2021年高考数学(理)一轮复习题型归纳与训练 专题4.2 简单的三角恒等变换(教师版含解析)
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1、2021 年高考理科数学一轮复习:题型全归纳与高效训练突破年高考理科数学一轮复习:题型全归纳与高效训练突破 专题专题 4.2 简单的三角恒等变换简单的三角恒等变换 目录 一、题型全归纳 . 1 题型一 两角和、差及倍角公式的直接应用 . 1 题型二 三角函数公式的逆用与变形用 . 3 题型三 和差公式的灵活运用 . 4 类型一 角的变换 . 4 类型二 变名问题 . 6 题型四 三角函数式的化简 . 6 题型五 三角函数的求值 . 8 类型一 给角求值 . 8 类型二 给值求值 . 8 类型三 给值求角 . 10 题型六 三角恒等变换的综合应用 . 11 类型一 研究三角函数的图象问题. 11
2、 类型二 研究三角函数的性质问题. 11 二、高效训练突破 . 12 一、题型全归纳一、题型全归纳 题型一题型一 两角和、差及倍角公式的直接应用两角和、差及倍角公式的直接应用 【题型要点】【题型要点】1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)C():cos()coscossinsin. C():cos()coscossinsin. (2)S():sin()sincoscossin. S():sin()sincoscossin. (3)T():tan() tantan 1tantan Zkk , 2 , T():tan() tantan 1tantan Zkk , 2 , 2二倍角的正弦、余弦
3、、正切公式 (1)S2:sin22sincos. (2)C2:cos2cos2sin22cos2112sin2. (3)T2:tan2 2tan 1tan2 Zkkk,且 24 . 3.三角函数公式的应用策略 (1)使用两角和与差的三角函数公式,首先要记住公式的结构特征 (2)使用公式求值,应先求出相关角的函数值,再代入公式求值 【例【例 1】(2020 山西大学附中模拟山西大学附中模拟)已知 2 cos2cos(),则 4 tan( ) A4 B4 C1 3 D.1 3 【答案】C 【解析】因为 2 cos2cos(),所以sin2cos,所以 tan2,所以 4 tan 1tan 1tan
4、 1 3. 【例【例 2】 】 (2020 长沙模拟长沙模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,角 的顶点在原点,始边与 x 轴的非负半轴重合,终 边过点 2 3 , 2 1 ,则 3 2cos _. 【答案】1 【解析】由已知条件,得 cos1 2,sin 3 2 ,所以 cos2cos2sin21 2,sin22sincos 3 2 ,所 以 3 2cos cos2cos 3sin2sin 3 1 2 1 2 3 2 3 2 1. 题型二题型二 三角函数公式的逆用与变形用三角函数公式的逆用与变形用 【题型要点】【题型要点】(1)和差角公式的常见变形 sin sin cos()cos cos ;
5、 cos sin sin()sin cos ; tan tan tan( ) (1tan tan ) (2)二倍角正、余弦公式的常见变换方式 配方变换:1 sin 2sin2cos2 2sin cos (sin cos )2; 因式分解变换:cos 22cos2112sin2cos2 sin2(cos sin )(cos sin ); 降幂扩角变换:cos21cos 2 2 ,sin21cos 2 2 ; 升幂缩角变换:1cos 2cos2 2, 1cos 2sin2 2; 公式变换:cos sin 2 2sin ,sin sin 2 2cos . 【例【例 1】已知 sincos 5 2 ,
6、则 cos4_. 【答案】7 8 【解析】由 sincos 5 2 ,得 sin2cos22sincos1sin25 4,所以 sin2 1 4,从而 cos412sin2212 2 4 1 7 8. 【例 2】(2020 四川乐山二模四川乐山二模)化简 sin2 6 sin2 6 sin2 的结果是_ 【答案】1 2 【解析】原式 1cos 2 3 2 1cos 2 3 2 sin2 11 2 cos 2 3 cos 2 3 sin21cos 2 cos 3sin 21cos 2 2 1cos 2 2 1 2. 题型三题型三 和差公式的灵活运用和差公式的灵活运用 类型一类型一 角的变换角的变
