2021年高考数学(理)一轮复习题型归纳与训练 专题2.5 指数与指数函数(教师版含解析)
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1、2021 年高考理科数学一轮复习:题型全归纳与高效训练突破年高考理科数学一轮复习:题型全归纳与高效训练突破 专题专题 2.5 指数与指数函数指数与指数函数 目录 一、题型全归纳 . 1 题型一 指数幂的化简与求值 . 1 题型二 指数函数的图象及应用 . 2 题型三 指数函数的性质及应用 . 4 命题角度一 比较指数幂的大小 . 4 命题角度二 解指数不等式 . 5 命题角度三 指数型复合函数的单调性 . 6 二、高效训练突破 . 7 一、题型全归纳一、题型全归纳 题型一题型一 指数幂的化简与求值指数幂的化简与求值 【题型要点】【题型要点】指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的,无括
2、号的先算指数运算 (2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数 (3)底数是小数,先化成分数;底数是带分数的,先化成假分数 (4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答 【提醒】运算结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又含有负指数,形式力求统一 【例【例 1】化简:(a2 5 a3) ( a 10 a9)_(用分数指数幂表示) 【答案】a6 5 【解析 (a2 5 a3) ( a 10 a9)(a2 a3 5) (a 1 2 a 9 10)a 13 5 a7 5a 13 5 7 5a 6 5. 【例【例 2】61 40.002 1 210 (
3、 52) 1 2 9 5 - (2)32 3的值为_ 【答案】18.25 【解析】原式 2 2 5 5001 210 ( 52)1(2 3)2 3 5 210 510 52012 22.5210.25 18.25. 【例【例 3】 】 若 x1 2x 1 23,则 x3 2x 3 22 x2x 23的值为_ 【答案】2 5 【解析】由 x1 2x 1 23,得 xx 129,所以 xx17,所以 x2x2249,所以 x2x247.因为 x3 2x 3 2(x 1 2x 1 2) 33(x1 2x 1 2)27918,所以原式 182 473 2 5. 题型二题型二 指数函数的图象及应用指数函
4、数的图象及应用 【题型要点】【题型要点】1准确把握指数函数图象的特征准确把握指数函数图象的特征 (1)画指数函数 yax(a0,且 a1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1), a 1 1- ,. (2)指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系 如图所示 其中 0cd1a1, 所以 f(x)在(,1上单调递减,在(1,)上单调递增,故排除 A,C,D. 【例【例 3】若关于 x 的方程|ax1|2a(a0,且 a1)有两个不等实根,则 a 的取值范围是_ 【答案】 : 2 1 0, 【解析】 :方程|ax1|2a(a0,且 a1)有两个不等实根转化为函数 y|ax1|与
5、 y2a 有两个交点 (1)当 0a1 时,如图,所以 02a1,即 0a1 2; (2)当 a1 时,如图,而 y2a1 不符合要求 所以 0a1 2. 题型三题型三 指数函数的性质及应用指数函数的性质及应用 命题角度一命题角度一 比较指数幂的大小比较指数幂的大小 【题型要点】比较幂值大小的常见类型及解决方法【题型要点】比较幂值大小的常见类型及解决方法 同底不同指 利用指数函数单调性进行比较 同指不同底 利用幂函数单调性进行比较 既不同底 又不同指 常常找到一个中间值,通过比较两个幂值与中间值的大小来判断两 个幂值的大小 【例【例 1】(2020 许昌四校联考许昌四校联考)设 a,b 满足
