2021届高考数学考前20天终极冲刺模拟试卷（15）含答案

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1、考前考前 20 天终极冲刺高考模拟考试卷（天终极冲刺高考模拟考试卷（15） 一、一、选择题：本题共选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。求的。 1已知集合 |1| 2Ax x ， 1 |( )1 2 x Bx ，则 (AB ) A(0,3) B( 1,0) C( ,3) D( 1,1) 2设复数z满足(13 )2(13 )i zi，则 (z ) A13i B13i C13i D13i 3中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“九百九十六斤绵，赠分八子作

2、盘缠，次第每人多 十七，要将第八数来言，务要分明依次弟，孝和休惹外人传”其意思为：“996 斤棉花，分别赠送给 8 个 子女作旅费，从第一个开始，以后每人依次多 17 斤，使孝顺子女的美德外传，试求各人应分得多少斤” 则第 3 个子女分得棉花( ) A65 斤 B82 斤 C99 斤 D106 斤 4已知椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的右焦点为 2 F，左顶点为 1 A，若E上的点P满足 2 PFx 轴， 12 3 sin 5 PFF ，则E的离心率为( ) A 1 2 B 2 5 C 1 4 D 1 5 5定义在R上的奇函数 ( )f x满足(2)( )fxf x ，当

3、(0 x ，1， 2 ( )logf xxx ，则 2021 ()( 2 f ) A 3 2 B 1 2 C 1 2 D 3 2 6 在直角ABC中，a，b，c分别是 ABC的内角A，B，C所对的边， 点G是ABC的重心， 若AGBG， 则cos (C ) A 5 3 B 6 3 C 3 5 D 4 5 7已知三棱锥SABC外接球的球心O在线段SA上，若 ABC与SBC均为面积是4 3的等边三角形，则 三棱锥SABC外接球的体积为( ) A 8 2 3 B16 2 3 C 32 2 3 D 64 2 3 8已知关于x的不等式(1) 0 x emxlnxln m 在(0, )恒成立，则m的取值范

4、围是( ) A( 1 ， 1e B( 1 ，1 C( 1e ，1 D(1， e 二、二、选择题：本题共选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。 全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的对分，部分选对的对 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。 9已知某校高三的甲、乙、丙三个班各有 50 名学生，在一次数学模拟考试中，三个班的学生成绩的各分 数段累计人数折线图如图所示根据图中的成绩信息，下列结论中正确的是( ) A三个班的成绩的中位数，乙班最高，丙班最低

5、B三个班的平均成绩，丙班最低 C三个班中成绩在 60 分以下的人数，丙班最多；80 分以上的人数，乙班最多 D模拟考试的最高分出现在乙班 10已知 11 0 ab ，则下列结论一定正确的是( ) A 22 ab B 2 ba ab C 2 lgalgab D| ab aa 11已知 ( )sin()(0)f xx ，直线 5 12 x ， 11 12 x 是 ( )f x的图象的相邻两条对称轴，则下列说法正 确的是( ) A函数 5 () 12 yf x 为偶函数 B ( )f x的图象的一个对称中心为( 6 ，0) C ( )f x在区间0， 5 6 上有 2 个零点 D ( )f x在区间

6、 6 ， 6 上为单调函数 12在平面直角坐标xOy中，已知圆O过点 (3,4)A 、B、C、且BCOA，则( ) A直线BC的斜率为 3 4 B60AOC CABC的面积 25 3 2 D点B、C在同一象限内 三、填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13在 24 2 1 (2)x x 的展开式中，所有项的系数和为 ，常数项为 14已知1x ，则 12 23 1 x x 的最小值为 ，此时x为 15已知 (6,6)P ，Q是抛物线 2 :2(0)C ypx p上两点， (PO O为坐标原点）的延长线与抛物线C的准线 交于点M，且 / /

