2021年高考数学(理)一轮复习题型归纳与训练 专题5.1 平面向量的概念及线性运算（教师版含解析）

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1、2021 年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破 专题专题 5.1 平面向量的概念及线性运算平面向量的概念及线性运算 目录 一、题型全归纳 . 1 题型一 平面向量的基本概念 . 1 题型二 平面向量的线性运算 . 3 题型三 平面向量共线定理的应用 . 6 命题角度 1 证明向量共线或三点共线 . 6 命题角度 2 由向量共线求参数的值. 7 命题角度 3 证明三点共线 . 7 题型四 共线定理的推广与应用 . 8 二、高效训练突破 . 10 一、题型全归纳一、题型全归纳 题型一题型一 平面向量的基本概念平面向量的基本概念 【题型要点

2、】【题型要点】1向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模 (2)零向量：长度为 0 的向量，其方向是任意的 (3)单位向量：长度等于 1 个单位的向量 (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0 与任一向量共线 (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量 (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量 2.五个特殊向量 (1)要注意 0 与 0 的区别，0 是一个实数，0 是一个向量，且|0|0. (2)单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同 (3)任一组平行向量都可以平移到同一直线上，因此平行向量也叫做共线向量 (4)与向量 a

3、 平行的单位向量有两个，即向量 a |a|和 a |a|. 3.辨析向量有关概念的五个关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度 (2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制 (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等 (4)单位向量的关键是方向没有限制，但长度都是一个单位长度 (5)零向量的关键是方向没有限制，长度是 0，规定零向量与任何向量共线 【例【例 1】下列叙述错误的是_(填序号) 已知向量 ab，且|a|b|0，则向量 ab 的方向与向量 a 的方向相同； |a|b|ab| a 与 b 方向相同； 向量 b 与向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数 ，使得 ba； AB

4、BA0； 若 ab，则 ab. 【答案】 【解析】对于，当 a 和 b 方向相同，则它们的和的方向应该与 a(或 b)的方向相同；当 a 和 b 方向相反， 而 a 的模大于 b 的模，则它们的和的方向与 a 的方向相同 对于，当 a，b 之一为零向量时结论不成立 对于，当 a0 且 b0 时， 有无数个值；当 a0 但 b0 时， 不存在 对于，由于两个向量之和仍是一个向量，所以AB BA0. 对于，当 0 时，无论 a 与 b 的大小与方向如何，都有 ab，此时不一定有 ab. 故均错误 【例例 2】下列命题中，正确的个数是( ) 若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合； 若|a|b|

5、，则 ab 或 ab； 若 a0( 为实数)，则 必为零； 已知 ， 为实数，若 ab，则 a 与 b 共线 A0 B1 C2 D3 【答案】A 【解析】错误，如在 ABCD 中，AD BC ，但是这两个向量的起点和终点分别不重合；错误，模相等 的两个向量，方向关系不确定；错误，若 a0( 为实数)，则 0 或 a0；错误，当 0 时，a b0，但 a 与 b 不一定共线 题型二题型二 平面向量的线性运算平面向量的线性运算 【题型要点】【题型要点】 1.向量的线性运算 向量运 算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律： abba； 结合律： (ab)ca (bc)

6、 减法 求 a 与 b 的相反向量 b 的和的运算 aba(b) 数乘 求实数 与向量 a 的 积的运算 | a|a|， 当 0 时， a 与 a 的方向相同； 当 0 时， a 与 a 的 方向相反； 当 0 时， a0 ( a)()a； ()aa_a； (ab)ab 2.向量线性运算的两个常用结论 (1)在 ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，则AD 1 2(AC AB). (2)O 为 ABC 的重心的充要条件是OA OB OC 0. 【例【例 1】在 ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中点，则EB ( ) A.3 4AB 1 4AC B1 4AB 3 4AC

7、C.3 4AB 1 4AC D1 4AB 3 4AC 【答案】A 【解析】 法一：如图所示，EB ED DB 1 2AD 1 2CB 1 2 1 2(AB AC)1 2(AB AC)3 4AB 1 4AC ，故选 A. 法二：EB ABAEAB1 2AD AB 1 2 1 2(AB AC)3 4AB 1 4AC ，故选 A. 【例【例 2】 (2020 云南省楚雄州十校联考云南省楚雄州十校联考)如图， 在直角梯形 ABCD 中， DC 1 4AB ， BE2EC， 且AErABsAD ， 则 2r3s( ) A1 B2 C3 D4 【答案】C 【解析】 法一： 由题图可得AE ABBEAB2

