2021届高考数学考前20天终极冲刺模拟试卷（13）含答案

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1、考前考前 20 天终极冲刺高考模拟考试卷（天终极冲刺高考模拟考试卷（13） 一、一、选择题：本题共选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。求的。 1（5 分）已知集合 2 |20Mx xx， 2N ，0，1，2，5，则 (MN ) A0 ，1 B 2 ，5 C 2 ，2，5 D0，1，2 2（5 分）已知复数 2 4 ai bi i ，a，bR，则(ab ) A2 B2 C4 D6 3（5 分）公元前十一世纪，周朝数学家商高就提出“勾三、股四、弦五”周髀算经

2、中记录着商高 同周公的一段对话商高说：“故折矩，勾广三，股修四，径隅五”大意为“当直角三角形的两条直角 边分别为 3（勾)和 4（股)时，径隅（弦)则为 5”以后人们就把这个事实说成“勾三股四弦五”，根据 该典故称勾股定理为商高定理勾股数组是满足 222 abc的正整数组(a，b， )c若在不超过 10 的正整 数中，随机选取 3 个不同的数，则能组成勾股数组的概率是( ) A 1 10 B 1 5 C 1 60 D 1 120 4（5 分）已知 6 sin() 123 ，则 5 cos()( 12 ) A 3 3 B 6 3 C 3 3 D 6 3 5（5 分）设 6 log 4a ，2bl

3、n， 0.2 c，则( ) Aab c Bbac Ccba Dcab 6 （5 分） 已知抛物线 2 :8C yx的焦点为F，P为C在第一象限上一点， 若PF的中点到y轴的距离为 3， 则直线PF的斜率为( ) A2 B2 2 C2 D4 7（5 分）面对全球蔓延的疫情，疫苗是控制传染的最有力技术手段，科研攻关组第一时间把疫苗研发作 为重中之重，对灭活疫苗、重组蛋白疫苗、腺病毒载体疫苗、减毒流感病毒载体疫苗和核酸疫苗 5 个技术 路线并行研发，组织了 12 个优势团队进行联合攻关，其中有 5 个团队已经依据各自的研究优势分别选择了 灭活疫苗、重组蛋白疫苗、腺病毒载体疫苗、减毒流感病毒载体疫苗和

4、核酸疫苗这 5 个技术路线，其余团 队作为辅助技术支持进驻这 5 个技术路线，若保障每个技术路线至少有两个研究团队，则不同的分配方案 的种数为( ) A14700 B16800 C27300 D50400 8（5 分）太极图被称为“中华第一图”从孔庙大成殿梁柱，到老子楼观台、三茅宫、白云观的标记物； 到中医、气功、武术及中国传统文化的书刊封面、会徽、会标，这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两 鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”已知函数 1,0 ( )0,0 1,0 x sgn xx x ，则以下图形中，阴影部分可 以用不等式组 22 22 4 ( )1 0 xy x xysgn x 表

5、示的是( ) A B C D 二、二、选择题：本题共选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。 全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的对分，部分选对的对 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。 9（5 分）某网络销售平台，实施对口扶贫，销售某县扶贫农产品根据 2020 年全年该县扶贫农产品的销 售额（单位：万元）和扶贫农产品销售额占总销售额的百分比，绘制了如图的双层饼图根据双层饼图（季 度和月份后面标注的是销售额或销售额占总销售额的百分比），下列说法正确

6、的是( ) A2020 年的总销售额为 1000 万元 B2 月份的销售额为 8 万元 C4 季度销售额为 280 万元 D12 个月的销售额的中位数为 90 万元 10（5 分）将函数 ( )2cosf xx 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再将得到的图象 向左平移个单位长度，得到函数 ( )g x的图象，则下列说法正确的有( ) A ( )g x为奇函数 B ( )g x的周期为4 Ca R ，都有()()g xgx D ( )g x在区间 24 , 33 上单调递增，且最小值为 3 11（5 分）已知函数( ) x f xealnx，其中正确结论的是( ) A当1a

