2021届高考数学考前20天终极冲刺模拟试卷（14）含答案

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1、考前考前 20 天终极冲刺高考模拟考试卷（天终极冲刺高考模拟考试卷（14） 一、一、选择题：本题共选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。求的。 1已知集合 | 24Axx ， |010BxZx ，则A B的子集个数为( ) A4 B6 C8 D9 2已知复数 22 cossin 33 zi ，其中i是虚数单位，则下列结论正确的是( ) A 2 z的共轭复数为z B 2 z的实部为 1 C 2 1zz D 2 | 2z 3已知等差数列 n a 中， 214

2、18aa ， 2 3a ，则 10 (a ) A10 B11 C12 D13 4已知双曲线 22 22 1 xy ab 的离心率为2，则其渐近线方程为( ) Ay x B2yx C3yx D 2yx 5设0 x ， 0y ，则“ 1xy ”是“ 1 4 xy ”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 6我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中得到了世界领先的成果哥德巴赫猜想如下：每个大于 2 的 偶数都可以表示为两个素数的和，如20713在不超过 20 的素数中，随机选取 2 个不同的数，则这 2 个数的和是奇数的概率是( ) A 3 14 B

3、1 4 C 3 8 D 5 14 7已知锐角ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 sin(sinsin)aAbBC ，则 c b 的取值范 围为( ) A(1,2) B(1,3) C(2,3) D1，2 8已知三角形ABC的三个顶点在球O的球面上， ABC的外接圆圆心为M，外接圆面积为4，且 2ABBCACMO，则球O的表面积为( ) A48 B36 C32 D28 二、二、选择题：本题共选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。 全部选对的得全部选对的得

4、 5 分，部分选对的对分，部分选对的对 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。 9Keep是一款具有社交属性的健身APP，致力于提供健身教学、跑步、骑行、交友及健身饮食指导、装 备购买等 站式运动解决方案Keep可以让你随时随地进行锻炼，记录你每天的训练进程不仅如此， 它还可以根据不同人的体质，制定不同的健身计划小吴根据Keep记录的 2019 年 1 月至 2019 年 11 月期 间每月跑步的里程（单位：十公里）数据整理并绘制了下面的折线图根据该折线图，下列结论正确的是( ) A月跑步里程逐月增加 B月跑步里程最大值出现在 10 月 C月跑步里程的中位数为 5 月份对应的里程数 D

5、1 月至 5 月的月跑步里程相对于 6 月至 11 月波动性更小 10已知点 (4,0)Q ，过圆 22 (4)16xy上的一动点P作圆 22 (4)4xy的两条切线PA、PB，切点分 别为A、B，两个切点A、B之间的线段AB称为切点弦则下列结论正确的是( ) APQ AB B| 2 3PA C| | 3AB D四边形APBQ的面积为4 3 11 如图， 矩形BDEF所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直， 2ADDE，G为线段AE上的动点， 则( ) AAE CF B多面体ABCDEF的体积为 8 3 C若G为线段AE的中点，则 / /GB平面CEF D 22 BGCG的最小值为 11 1

6、2直线: ()(0) 2 p l yk xp与抛物线 2 :2C ypx有公共点M， (N M，N可以重合），F是抛物线C的 焦点，直线l与x轴交于点P下列结论成立的是( ) A 2 |1|MNkFMFN B若| | 4FM ，| | 2FN ，则抛物线C的方程是 2 16 3 yx C当M，N重合时，PMF 内切圆的面积为 2 p D点F到直线l的最大距离为 2 2 p 三、填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13在 3 2 ()x x 的展开式中，常数项是 14已知 5 cos() 213 ，且 (,) 2 2 ，则tan( 9 )