7、MQx轴，则抛物线C的焦点坐标为 ，直线PQ的斜率为 16已知数列 n a 满足 123 232 n aaanan ，若 1 2 nn n a a b ，设数列 n b 的前n项和为 n T，则 2021 T 四、四、解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17已知ABC中，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 222 3332bcabc （1）求sin A的值； （2）若sin2sinBC，求tanC的值 18已知数列 n a 是公差不为 0 的等差数列，前n项和为 n S，

8、9 144S ， 3 a是 1 a与 8 a的等比中项 （1）求数列 n a 的通项公式； （2）数列 n b 满足 2 1 log0 3 n n a b ，若 nnn ca b ，求数列 n c 前n项和为 n T 19某电影制片厂从 2011 年至 2020 年生产的科教影片、动画影片、纪录影片的时长（单位：分钟）如图 所示 （）从 2011 年至 2020 年中任选一年，求此年动画影片时长大于纪录影片时长的概率； （） 从 2011 年至 2020 年中任选两年， 设X为选出的两年中动画影片时长大于纪录影片时长的年数， 求X 的分布列和数学期望 ()E X ； （）将 2011 年至 2

9、020 年生产的科教影片、动画影片、纪录影片时长的方差分别记为 2 1 s， 2 2 s， 2 3 s，试比 较 2 1 s， 2 2 s， 2 3 s的大小（只需写出结论） 20如图，在四棱锥PABCD中，PB 平面ABCD，ABAD， / /ABCD，且1AB ，2ADCD， E在线段PD上 （）若E是PD的中点，试证明：/ /AE平面PBC； （）若异面直线BC与PD所成的角为60，求四棱锥PABCD的侧视图的面积 21已知点 0 ( 2,)Py 为抛物线 2 :2(0)C xpy p上一点，F为抛物线C的焦点，抛物线C在点P处的切线 与y轴相交于点Q，且 FPQ 面积为 2 （1）求抛

10、物线C的方程； （2）设直线l经过(2,5)交抛物线C于M，N两点（异于点 )P，求证：MPN 的大小为定值 22已知函数 ( )f xxalnx ， 2 ( ) x g xx e，aR （1）求函数 ( )f x的单调区间； （2）当2a 时，方程 ( )( )g xmf x 有两个实根，求实数m的取值范围 考前考前 20 天终极冲刺高考模拟考试卷（天终极冲刺高考模拟考试卷（15）答案）答案 1解：集合 |1| 2 | 13Ax xxx ， 1 |( )1 |0 2 x Bxx x ， | 10( 1,0)ABxx 故选：B 2解：由(13 )2(13 )i zi， 得 2(13 ) 13

11、13 i zi i ， 故选：D 3解：设该等差数列为 n a ，由题意可得： 1278 996aaaa ，17d ； 则 1 87 817996 2 a ，解得 1 65a ； 所以 3 652 1799a ， 即第 3 个子女分得棉花 99 斤 故选：C 4解： 2 PFx 轴，且 12 3 sin 5 PFF ，不妨设 1 | 5PF ， 2 | 3PF ， 可得 12 | 42FFc ，解得2c 532a ，解得4a ， 21 42 c e a 故选：A 5解：根据题意，定义在R上的奇函数 ( )f x满足(2)( )fxf x ， 则 ( )(2)(2)f xfxf x ， 变形可得

12、 (4)(2)( )f xf xf x ，即 ( )f x的周期为 4， 故 2021551 ()(4252)( )( ) 2222 ffff ， 而 2 1113 ( )log 2222 f， 则 202113 ()( ) 222 ff ， 故选：D 6解：建立平面直角坐标系，如图所示， 设BCm，BAn，且0m ，0n ， 由G是Rt ABC的重心，得 ( 3 m G ， ) 3 n ； 所以 ( 3 m BG ， ) 3 n ， ( 3 m AG ， 2 ) 3 n ， 因为AGBG，所以 22 2 0 99 mn AG BG， 解得2mn， 又( ,)ACmn， 所以 2222 226

