2021年高考数学(理)一轮复习题型归纳与训练 专题3.8 定积分与微积分基本定理(教师版含解析)
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1、2021 年高考理科数学一轮复习:题型全归纳与高效训练突破年高考理科数学一轮复习:题型全归纳与高效训练突破 专题专题 3.8 定积分与微积分基本定理定积分与微积分基本定理 目录 二、 一、题型全归纳一、题型全归纳 题型一题型一 定积分的计算定积分的计算 【题型要点】【题型要点】1.计算定积分的解题步骤计算定积分的解题步骤 (1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差 (2)把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分 (3)分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数 (4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值,然后求其代数和 【易错提醒】 当被积函数的原函数不易求
2、,而被积函数的图象与直线 xa,xb,y0 所围成的曲边梯 形的面积易求时,可利用定积分的几何意义求定积分 2.运用微积分基本定理求定积分时的 4 个关键点 (1)对被积函数要先化简,再求积分 (2)求被积函数为分段函数的定积分,依据定积分“对区间的可加性”,分段积分再求和 (3)对于含有绝对值符号的被积函数,要先去掉绝对值符号,再求积分 (4)注意用“F(x)f(x)”检验积分的对错 类型一类型一 利用微积分基本定理求定积分利用微积分基本定理求定积分 【例【例 1】计算下列定积分: (1)dx x 2 1 2 ;(2)dxx 0 cos;(3)dx x x 3 1 2 1 2. 【解】 (1
3、)因为(ln x)1 x,所以 2ln21ln2ln2ln2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 xdx x dx x (2)因为(sin x)cos x,所以00sinsinsincos 0 0 xdxx. (3)因为(x2)2x, x 1 1 x2,所以 3 2211 2 1 2 3 1 3 1 2 3 1 2 3 1 3 1 2 x xdx x dxxdx x x. 类型二类型二 利用定积分的几何意义求定积分利用定积分的几何意义求定积分 【例【例 2】计算下列定积分: (1)dxx 1 0 2 11; (2)dxxx 5 5 3 sin43. 【解】 (1) 根据定积分的几何意义,可知d
4、xx 1 0 2 11表示的是圆(x1)2y21 的面积的1 4(如图中阴影部分) 故dxx 1 0 2 11 4. (2)设 yf(x)3x34sin x, 则 f(x)3(x)34sin(x)(3x34sin x)f(x), 所以 f(x)3x34sin x 在5,5上是奇函数 所以dxxxdxxx 5 0 3 0 5 3 sin43sin43. 所以0sin43sin43sin43 5 0 3 0 5 3 5 5 3 dxxxdxxxdxxx. 题型二题型二 利用定积分求平面图形的面积利用定积分求平面图形的面积 【题型要点】【题型要点】1.利用定积分求曲边图形面积时,一定要找准积分上限、
5、下限及被积函数当图形的边界不同 时,要分不同情况讨论 2.设阴影部分的面积为 S,则对如图所示的四种情况分别有: (1) dxxfS b a . (2) dxxfS b a . (3) dxxfdxxfS b c c a (4) dxxgxfdxxgdxxfS b a b a b a . 【例【例 1】由抛物线 y22x 与直线 yx4 围成的平面图形的面积为_ 【答案】18 【解析】 如图所示 解方程组 y22x, yx4,得两交点的坐标分别为(2,2),(8,4) 法一:选取横坐标 x 为积分变量,则图中阴影部分的面积 S 可看作两部分面积之和, 即184222 8 2 2 0 dxxxd
6、xxS. 法二:选取纵坐标 y 为积分变量,则图中阴影部分的面积18 2 1 4 4 2 2 dyyyS. 【例 2】曲线 yx2,y x与 x 轴所围成的面积为_ 【答案】7 6 【解析】如图所示 由 y x及 yx2 可得交点横坐标为 x1.由定积分的几何意义可知,由 y x,yx2 及 x 轴所围 成的封闭图形的面积为 6 7 2 2 3 2 2 2 1 2 1 0 2 3 2 1 1 0 x xxdxxdxxS 题型三题型三 定积分在物理中的应用定积分在物理中的应用 【题型要点】题型要点】定积分在物理中的两个应用 (1)求物体做变速直线运动的路程,如果变速直线运动物体的速度为 vv(t
7、),那么从时刻 ta 到 tb 所经过 的路程 dttvs b a . (2)变力做功,一物体在变力 F(x)的作用下,沿着与 F(x)相同方向从 xa 移动到 xb 时,力 F(x)所做的功 是 dxxFW b a . 【例 1】物体 A 以 v3t21(m/s)的速度在一直线 l 上运动,物体 B 在直线 l 上,且在物体 A 的正前方 5 m 处,同时以 v10t(m/s)的速度与 A 同向运动,出发后,物体 A 追上物体 B 所用的时间 t(s)为( ) A3 B4 C5 D6 【答案】C 【解析】 :.因为物体 A 在 t 秒内行驶的路程为dtts t 0 2 13,物体 B 在 t
8、 秒内行驶的路程为dtts t 010 , 因为(t3t5t2)3t2110t, 所以5551013 23 0 23 0 2 ttttttdttts t t , 整理得(t5)(t2 1)0,解得 t5. 【例【例 2】设变力 F(x)作用在质点 M 上,使 M 沿 x 轴正向从 x1 运动到 x10,已知 F(x)x21 且方向和 x 轴正向相同,则变力 F(x)对质点 M 所做的功为_J(x 的单位:m;力的单位: N) 【答案】 :342 【 解 析 】 : 变 力 F(x) x2 1 使 质 点 M 沿 x 轴 正 向 从 x 1 运 动 到 x 10 所 做 的 功 为 dxxdxx
9、FW 10 1 2 10 1 1,因为1 3 1 23 xxx,所以原式342(J) 二、二、高效训练突破高效训练突破 一、选择题一、选择题 1定积分dxex x 1 0 3的值为( ) Ae1 Be Ce1 2 De1 2 【答案】D 【解析】 :eeexdxex xx 2 1 1 2 3 2 3 3 1 0 2 1 0 . 2已知 t 是常数,若822 0 dxx t ,则 t( ) A1 B2 C2 或 4 D4 【答案】【答案】D 【解析】由822 0 dxx t 得,(x22x)|t0t22t8,解得 t4 或 t2(舍去) 3.设 dttxf x x cos,则 4 ff( ) A
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