7、 的值是 15 圆柱上、 下底面的圆周都在一个体积为 500 3 的球面上， 圆柱底面直径为 8， 则该圆柱的表面积为 16 已知定义在R上的函数 ( )f x， 其导函数为( )fx ， 满足 ( )2fx ，f（2）4， 则不等式 2 (1)22xf xxx 的解集为 四、四、解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17设等比数列 n a 的公比为 (1)q q ，前n项和为 n S （1）若 1 1a ， 63 9 8 SS ，求 3 a的值； （2）若 1q ， 21 5 2 m

8、mm aaa ，且 2 9 mm SS ， * mN，求m的值 18在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 1 cos 2 bAac （1）求角B的大小； （2）若AC边上的中线BM的长为3，求ABC面积的最大值 19第 24 届冬季奥运会将于 2022 年 2 月在北京和张家口举办，为了普及冬奥知识，京西某校组织全体学 生进行了冬奥知识答题比赛， 从全校众多学生中随机选取了 20名学生作为样本， 得到他们的分数统计如表： 分数段 30，40) 40，50) 50，60) 60，70) 70，80) 80，90) 90，100 人数 1 2 2 8 3 3 1 我们规定 60 分以

9、下为不及格；60 分及以上至 70 分以下为及格；70 分及以上至 80 分以下为良好；80 分及 以上为优秀 （）从这 20 名学生中随机抽取 2 名学生，恰好 2 名学生都是优秀的概率是多少？ （） 将上述样本统计中的频率视为概率， 从全校学生中随机抽取 2 人， 以X表示这 2 人中优秀人数， 求X 的分布列与期望 20如图，AB 平面ADE， / /ABCD， 11 3 22 ADCDABAE ，120DAE，四边形ABCD的对 角线交于点M，N为棱DE上一点，且/ /MN平面ABE （1）求 DN DE 的值； （2）求二面角BACN的余弦值 21在平面直角坐标系xOy中，原点为O，

10、抛物线C的方程为 2 4xy，线段AB是抛物线C的一条动弦 （1）求抛物线C的准线方程； （2）求4OA OB ，求证：直线AB恒过定点； （3）过抛物线的焦点F作互相垂直的两条直线 1 l、 2 l， 1 l与抛物线交于P、Q两点， 2 l与抛物线交于C、 D两点，M、N分别是线段PQ、CD的中点，求FMN面积的最小值 22已知函数 sin ( ) cos xx f x x ，且方程( )0f xa在 2 3 ， 3 4 上有解 （）求实数a的取值范围； （）设函数( )(1)sincos ( 2 g xaxxx x ，)的最大值为G（a），求函数G（a）的最小值 考前考前 20 天终极冲刺

11、高考模拟考试卷（天终极冲刺高考模拟考试卷（14）答案）答案 1解：集合 | 24Axx ， |0101BxZx ，2，3，4，5，6，7，8，9， 1AB ，2，3， AB 的子集个数为 3 28 故选：C 2解：复数 2213 cossin 3322 zii ， 222 1313313 () 2242422 ziiii ， 2 z 的共轭复数为z，故A正确； 2 z的实部为 1 2 ，故B错误； 2 1313 1 2222 zzii ，故C错误； 222 13 |()()1 22 z ，故D错误 故选：A 3解：在等差数列 n a 中，由 214 18aa ，得 8214 218aaa ，则

12、 8 9a ， 又 2 3a ， 82 93 1 826 aa d ， 108 292 111aad 故选：B 4解：双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的离心率为 2， 可得 2 c e a ，即有2ca， 由 222 cab，可得 22 ba， 即ba， 则渐近线方程为y x ， 故选：A 5解：当 1xy 时，0 x ， 0y ，2xyxy ， 1 4 xy， 当且仅当x y 时取等号， 1 4 xy，充分性成立， 当 1 4 xy时，比如1x ， 1 5 y 时， 1 4 xy成立，但1xy不成立， 必要性不成立， 1xy 是 1 4 xy 的充分不必要条件 故选：A