7、 时， ( )f x有最大值 B对于任意的0a ，函数 ( )f x是(0,)上的增函数 C对于任意的0a ，函数 ( )f x一定存在最小值 D对于任意的0a ，都有 ( )0f x 12 （5 分）提丢斯波得定律是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则，它是在 1766 年由德国的 一位中学老师戴维斯提丢斯发现的， 后来被柏林天文台的台长波得归纳成一条定律， 即数列 :0.4 n a ， 0.7， 1，1.6，2.8，5.2，10，19.6，表示的是太阳系第n颗行星与太阳的平均距离（以天文单位AU为单 位）现将数列 n a 的各项乘 10 后再减 4，得到数列 n b ，可以发现数列

8、n b 从第 3 项起，每项是前一项 的 2 倍，则下列说法正确的是( ) A数列 n b 的通项公式为 2 3 2n n b B数列 n a 的第 2021 项为 2020 0.3 20.4 C数列 n a 的前n项和 1 0.40.3 20.3 n n Sn D数列 n nb 的前n项和 1 3(1) 2n n Tn 三、填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13（5 分）正态分布在概率和统计中占有重要地位，它广泛存在于自然现象、生产和生活实践中，在现实 生活中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布在某次大型联考中，所有学生的数学成绩

9、 (100,225)XN 若成绩低于10m的同学人数和高于220m的同学人数相同，则整数m的值为 14（5 分）若平面向量 (1, 2)a ，| 3b ，则|ab的最小值为 15（5 分）已知双曲线 2 2 2 :1 y C x b 的左、右焦点分别为 1 F、 2 F，直线l过 2 F与双曲线C的左、右两支 分别交于A、B两点，已知 12 90F AF，且 1 ABF 内切圆半径为 1，则| |AB 16（5 分）某中学开展劳动实习，学习加工制作模具，有一个模具的毛坯直观图如图所示，是由一个圆柱 体与两个半球对接而成的组合体，其中圆柱体的底面半径为 1，高为 2，半球的半径为 1现要在该毛坯

10、的 内部挖出一个中空的圆柱形空间，该中空的圆柱形空间的上下底面与毛坯的圆柱体底面平行，挖出中空的 圆柱形空间后模具制作完成，则该模具体积的最小值为 四、四、解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17（10 分）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 3 coscos 5 aBbAc （1）求 tan tan A B 的值； （2）若点D为边AB的中点，10AB ，5CD ，求BC的值 18（12 分）已知等比数列 n a ，其前n项和为 n S，若 1 a ， 1 2

11、nn aS ，R，*nN （1）求的值； （2）设 1 2 (1)(1) n n nn a b aa ，求使 12 2020 2021 n bbb 成立的最小自然数n的值 19（12 分）95N型口罩，指可以对空气动力学直径物理直径为0.075 0.020mm 的颗粒的过滤效率达 到 0.95 以上的口罩疫情发生后，全国95N型口罩市场供应紧缺某医疗科技有限公司立即扩大产能，在 原来A生产线的基础上，增设B生产线，为疫情防控一线供应医用95N口罩为了监控口罩生产线的生产 过程，检验员每天需要从两条生产线上分别随机抽取口罩检测过滤效率公司规定过滤效率大于 0.970 的产 品为一等品，并根据检验

12、员抽测产品中一等品的数量对两条生产线进行评价下面是该检验员某一天抽取 的 20 个口罩的过滤效率值： A生产线口罩过滤效率 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 过滤效 率 0.958 0.967 0.964 0.976 0.956 0.973 0.965 0.968 0.972 0.973 B生产线口罩过滤效率 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 过滤效 率 0.978 0.982 0.974 0.966 0.976 0.982 0.977 0.974 0.976 0.972 （1）根据检验员抽测的数据，完成下面的22列联表，并判断是否有95%的把握认为生产线与所生产的

