2021年高考数学(理)一轮复习题型归纳与训练 专题7.2 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题(教师版含解析)
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1、2021 年高考理科数学一轮复习:题型全归纳与高效训练突破年高考理科数学一轮复习:题型全归纳与高效训练突破 专题专题 7.2 二元一次不等式二元一次不等式(组组)及简单的线性规划问题及简单的线性规划问题 目录 一、考点全归纳 . 1 题型 一 二元一次不等式(组)表示的平面区域 . 3 角度二 平面区域的形状 . 4 命题角度一 求线性目标函数的最值 . 7 命题角度三 求参数值或取值范围. 9 三、高效训练突破 . 13 一、考点全归纳一、考点全归纳 1二元一次不等式(组)表示的平面区域 不等式(组) 表示区域 AxByC0(0) 直线 AxByC0 某 一侧的所有点组成的平 面区域来源:Z
2、xxk.Com 不包括边界直线来源:学科网来源:Zxxk.Com AxByC0(0)来源:学科网 ZXXK 包括边界直线 不等式组 各个不等式所表示平面区域的公共部分 2.二元一次不等式(组)的解集 满足二元一次不等式(组)的 x 和 y 的取值构成的有序数对(x,y),叫做二元一次不等式(组)的解,所有这样的 有序数对(x,y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集 3线性规划的有关概念 名称 意义 约束条件 由变量 x,y 组成的不等式(组) 线性约束条件 由 x,y 的一次不等式(或方程)组成的不等式(组) 目标函数 关于变量 x,y 的函数解析式,如 zx2y 线性目标函数 关于变量
3、 x,y 的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解(x,y) 可行域 所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 常用结论 1画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界,特殊点定域; (1)直线定界:不等式中无等号时直线画成虚线,有等号时直线画成实数 (2)特殊点定域:若直线不过原点,特殊点常选原点;若直线过原点,则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证 2利用“同号上,异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域 对于 AxByC0 或 AxByC0 时,区域为直线 AxByC0 的上方; (2)当 B(
4、AxByC)0 时, 直线 zaxby 向上平移 z 变大, 向下平移 z 变小; 当 b0 时, 直线 zaxby 向上平移 z 变小, 向下平移 z 变大 二、题型全归纳二、题型全归纳 题型题型 一一 二元一次不等式二元一次不等式(组组)表示的平面区域表示的平面区域 【题型要点】(1)求平面区域面积的方法 首先画出不等式组表示的平面区域,若不能直接画出,应利用题目的已知条件转化为不等式组问题,从 而再作出平面区域; 对平面区域进行分析,若为三角形应确定底与高,若为规则的四边形(如平行四边形或梯形),可利用面积 公式直接求解,若为不规则四边形,可分割成几个三角形分别求解再求和 (2)根据平面
5、区域确定参数的方法 在含有参数的二元一次不等式组所表示的平面区域问题中,首先把不含参数的平面区域确定好,然后用数 形结合的方法根据参数的不同取值情况画图观察区域的形状,根据求解要求确定问题的答案 命题角度一命题角度一 平面区域的面积平面区域的面积 【例【例 1】不等式组 x0, x3y4, 3xy4 所表示的平面区域的面积等于( ) A.3 2 B2 3 C.4 3 D3 4 【答案】 C 【解析】 由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示, A 0,4 3 , B(1, 1), C(0, 4), 则 ABC 的面积为1 2 1 8 3 4 3.故选 C. 【例 2】 不等式组 xy2,
6、 2xy4, xy0 所围成的平面区域的面积为( ) A3 2 B6 2 C6 D3 【答案】D 【解析】如图 不等式组所围成的平面区域为 ABC,其中 A(2,0),B(4,4),C(1,1),所求平面区域的面积为 S ABOS ACO 1 2 (2 42 1)3. 角度二角度二 平面区域的形状平面区域的形状 【例【例 3】若不等式组 xy0, 2xy2, y0, xya 表示的平面区域是一个三角形,则 a 的取值范围是_ 【答案】 (0,1 , 3 4 【解析】 不等式组 xy0, 2xy2, y0 表示的平面区域如图所示(阴影部分) 解 yx, 2xy2得 A 2 3, 2 3 ;解 y