13、 cos 33 2 mn ACB mnnn 故选：B 7解：如图，依题意，O为三棱锥SABC外接球的球心，则OA OSOBOC， ABC与SBC均为正三角形，且有公共边BC， ACSC， ACS为等腰三角形， OCAS， 又OCOAOS， Rt ACS为等腰直角三角形， 设ABC边长为a，则其面积 2 3 4 Sa，故 2 3 4 3 4 a ，解得4a ， 4AC， 4 2AS ， 1 2 2 2 OAAS，即外接球半径为2 2，体积为 3 464 2 (2 2) 33 V 故选：D 8解：由(1) 0 x emxlnxln m 得(1) x emx ln mx，即 (1) (1)(1)(1

14、) xlnmx exlnmxmxelnmx ， 构造函数( ) x f xex，则 ( )( (1) )f xf ln mx ， 又函数 ( )f x为增函数， (1) x ln mx ，即(1) x emx， 1 x e m x 对任意 (0,)x都成立， 令( )1,0 x e g xx x ，则 2 (1) ( ) x ex g x x ， 当(0,1)x 时， ( )0g x ， ( )g x单减，当(1,)x时，( )0g x ， ( )g x单增， ( )g xg（1）1e ， 1m e， 又10m ， 11m e 故选：A 9解：对于A，由折线图得乙班成绩的中位数最大，丙班成绩的

15、中位数最低，故A正确； 对于B，由折线图得丙班的平均成绩最低，故B正确； 在C中，由折线图得，80 分以上的人数甲班最多，故C错误； 在D中，由折线图得最高分出现在甲班，故D错误 故选：AB 10 解：因为 11 0 ab ，则有0ba， 对于A，因为0ba，所以 22 ab，故选项A正确； 对于B，因为0ba，所以0,0 ba ab 且 ba ab ，故22 bab a aba b ，故选项B正确； 对于C，因为0ba，所以 2 aab，故 2 ()lgalg ab，故选项C错误； 对于D，因为| |a与 1 的大小关系不确定，故函数 |xya的单调性不确定，故|aa与|ba的大小不确定，故

16、 选项D错误 故选：AB 11解： ( )sin()(0)f xx ，直线 5 12 x ， 11 12 x 是 ( )f x的图象的相邻两条对称轴， 则 1 2115 21212 ，2 再结合 5 2 122 k ，kZ，求得 3 k ， 可取 3 ， ( )sin(2) 3 f xx 函数 5 ()sin(2)cos2 122 yf xxx 为偶函数，故A正确； 令 6 x ，求得 ( )0f x ，故 ( )f x的图象的一个对称中心为( 6 ，0)，故B正确； 在区间0， 5 6 上，2 33 x ， 4 3 ，函数 ( )f x只有 2 个零点，20 3 x 和2 3 x ，故C正确

17、； 在区间 6 ， 6 上， 2 2 33 x ，0，函数 ( )f x没有单调性，故D错误， 故选：ABC 12解：如图， (3,4)A ， 4 (3,4)3(1, ) 3 OA ，而BC OA， 直线BC的斜率为 4 3 ，故A错误； 由题意可知，| | 5OAOB， 又BCOA，四边形OBCA为菱形， 又| 5OC ，60AOC，故B正确； 11325 3 5 5 sin1205 5 2224 ABC S ，故C错误； 设BC所在直线方程为 4 3 yxb ，即4 330 xyb | 5BC ，O到BC的距离为 5 3 2 ，即 22 |3 |3 |5 3 52 4( 3) bb ， 解

18、得 25 3 6 b 当 25 3 6 b 时，由 425 3 36 yx，取 0y ，可得 25 3 5 8 x ，则B、C均在第二象限； 当 25 3 6 b 时，由 425 3 36 yx，取 0y ，可得 25 3 5 8 x ，则B、C均在第四象限 点B、C在同一象限内，故D正确 故选：BD 13解：二项式 248 2 11 (2)()xx xx ， 令1x 可得： 8 (1 1)0， 展开式的通项公式为 88 2 188 1 ()( 1) rrrrrr r TC xCx x ， 令820r，解得4r ，则展开式的常数项为 44 8 ( 1)70C ， 故答案为：0；70 14解：1