8、3BC AB2 3(BA AD DC )1 3AB 2 3(AD DC )1 3AB 2 3 (AD 1 4AB )1 2AB 2 3AD .因为AE rABsAD ，所以 r1 2，s 2 3，则 2r3s123. 法二： 因为BE 2EC， 所以AEAB2(ACAE)， 整理， 得AE1 3AB 2 3AC 1 3AB 2 3(AD DC )1 2AB 2 3AD ， 以下同法一 法三：如图，延长 AD，BC 交于点 P，则由DC 1 4AB 得 DCAB，且 AB4DC. 又BE 2EC，所以 E 为 PB 的中点，且AP4 3AD . 于是，AE 1 2(AB AP)1 2 AB 4

9、3AD 1 2AB 2 3AD .以下同法一 法四：如图，建立平面直角坐标系 xAy，依题意可设点 B(4m，0)，D(3m，3h)，E(4m，2h)，其中 m0，h 0. 由AE rABsAD ，得(4m，2h)r(4m，0)s(3m，3h)， 所以 4m4mr3ms， 2h3hs， 解得 r 1 2， s2 3， 所以 2r3s123. 题型三题型三 平面向量共线定理的应用平面向量共线定理的应用 【题型要点】【题型要点】求解向量共线问题的注意事项 (1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定 系数法和方程思想的运用. (2)证明三点共线问

10、题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线 且有公共点时，才能得到三点共线 (3)若 a 与 b 不共线且 ab，则 0. (4)直线的向量式参数方程，A，P，B 三点共线 OP (1t)OA tOB (O 为平面内任一点，tR) OA OB OC (， 为实数)，若 A，B，C 三点共线，则 1. 命题角度命题角度 1 证明向量共线或三点共线证明向量共线或三点共线 【例【例 1】已知平面内一点 P 及 ABC， 若PA PBPCAB， 则点 P 与 ABC 的位置关系是( ) A点 P 在线段 AB 上 B点 P 在线段 BC 上 C点 P 在线段 AC 上

11、 D点 P 在 ABC 外部 【答案】C 【解析】因为PA PBPCABPBPA，所以PC2PA，所以 A，P，C 三点共线，且 P 是线段 AC 的三等分点(靠近 A) 【升华】证明向量共线：【升华】证明向量共线：对于向量 a，b，若存在实数 ，使 ab(b0)，则 a 与 b 共线 命题角度命题角度 2 由向量共线求参数的值由向量共线求参数的值 【例【例 2】(2020 安徽合肥一中高考模拟安徽合肥一中高考模拟)如图，在平行四边形 ABCD 中，M，N 分别为 AB，AD 上的点，且AM 4 5AB ，连接 AC，MN 交于点 P，若AP4 11AC ，则点 N 在 AD 上的位置为( )

12、 AAD 中点 BAD 上靠近点 D 的三等分点 CAD 上靠近点 D 的四等分点 DAD 上靠近点 D 的五等分点 【答案】B 【解析】设AD AN ，因为AP4 11AC 4 11(AB AD ) 4 11 5 4AM AN 5 11AM 4 11AN ，又 M， N，P 三点共线，所以 5 11 4 111，解得 3 2，所以AN 2 3AD ，所以点 N 在 AD 上靠近点 D 的 三等分点 【升华】求参数的值：【升华】求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值 命题角度命题角度 3 证明三点共线证明三点共线 【例【例 3】(2020 江西吉安一中、新余一中等八

13、所中学联考江西吉安一中、新余一中等八所中学联考)设两个非零向量 a 与 b 不共线 (1)若AB ab，BC2a8b，CD 3(ab)，求证：A，B，D 三点共线； (2)试确定实数 k，使 kab 和 akb 共线 【答案】见解析 【解析】 (1)证明：因为AB ab，BC2a8b，CD 3(ab)，所以BD BC CD 2a8b3(ab) 5(ab)5AB ， 所以AB ，BD 共线，又它们有公共点 B， 所以 A，B，D 三点共线 (2)因为 kab 与 akb 共线， 所以存在实数 ，使 kab(akb)， 即(k)a(k1)b. 又 a，b 是两个不共线的非零向量， 所以 kk10.

