2021年高考数学(理)一轮复习题型归纳与训练 专题5.3 平面向量的数量积及应用(教师版含解析)
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1、2021 年高考理科数学一轮复习:题型全归纳与高效训练突破年高考理科数学一轮复习:题型全归纳与高效训练突破 专题专题 5.3 平面向量的数量积及应用平面向量的数量积及应用 目录 一、题型全归纳 . 1 题型一 平面向量数量积的运算 . 1 题型二 平面向量数量积的性质 . 3 命题角度一 平面向量的模 . 3 命题角度二 平面向量的夹角 . 4 命题角度三 两向量垂直问题 . 5 题型三 向量数量积的综合应用 . 6 命题角度一 平面向量在平面几何中的应用 . 6 命题角度二 平面向量与函数、不等式的综合应用 . 7 命题角度三 平面向量与解三角形的综合应用 . 8 命题角度四 平面向量与解析
2、几何的综合应用 . 10 题型四 平面向量与三角函数 . 11 二、高效训练突破 . 13 一、题型全归纳一、题型全归纳 题型一题型一 平面向量数量积的运算平面向量数量积的运算 【题型要点】【题型要点】平面向量数量积的三种运算方法 (1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即 a b|a|b|cosa,b (2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若 a(x1,y1),b(x2,y2),则 a bx1x2y1y2. (3)利用数量积的几何意义求解 【易错提醒】【易错提醒】解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题时,可先利用向量的加、减运算或数量积的运算 律化简后再运算但一定要注意向量的
3、夹角与已知平面几何图形中的角的关系是相等还是互补 【例【例 1】 如图, 在梯形 ABCD 中, ABCD, CD2, BAD 4, 若AB AC2AB AD , 则AD AC _ 【答案】12 【解析】 法一:因为AB AC2AB AD ,所以AB ACAB AD AB AD ,所以AB DC AB AD . 因为 ABCD,CD2,BAD 4,所以 2|AB |AB| |AD |cos 4,化简得|AD |2 2.故AD AC AD (AD DC ) |AD |2AD DC (2 2)22 2 2cos 412. 法二:如图,建立平面直角坐标系 xAy. 依题意,可设点 D(m,m),C(
4、m2,m),B(n,0),其中 m0,n0,则由AB AC2AB AD ,得(n,0) (m 2,m)2(n,0) (m,m),所以 n(m2)2nm,化简得 m2.故AD AC (m,m) (m2,m)2m22m 12. 【例【例 2】 (2020 西安调研西安调研)在梯形 ABCD 中, ABCD, AB4, BCCDDA2, 若 E 为 BC 的中点, 则AC AE ( ) A. 3 B3 C2 3 D12 【答案】D 【解析】解法一:解法一:如图 过点 D 作 DMAB,交 AB 于点 M,过点 C 作 CNAB,交 AB 于点 N,则 MNDC2.在 Rt ADM 中, AD2,AM
5、ABMN 2 42 2 1,所以DAM60 .因为AC AD DC AD 1 2AB ,AEAD DC CE AD 1 2AB 1 2CB AD 1 2AB 1 2(CD DA AB )1 2AD 3 4AB ,所以AC AE AD 1 2AB 1 2AD 3 4AB 1 2AD 2 AD AB 3 8AB 21 2 2 22 4 cos60 3 8 4 212.故选 D. 解法二:解法二:如图 以 A 为坐标原点,AB 所在直线为 x 轴建立直角坐标系,则 A(0,0),B(4,0) 设 D(m,n)(n0),则 C(m2,n),因此 BC 边的中点 E m6 2 ,n 2 .则AC (m2
6、,n),AE m6 2 ,n 2 .又由 BCDA2, 得 m242n22, m2n22, 所以 m1, n23.则AC AE(m2)m6 2 n 2 2 3 7 2 3 212.故选 D. 题型二题型二 平面向量数量积的性质平面向量数量积的性质 命题角度一命题角度一 平面向量的模平面向量的模 【题型要点】【题型要点】求向量的模的方法 (1)公式法:利用|a| a a及(a b)2|a|2 2a b|b|2,把向量模的运算转化为数量积的运算 (2)几何法:利用向量的几何意义,即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量,再利用 余弦定理等方法求解 【例【例 1】已知平面向量 a,b
