2021年高考数学(理)一轮复习题型归纳与训练 专题3.7 导数的综合应用(选填题)(教师版含解析)
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1、2021 年高考理科数学一轮复习:题型全归纳与高效训练突破年高考理科数学一轮复习:题型全归纳与高效训练突破 专题专题 3.7 导数的综合应用导数的综合应用(选填题选填题) 目录 一、题型全归纳一、题型全归纳 题型一题型一 利用导数求解函数的零点或方程的根的问题利用导数求解函数的零点或方程的根的问题 【题型要点】利用导数研究函数零点或方程根的方法【题型要点】利用导数研究函数零点或方程根的方法 (1)通过最值(极值)判断零点个数的方法 借助导数研究函数的单调性、极值后,通过极值的正负,函数单调性判断函数图象走势,从而判断零点个 数或者通过零点个数求参数范围 (2)数形结合法求解零点 对于方程解的个
2、数(或函数零点个数)问题,可利用函数的值域或最值,结合函数的单调性,画出草图数形结 合确定其中参数的范围 (3)构造函数法研究函数零点 根据条件构造某个函数,利用导数确定函数的单调区间及极值点,根据函数零点的个数寻找函数在给定 区间的极值以及区间端点的函数值与 0 的关系,从而求解 解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化,突出导数的工具作用,体现转化与 化归的思想方法. 【例【例 1】(2020 汉中模拟汉中模拟)若函数 xf与 xg满足:存在实数 t,使得 tf t g ,则称函数 xg为 xf 的“友导”函数已知函数 3 2 1 2 xkxxg为函数 xxxxfln 2
3、 的“友导”函数,则k的取值范围是 ( ) A(,1) B(,2 C(1,) D2,) 【答案】D 【解析】 1kxxg,由题意 xg为函数 xf的“友导”函数,即方程1ln 2 kxxxx有解,故 1 1 ln x xxk, 记 1 1 ln x xxxp, 则 p(x)1ln x1 x2 x21 x2 ln x, 当 x1 时, x21 x2 0, ln x0, 故 p(x)0,故 p(x)递增;当 0x1 时,x 21 x2 0,ln x0,故 p(x)0,则 函数 F(x)x f(x)1 x的零点个数是( ) A0 B1 C2 D3 【答案】B. 【解析】 : 函数 F(x)xf(x)
4、1 x的零点, 就是方程 xf(x) 1 x0 的根, 即方程 xf(x) 1 x的根 令函数 g(x)xf(x), 则 g(x)f(x)xf(x)因为当 x0 时,g(x)f(x)xf(x)0,所以 g(x)xf(x)单调递增,g(x)g(0)0;当 x0 时,g(x)f(x)xf(x)g(0)0.所以函数 yg(x)与 y1 x的图象只有一个 交点,即 F(x)xf(x)1 x只有一个零点故选 B. 题组高效训练突破题组高效训练突破 1方程 x36x29x100 的实根个数是( ) A3 B2 C1 D0 【答案】C 【解析】 设 f(x)x36x29x10, f(x)3x212x93(x
5、1)(x3), 由此可知函数的极大值为 f(1)60, 极小值为 f(3)100 时,令 f(x)0,得 xln1 a,函数 f(x)在 a 1 ln,上单调递减,在 , 1 ln a 上单调递增,所以 f(x)的最小值为 a f 1 ln1ln1 a2a1ln a2a.令 g(a)1ln a2a(a0),则 g(a) 1 a2.当 a 2 1 , 0时, g(a)单调递增; 当 a , 2 1 时, g(a)单调递减, 所以 g(a)max 2 1 gln 20, 所以 f(x)的最小值为 a f 1 ln0,函数 f(x)aexx2a 有两个零点综上所述,实数 a 的取值范围是(0, ),