14、所以 k210. 所以 k 1. 【规律】证明三点共线：【规律】证明三点共线：若存在实数 ，使AB AC，则 A，B，C 三点共线 题型四题型四 共线定理的推广与应用共线定理的推广与应用 【题型要点】【题型要点】 一、共线定理：一、共线定理：已知PA ，PB为平面内两个不共线的向量，设PCxPAyPB，则 A，B，C 三点共线的充要 条件为 xy1. 二、推广形式：二、推广形式：如图所示，直线 DEAB，C 为直线 DE 上任一点，设PC xPAyPB(x，yR) 当直线 DE 不过点 P 时，直线 PC 与直线 AB 的交点记为 F，因为点 F 在直线 AB 上，所以由三点共线结论 可知，若

15、PF PAPB(，R)，则 1.由 PAB 与 PED 相似，知必存在一个常数 mR，使得PC m PF ，则PCmPFmPAmPB. 又PC xPAyPB(x，yR)， 所以 xymmm. 以上过程可逆 因此得到结论：PC xPAyPB， 则 xym(定值)，反之亦成立 【例【例 1】(2020 江西上饶重点中学六校联考江西上饶重点中学六校联考)如图所示，A，B，C 是圆 O 上的三点，线段 CO 的延长线与 BA 的延长线交于圆 O 外一点 D，若OC mOA nOB ，则 mn 的取值范围是_ 【答案】 (1，0) 【解析】 由点 D 是圆 O 外的一点，可设BD BA (1)，则OD

16、OB BD OB BA OA (1)OB . 因为 C，O，D 三点共线，令OD OC (1)，所以OC OA 1 OB (1，1)因为OC mOA nOB ，所以 m ，n 1 ，则 mn 1 1 (1，0) 【例【例 2】 如图，在扇形 OAB 中，AOB 3，C 为弧 AB 上的动点，若OC xOA yOB ，则 x3y 的取值范 围是_ 【答案】 1，3 【解析】 OC xOA 3y OB 3 ，如图，作OB OB 3 ，则考虑以向量OA ，OB 为基底显然，当 C 在 A 点时， 经过 m1 的平行线，当 C 在 B 点时，经过 m3 的平行线，这两条 线分别是最近与最远的平行线，所

17、以 x3y 的取值范围是1，3 二、高效训练突破二、高效训练突破 一、选择题一、选择题 1设 a0为单位向量，若 a 为平面内的某个向量，则 a|a|a0；若 a 与 a0平行，则 a|a|a0；若 a 与 a0平行且|a|1，则 aa0.上述命题中，假命题的个数是( ) A0 B1 C2 D3 【答案】D. 【解析】 ：向量是既有大小又有方向的量，a 与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故是假命题；若 a 与 a0平行，则 a 与 a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a|a|a0，故也是假命题综上 所述，假命题的个数是 3. 2设 a，b 都是非零向量，下列四个条件中，使

18、a |a| b |b|成立的充分条件是( ) Aab Bab Ca2b Dab 且|a|b| 【答案】C. 【解析】 ：因为向量 a |a|的方向与向量 a 相同，向量 b |b|的方向与向量 b 相同，且 a |a| b |b|，所以向量 a 与向量 b 方向相同，故可排除选项 A，B，D.当 a2b 时， a |a| 2b |2b| b |b|，故“a2b”是“ a |a| b |b|”成立的充分条件 3.已知向量 a，b 不共线，且 cab，da(21)b，若 c 与 d 反向共线，则实数 的值为( ) A1 B1 2 C1 或1 2 D1 或1 2 【答案】B 【解析】由于 c 与 d

19、 反向共线，则存在实数 k 使 ckd(k0)，于是 abka(21)b整理得 ab ka(2kk)b.由于 a，b 不共线，所以有 k， 2kk1， 整理得 2210，解得 1 或 1 2.又 k0， 所以 0，故 1 2. 4已知点 O，A，B 不在同一条直线上，点 P 为该平面上一点，且 2OP 2OA BA ，则( ) A点 P 在线段 AB 上 B点 P 在线段 AB 的反向延长线上 C点 P 在线段 AB 的延长线上 D点 P 不在直线 AB 上 【答案】B 【解析】因为 2OP 2OA BA ，所以 2APBA，所以点 P 在线段 AB 的反向延长线上，故选 B. 5.如图，已知