7、的夹角为 6,且|a| 3,|b|2,在 ABC 中,AB 2a2b,AC2a6b,D 为 BC 的中点,则|AD |等于( ) A2 B4 C6 D8 【答案】A 【解析】因为AD 1 2(AB AC )1 2(2a2b2a6b)2a2b,所以|AD |24(ab)24(a22b ab2) 4 32 2 3 cos 64 4,则|AD |2.故选 A. 【例例 2】 已知|a|2,|b|3,a 与 b 的夹角为2 3 ,且 abc0,则|c|_. 【答案】 7 【解析】因为 abc0,所以 cab,所以 c2a2b22a b22322 2 3 cos2 3 4967. 所以|c| 7. 命题
8、角度二命题角度二 平面向量的夹角平面向量的夹角 【题型要点】【题型要点】(1)研究向量的夹角应注意“共起点”;两个非零共线向量的夹角可能是 0 或 180 ;求角时,注 意向量夹角的取值范围是0 ,180 ;若题目给出向量的坐标表示,可直接利用公式 cos x1x2y1y2 x21y21 x22y22 求解 (2)数量积大于 0 说明不共线的两向量的夹角为锐角,数量积等于 0 说明不共线的两向量的夹角为直角,数 量积小于 0 说明不共线的两向量的夹角为钝角 【例 3】已知 a,b 为单位向量,且 a b0,若 c2a 5b,则 cosa,c_. 【答案】2 3 【解析】 解法一: 本题考查利用
9、向量的数量积求夹角的余弦值, 依题知|a|b|1, 且 a b0.c2a 5b, a ca (2a 5b)2a2 5a b2,|c|2a 5b2 4a24 5a b5b23,cosa,c a c |a|c| 2 3. 解法二:依题意,设 a(0,1),b(1,0),c( 5,2),a c2.又|a|1,|c|3,cosa,c a c |a|c| 2 3. 【例 4】 已知向量 a(,6),b(1,2),若 a 与 b 的夹角为钝角,则 的取值范围是_ 【答案】(12,3)(3,) 【解析】向量 a 与 b 的夹角为钝角,a b(,6) (1,2)1212.当 a 与 b 共线时, 设 akb(
10、k0),可得 k, 62k, 解得 3, k3, 即当 3 时,向量 a 与 b 共线且反向,此时 a b0,但 a 与 b 的夹角不是钝角综上, 的取值范围是(12,3)(3,) 命题角度三命题角度三 两向量垂直问题两向量垂直问题 【题型要点】【题型要点】(1)当向量 a 与 b 是坐标形式时,若证明 ab,则只需证明 a b0 x1x2y1y20. (2)当向量 a,b 是非坐标形式时,要把 a,b 用已知的不共线向量作为基底来表示,且不共线的向量要知道 其模与夹角,进行运算证明 a b0. (3)数量积的运算 a b0 ab 是对非零向量而言的,若 a0,虽然有 a b0,但不能说 ab
11、. 【例 5】已知向量AB 与AC的夹角为 120 ,且|AB|3,|AC|2.若APABAC,且APBC,则实数 的值 为_ 【答案】 7 12 【解析】 因为AP BC,所以AP BC0. 又AP ABAC,BCACAB, 所以(AB AC) (ACAB)0, 即(1)AC ABAB2AC20, 所以(1)|AC |AB|cos 120 940. 所以(1) 3 2 (1 2)940.解得 7 12. 【例【例 6】(2020 华南师大附中一模华南师大附中一模)已知向量|OA |3,|OB |2,BC (mn)OA (2nm1)OB ,若OA 与OB 的夹角为 60 ,且OC AB ,则实
12、数m n的值为( ) A.8 7 B.4 3 C.6 5 D.1 6 【答案】A 【解析】由题意得,OC OB BC (mn)OA (2nm)OB ,AB OB OA ,OA OB 3 2 cos60 3.又因 为OC AB ,所以OC AB (mn)OA (2nm)OB (OB OA )(mn)OA 2(2m3n)OA OB (2n m) OB 29(mn)3(2m3n)4(2nm)0, 整理得 7m8n0,故m n 8 7. 题型三题型三 向量数量积的综合应用向量数量积的综合应用 命题角度一命题角度一 平面向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用 【题型要点】【题型要点】向量与平面
13、几何综合问题的解法 (1)坐标法 把几何图形放在适当的坐标系中,则有关点与向量就可以用坐标表示,这样就能进行相应的代数运算和向 量运算,从而使问题得到解决 (2)基向量法 适当选取一组基底,沟通向量之间的联系,利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解 【例【例 1】(2020 开封模拟开封模拟)已知AB ,AC是非零向量,且满足(AB2AC)AB,(AC2AB)AC,则 ABC 的 形状为( ) A等腰三角形 B直角三角形 C等边三角形 D等腰直角三角形 【答案】C 【解析】(AB 2AC)AB(AB2AC) AB0,即AB AB2AC AB0,(AC2AB)AC(AC2AB) AC 0,