6、故选 D. 4.已知 f(x)1 x ex,过点(k,0)与 f(x)相切的直线有且仅有 3 条,则 k 的取值范围是( ) A(,2e2) B(,2e2 C(,4e2) D(,4e2 【答案】C 【解析】设切点为 0 0 01 , ex x x,f(x) x1 ex ,则切线为 0 0 0 0 0 1 1xx ex x ex x y ,代入点(k,0)得 11 0 0 0 0 0 x ex x x xk,令 g(x)x x x1 ex x1,则 g(x) 2xexx x12 ,当 x0,g(x)单调递 增,注意到 x1,故 g(x)的递增区间为(,1),(1,2),当 x2 时,g(x)单调
7、递减,要使 g(x)k 有三个根, 由图象可得,kg(2)4e2,故 k 的取值范围为(,4e2) 5.已知函数 f(x)的定义域为1,4,部分对应值如下表: x 1 0 2 3 4 f(x) 1 2 0 2 0 f(x)的导函数 yf(x)的图象如图所示当 1a2 时,函数 yf(x)a 的零点有 个 【答案】 :4 【解析】 : 根据导函数图象,知 2 是函数的极小值点, 函数 yf(x)的大致图象如图所示 由于 f(0)f(3)2, 1a2,所以 yf(x)a 的零点个数为 4. 6若函数 f(x)axa ex 1(a0)没有零点,则实数 a 的取值范围为 【答案】 :(e2,0) 【解
8、析】 :f(x)ae x(axa)ex e2x a(x2) ex (a0) 当 x2 时,f(x)2 时,f(x)0, 所以当 x2 时,f(x)有极小值 f(2) a e21. 若使函数 f(x)没有零点,当且仅当 f(2)a e210, 解得 ae2,因此e2a2,所以函数 f(x)不存在零点, 所以函数 f(x)不存在“折点”; 对于函数 f(x)lg |x2019|,取 x02019, 则函数 f(x)在(,2019)上有零点 x2020, 在(2019,)上有零点 x2018, 所以 x02019 是函数 f(x)lg |x2019|的一个“折点”; 对于函数 f(x)x 3 3x1
9、, 则 f(x)x21(x1)(x1) 令 f(x)0,得 x1 或 x1; 令 f(x)0,得1x1, 所以函数 f(x)在(,1)和(1,)上单调递增,在(1,1)上单调递减 又 f(1)1 30,所以函数 f(x)只有一个零点, 所以函数 f(x)x 3 3x1 不存在“折点”; 对于函数 f(x)x22mx1(xm)2m21, 由于 f(m)m211, 结合图象(图略)可知该函数一定有“折点” 综上,存在“折点”的函数是. 题型二题型二 利用导数研究不等式的有关问题利用导数研究不等式的有关问题 【题型要点】【题型要点】1利用导数证明不等式成立问题的常用方法 (1)直接将不等式转化成某个
10、函数最值问题 若证明 f(x)g(x),x(a,b),可以构造函数 F(x)f(x)g(x),如果 F(x)0,则 F(x)在(a,b)上是减函数,同 时若 F(a)0,由减函数的定义可知,x(a,b)时,有 F(x)0,即证明了 f(x)g(x)恒成立FxfxgxF(x)min0. (4) 任 意x1M , 任 意x2N , f(x1)g(x2) f(x1)ming(x2)max; 任 意x1M , 存 在x2N , f(x1)g(x2) f(x1)ming(x2)min;存在 x1M,存在 x2N,f(x1)g(x2) f(x1)maxg(x2)min;存在 x1M,任意 x2N,f(x1
11、)g(x2) f(x1)maxg(x2)max. 3.两个经典不等式的活用 逻辑推理是得到数学结论,构建数学体系的重要方式,是数学严谨性的基本保证利用两个经典不等式解 决其他问题,降低了思考问题的难度,优化了推理和运算过程 (1)对数形式:x1ln x(x0),当且仅当 x1 时,等号成立 (2)指数形式:exx1(xR),当且仅当 x0 时,等号成立 进一步可得到一组不等式链:exx1x1ln x(x0,且 x1) 【例【例 1】(2020 渭南模拟渭南模拟)设函数 f(x)(xa)2(3ln x3a)2,若存在 x0,使 f(x0) 9 10,则实数 a 的值为( ) A. 1 10 B.