13、 产品为一等品有关？ 生产线 产品是一等品 产品不是一等品 总计 A B 总计 （2）将检验员抽测产品中一等品的频率视为概率，从A，B两条生产线生产的产品中各抽取 1 件，设X为 其中一等品的件数，求X的分布列及数学期望 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，其中nabcd 2 0 ()P Kk 0.050 0.010 0.001 0 k 3.841 6.635 10.828 20在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，2 3ABBDDA ，2BCCD （1）求证：平面PAC 平面PBD； （2）若直线CD与平面PBC所成角的正弦值为 3 4 ，求平

14、面PCD与平面PBC所成锐二面角的余弦值 21（12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F， 2 63 (,) 33 P 满足 12 | 2PFPFa ，且以线段 12 F F为直径的圆过点P （1）求椭圆C的标准方程； （2）O为坐标原点，若直线l与椭圆C交于M，N两点，直线OM的斜率为 1 k，直线ON的斜率为 2 k，当 OMN的面积为定值 1 时， 12 k k是否为定值？若是，求出 12 k k的值；若不是，请说明理由 22（12 分）已知函数 22 13 ( )()21 24 f xxax lnxxax，(0,)x （1）讨

15、论函数 ( )yf x 的单调性； （2）若ae，求证： 2 ( )(1) a fxea 考前考前 20 天终极冲刺高考模拟考试卷（天终极冲刺高考模拟考试卷（13）答案）答案 1解： |1Mx x 或2x ， 2N ，0，1，2，5， 2MN ，5 故选：B 2解： 2 4 ai bi i ， 2(4)4aiibibi ， 则4a ，2b ，故6ab 故选：D 3解：在不超过 10 的正整数中，随机选取 3 个不同的数， 基本事件总数 3 10 120nC， 能组成勾股数组的有：(3，4，5)，(6，8，10)，共 2 个， 则能组成勾股数组的概率是 21 12060 p 故选：C 4解：因为

16、 6 sin() 123 ， 则 56 cos()cos()sin() 12122123 故选：B 5解：由题意可知 6 422 log 4 66 lnln a lnln ， 2 2222 2 2 lnln bln lnelne ， 2 6e， 2 6lnlne， 2 2 22 2 6 lnln lnlne ，即ab， 66 log 4log 61a ， 1ba， 0.20 1c， cab ， 故选：B 6解：由抛物线的方程可得焦点 (2,0)F ，设 ( , )P m n，0n ， 可得PF的中点的横坐标 2 2 m ，由题意可得 2 3 2 m ，所以4m ， 将4m 代入抛物线的方程可得

17、： 2 8 4n ，可得4 2n ， 即 (4P ，4 2)，所以 4 2 2 2 42 k ， 故选：B 7解：根据题意，分 2 步进行分析： 将没有选择技术路线的 7 个团队分成 5 组， 若分为3 1 1 1 1 的五组，有 3 7 35C 种分组方法， 若分为22 1 1 1 的五组，有 22111 75321 23 23 105 C C C C C A A 种分组方法， 则有35105140种分组方法， 将分好的五组安排到已经选择技术路线的五个团队工作，有 5 5 120A 种情况， 则有140 12016800种安排方法， 故选：B 8解：不等式组表示的平面区域为 22 22 22

18、2222 004 ,|,|,|4 (1)1(1)11 0 xxxy x yx yx yxy xyxyx xysgn x 剠 故选：B 9解：对于A，根据双层饼图得 1 季度和 2 季度的销售额和为160 260420万元， 1 季度和 2 季度销售额占总销售额的百分比之和为：100% (28%30%)42% ， 2020年的总销售额为： 420 1000 42% （万元），故A正确； 对于B，2 月份销售额为： 160 1000(100%5%6%)50 1000 （万元），故B错误； 对于C，4 季度销售额为100028%280（万元），故C正确； 对于D，根据双层饼图得 12 个月的销售额从