20、AP 4 3AB ，用OA ，OB 表示OP ，则OP 等于( ) A.1 3OA 4 3OB B.1 3OA 4 3OB C1 3OA 4 3OB D1 3OA 4 3OB 【答案】C. 【解析】 ：OP OA AP OA 4 3AB OA 4 3(OB OA )1 3OA 4 3OB .故选 C. 6在 ABC 中，AB2，BC3，ABC60 ，AD 为 BC 边上的高，O 为 AD 的中点，若AO AB BC， 其中 ，R，则 等于( ) A1 B1 2 C.1 3 D2 3 【答案】D. 【解析】 ：由题意易得AD AB BD AB 1 3BC ，所以 2AO AB 1 3BC ，即A

21、O 1 2AB 1 6BC . 故 1 2 1 6 2 3. 7(2020 广东华附、省实、 广雅、深中联考广东华附、省实、 广雅、深中联考)设 a， b 是非零向量， 记 a 与 b 所成的角为 ， 下列四个条件中， 使 a |a| b |b|成立的充要条件是( ) Aab B0 C 2 D 【答案】B. 【解析】 ： a |a| b |b|等价于非零向量 a 与 b 同向共线，即 0，故选 B. 8(2020 广东一模广东一模)已知 A，B，C 三点不共线，且点 O 满足 16OA 12OB 3OC 0，则( ) A.OA 12AB 3AC BOA 12AB 3AC C.OA 12AB 3

22、AC DOA 12AB 3AC 【答案】A. 【解析】 ：对于 A，OA 12AB 3AC12(OB OA )3(OC OA )12OB 3OC 15OA ，整理，可得 16OA 12OB 3OC 0，这与题干中条件相符合，故选 A. 9.已知向量 a，b 不共线，且 cab，da(21)b，若 c 与 d 反向共线，则实数 的值为( ) A1 B1 2 C1 或1 2 D1 或1 2 【答案】B. 【解析】 ：由于 c 与 d 反向共线，则存在实数 k 使 ckd(k0)，于是 abka(21)b整理得 ab ka(2kk)b.由于 a，b 不共线，所以有 k， 2kk1，整理得 2 210

23、，解得 1 或 1 2.又因为 k0，所以 0，故 1 2. 10.(2020 福州模拟福州模拟)庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征正五角星是一个非常优美的几 何图形，且与黄金分割有着密切的联系在如图所示的正五角星中，以 A，B，C，D，E 为顶点的多边形为 正五边形，且PT AT 51 2 .则下列关系中正确的是( ) A.BP TS 51 2 RS BCQ TP 51 2 TS C.ES AP 51 2 BQ DAT BQ 51 2 CR 【答案】A. 【解析】 ： 由题意得， BP TSTETSSE RS 51 2 51 2 RS ， 所以A正确； CQ TP PATPTA

24、 51 2 ST ，所以 B 错误；ESAPRCQC RQ 51 2 QB ，所以 C 错误；AT BQ SD RD ， 51 2 CR RS RD SD ，若ATBQ 51 2 CR ，则SD0，不合题意，所以 D 错误故选 A. 11.如图，在 ABC 中，点 D 在线段 BC 上，且满足 BD1 2DC，过点 D 的直线分别交直线 AB，AC 于不同 的两点 M，N 若AM mAB ，ANnAC，则( ) Amn 是定值，定值为 2 B2mn 是定值，定值为 3 C.1 m 1 n是定值，定值为 2 D. 2 m 1 n是定值，定值为 3 【答案】D. 【解析】 ： 法一： 如图， 过点

25、 C 作 CE 平行于 MN 交 AB 于点 E.由AN nAC可得AC AN 1 n， 所以 AE EM AC CN 1 n1， 由 BD1 2DC 可得 BM ME 1 2，所以 AM AB n nn1 2 2n 3n1，因为AM mAB ，所以 m2n 3n1， 整理可得2 m 1 n3. 法二：因为 M，D，N 三点共线，所以AD AM (1) AN . 又AM mAB ，ANnAC，所以AD mAB (1) nAC.又BD 1 2DC ，所以AD AB 1 2AC 1 2AD ，所以AD 1 3AC 2 3AB .比较系数知 m2 3，(1)n 1 3，所以 2 m 1 n3，故选