13、6解：不超过 20 的素数有 2，3，5，7，11，13，17，19，共 8 个， 在不超过 20 的素数中，随机选取 2 个不同的数， 基本事件总数 2 8 28nC， 这 2 个数的和是奇数时，必选 2，包含的基本事件个数 11 17 7mC C， 这 2 个数的和是奇数的概率是 71 284 m P n 故选：B 7解：因为 sin(sinsin)aAbBC ， 由正弦定理可得 22 abbc， 显然ab，可得AB， 可得 2222 cos0 222 bcacbccb A bcbcb ，即 1 01 22 c b ， 所以1 3 c b ， 又同理 22222 2 cos0 22 abc

14、bbcc C abab ， 22 2bbcc，可得 12 c b ， 综上，可得1 2 c b ，即 c b 的取值范围为(1,2) 故选：A 8解：设ABC的外接圆半径为r，由 ABC的外接圆面积为4，可得 2 4r，解得2r ， 又2ABBCACMO，故ABC为正三角形，则 22 3 2 AB ，解得2 3AB ， 3MO ， 如图，设球O与外接圆M的其中一个交点为N，则 222 ONOMMN，即347ON ， 球O的半径为 7， 其表面积为 2 4( 7)28 故选：D 9解：由所给折线图可知，月跑步里程并不是逐递增，故A错误； 月跑步里程最大值出现在 10 月，故B正确； 月跑步里程中

15、位数为 5 月份对应的里程数，故C正确； 1 月至 5 月的月跑步里程相对于 6 月至 11 月，波动性更小，故D正确 故选：BCD 10解：因为 (4,0)Q 为两已知圆的圆心，由几何性质可知| | |PAPB ，| | |QAQB ， 所以PQ AB ，故A正确； 因为| | 4PQ ，| | | 2AQBQ ，所以 22 | |2 3PBPAQPQA，故B正确； 因为 |1 sin |2 AQ APQ PQ ，又 APQ 为锐角，所以 30APQ，同理可得30BPQ， 所以60APB，则APB为等边三角形，所以| 2 3AB ， 2| | 4 3 APBQAPQ SSPAAQ ，故C错误

16、，D正确， 故选：ABD 11解：如图所示，将几何体ABCDEF补全成棱长为 2 的正方体， 在正方体中，因为/ /CFDM，DMAE，所以AECF，故A正确， 因为 416 282 33 ABCDEFFAME VVV 正方体 ，所以B错误， 当G为线段AE的中点时，因为平面/ /GBDPMCEF，所以/ /GBPMCEF，故C正确， 过G作AD的垂线，垂足为H，连接HB，HC， 则 22222222222 882BGCGABAGCDDGAGDGAHDHGH， 因为AHGH，所以 2 22222222 1 838(2)344124()11 2 BGCGDHAHAHAHAHAHAH， 当 1 2

17、 AH 时， 22 BGCG取得最小值为 11，故D正确， 故选：ACD 12 解：对于A，设 1 (M x， 1) y， 2 (N x， 2) y ，则 1212 | |()()| | 22 pp FMFNxxxx ， 22 12 |1|1|MNkxxkFMFN，故A正确； 对于B，由A知， 12 4,2 22 pp xx ， 1 4yk ， 2 2yk ， 22 (4 )2 (4),(2 )2 (2) 22 pp kpkp ，解得 8 3 p ， 抛物线C的方程是 2 16 3 yx ，故B正确； 对于C，当M，N重合时，直线l和抛物线C相切于点 (, ) 2 p Mp或(,) 2 p M

18、p ，PMF是腰为p的等腰直 角三角形， 它的内切圆半径为 2 (1) 2 p，内切圆面积不等于 2 p，故C不正确； 对于D， 由C知 2 k最大值为 1， 点 ( ,0 ) 2 p F 到直线: () 2 p l yk x 的距离 2 2 | 1 1 1 p kp d k k ， 当 2 1k 时， d取得最大值 2 2 p，故D正确 故选：ABD 13解：展开式的通项公式为 3 3 3 2 173 2 ()()( 2) r rrrrr r TCxCx x ， 令 33 0 2 r ，解得 1r ， 所以常数项为 11 3 ( 2)6C ， 故答案为：6 14解： 5 cos()sin 2