7、换 【题型要点】【题型要点】角的变换:明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角),熟悉角的变换 技巧及半角与倍角的相互转化, 如: 2()(), ()(), 40 60 20 , 4 4 2, 22 4等 【例【例 1】(2020 南开区模拟南开区模拟)已知 0 2, 4 cos 1 3,sin() 4 5. (1)求 sin2 的值; (2)求 4 cos 的值 【答案】(1)7 9 (2) 8 23 15 【解析】 (1)sin2 2 2 cos2 4 cos2 17 9. (2)因为 0 2,所以 20,cos()0, 因为 4 cos 1 3,sin() 4 5, 所
8、以 4 sin 2 2 3 ,cos()3 5, 所以 4 s i ns i n 4 coscos 4 cos 4 cos 5 3 1 3 4 5 2 2 3 8 23 15 【例【例 2】(2020 云南楚雄摸底云南楚雄摸底)设 , 都是锐角,且 cos 5 5 ,sin()3 5,则 cos _ 【答案】2 5 25 【解析】依题意得 sin 1cos22 5 5 , 因为 sin()3 5, 所以 , 2 ,所以 cos()4 5. 于是 cos cos()cos()cos sin()sin 4 5 5 5 3 5 2 5 5 2 5 25 . 类型二类型二 变名问题变名问题 【题型要点
9、】【题型要点】名的变换:明确各个三角函数名称之间的联系,常常用到同角关系、诱导公式,把正弦、余 弦化为正切,或者把正切化为正弦、余弦 【例 3】求值:(1) sin10 1 3tan10 _; (2)1cos20 2sin20 sin10 1 tan5 tan5_. 【答案】 (1)1 4 (2) 3 2 【解析】 (1) sin10 1 3tan10 sin10 cos10 cos10 3sin10 2sin10 cos10 4 1 2cos10 3 2 sin10 sin20 4sin30 10 1 4. (2)原式 2cos210 2 2sin10 cos10 sin10 cos5 si
10、n5 sin5 cos5 cos10 2sin10 sin10 cos25 sin25 sin5 cos5 cos10 2sin10 sin10 cos10 1 2sin10 cos10 2sin10 2cos10 cos10 2sin20 2sin10 cos10 2sin30 10 2sin10 cos10 2 1 2cos10 3 2 sin10 2sin10 3sin10 2sin10 3 2 . 题型四题型四 三角函数式的化简三角函数式的化简 【题型要点】【题型要点】(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则 (2)三角函数式化简的方法 弦切互化,异名化同名,异角化同角,降幂或升幂在三
11、角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本 的规律,根号中含有三角函数式时,一般需要升次 【例【例 1】(2020 昆明模拟昆明模拟)化简:sin2sin2cos2cos21 2cos 2cos 2_ 【答案】1 2 【解析】法一:原式1cos 2 2 1cos 2 2 1cos 2 2 1cos 2 2 1 2cos 2cos 2 1cos 2cos 2cos 2cos 2 4 1cos 2cos 2cos 2cos 2 4 1 2cos 2cos 2 1 2 1 2cos 2cos 2 1 2cos 2cos 2 1 2. 法二:原式(1cos2)(1cos2)cos2cos21 2
12、(2cos 21)(2cos21) 1cos2cos2cos2cos2cos2cos21 2(4cos 2cos22cos22cos21) 1cos2cos22cos2cos22cos2cos2cos2cos21 2 1 2. 法三:原式sin2sin2cos2cos21 2(cos 2sin2) (cos2sin2) 1 2(2sin 2sin22cos2cos2cos2cos2cos2sin2sin2cos2sin2sin2) 1 2sin 2(sin2cos2)cos2(sin2cos2) 1 2(sin 2cos2)1 2. 【例【例 2】(2020 四川成都二诊四川成都二诊) 22c
13、os82 1sin8的化简结果为_ 【答案】 2sin4 【解析】 原式 4cos242 sin4cos42 2|cos4|2|sin4cos4|,因为5 4 43 2 , 所以 cos40,且 sin4cos4, 所以原式2cos42(sin4cos4)2sin4. 题型五题型五 三角函数的求值三角函数的求值 类型一类型一 给角求值给角求值 【题型要点】【题型要点】三角函数给角求值问题的解题策略 一般所给出的角都是非特殊角,要观察所给角与特殊角间的关系,利用三角变换转化为求特殊角的三角函 数值问题,另外此类问题也常通过代数变形(比如:正负项相消、分子分母相约等)的方式来求值 【例【例 1】(