6、0ab1,则下列不等式中正确的是( ) Aaaab Bbabb Caaba Dbbab 【答案】C 【解析】指数函数 yax(0a1)为减函数,因为 ab,所以 aaab,A 错误;指数函数 ybx(0b1)为 减函数,因为 ab,所以 babb,B 错误;幂函数 yxa(0a1)在(0,)上为增函数,又 ab,所以 aaba,C 正确;由幂函数 yxb(0b1)在(0,)上为增函数,又 ab,所以 bbab,D 错误 【例【例 2】(2020 闽粤赣三省十校联考闽粤赣三省十校联考)已知 a2 4 3,b4 2 5,c25 1 3,则( ) Abac Babc Cbca Dcab 【答案】A
7、【解析】因为 a2 4 3,b4 2 52 4 5,由函数 y2x在 R 上为增函数知,ba;又因为 a2 4 34 2 3,c25 1 35 2 3由 函数 yx 2 3在(0,)上为增函数知,ac.综上得 ba0 的解集为_ 【答案】 :x|x4 或 x0 【解析】 :因为 f(x)为偶函数, 当 x0,则 f(x)f(x)2 x4. 所以 f(x) 2x4,x0, 2 x4,x0 时,有 x20, 2x 240或 x20, 解得 x4 或 x4 或 x0,且 a1)型函数最值问题多用换元法,即令 tax转化为 yt2btc 的最值问 题,注意根据指数函数求 t 的范围 (2)形如 yaf
8、(x)(a0,且 a1)型函数最值问题,可令 tf(x),则 yat,先由 x 的取值范围求 t 的取值范围, 再求 yat的最值 2对于形如对于形如 yaf(x)的函数的单调性的函数的单调性 (1)若 a1,函数 f(x)的单调增(减)区间即函数 yaf(x)的单调增(减)区间; (2)若 0a1,函数 f(x)的单调增(减)区间即函数 yaf(x)的单调减(增)区间 【例【例 4】已知函数 f(x)2|2x m|(m 为常数),若 f(x)在区间2,)上是增函数,则 m 的取值范围是_ 【答案】(,4 【解析】 令 t|2xm|,则 t|2xm|在区间 , 2 m 上单调递增,在区间 2
9、- m ,上单调递减而 y 2t为 R 上的增函数,所以要使函数 f(x)2|2x m|在2,)上单调递增,则有m 22,即 m4,所以 m 的取值 范围是(,4 【例【例 5】已知函数 f(x) 34 2 3 1 xax . (1)若 a1,求 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)有最大值 3,求 a 的值; (3)若 f(x)的值域是(0,),求 a 的值 【解】(1)当 a1 时,f(x) 34- 2 3 1 xx , 令 ux24x3(x2)27. 则 u 在(,2)上单调递增,在(2,)上单调递减,而 y u 3 1 在 R 上单调递减, 所以 f(x)在(,2)上单调递减,在(
10、2,)上单调递增,即函数 f(x)的单调递增区间是(2,),单 调递减区间是(,2) (2)令 h(x)ax24x3,f(x) )( 3 1 xh , 由于 f(x)有最大值 3,所以 h(x)应有最小值1, 因此必有 a0, 12a16 4a 1, 解得 a1, 即当 f(x)有最大值 3 时,a 的值为 1. (3)由 f(x)的值域是(0,)知,ax24x3 的值域为 R,则必有 a0. 二、高效训练突破二、高效训练突破 一、选择题一、选择题 1.(2020 上饶摸底上饶摸底)已知 a20.4,b90.2,c(43)3,则( ) Aabc Bacb Ccab Dcba 【答案】A 【解析
11、】因为 c(43)333 43 0.7530.4,b90.230.4,所以 bc,又 20.430.4,即 ab,所以 abc. 2(2020 宜宾模拟宜宾模拟)若函数 f(x)2 ax mn(a0 且 a1)的图象恒过定点(1,4),则 mn( ) A3 B1 C1 D2 【答案】C 【解析】因为函数 f(x)2 ax mn(a0 且 a1)的图象恒过定点(1,4),所以1m0,且 2 a0n4.解 得 m1,n2,所以 mn1. 3.(2019 高考全国卷高考全国卷)已知 alog20.2,b20.2,c0.20.3,则( ) Aabc Bacb Ccab Dbca 【答案】B. 【解析】
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