19、小到大为（单位：万元）:50，50，60，60，60，80，90，100， 100，110，120，120， 12个月的销售额的中位数为： 1 (8090)85 2 （万元），故D错误 故选：AC 10解：函数 ( )2cosf xx 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变， 可得 1 2cos 2 yx 的图像， 再将得到的图象向左平移个单位长度，得到函数( ) 2cos2sin 22 xx g x 的图象， 对于 : ()2sin()2sin( ) 22 xx A gxg x ，故A正确； 对于B：由于 1 2 ，所以4T，故B正确； 对于C：由于x 时，函数取得最小值， 故

20、函数关于x 对称，故 ()()g xgx ，故C正确； 对于 : ( )D g x在区间 2 , 3 x 上单调递减，在 4 , 3 x 单调递增，故D错误 故选：ABC 11解：当1a 时，( ) x f xelnx，易知函数 ( )f x在(0,)上单调递增，无最大值，故A错误， 对于任意的0a ，函数 ( )f x是(0,)上的增函数， 当0 x 时，1 x e ，lnx ，故 ( )f x ，故B正确，D错误， 对于任意的0a ， ( ) x a fxe x ，易知 ( )fx 在(0, )单调递增， 当x时， ( )f x ，当0 x 时， ( )f x ， 存在 0 ()0fx ，

21、 当 0 0 xx时，( )0fx，函数单调递减， 0 xx ，( )0fx ，函数单调递增， 0 ( )() min f xf x ， 故C正确， 故选：BC 12解：数列 n a 各项乘 10 再减 4 得到数列 :0 n b ，3，6，12，24，48，96，192， 故该数列从第 2 项起构成公比为 2 的等比数列， 所以 2 0,1 3 2,2 nn n b n ，故选项A错误； 所以 1 0.4,14 0.3 20.4,210 n nn nb a n ， 所以 2019 2021 0.3 20.4a，故选项B错误； 当1n 时， 11 0.4Sa ， 当2n时， 012 123 0

22、.40.3 (222)0.4(1) n nn Saaaan 1 1 12 0.40.30.40.3 20.3 12 n n nn ， 当1n 时， 1 0.4S 也适合上式， 所以 1 0.40.3 20.3 n n Sn ，故选项C正确； 因为 2 0,1 32,2 nn n nb nn ， 所以当1n 时， 11 0Tb ， 当2n时， 0122 123 2303 (2 23 24 22) n nn Tbbbnbn ， 则 1231 23 (2 23 24 22) n n Tn ， 所以可得， 1221 03 (22222) nn n Tn 1 11 22 3(22)3(1) 2 12 n

23、 nn nn ， 所以 1 3(1) 2n n Tn ， 又当1n 时， 1 T也适合上式， 所以 1 3(1) 2n n Tn ，故选项D正确 故选：CD 13解：由 (100,225)XN ，可知正态分布曲线的对称轴为 100 ， 若成绩低于10m的同学人数和高于220m的同学人数相同， 则 (10)(220)P XmP Xm ， (10)(220) 100 2 mm ，解得70m 故答案为：70 14解：|5,| 3ab， 22 |2596 5cos,ababa ba b， cos,1a b时，|ab 取最小值 146 535 故答案为：35 15解：双曲线 2 2 2 :1 y C x

24、 b 的1a ， 设 1 |AFm ， 1 |BFn ， 由双曲线的定义可得 21 | | 22AFAFam ， 21 | | 22BFBFan ， 22 |4ABAFBFmn ， 由切线长定理可得直角三角形的内切圆的半径为两直角边的和与斜边的差的一半， 所以，在直角三角形 1 ABF中， 11 11 (|)(4)1 22 ABAFBFmnmn， 可得1mn ， 所以| |143AB 故答案为：3 16解：设中空圆柱的底面半径为r，圆柱的高为2 (02)hh ， 则 22 ( )1 2 h r ， 2 2 1 4 h r ， 中空圆柱的体积 2 2(2 )(1)(2) 4 h Vrhh 2 3