19、13 ， 5 sin 13 ，结合(,) 2 2 ， 可得( 2 ，0)， 2 12 cos1sin 13 sin5 tan cos12 则 5 tan(9 )tan 12 ， 故答案为： 5 12 15解：由题意球的体积为： 500 3 ，所以球的半径为R， 3 4500 33 R ，解得5R ， 所以圆柱底面直径为 8，圆柱上、下底面的圆周都在一个体积为 500 3 的球面上， 所以圆柱的高为： 22 1086 可得圆柱的表面积： 2 862 480 故答案为：80 16解： 2 (1)22xf xxx， 0 x时，(1)2(1)f xx， 令1tx，则1t ， ( )2f tt ， 令

20、( )( )2g tf tt ，则 ( )( )20g tf t ， ( )g t递增， 而g（2） f （2）40 ，故 ( )( )20g tf ttg （2）， 故2t 即12x ，解得：3x ， 0 x 时，不等式 2 (1)22xf xxx显然无解， 0 x 时，( )2(1)f xx， 令1tx，则1t ， ( )2f tt ， 令 ( )( )2g tf tt ，则 ( )( )20g tf t ， ( )g t递增， 而g（2） f （2）40 ，故 ( )( )20g tf ttg （2）， 故2t 即12x ，解得：3x ，故0 x ， 故不等式 2 (1)22xf xxx

21、的解集为(，0) (3 ， )， 故答案为：(，0) (3 ， ) 17解：（1）等比数列 n a 的公比为 (1)q q ，前n项和为 n S 1 1a ， 63 9 8 SS， 33 63333 9 (1) 8 SSq SSqS， 解得 1 2 q ， 2 31 1 4 aa q （2） 1q ， 21 5 2 mmm aaa ，且 2 9 mm SS ， * mN， 2 5 2 mmm aa qa q ， 2 5 10 2 qq ， 由 1q ，解得 2q ， 2 9 mm SS ， 2 11 (12)(12 ) 9 1212 mm aa ， 1 0a ， 2 1 29(1 2 ) mm

22、 ， 解得3m 18解：（1）因为 1 cos 2 bAac， 由正弦定理可得 1 sincossinsin 2 BAAC ， 又sin sin()sincossincosCABABBA ， 所以 1 sinsincos 2 AAB ， 又A为三角形内角，sin0A，所以 1 cos 2 B ， 因为 (0, )B ，所以 3 B （2）延长线段AM至D，满足BMMD，连接AD， 在ABD中，22 3BDAM，ADa，ABc， 2 3 BADB ， 由余弦定理，有 222 1 (2 3)2() 2 acac ， 可得 22 1223acacacacac，解得4ac，当且仅当2ac时取等号， 所

23、以 113 sin43 222 ABC SacB ，当且仅当2ac时等号成立， 即ABC的面积的最大值为3 19解：（）设恰好 2 名学生都是优秀这一事件为A，（1 分） 2 4 2 20 3 ( ) 95 C P A C （2 分） （）设每名同学为优秀这一事件为B，由题意可得 41 ( ) 205 P B ，（2 分） X可取 0，1，2，（1 分） 02 2 116 (0)(1) 525 P XC ， 1 2 118 (1)(1) 5525 P XC ， 22 2 11 (2)( ) 525 P XC ，（3 分） X 0 1 2 P 16 25 8 25 1 25 （1 分） 1681

24、2 ()012 2525255 E X （2 分） 20解：（1）因为/ /ABDC，所以 31 62 DMDC MBAB ，所以 1 3 DM DB ， 因为/ /MN平面ABE，平面BED平面ABEBE，MN 平面BED， 所以/ /MNBE，所以 1 3 DNDM DEDB （2）过N作NFAD于F，过F作FPAC于P，连接PN， 因为AB 平面ADE，AB平面ABCD，所以平面ADE 平面ABCD， 平面ADE平面ABCDAD，所以NF 平面ABCD， FP为NP在平面ABCD内的投影，所以ACPN， 所以NPF为二面角NACD的平面角， 由余弦定理得 22 2cos3 7DEAEAD