12、1 4 C.1 2 D1 【答案】A 【解析】分别令 g(x)3ln x,h(x)3x, 设过点 P(x0,3ln x0)的函数 g(x)的切线 l 平行于直线 y3x. g(x)3 x,由 3 x03,解得 x01.切点 P(1,0) 点 P 到直线 y3x 的距离 d3 10 10 . 存在 x01,使 f(x0) 9 10, 过点 P 且与直线 y3x 垂直的直线方程为 y1 3(x1) 联立 y3x, y1 3x1, 解得 x 1 10,y 3 10. 则实数 a 1 10.故选 A. 【例 2】已知函数 f(x) 1 ln(x1)x,则 yf(x)的图象大致为( ) 【答案】B 【解
13、析】因为 f(x)的定义域为 x10, ln(x1)x0, 即x|x1,且 x0,所以排除选项 D. 当 x0 时,由经典不等式 x1ln x(x0), 以 x1 代替 x,得 xln(x1)(x1,且 x0), 所以 ln(x1)x1,且 x0),即 x0 或1x0 时均有 f(x)0), 则 h(x) x3x1 x2 .当 x(0,1) 时,h(x)0,函数 h(x)单调递增,所以 h(x)minh(1)4, 所以 ah(x)min4. 题组高效训练突破题组高效训练突破 1(2020 汕头一模汕头一模)函数 f(x)ln xa 的导数为 f(x),若方程 f(x)f(x)的根 x0小于 1
14、,则实数 a 的取值范围 为( ) A(1,) B(0,1) C(1, 2) D(1, 3) 【答案】A 【解析】 :.由函数 f(x)ln xa 可得 f(x)1 x, 因为 x0使 f(x)f(x)成立,所以 1 x0ln x0a, 又 0x01,ln x01. 2(2020 河南豫南九校联考河南豫南九校联考)设定义在(0,)上的函数 f(x)的导函数 f(x)满足 xf(x)1,则( ) Af(2)f(1)ln 2 Bf(2)f(1)1 Df(2)f(1)1f(x)1 x(ln x),即 f(x)(ln x)0.令 F(x) f(x)ln x,则 F(x)在(0,)上单调递增,故 f(2
15、)ln 2f(1)ln 1,即 f(2)f(1)ln 2. 3.已知 aR, 设函数 f(x) x22ax2a,x1, xaln x,x1. 若关于 x 的不等式 f(x)0 在 R 上恒成立, 则 a 的取值范围 为( ) A0,1 B0,2 C0,e D1,e 【答案】C 【解析】当 x1 时,由 f(x)x22ax2a0 恒成立,而二次函数 f(x)图象的对称轴为直线 xa,所以当 a1 时,f(x)minf(1)10 恒成立,当 a1 时,f(x)minf(a)2aa20,所以 0a1 时,由 f(x) xaln x0 恒成立,即 a x ln x恒成立设 g(x) x ln x,则
16、g(x) ln x1 ln x2 .令 g(x)0,得 xe,且当 1xe 时,g(x)e 时,g(x)0,所以 g(x)ming(e)e,所以 ae.综上,a 的取值范围是 0ae,即0,e故 选 C. 4已知函数 f(x)exln (x3),则下面对函数 f(x)的描述正确的是( ) Ax(3,),f(x)1 3 Bx(3,),f(x)1 2 Cx0(3,),f(x0)1 Df(x)min(0,1) 【答案】B 【解析】因为函数 f(x)exln (x3),定义域为(3,),所以 f(x)ex 1 x3,易知 f(x)的导函数 f(x) 在定义域(3,)上单调递增,又 f(1)0,所以 f
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