26、D. 12.点 O 是 ABC 内一点，满足条件OA 2BO 3CO ，延长 BO 交 AC 于点 D，则 S COD S AOD 的值为( ) A.2 3 B.1 3 C.1 2 D.3 4 【答案】B 【解析】解法一：如图(1)，分别取 BC，AC 的中点为 E，F，连接 EF.OA 2BO 3CO ，OA CO 2(BO CO )，即OA OC 2(OB OC )，2OF 2 2OE ，OF 2OE .故 O 在 ABC 的中位线 EF 上，且 OF2OE.过点 E 作 EHCD， 交 BD 于点 H， 则 H 为 BD 的中点， EH1 2CD 1 2DF， 因此 CDDF， CDAD

27、 13， SCOD S AOD CD AD 1 3.故选 B. 解法二：OA 2OB 3OC 0，令 2OB OB ，3OC OC ，OA OB OC 0，O 是 ABC的重心， 如图(2)，延长 BO 交 AC于点 F，则 AFFC.过点 C 作 CEAC，交 BF 于点 E，CD AD CE AF CE CF OC OC 1 3， S COD S AOD CD AD 1 3.故选 B. 二、填空题二、填空题 1.(2020 河南三市联考河南三市联考)若AP 1 2PB ，AB(1)BP，则 _. 【答案】5 2 【解析】AP 1 2PB ，APPBAB3 2PB 3 2BP .13 2，

28、5 2. 2.在 ABC 中，点 D 在线段 BC 的延长线上，且BC 3CD ，点 O 在线段 CD 上(与点 C，D 不重合)，若AO xAB (1x)AC，则 x 的取值范围是_ 【答案】 ： 0 3 1 -， 【解析】 ：设CO yBC ，因为AO AC CO AC yBCACy(ACAB)yAB(1y)AC. 因为BC 3CD ，点 O 在线段 CD 上(与点 C，D 不重合) 所以 y 3 1 0， 因为AO xAB (1x)AC， 所以 xy，所以 x 0 3 1 -， 2.设两个非零向量 a 与 b 不共线，若 a 与 b 的起点相同，且 a，tb，1 3(ab)的终点在同一条

29、直线上，则实数 t_ 【答案】 ：1 2 【解析】 ：因为 a，tb，1 3(ab)三个向量的终点在同一条直线上，且 a 与 b 的起点相同， 所以 atb 与 a1 3(ab)共线，即 atb 与 2 3a 1 3b 共线， 所以存在实数 ，使 atb 2 3a 1 3b ，所以 1 2 3， t1 3， 解得 3 2，t 1 2. 3如图，一直线 EF 与平行四边形 ABCD 的两边 AB，AD 分别交于 E，F 两点，且交对角线 AC 于点 K，其 中AE 2 5AB ，AF1 2AD ，AK AC，则 _ 【答案】 ：2 9 【解析】 ：因为AE 2 5AB ，AF1 2AD ， 所以

30、AB 5 2AE ，AD 2AF . 由向量加法的平行四边形法则可知，AC ABAD ， 所以AK AC(ABAD ) 5 2AE 2AF 5 2AE 2AF，由 E，F，K 三点共线，可得 2 9. 4.(2020 青岛质检青岛质检)已知 D，E，F 分别为 ABC 的边 BC，CA，AB 的中点，且BC a，CAb，给出下列命 题： AD 1 2ab；BE a1 2b；CF 1 2a 1 2b；AD BE CF0. 其中正确命题的序号为_ 【答案】 【解析】 AD CD CA 1 2BC CA1 2ab，所以错误；BE BCCEBC1 2CA a1 2b，故正 确；CF 1 2(CA CB

31、 )1 2(ba) 1 2a 1 2b，故正确；综上知AD BE CF 1 2ab a1 2b 1 2a 1 2b 0，故正确 5.已知 O 为 ABC 内一点，且 2AO OB OC ，AD tAC ，若 B，O，D 三点共线，则 t 的值为_ 【答案】 ：1 3 【解析】 ：设线段 BC 的中点为 M，则OB OC 2OM . 因为 2AO OB OC ，所以AO OM ， 则AO 1 2AM 1 4(AB AC)1 4 AB 1 tAD 1 4AB 1 4tAD . 由 B，O，D 三点共线，得1 4 1 4t1，解得 t 1 3. 6在 ABC 中，A60 ，A 的平分线交 BC 于点