25、 (1) 4 Vhh ，可得当 2 (0, ) 3 h 时，0V ，当 2 (3h ，2)时，0V ， 则当 2 3 h 时，V取得最大值为 64 27 ， 又毛坯的体积为 23 410 121 33 ， 该模具体积的最小值为10 6426 32727 故答案为： 26 27 17解：（1）由正弦定理知， sinsinsin abc ABC ， 3 coscos 5 aBbAc ， 333 sincossincossinsin()(sincoscossin) 555 ABBACABABAB ， 化简得， 28 sincoscossin 55 ABAB ， tan4tanAB，即 tan 4 t

26、an A B （2）作CEAB于E， tan,tan CECE AB AEBE ， tan 4 tan ABE BAE ，即 4BEAE， 点D为边AB的中点，且10AB ， 5BDAD，2AE ，3DE ， 在Rt CDE中， 2222 534CECDDE ， 在Rt BCE中，8BEBDDE， 2222 844 5BCBECE 18解：（1）根据题意，由通用公式可得，当2n时， 1 1 2 2 nn nn aS aS ， 可得， 11 (1) nnnnn aaaaa ， 数列 n a 是公比为1的等比数列， 又因为 1 a ，由得到 2 21 22aa， 2 2 12 （2）由（1）可知，

27、数列 n a 是以 2 为首项，3 为公比的等比数列，即得 1 2 3n n a ， 则 1 11 1 24 311 (1)(1)(2 31)(2 31)2 312 31 n n n nnnn nn a b aa ， 123n bbbb 021 111111 ()()() 2 312 3 12 3 12 312 312 31 nn 1 1 2 31 n 12020 1310117 2 312021 n n n 故可得满足题意的最小自然数为7n 19解：（1）由题意可得22列联表如下： 生产线 产品是一等品 产品不是一等品 总计 A 4 6 10 B 9 1 10 总计 13 7 20 则 2

28、2 20(4 16 9) 5.4953.841 10 10 13 7 K ， 所以有95%的把握认为生产线与所生产的产品为一等品有关 （2）由题意可得X的所有可能取值为 0，1，2， 613 (0) 101050 P X ， 694129 (1) 1010101050 P X ， 499 (2) 101025 P X ， 所以X的分布列为： X 0 1 2 P 3 50 29 50 9 25 3299 ()0121.3 505025 E X 20（1）证明：连接AC， 2 3ABBDDA， 2BCCD， ABD为等边三角形，BCD为等腰三角形， ACBD， PA平面ABCD，BD平面ABCD，

29、 PABD， 又AC PAA ，AC、PA平面PAC， BD平面PAC， BD平面PBD， 平面PAC 平面PBD （2）解：以A为原点，AD，AP为y、z轴，在平面ABCD内，作Ax 面PAD，建立如图所示的空间直 角坐标系， 设 (0)PAa a ，则 (0P ，0， )a，(3B ，3，0)， (2C ，2 3，0)， (0D ，2 3，0)， ( 2CD ，0，0)，( 1BC ，3，0)，(2PC ，2 3， )a ， 设平面PBC的法向量为 (mx ，y，) z，则 0 0 m BC m PC ，即 30 22 30 xy xyaz ， 令 1y ，则3x ， 4 3 z a ，(

30、 3m ，1， 4 3) a ， 直线CD与平面PBC所成角的正弦值为 3 4 ， |cosCD， 2 2 33 | | | 4| | 4 3 231() CD m m CDm a ， 解得2a 或2（舍负）， (2PC ，2 3， 2) ，( 3m ，1，2 3)， 同理可得，平面PCD的法向量 (0n ，1，3)， cosm， 167 | |83 1 122 m n n mn ， 故平面PCD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为 7 8 21解：（1）设 1( ,0)Fc ， 2( ,0) F c 以线段 12 F F为直径的圆过点P，所以 12 PFPF 所以 12 2 632 6 (,)

