2021年高考数学(理)一轮复习题型归纳与训练 专题2.9 函数模型及其应用(教师版含解析)
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1、2021 年高考理科数学一轮复习:题型全归纳与高效训练突破年高考理科数学一轮复习:题型全归纳与高效训练突破 专题专题 2.9 函数模型及其应用函数模型及其应用 目录 一、题型全归纳 . 1 题型一 用函数图象刻画变化过程. 1 题型二 应用所给函数模型解决实际问题 . 2 题型三 构建函数模型解决实际问题. 4 命题角度一 构造一次函数、二次函数模型 . 5 命题角度二 构建指数函数、对数函数模型 . 6 命题角度三 构建函数 yaxb x(a0,b0)模型 . 7 命题角度四 构建分段函数模型 . 7 二、高效训练突破 . 8 一、题型全归纳一、题型全归纳 题型一题型一 用函数图象刻画变化过
2、程用函数图象刻画变化过程 【题型要点】【题型要点】判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法 (1)构建函数模型法:当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选图象 (2)验证法:当根据题意不易建立函数模型时,则根据实际问题中两变量的变化特点,结合图 象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选择出符合实际情况的答案. 【例【例 1】高为 H,满缸水量为 V 的鱼缸的轴截面如图所示,其底部破了一个小洞,满缸水从洞中流出,若鱼 缸水深为 h 时水的体积为 v,则函数 vf(h)的大致图象是( ) 【答案】B 【解析】当 hH 时,体积为 V,故排除 A,C;由
3、 H0 过程中,减少相同高度的水,水的体积从开始减 少的越来越快到越来越慢,故选 B. 【例例 2】一水池有两个进水口,一个出水口,每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示某天 0 点到 6 点, 该水池的蓄水量如图丙所示 给出以下 3 个论断: 0 点到 3 点只进水不出水; 3 点到 4 点不进水只出水; 4 点到 6 点不进水不出水, 则一定正确的是( ) A B C D 【答案】A 【解析】由甲、乙两图知,进水速度是出水速度的1 2,所以 0 点到 3 点不出水,3 点到 4 点也可能一个进水 口进水,一个出水口出水,但总蓄水量降低,4 点到 6 点也可能两个进水口进水,一个出水口出水,一
4、定正 确的是. 题型二题型二 应用所给函数模型解决实际问题应用所给函数模型解决实际问题 【题型要点】求解所给函数模型解决实际问题的关注点【题型要点】求解所给函数模型解决实际问题的关注点 (1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数 (2)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数 (3)利用该模型求解实际问题 【例【例 1】某商场从生产厂家以每件 20 元的价格购进一批商品,若该商品零售价定为 p 元,销售量为 Q 件, 则销售量 Q(单位:件)与零售价 p(单位:元)有如下关系:Q8 300170 pp2,则最大毛利润为(毛利润 销售收入进货支出)( ) A30 元 B60 元 C28 0
5、00 元 D23 000 元 【答案】D 【解析】设毛利润为 L(p)元,则由题意知 L(p)pQ20QQ(p20)(8 300170pp2)(p20)p3150p211 700p166 000, 所以 L(p)3p2300p11 700. 令 L(p)0,解得 p30 或 p130(舍去) 当 p(0,30)时,L(p)0,当 p(30,)时,L(p)0 且 a1, b0) 对数函数模型 f(x)blogaxc (a,b,c 为常数,a0 且 a1,b0) 幂函数模型 f(x)axnb(a,b,n 为常数,a0,n0) 2.三种函数模型性质比较三种函数模型性质比较 yax(a1) yloga
6、x(a1) yxn(n0) 在(0,)上的单调 性 增函数 增函数 增函数 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随 x 值增大, 图象与 y 轴接近平行 随 x 值增大, 图象与 x 轴接近平行 随 n 值变化而不同 3“对勾对勾”函数模型函数模型 形如 f(x)xa x(a0)的函数模型称为“对勾”函数模型: (1)该函数在(, a)和( a,)上单调递增,在 a,0)和(0, a 上单调递减 (2)当 x0 时,x a时取最小值 2 a,当 x200,两边同时取对数,得 n1lg 2lg 1.3 lg 1.12 ,又lg 2lg 1.3 lg 1.12 0.300.11 0
7、.05 3.8,则 n4.8,即 a5开始超过 200,所以 2020 年投入的研发资金开始超过 200 万元,故选 C. 命题角度三命题角度三 构建函数构建函数 yaxb x(a 0,b0)模型模型 【例【例 3】 】 (2019 青岛二中模拟青岛二中模拟某企业每年需要向自来水厂缴纳水费约 4 万元,为了缓解供水压力,决定安 装一个可使用 4 年的自动污水净化设备,安装这种净水设备的成本费(单位:万元)与管线、主体装置的占地 面积(单位:平方米)成正比,比例系数约为 0.2.为了保证正常用水,安装后采用净水装置净水和自来水厂供 水互补的用水模式假设在此模式下,安装后该企业每年向自来水厂缴纳的
8、水费 C(单位:万元)与安装的这 种净水设备的占地面积 x(单位:平方米)之间的函数关系是 C(x) k 50 x250(x0,k 为常数)记 y 为该企业 安装这种净水设备的费用与该企业 4 年共将消耗的水费之和 (1)试解释 C(0)的实际意义,并建立 y 关于 x 的函数关系式并化简; (2)当 x 为多少平方米时,y 取得最小值,最小值是多少万元? 【解析】(1)C(0)表示不安装设备时每年缴纳的水费为 4 万元, C(0) k 2504,k1000, y0.2x 1000 50 x250 40.2x 80 x5(x0) (2)y0.2(x5) 80 x512 0.2x5 80 x51
9、7,当 0.2(x5) 80 x5,即 x15 时,ymin7,故当 x 为 15 平方米时,y 取得最小值 7 万元 命题角度四命题角度四 构建分段函数模型构建分段函数模型 【例【例 4】某景区提供自行车出租,该景区有 50 辆自行车供游客租赁使用,管理这些自行车的费用是每日 115 元根据经验,若每辆自行车的日租金不超过 6 元,则自行车可以全部租出;若超过 6 元,则每超过 1 元, 租不出的自行车就增加 3 辆为了便于结算,每辆自行车的日租金 x(元)只取整数,并且要求租自行车一日 的总收入必须高于这一日的管理费用, 用 y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减
10、去管理费用后得到的部分) (1)求函数 yf(x)的解析式; (2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时,才能使一日的净收入最多? 【解析】 (1)当 x6 时,y50 x115, 令 50 x1150,解得 x2.3, 因为 x 为整数,所以 3x6,xZ. 当 x6 时,y503(x6)x1153x268x115. 令3x268x1150, 有 3x268x1150, 结合 x 为整数得 6x20,xZ. 所以 yf(x) 50 x115(3x6,xZ), 3x268x115(6x20,xZ). (2)对于 y50 x115(3x6,xZ), 显然当 x6 时,ymax185; 对于 y3x
11、268x1153 2 3 34 x811 3 (6x20,xZ), 当 x11 时,ymax270. 因为 270185,所以当每辆自行车的日租金定为 11 元时,才能使一日的净收入最多 二、高效训练突破二、高效训练突破 一、选择题一、选择题 1(2020 湖北荆、襄、宜联考湖北荆、襄、宜联考)某辆汽车每次加油都把油箱加满,表中记录了该车相邻两次加油时的情况 加油时间 加油量(升) 加油时累计里程(千米) 2018 年 10 月 1 日 12 35 000 2018 年 10 月 15 日 60 35 600 (注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程) 在这段时间内,该车每 100 千
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