14、2020 太原质检太原质检)2sin50 sin10 (1 3tan10 ) 2sin280 _. 【答案】 6 【解析】因为 2sin280 2sin80 2cos10 , 所以原式 22sin(60 10 )cos10 sin10 (cos10 3sin10 ) 2 2 3 2 cos10 1 2sin10cos10 sin10 cos10 3sin 210 2( 3cos210 3sin210 ) 2 3 6. 类型二类型二 给值求值给值求值 【题型要点】【题型要点】给值求值是指已知某个角的三角函数值,求与该角相关的其他三角函数值的问题,解题的基 本方法是通过角的三角函数的变换把求解目标
15、用已知条件表达出来 【例 2】已知 cos x 4 3 5,若 17 12x 7 4,则 sin 2x2sin2x 1tan x 的值为_ 【答案】28 75 【解析】 法一:由17 12x 7 4,得 5 3x 42. 又 cos x 4 3 5,所以 sin x 4 4 5, 所以 cos x 4 sin 4 sin 4 cos 4 cos 44 cos xxx3 5 2 2 4 5 2 2 2 10, 从而 sin x7 2 10 ,tan x7. 则sin 2x2sin 2x 1tan x 2sin xcos x2sin 2x 1tan x 2 7 2 10 2 10 2 7 2 10
16、 2 17 28 75. 法二:由法一得 tan x 4 4 3. 又 sin 2xcos x2 2 cos 2 x 4 2cos2 x 4 118 251 7 25. 则sin 2x2sin 2x 1tan x sin 2x2sin 2x 1sin x cos x sin 2xcos x2sin 2xcos x cos xsin x sin 2x(sin xcos x) cos xsin x sin 2x 1tan x 1tan xsin 2x tan(x 4) 7 25 ( 4 3) 28 75. 类型三类型三 给值求角给值求角 【题型要点】三角函数给值求角问题的解题策略【题型要点】三角函
17、数给值求角问题的解题策略 对于给值求角问题,通过先求角的某个三角函数值来求角,在选取函数时,遵循以下原则: (1)已知正切函数值,选正切函数 (2)已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数 若角的范围是 2 , 0 ,选正弦或余弦函数皆可;若角的范围是(0,),选余弦函数较好;若角的范围为 2 , 2 ,选正弦函数较好 【例 3】若 sin2 5 5 ,sin() 10 10 ,且 , 4 , 2 3 , ,则 的值是( ) A.7 4 B.9 4 C.5 4 或7 4 D.5 4 或9 4 【答案】A 【解析】 , 4 ,2 2 , 2 , sin2 5 5 ,2 , 2 . 2 , 4 且 c
18、os22 5 5 , 又 sin() 10 10 , 2 3 , , 4 5 , 2 ,cos()3 10 10 , cos()cos()2cos()cos2sin()sin2 5 52 10 103 10 10 5 5 2 2 , 又 2 , 4 5 ,7 4 . 题型六题型六 三角恒等变换的综合应用三角恒等变换的综合应用 类型一类型一 研究三角函数的图象问题研究三角函数的图象问题 【例【例 1】 (2020 湖南四校联考湖南四校联考)函数 ysinx 3cosx 的图象可由函数 ysinx 3cosx 的图象至少向右平移的 单位长度是( ) A. 2 B.2 3 C. 3 D. 4 【答案
19、】B 【解析】因为 ysinx 3cosx2sin 3 x2sin 3 2 3 x, ysinx 3cosx2sin 3 x, 所以函数 ysinx 3cosx 的图象至少向右平移2 3 个单位长度才能得到函数 ysinx 3cosx 的图象 类型二类型二 研究三角函数的性质问题研究三角函数的性质问题 【题型要点】【题型要点】三角恒等变换在研究三角函数性质中的两个注意点 (1)三角函数的性质问题,往往都要先化成 f(x)Asin(x)b 的形式再求解要注意在进行此步骤之前, 如果函数解析式中出现 及其二倍角、半角或函数值的平方,应根据变换的难易程度去化简,往往要利用 到二倍角公式、升幂或降幂公
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