25、AE ADDAE ，7DN ， 由正弦定理得 sinsinADEDAE AEDE ， 3 sin 7 ADE， 2 cos 7 ADE ， sin3NFDNADE， cos2DFDNADE，1AFADDF， 因为ADDC，DCAD，所以45CAD， 2 sin 2 PFAFCAD， 3 tan6 2 2 NF NPF PF ， 2 17 cos 7 1 NPF tan ， 因为二面角BACN与二面角NACD互补， 所以二面角BACN的余弦值为 7 7 21解：（1）抛物线 2 :4C xy的准线方程为 1y ； （2）证明：设直线AB方程为y kxb ， 1 (A x， 1) y ， 2 (B

26、 x， 2) y ， 由 2 4 ykxb xy ，可得 2 440 xkxb， 所以 12 4xxk ， 12 4x xb ， 22 12 121212 ()16 44 1616 x xb OA OBx xy yx xb ，解得2b ， 则直线 2ykx 过定点(0,2)； （3）由 (0,1)F ，由题意，直线 1 l， 2 l的斜率都存在且不为 0， 设直线 1 l的方向向量为(1，)(0)k k ，则(1, ) k是直线 2 l的一个法向量， 故直线 1 l的方程为 01 1 xy k ，即1ykx， 直线 2 l的方程为(1)0 xk y ，即 1 1yx k ， 由 2 4 1 x

27、y ykx ，可得 2 440 xkx， 设 1 (P x， 1) y， 2 (Q x， 2) y ，可得 12 4xxk ， 则 2 (2 ,21)Mkk ； 同理可得 2 (N k ， 2 2 1) k 所以 22222 2 11221 | |(2 )(2)( )()2() 4 22 FMN SFMFNkkk kkk ， 当且仅当1k 时，FMN的面积取最小值 4 22解：（） sin ( ) cos xx f x x ， 2 3 x ， 3 4 ， 222 (sincos )cos(sin )( sin )sin cossin22 ( ) coscos2cos xxxxxxxxxxxx

28、fx xxx ， sin221 20 xxx ，( )0fx ，( )f x单调递减， 即 2 3 x 时， sin2 3 cos3 xx x ， 3 4 x 时， sin3 cos4 xx x ， 即a的取值范围是 3 4 ， 2 3 3 ； （） ( )(1)cos(cossin )cossing xaxxxxaxxx ， ( )sinsincoscos(1)singxaxxxxxxax ， 当 2 x ， 时， ( )0gx ， ( )g x 单调递减， 又 ()0 22 g ， ( )0ga ，由零点存在性定理必存在唯一 0 ( 2 x ， ) ，满足 0 ()0g x ， 当 ( 2

29、 x ， 0) x 时， ( )0g x 即 ( )g x单调递增，当 0 (xx ， ) 时， ( )0g x 即 ( )g x单调递减， 由 000 cossin0axxx ，得 00 0 x sinx a cosx ， 0 ( 2 x ，)， 得G（a） 000 00000000 00 ( )()(1)sincos(1)sincossin max x sinxx g xg xaxxxxxxx cosxcosx ， 由（）问知函数 ( )f x在( 2 ， ) 单调递减， 即当 3 4 a ， 2 3 3 时， 0 2 3 x ， 3 4 ， 设( )sin cos x H xx x ， 2 3 x ， 3 4 ， 2 222 cos( sin )cos ( sin)sinsin (sin22 ) ( )cos0 coscos2cos xxxxxxxxxx H xx xxx ， 故 ( )H x单调递减， 323 2 ( )() 424 min H xH ， 综上，函数 ( )g x的最大值G（a）的最小值是： 23 2 24