31、 ( 333 PF PFcc ， 3) 00 3 ， 所以3c ，所以 22 3ab 将 2 63 (,) 33 P 代入 22 22 1(0) xy ab ab ， 解得 2 4a ， 2 1b ， 所以椭圆C的标准方程为 2 2 1 4 x y （2）当直线MN的斜率不存在时，设直线MN的方程为x m ， 设 0 ( ,)M m y， 0 ( ,)N my ，则 2 2 0 1 4 m y， 又 0 1 2| 1 2 OMN Sym ，所以 22 0 1m y ， 由解得 22 0 1 2, 2 my ，所以 2 000 12 2 1 4 yyy k k mmm ， 当直线MN的斜率存在时

32、，设直线MN的方程为y kxm ， 1 (M x， 1) y， 2 (N x， 2) y ， 联立 2 2 1 4 x y ykxm ，得 222 (41)8440kxkmxm， 22 6416160km， 所以 2 1212 22 844 , 1414 kmm xxx x kk ， 所以 22 22 12121212 2 4 ()()() 14 mk y ykxm kxmk x xkm xxm k ， 所以 22 12 12 2 12 4 44 y ymk k k x xm ， 又 222222 2222 12 2 82 6416(1)(14)41 |1|14 1 (14)14 k mmkk

33、m MNkxxkk kk ， 点O到直线MN的距离 2 | 1 m d k ， 所以 2222 2 22 2 11|412|41 |4 11 221414 1 ONN mkmmkm SdMNk kk k ， 即 42222 44(41)(41)0mkmk， 解得 2 2 14 2 k m ， 代入式，得 2 2 22 12 12 22 12 14 4 41 2 14444 44 2 k k y ymk k k kx xm 综上可知，当OMN的面积为定值 1 时， 12 k k是定值 1 4 22解：（1） ( )f x的定义域是(0,)， ( )()()(1)fxxa lnxxaxa lnx

34、， 当0a，令 ( )0fx ，解得：xe，令 ( )0fx ，解得：xe， 故 ( )f x在(0, ) e递减，在( ,)e 递增， 当0ae，令 ( )0fx ，解得：xe或xa，令 ( )0fx ，解得：axe， 故 ( )f x在(0, )a递增，在( , )a e递减，在( ,)e 递增， 当a e 时，令 ( ) 0fx恒成立， 故 ( )f x在(0,)递增，无递减区间， 当ae，令 ( )0fx ，解得：xa或xe，令 ( )0fx ，解得：exa， 故 ( )f x在(0, ) e递增，在( , )e a递减，在( ,)a 递增， 综上：当0a， ( )f x在(0, )

35、e递减，在( ,)e 递增， 当0ae， ( )f x在(0, )a递增，在( , )a e递减，在( ,)e 递增， 当a e 时，故 ( )f x在(0,)递增，无递减区间， 当ae， ( )f x在(0, ) e递增，在( , )e a递减，在( ,)a 递增； （2）证明：令 ( )( )g xfx ，则 ( ) a g xlnx x ， ae，( )g x 在(0, )上单调递增， g（e）10 a e ， () ()0 a a aa aa ea g ea ee ， 设( ) x xex，0 x ，则( )10 x xe ， ( )x 递增， ()(0)10a ，即0 a ea， 0

36、 ( ,) a xe e，使得 0 ()0g x ，即 00 ax lnx ， 且当 0 (0,)xx 时， ( )0g x ， 0 (xx ， )时，( )0g x ， ( )fx 在 0 (0,)x 递减，在 0 (x，)递增， 2 000000000 ( )()()(1)()(1)(1) min f xf xxa lnxxx lnxlnxx lnx ， 设 2 ( )(1)h xx lnx，( ,) a xe e， 则 22 1 ( )(1)2 (1)10h xlnxx lnxln x x ， ( )h x 在( ,) a e e上单调递减， 2 0 ( )()()(1) aa min fxh xh eea ，原命题成立