2021年高考数学(理)一轮复习题型归纳与训练 专题2.2 函数的单调性与最值(教师版含解析)
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1、2021 年高考理科数学一轮复习:题型全归纳与高效训练突破年高考理科数学一轮复习:题型全归纳与高效训练突破 专题专题 2.2 函数的单调性与最值函数的单调性与最值 目录 一、题型全归纳 . 1 题型一 确定函数的单调性(区间) . 1 题型二 求函数的最值(值域) . 3 题型三 函数单调性的应用 . 5 命题角度一 比较大小 . 5 命题角度二 解函数不等式 . 6 命题角度三 根据函数的单调性求参数 . 6 二、高效训练突破 . 7 一、题型全归纳一、题型全归纳 题型一题型一 确定函数的单调性确定函数的单调性(区间区间) 【题型要点】【题型要点】 1确定函数单调性(区间)的三种常用方法 (
2、1)定义法:一般步骤:任取 x1,x2D,且 x10,得 x4 或 x0 时,f(x)0,当 a0, 即当 a0 时,f(x)在(1,1)上为单调递减函数, 当 a0,1sinx1 等)确定函数的值域 (5)分离常数法:形如求 ycxd axb(ac0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解 【例【例 1】函数 f(x)2a x2020 ax1 的值域为_ 【答案】 (2020,2) 【解析】解法一:解法一:f(x)2a x2020 ax1 2a x12022 ax1 2 2022 ax1, 因为 ax0,所以 ax11,所以 0 2022 ax12022, 所以20202 2022 ax12,
3、 故函数 f(x)的值域为(2020,2) 解法二:解法二:令 yf(x)2a x2020 ax1 ,得 y axy2ax2020, 所以(y2)axy2020,axy2020 y2 , 由 ax0 得y2020 y2 0,故2020y2, 所以函数 f(x)2a x2020 ax1 的值域为(2020,2) 【例【例 2】对于任意实数 a,b,定义 mina,b a,ab, b,ab. 设函数 f(x)x3,g(x)log2x,则函数 h(x) minf(x),g(x)的最大值是_ 【答案】 :1 【解析】 :法一:在同一直角坐标系中, 作出函数 f(x),g(x)的图象, 依题意,h(x)
4、的图象如图所示 易知点 A(2,1)为图象的最高点, 因此 h(x)的最大值为 h(2)1. 法二:依题意,h(x) log2x,0 x2, x3,x2. 当 0 x2 时,h(x)log2x 是增函数, 当 x2 时,h(x)3x 是减函数, 所以 h(x)在 x2 处取得最大值 h(2)1. 题型三题型三 函数单调性的应用函数单调性的应用 命题角度一命题角度一 比较大小比较大小 【题型要点】【题型要点】比较函数值的大小,应将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决 【例【例 1】(2019 郑州模拟郑州模拟)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)f(x),且函数 f
5、(x)在(,0)上是减函数, 若 af(1),b 4 1 log2f,cf(20.3),则 a,b,c 的大小关系为( ) Acba Bacb Cbca Dabc 【答案】 B 【解析】 函数 f(x)满足 f(x)f(x),cf(20.3)f(20.3)120.32,120.32,即1 20.3log21 4.函数 f(x)在(,0)上是减函数,f(1)f(2 0.3)f 4 1 log2f,即 acb. 命题角度二命题角度二 解函数不等式解函数不等式 【题型要点】【题型要点】在求解与抽象函数有关的不等式时,往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉,使其转化为具 体的不等式求解此时应特别注意函
6、数的定义域 【例【例 2】已知函数 f(x) x3,x0, ln(x1),x0,若 f(2x 2)f(x),则实数 x 的取值范围是( ) A(,1)(2,) B(,2)(1,) C(1,2) D(2,1) 【答案】 D 【解析】 因为当 x0 时,两个表达式对应的函数值都为零,所以函数 f(x)的图象是一条连续的曲线 因为当 x0 时,函数 f(x)x3为增函数, 当 x0 时,f(x)ln(x1)也是增函数, 所以函数 f(x)是定义在 R 上的增函数 因此,不等式 f(2x2)f(x)等价于 2x2x, 即 x2x20,解得2x1. 命题角度三命题角度三 根据函数的单调性求参数根据函数的
7、单调性求参数 【题型要点】【题型要点】视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比 较求参数 【例【例 3】(2020 南京调研南京调研)已知函数 f(x)xa x a 2在(1,)上是增函数,则实数 a 的取值范围是_ 【解析】 法一:设 1x11. 因为函数 f(x)在(1,)上是增函数, 所以 f(x1)f(x2)x1 a x1 a 2 01 2 21 21 2 2 xx a xx a x a x 因为 x1x20,即 ax1x2. 因为 1x11,所以x1x21,所以 a1. 所以 a 的取值范围是1,) 法二:由 f(x)xa x a 2得 f(x
8、)1 a x2, 由题意得 1a x20(x1), 可得 ax2,当 x(1,)时,x21. 所以 a 的取值范围是1,) 二、高效训练突破二、高效训练突破 一、选择题一、选择题 1.(2020 河南鹤壁高中月考河南鹤壁高中月考)若函数 yax 与 yb x在(0,)上都是减函数,则 yax 2bx 在(0,)上是 ( ) A增函数 B减函数 C先增后减 D先减后增 【答案】B 【解析】 yax 与 yb x在(0, )上都是减函数, a0, b0, yax 2bx 的对称轴方程 xb 2a1. 3.已知函数 f(x)的图象关于直线 x1 对称,当 x2x11 时,f(x2)f(x1)(x2x
9、1)ab Bcba Cacb Dbac 【答案】 D 【解析】 因为 f(x)的图象关于直线 x1 对称 所以 f 2 1 -f 2 5 .当 x2x11 时, f(x2)f(x1) (x2x1)0 恒成立, 知 f(x)在(1,)上单调递减因为 125 2f 2 5 f(e),所以 bac. 4.(2020 武汉模拟武汉模拟)若函数 f(x)2|xa|3 在区间1,)上不单调,则 a 的取值范围是( ) A1,) B(1,) C(,1) D(,1 【答案】B. 【解析】 :因为函数 f(x)2|xa|3 2x2a3,xa 2x2a3,xa,因为函数 f(x)2|xa|3 在区间1,)上不 单
10、调,所以 a1.所以 a 的取值范围是(1,)故选 B. 5定义在2,2上的函数 f(x)满足(x1x2) f(x1)f(x2)0,x1x2,且 f(a2a)f(2a2),则实数 a 的取 值范围为( ) A1,2) B0,2) C0,1) D1,1) 【答案】C 【解析】 :因为函数 f(x)满足(x1x2)f(x1)f(x2)0,x1x2, 所以函数 f(x)在2,2上单调递增, 所以22a2a2a2,解得 0a1,故选 C. 6.(2019 安徽合肥模拟安徽合肥模拟)若 2x5y2 y5x,则有( ) Axy0 Bxy0 Cxy0 Dxy0 【答案】 B 【解析】 原不等式可化为 2x5
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