19、0 x ， 121212 233(1)1 2 3(1)111 111 xxx xxx ，当且仅当 12 3(1) 1 x x ， 即1x 时原式取最小值 故答案为：11；1 15解： (6,6)P 在抛物线 2 :2(0)C ypx p上，可得36 12p ，可得 3p ， 所以 2 6yx，焦点坐标 3 ( 2 ，0)，准线方程为： 3 2 x ，所以 3 2 yx y 可得 3 ( 2 M ， 3) 2 ， 则 3 (8Q， 3) 2 ， 所以直线PQ的斜率为： 3 6 4 2 3 3 6 8 故答案为： 3 ( 2 ，0)， 4 3 16解：由 123 232 n aaanan ，可得1

20、n 时， 1 2a ， 2n时， 1231 23(1)2(1) n aaanan ， 又 123 232 n aaanan ， 两式相减可得 2 n na ，即有 2 n a n ，对1n 也成立 可得 1 211 2() 2(1)1 nn n a a b n nnn ， 则 2021 111111112021 2(1.)2(1) 223342021202220221011 T 故答案为： 2021 1011 17解：（1）ABC中， 222 3332bcabc，所以 222 2 3 bcabc ， 利用余弦定理知， 222 2 1 3 cos 223 bc bca A bcbc ， 因为 (

21、0, )A ，所以 2 12 2 sin1cos1 93 AA； （2）ABC中， ()BAC ， 所以sin sin()2sinBACC ， 即sincoscossin2sinACACC， 所以 2 21 cossin2sin 33 CCC， 解得 2 2 sincos 5 CC， 又cos0C ，所以 sin2 2 tan cos5 C C C 18解：（1）设等差数列 n a 的公差为d，0d ， 由 9 144S ，可得 1 98 9144 2 ad ，即为 1 416ad ， 由 3 a是 1 a与 8 a的等比中项，可得 2 31 8 aaa， 即为 2 111 (2 )(7 )a

22、da ad，即 1 43ad ， 解得 1 4a ，3d ， 所以 43(1)31 n ann； （2） 2 1 log0 3 n n a b ，即为 2 log0 n nb ， 解得 1 ( ) 2 n n b ， 所以 1 (31) ( ) 2 n nnn ca bn ， 则 23 1111 47 ( )11 ( ).(31) ( ) 2222 n n Tn ， 2341 11111 4 ( )7 ( )11 ( ).(31) ( ) 22222 n n Tn ， 两式相减可得 1 2311 11 (1) 111111 42 23( )( ).( ) (31) ( )23(31) ( )

23、1 222222 1 2 n nnn n Tnn ， 化简可得 1 7(37) ( ) 2 n n Tn 19解：（）从 2011 年至 2020 年，共 10 年，其中动画影片时长大于纪录影片时长的年份有： 2011 年，2015 年，2017 年，2018 年，2019 年，2020 年，共 6 年， 故所求概率 63 105 P （）X的所有可能取值为 0，1，2， 则 2 4 2 10 2 (0) 15 C P X C ， 11 46 2 10 8 (1) 15 C C P X C ， 2 6 2 10 1 (2) 3 C P X C ， 所以随机变量X的分布列为： X 0 1 2 P

24、 2 15 8 15 1 3 数学期望 2816 ()012 151535 E X （）结合图象可知科教影片时长的波动最大，方差最大， 将动画影片、记录影片时长从小到大排列， 动画影片：150，180，200，240，260，290，320，350，380，430， 记录影片：100，130，150，190，210，240，270，300，330，380， 记录 222 231 sss 20（）证法一：在四棱锥PABCD中，取PC的中点F，连接EF、FB， 因为E是PD的中点，所以 1 / / / 2 EFCDAB，（2 分） 所以四边形AEFB是平行四边形，（3 分） 则/ /AEFB， 而