32、 D，若 AB4，且AD 1 4AC AB(R)，则 AD 的长 为_ 【答案】 ：3 3 【解析】 ：因为 B，D，C 三点共线，所以1 41，解得 3 4，如图，过点 D 分别作 AC，AB 的平行线交 AB，AC 于点 M，N，则AN 1 4AC ，AM 3 4AB ，因为 ABC 中，A60 ，A 的平分线交 BC 于点 D，所 以四边形 AMDN 是菱形，因为 AB4，所以 ANAM3，AD3 3. 7(2020 铜川模拟铜川模拟)在 ABC 中，点 D 是边 BC 上任意一点，M 是线段 AD 的中点，若存在实数 和 ，使 得BM AB AC，则 _ 【答案】 ：1 2. 【解析】

33、 ：如图，因为点 D 在边 BC 上，所以存在 tR，使得BD tBC t(ACAB)因为 M 是线段 AD 的 中点，所以BM 1 2(BA BD )1 2(AB tACtAB)1 2(t1) AB 1 2tAC . 又BM AB AC，所以 1 2(t1)， 1 2t， 所以 1 2. 8 已知 P 为 ABC 所在平面内一点， AB PBPC0， |AB|PB|PC|2， 则 ABC 的面积为_ 【答案】 ：2 3 【解析】 ：因为AB PBPC0，所以AB(PBPC) 由平行四边形法则可知，以PB ，PC为边组成的平行四边形的一条对角线与AB反向，且长度相等因为|AB| |PB |PC

34、|2，所以以PB，PC为边的平行四边形为菱形，且除 BC 外的另一条对角线长为 2，所以 BC 2 3，ABC90 ，所以 S ABC1 2AB BC 1 2 2 2 32 3. 9.在平面向量中有如下定理：设点 O，P，Q，R 为同一平面内的点，则 P，Q，R 三点共线的充要条件是： 存在实数 t， 使OP (1t)OQ tOR .试利用该定理解答下列问题： 如图， 在 ABC 中， 点 E 为 AB 边的中点， 点 F 在 AC 边上，且 CF2FA，BF 交 CE 于点 M，设AM xAE yAF，则 xy_. 【答案 7 5 【解析】因为 B，M，F 三点共线，所以存在实数 t，使得A

35、M (1t)AB tAF，又AB2AE，AF1 3AC ，所 以AM 2(1t)AE 1 3tAC .又 E，M，C 三点共线，所以 2(1t)1 3t1，得 t 3 5.所以AM 2(1t)AE tAF4 5 AE 3 5AF ，所以 x4 5，y 3 5，所以 xy 7 5. 三三 解答题解答题 1.经过 OAB 重心 G 的直线与 OA，OB 分别交于点 P，Q，设OP mOA ，OQ nOB ，m，nR，求1 n 1 m的 值 【答案】见解析 【解析】 ：设OA a，OB b，则OG 1 3(ab)， PQ OQ OP nbma， PG OG OP 1 3(ab)ma m- 3 1 a

36、1 3b. 由 P，G，Q 共线得，存在实数 使得PQ PG ， 即 nbma m- 3 1 a1 3b， 则 m 1 3m ， n1 3， 消去 ，得1 n 1 m3. 2.已知 O，A，B 是不共线的三点，且OP mOA nOB (m，nR) (1)若 mn1，求证：A，P，B 三点共线； (2)若 A，P，B 三点共线，求证：mn1. 【答案】见解析 【证明】 ：(1)若 mn1， 则OP mOA (1m)OB OB m(OA OB )， 所以OP OB m(OA OB )， 即BP mBA， 所以BP 与BA共线 又因为BP 与BA有公共点 B， 所以 A，P，B 三点共线 (2)若 A，P，B 三点共线， 则存在实数 ，使BP BA， 所以OP OB (OA OB ) 又OP mOA nOB . 故有 mOA (n1)OB OA OB ， 即(m)OA (n1)OB 0. 因为 O，A，B 不共线， 所以OA ，OB 不共线， 所以 m0， n10，所以 mn1.