5 2 . 所以 S PAB1 2|AB| |PM| 1 2 2 5 3 5 2 15 2 . 4点(2,1)关于直线 xy10 的对称点为_ 【答案】(0,3) 【解析】设对称点为(x0，y0)，则 y01 x021， x02 2 y01 2 10， 解得 x00， y03， 故所求对称点为(0,3) 5若两平行直线 3x2y10,6xayc0 之间的距离为2 13 13 ，则实数 c 的值是_ 【答案】 2 或6 【解析】直线 6xayc0 的方程可化为 3xa 2y c 20，由题意得 a 22 且 c 21，解得 a4，c2.

32、根据两平行直线的距离为2 13 13 ，得 1c 2 3222 2 13 13 ，所以 1c 2 2，解得 c2 或6. 6以 A(1,1)，B(3,2)，C(5,4)为顶点的 ABC，其边 AB 上的高所在的直线方程是_ 【答案】2xy140 【解析】由 A，B 两点得 kAB1 2，则边 AB 上的高所在直线的斜率为2，故所求直线方程是 y42(x 5)，即 2xy140. 7.已知曲线 y4 x在点 P(1,4)处的切线与直线 l 平行且两直线之间的距离为 17， 则直线 l 的方程为_ 【答案】 4xy90 或 4xy250 【解析】 y 4 x2，所以曲线 y 4 x在点 P(1,4

33、)处的切线的斜率 k 4 124，则切线方程为 y44(x 1)，即 4xy80.所以可设直线 l 的方程为 4xyC0，由 |C8| 421 17，得 C9 或 C25，所 以所求直线方程为 4xy90 或 4xy250. 8在 ABC 的顶点 A(5,1)，AB 边上的中线 CM 所在直线方程为 2xy50，AC 边上的高 BH 所在直线方程为 x2y50，则直线 BC 的方程为_ 【答案】6x5y90 【解析】由 AC 边上的高 BH 所在直线方程为 x2y50 可以知道 kAC2，又 A(5,1)， AC 边所在直线方程为 2xy110， 联立直线 AC 与直线 CM 方程得 2xy1

34、10， 2xy50， 解得 x4， y3， 所以顶点 C 的坐标为 C(4,3) 设 B(x0，y0)，AB 的中点 M 为 x05 2 ，y01 2 ， 由 M 在直线 2xy50 上，得 2x0y010， B 在直线 x2y50 上，得 x02y050， 联立 2x0y010， x02y050. 解得 x01， y03， 所以顶点 B 的坐标为(1，3) 于是直线 BC 的方程为 6x5y90. 三三 解答题解答题 1.已知两直线 l1：axby40 和 l2：(a1)xyb0，求满足下列条件的 a，b 的值 (1)l1l2，且直线 l1过点(3，1)； (2)l1l2，且坐标原点到这两条

35、直线的距离相等 【答案】见解析 【解析】 ：(1)因为 l1l2， 所以 a(a1)b0. 又因为直线 l1过点(3，1)， 所以3ab40. 故 a2，b2. (2)因为直线 l2的斜率存在，l1l2， 所以直线 l1的斜率存在 所以a b1a. 又因为坐标原点到这两条直线的距离相等， 所以 l1，l2在 y 轴上的截距互为相反数，即4 bb. 联立可得 a2，b2 或 a2 3，b2. 2.在直线 l：3xy10 上求一点 P，使得： (1)P 到 A(4，1)和 B(0，4)的距离之差最大； (2)P 到 A(4，1)和 C(3，4)的距离之和最小 【答案】见解析 【解析】 ： (1)如

36、图， 设B关于l的对称点为B， AB的延长线交l于P0， 在l上另任取一点P， 则|PA|PB|PA|PB|AC|P1C|P1A|P1C|P1A|，故 P1 即为所求 又 AC所在直线的方程为 19x17y930， 故由 19x17y930， 3xy10 可得 P1 11 7 ，26 7 . 3.已知直线 l：(2ab)x(ab)yab0 及点 P(3,4) (1)证明直线 l 过某定点，并求该定点的坐标； (2)当点 P 到直线 l 的距离最大时，求直线 l 的方程 【答案】见解析 【解析】(1)证明：直线 l 的方程可化为 a(2xy1)b(xy1)0，由 2xy10， xy10， 得 x2， y3， 所以直线 l 恒过定点(2,3) (2)由(1)知直线 l 恒过定点 A(2,3)， 当直线 l 垂直于直线 PA 时，点 P 到直线 l 的距离最大 又因为直线 PA 的斜率 kPA43 32 1 5， 所以直线 l 的斜率 kl5. 故直线 l 的方程为 y35(x2)，即 5xy70.