7、0, 2xy2得 B(1,0)若原不等式组表示的平面区域是一个三角形,则直线 x ya 中的 a 的取值范围是 00,x,y 满足约束条件 x1, xy3, yax3, 若 z2xy 的最小值为 1, 则 a( ) A.1 2 B.1 3 C1 D2 【答案】A 【解析】作出不等式组表示的可行域,如图阴影部分(含边界) 当直线 z2xy 过交点 A 时,z 取最小值,由 x1, yax3, 得 x1, y2a, zmin22a1,解得 a1 2. 题型三题型三 线性规划的实际应用线性规划的实际应用 【题型要点】【题型要点】线性规划解决实际问题的一般步骤 (1)能建立线性规划模型的实际问题 给定
8、一定量的人力、物力资源,问怎样运用这些资源,使完成的任务量最大,收益最大; 给定一项任务,问怎样统筹安排,使完成这项任务耗费的人力、物力资源最少 (2)解决线性规划实际问题的一般步骤 转化:设元,写出线性约束条件和目标函数,从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题; 求解:解决这个纯数学的线性规划问题; 作答:根据实际问题,得到实际问题的解,据此作出回答 【例【例 1】(2020 河北河北“五个一名校联盟五个一名校联盟”模拟模拟)某企业生产甲、乙两种产品均需用 A,B 两种原料,已知生产 1 吨每种产品所需原料及每天原料的限量如表所示 如果生产 1 吨甲、 乙产品可获利润分别为 3 万元、 4
9、 万元, 则该企业每天可获得的最大利润为( ) 甲 乙 原料限量 A/吨 3 2 12 B/吨 1 2 8 A.16 万元 B17 万元 C18 万元 D19 万元 【答案】C 【解析】 设该企业每天生产 x 吨甲产品,y 吨乙产品,可获得利润为 z 万元,则 z3x4y,且 x,y 满足 不等式组 3x2y12, x2y8, x0, y0, 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示,作出直线 3x4y0 并平移,可 知当直线经过点(2,3)时,z 取得最大值,zmax3 24 318(万元)故选 C. 【例【例 2】某旅行社租用 A,B 两种型号的客车安排 900 名客人旅行,A,B 两种
10、车辆的载客量分别为 36 人和 60 人,租金分别为 1 600 元/辆和 2 400 元/辆,旅行社要求租车总数不超过 21 辆,且 B 型车不多于 A 型车 7 辆,则租金最少为_元 【答案】 :36 800 【解析】 : 设租用 A 型车 x 辆,B 型车 y 辆,目标函数为 z1 600 x2 400y,则约束条件为 36x60y900, xy21, yx7, x,yN, 作出可行域,如图中阴影部分所示,可知目标函数过点 A(5,12)时,有最小值 zmin36 800(元) 三、高效训练突破三、高效训练突破 一、选择题一、选择题 1(2020 贵阳期中贵阳期中)不等式组 y3x12,
11、 x2y 表示的平面区域为( ) 【答案】B 【解析】选特殊点(0,6)检验,当 x0,y6 时,y3x12 成立,x2y 成立,所以点(0,6)在不等式组 y3x12, x2y 表示的平面区域内,另外注意到边界线是虚线,故选 B. 2(2020 揭阳模拟揭阳模拟)若 x,y 满足约束条件 xy10, 2xy10, x0, 则 zx 2y 的最小值为( ) A1 B2 C1 D2 【答案】A. 【解析】 :作出 x,y 满足约束条件 xy10, 2xy10, x0 的平面区域如图所示(阴影部分): 由图易得,目标函数 zx 2y 在点 A 处取最小值,为1.故选 A. 3(2020 福建漳州一
12、模福建漳州一模)若实数 x,y 满足 3xy30, x2y20. 则 xy( ) A有最小值无最大值 B有最大值无最小值 C既有最小值也有最大值 D既无最小值也无最大值 【答案】A. 【解析】 :如图中阴影部分所示即为实数 x,y 满足 3xy30, x2y20 的可行域, 由 3xy30, x2y20 得 A 8 5, 9 5 . 由图易得当 x8 5,y 9 5时,xy 有最小值 17 5 ,没有最大值故选 A. 4(2020 琼海摸底琼海摸底)若实数 x,y 满足 xy2, yx1, y0, 则 z2x 8y的最大值是( ) A4 B8 C16 D32 【答案】D 【解析】先根据实数 x
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