25、AE 平面PBC，FB 平面PBC，（5 分） / /AE平面PBC （6 分） 证法二：如图，以B为坐标原点，AB所在直线为x轴，垂直于AB的直线为y轴，BP所在直线为z轴，建 立空间直角坐标系， 设PBt，则 (0P ，0，) t， ( 1D ，2，0)，(1C ，2，0)， ( 1A ，0，0)， 所以 1 ( 2 E ，1， ) 2 t ， 1 (,1,) 22 t AE ，（2 分） 设平面PBC的法向量为 (ax ，y， ) z，则 0 0 a BC a BP ，所以 20 0 xy tz ，即 2 0. xy z 取 1y ，得到平面PBC的法向量为(2a ，1，0) 所以0AE

26、 a ，而AE 平面PBC，则/ /AE平面PBC（6 分） （）解：同（）法二建立空间直角坐标系， 设 (0)PBt t ，则 (0P ，0，) t， ( 1D ，2，0)，(1C ，2，0)， 所以( 1PD ，2， ) t ，(1BC ，2，0)， 则 2 |5PDt，|5BC ，（9 分） 由已知异面直线BC与PD成60角，所以 2 1 | | cos6055 2 PD BCPDBCt ， 又1 122()03PD BCt ， 所以 2 1 553 2 t ，解得 55 5 t ，即 55 5 PB ， 所以侧视图的面积为 15555 2 255 S （13 分） 21解：（1）因为

27、FPQ 面积为 2 所以 1 | 22 2 FQ ，即| | 2FQ ， 2 2xpy即 2 2 x y p 的导数为 x y p ，可得P处的切线的斜率为 2 p ， 切线的方程为 0 2 (2)yyx p ，令0 x ，可得 0 4242 yy pppp ， 所以 2 2 2 p p ，解得 2p ， 所以抛物线的方程为 2 4xy； （2）证明：设 1 (M x， 2 1 ) 4 x ， 2 (N x， 2 2 ) 4 x ， 设直线l的方程为 (2)5yk x ， 由 2 (2)5 4 yk x xy 可得 2 48200 xkxk， 所以 12 4xxk ， 12 820 x xk

28、， 因为 ( 2,1)P ， 1 (2PMx， 2 1 1) 4 x ， 2 (2PNx， 2 2 1) 4 x ， 所以 22 12 12 (2)(2)(1)(1) 44 xx PM PNxx 22 121212 1212 ()()2 2()41 164 x xxxx x x xxx 22 (820)161640 820850 164 kkk kk ， 所以PMPN， 所以PMN的大小为定值90 22解：（1）由题意知函数 ( )f x的定义域为(0,)， 因为 ( )f xxalnx ，aR，所以 ( )1 axa fx xx ， 当0a时， ( )0fx 在区间(0, )上恒成立， 所以

29、函数 ( )f x的单调递增区间为(0,)，无单调递减区间； 当0a 时，令 ( )0fx ，得xa，令 ( )0fx ，得0 xa ， 所以函数 ( )f x的单调递增区间为(,)a，单调递减区间为(0,)a ； 综上：当0a时，函数 ( )f x的单调递增区间为(0,)，无单调递减区间； 当0a 时，函数 ( )f x的单调递增区间为(,)a，单调递减区间为(0,)a ； （2）方程 ( )( )g xmf x 有两个实根， 即关于x的方程 2 (2)0 x x em xlnx有两个实根， 即函数 2 ( )(2) x h xx em xlnx有两个零点， 又 22 ( )(2)(2) x

30、xlnx h xx em xlnxem xlnx ， 令2txlnx，由（1）得t是关于x的单调递增函数，且tR， 所以只需函数( ) t u temt有两个零点， 令 ( )0u t ，得 1 t t me ，令( ) t t t e ，则 1 ( ) t t t e ， 易知当 (,1)t 时， ( ) t 单调递增， 当 (1,)t时，( ) t 单调递减， 所以当1t 时， ( ) t 取得最大值 1 (1) e ， 又因为当0t 时， ( )0t ，当0t 时， ( )0t ， (0)0 ， 则函数( ) t t t e 的图象如图所示： 所以当 11 (0, ) me ，即( ,)me时，函数( )h x有两个零点，所以实数m的取值范围为( ,)e