14、 即AC AC2AB AC0, AB ABAC AC2AB AC, 即|AB|AC|, 则 cosAAB AC |AB |AC| 1 2, A60 , ABC 为等边三角形 【例【例 2】已知 O 是平面上的一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个动点,若动点 P 满足OP OA (AB AC ),(0,),则点 P 的轨迹一定通过 ABC 的( ) A内心 B外心 C重心 D垂心 【答案】C 【解析】 由原等式, 得OP OA (AB AC), 即AP(ABAC), 根据平行四边形法则, 知ABAC2AD (D 为 BC 的中点),所以点 P 的轨迹必过 ABC 的重心故选 C. 命题角度二
15、命题角度二 平面向量与函数、不等式的综合应用平面向量与函数、不等式的综合应用 【题型要点】【题型要点】通过向量的数量积运算把向量运算转化为实数运算,再结合函数、不等式的知识解决,同时 也要注意平面向量的坐标运算在这方面的应用 【例【例 3】已知向量 a,b 为单位向量,且 a b1 2,向量 c 与 ab 共线,则|ac|的最小值为_ 【答案】 3 2 【解析】法一:因为向量 c 与 ab 共线,所以可设 ct(ab)(tR),所以 ac(t1)atb,所以(ac)2 (t1)2a22t(t1)a bt2b2,因为向量 a,b 为单位向量,且 a b1 2,所以(ac) 2(t1)2t(t1)
16、t2 t2t13 4,所以|ac| 3 2 ,所以|ac|的最小值为 3 2 . 法二:因为向量 a,b 为单位向量,且 a b1 2,所以向量 a,b 的夹角为 120 ,在平面直角坐标系中,不 妨设向量 a(1, 0), b 2 3 2 1 -, 则 ab 2 3 2 1 , 因为向量 c 与 ab 共线, 所以可设 ct 2 3 2 1 , (tR), 所以 ac t 2 3 2 t 1, 所以|ac| 4 3 2 1 2 2 tt t2t1 3 2 , 所以|ac|的最小值为 3 2 . 命题角度三命题角度三 平面向量与解三角形的综合应用平面向量与解三角形的综合应用 【题型要点】【题型
17、要点】(1)解决平面向量与三角函数的交汇问题,关键是准确利用向量的坐标运算化简已知条件,将 其转化为三角函数中的有关问题解决 (2)还应熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、 几何意义、 向量模、 夹角的坐标运算公式以及三角恒等变换、 正、余弦定理等知识 【例 4】已知在 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,向量 m(sin A,sin B),n(cos B,cos A), m nsin 2C. (1)求角 C 的大小; (2)若 sin A,sin C,sin B 成等差数列,且CA (ABAC)18,求 c. 【答案】见解析 【解析】 (1)m nsin A cos Bsin
18、 B cos Asin(AB), 对于 ABC,ABC,0C0,b0)的左焦点,定点 A 为双曲线虚轴的一个端点,过 F,A 两点的 直线与双曲线的一条渐近线在 y 轴右侧的交点为 B,若AB 3FA,则此双曲线的离心率为_ 【答案】4 3 【解析】由 F(c,0),A(0,b),得直线 AF 的方程为 yb cxb. 根据题意知,直线 AF 与渐近线 yb ax 相交, 联立得 y b cxb, yb ax, 消去 x 得,yB bc ca. 由AB 3FA,得 y B4b,所以 bc ca4b,化简得 3c4a, 所以离心率 e4 3. 题型四题型四 平面向量与三角函数平面向量与三角函数
19、【题型要点】【题型要点】平面向量与三角函数的综合问题 (1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式,运用向量共线或垂直或等式成立等,得到三角函数的 关系式,然后求解 (2)给出用三角函数表示的向量坐标,要求的是向量的模或者其他向量的表达形式,解题思路是经过向量的 运算,利用三角函数在定义域内的有界性,求得值域等 【例【例 1】(2020 江西上饶重点中学六校联考江西上饶重点中学六校联考)在 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,向量 m(cos(A B),sin(AB),n(cos B,sin B),且 m n3 5. (1)求 sin A 的值; (2)若 a4 2,b5
20、,求角 B 的大小及向量BA 在BC方向上的投影 【答案】见解析 【解析】 :(1)由 m n3 5, 得 cos(AB)cos Bsin(AB)sin B3 5, 所以 cos A3 5.因为 0Ab,所以 AB,则 B 4, 由余弦定理得()4 2 2 52c22 5c 5 3 -,解得 c1. 故向量BA 在BC方向上的投影为 |BA |cos Bccos B12 2 2 2 . 【例【例 2】已知两个不共线的向量 a,b 满足 a(1, 3),b(cos ,sin ),R. (1)若 2ab 与 a7b 垂直,求|ab|的值; (2)当 2 0 ,时,若存在两个不同的 ,使得|a 3b
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